str. 36
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
WICZENIE 15
–
Miejsca zerowe, minima i maksima funkcji
Ni ej przedstawione funkcje Matlaba poszukuj miejsca zerowego i minimów funkcji
jednej zmiennej w pobli u wskazanej warto ci.
x1=fzero(‘nazwa_funkcji‘,x0)
– zwraca miejsca zerowe
x1
funkcji o
nazwie
nazwa_funkcji
poszukuj c rozwi zania w pobli u
warto ci
x0
. Definicja funkcji musi by zapisana w m-pliku.
x1=fminbnd(‘nazwa_funkcji‘,xp,xk)-
zwraca miejsce
x1
, w którym
funkcja
nazwa_funkcji
osi ga minimum. Definicja funkcji musi
by zapisana w m-pliku.
Zawsze zachodzi pytanie, jak okre li warto ci,
x0, xp, xk
. Przy poszukiwaniu rozwi za
w zagadnieniach praktycznych, zwykle jest to do oczywiste. Np. poszukiwany wymiar
lub współczynnik nie mo e by ujemny lub z góry wiemy w jakim przedziale warto ci
mo e si zawiera .
Je li brak nam wiedzy o orientacyjnej warto ci poszukiwanych zmiennych, to tworzymy
najpierw wykres funkcji (
fplot
) w szerokim przedziale argumentów. Na podstawie
analizy wykresu mo emy ju w łatwy sposób tak zastosowa przedstawione funkcje,
by uzyska oczekiwane wyniki.
Zadanie 24
Masz dane równanie jak w zadaniu 18:
0
5
.
0
)
cos(
7
.
0
1
.
0
30
1
)
sin(
2
3
=
−
−
−
+
t
e
t
t
t
t
W przedziale argumentów od –6 do 6 znajd pierwiastki równania. Okre l
miejsca i warto ci minimów i maksimów funkcji utworzonej z tego
równania.
Porównaj wyniki z rezultatami zadania 18.
WICZENIE 16
–
Pierwiastki wielomianu
Wielomian, to wyra enie matematyczne postaci
1
1
2
1
...
)
,
(
+
−
+
+
+
+
=
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
a
x
W
Podstawowym zagadnieniem jest najcz ciej wyznaczenie pierwiastków wielomianu.
Funkcje przydatne w działaniach z wielomianami zestawione s w tabeli.
r=roots(a)
zwraca wektor
r
pierwiastków wielomianu
W(x,a);
a
– wektor uporz dkowanych współczynników wielomianu
a=poly(r)
zwraca wektor
a
współczynników wielomianu o pierwiastkach
podanych w wektorze
r
p=polyval(a,x0)
oblicza warto w punkcie
x0
wielomianu o współczynnikach
zawartych w wektorze
a
. Je li
x0
jest wektorem, to i wynik
p
jest wektorem.
str. 37
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Zadanie 25
Wyznacz pierwiastki wielomianu
6
3
2
)
(
2
4
−
+
+
=
x
x
x
x
W
i sprawd poprawno uzyskanych wyników tworz c wykres odpowied-
niej funkcji.
WICZENIE 17
–
Interpolacja
Zagadnienie interpolacji pojawia si wtedy, gdy funkcja jest zadana sko czon
ilo ci punktów (w zły interpolacji:
x
i
,y
i
) i zachodzi potrzeba obliczenia jej
warto ci pomi dzy tymi punktami.
da si w tym przypadku, by w w złach
funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto ci.
Nie b dziemy zajmowa si postaciami i teori funkcji interpoluj cych.
Do wyznaczenia warto ci funkcji mi dzy w złami stosuje si zapis
yy=interp1(x,y,xx,’metoda’)
gdzie:
•
yy
- wektor poszukiwanych warto ci funkcji w punktach okre lonych
wektorem
xx
,
•
xx
– wektor punktów, w których szukamy warto ci funkcji,
•
x,y
– wektory okre laj ce w zły interpolacji, ci g współrz dnych
w wektorze
x
powinien by monotoniczny,
•
’metoda’
– tekst okre laj cy metod interpolacji.
Stosowane metody interpolacji nazwane s nast puj co:
•
’linear’
– interpolacja liniowa,
•
’spline’
– interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego,
•
’cubic’
– interpolacja wielomianami trzeciego stopnia.
Ró nice mi dzy metodami interpolacji poznamy rozwi zuj c przykład.
Zadanie 26
Jeste projektantem karoserii samochodu. Masz wiedz o ogranicze-
niach geometrycznych narzuconych przez kolegów projektuj cych
podzespoły nap dowe i pozostały osprz t w komorze silnika. Na rysunku
ograniczenia te przedstawione s w postaci punktów z podanymi
współrz dnymi (punkty w złowe).
Metodami interpolacji zaprojektuj lini nadwozia w przedniej cz ci
samochodu.
Musisz przekaza wyniki do działu projektuj cego formy tłocz ce
elementy karoserii, podaj c współrz dne linii nadwozia z krokiem 1 cm.
str. 38
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
x [cm]
y [cm]
x = 5 50 125 210 330 430 500
y =
330
310
235
210
180
160
45
Oce rezultaty działa analizuj c odpowiednie wykresy nakładane
na siebie.
Spróbuj wpłyn na wyniki zmieniaj c metody interpolacji, a w
przypadku braku zadowalaj cych rezultatów, zmieniaj c
sensownie poło enie (współrz dne) punktów w złowych.
Ostateczne rezultaty oblicze zapisz w pliku.
Nie usuwaj wykresów.
WICZENIE 18
–
Aproksymacja
Aproksymacja stanowi uogólnione zagadnienie interpolacji. Zadanie
sformułowane jest podobnie, lecz nie
da si w tym przypadku, by w
w złach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto ci.
Pojawia si zatem poj cie bł du aproksymacji, który okre la si jako ró nic
warto ci obu funkcji. Zadaniem metod numerycznych jest minimalizacja bł du
aproksymacji. Aproksymacja redniokwadratowa (zwana metod najmniej-
szych kwadratów) wielomianami wybranego stopnia jest najcz ciej
stosowana. Polega ona na minimalizacji bł du aproksymacji, zdefiniowanego
jako suma kwadratów odchyłek we wszystkich punktach w złowych:
2
0
)]
(
)
(
[
i
i
n
i
x
f
x
F
−
=
Do aproksymacji stosuje si dwie funkcje:
p=polyfit(x,y,n)
– wyszukuje współczynniki
p
wielomianu
aproksymuj cego:
x
i
y
- wektory zawieraj ce współrz dne punktów w złowych,
n
– rz d wielomianu;
yw=polyval(p,xw)
– oblicza warto ci wielomianu aproksymuj cego
w punktach okre lonych wektorem
xw
:
p
– wektor współczynników wielomianu,
xw
– wektor współrz dnych niezale nych dla których
wyznacza si warto ci wielomianu.
str. 39
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Aproksymacj stosuje si najcz ciej, gdy punkty w złowe pochodz z bada
eksperymentalnych. Wyniki zazwyczaj obarczone s bł dem i stosowanie
interpolacji nie ma sensu. Cz sto za zale y prowadz cemu eksperyment na
opisaniu zale no ci analityczn charakteru obserwowanych zjawisk.
Jednym z pyta , na które trzeba odpowiedzie , to „jakiego rz du ma by
wielomian opisuj cy wyniki bada eksperymentalnych”. My b dziemy t
warto dobiera intuicyjnie (mała liczba całkowita).
Zadanie 27
Problem analogiczny, jak w zadaniu poprzednim. Ró nica polega na tym,
e ograniczenia konstrukcyjne nie s „sztywne”. Mo na wi c krzyw
opisuj c lini karoserii poprowadzi w pobli u punktów w złowych.
Metod aproksymacji zaprojektuj lini nadwozia w przedniej cz ci
samochodu.
1. Utwórz nowe okno wykresów i ustaw rysowanie kilku krzywych
w jednym oknie.
2. Oce rezultaty aproksymacji analizuj c odpowiednie wykresy.
3. Porównaj:
rezultaty działa przy dobieraniu coraz wi kszego rz du
wielomianu aproksymuj cego,
wyniki najlepsze z najlepszymi wynikami z zadania
poprzedniego (interpolacja).
4. Pami taj, e:
wyniki musisz przekaza do działu projektuj cego formy
tłocz ce elementy karoserii, podaj c współrz dne linii
nadwozia z krokiem 1 cm,
wyniki musisz zapisa w pliku.
Zadanie 28
W zadaniu porównaj wykre lnie (na jednym rysunku) i liczbowo dwie
sytuacje.
Sytuacja 1. Wygeneruj
n
punktów w pobli u
prostej wyj ciowej
o zadanych współczynnikach
a, b
w pewnym przedziale
argumentów
x
. Argumenty te zawsze zaczynaj si od
0
i przyrastaj ze stałym krokiem
krok_x
. Do wygenerowania
tych punktów musisz utworzy funkcj , która ma
argumenty:
a, b, n, krok_x, rozrzut_losowania
. Prost
y=ax+b
oraz punkty wokół niej poło one narysuj na wykresie.
Sytuacja 2. Zapomnij na chwil , e istnieje ju prosta wyj ciowa. Za to
punkty wygenerowane wokół prostej potraktuj jako punkty
pochodz ce z pomiarów pewnego zjawiska, które ma
charakter liniowy (daje si według teorii opisa równaniem
prostej). Maj c te punkty, poszukaj metod aproksymacji
równania prostej, która do nich „najlepiej pasuje”. Na tym
samym wykresie co poprzednio narysuj t
znalezion
prost
.
str. 40
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Porównaj:
wykresy prostej wyj ciowej i znalezionej,
warto ci współczynników równania prostej wyj ciowej i prostej
znalezionej metod aproksymacji.
Przykładowy wykres otrzymany przy rozwi zywaniu tego zadania
pokazuje rysunek.
Ju teraz wiesz dlaczego naukowcy bardzo si ciesz , gdy mog powiedzie ,
e wyniki ich bada uzyskane s z dokładno ci do 10%.
WICZENIE 19
–
Całkowanie numeryczne
Obliczanie warto ci całek oznaczonych, to problem do powszechny i cz sto
trudny, gdy nie jest znana funkcja pierwotna analizowanej funkcji. Stosuje si
wtedy metody przybli one, numeryczne. Cała istota tych metod zasadza si
na jak najdokładniejszym obliczeniu pola powierzchni pod krzyw całkowan .
Istnieje wiele algorytmów prowadz cych do wyniku z ró n dokładno ci . Nie
wdaj c si w rozwa ania nad tymi algorytmami zapami taj, e do całkowania
stosujemy jedn z funkcji:
c=quad(’nazwa_funkcji’,a,b)
–
metoda Simpsona
c=quadl(’nazwa_funkcji’,a,b)
–
metoda Lobatto
gdzie:
c
– warto całki,
nazwa_funkcji
– nazwa funkcji lub m-pliku z jej definicj ,
a, b
– dolna i górna granica całkowania.
Zadanie 29
Musisz okre li jaka b dzie siła oporu aerodynamicznego
projektowanego samochodu w zale no ci pr dko ci jazdy. Poka esz to
na odpowiednim wykresie.
str. 41
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Siła oporu aerodynamicznego jaki stawia powietrze rozp dzonemu
samochodowi opisana jest wzorem
S
V
c
P
2
2
ρ
=
gdzie:
c
- współczynnik oporu ma stał warto 0,01,
ρρρρ
- g sto powietrza ma stał warto 1,29 ,
V
- pr dko samochodu,
S
- pole powierzchni poprzecznego obrysu samochodu.
Podstawowym
problemem
jest
obliczenie
pola
powierzchni
poprzecznego obrysu samochodu. Znane s funkcje (
karosx
), które
fragmentami opisuj ten obrys. Pogl dowo pokazuje to rysunek.
karos1= -8x
8
+1,2
karos2= -8000(x+0,73)
4
+0,7
karos3= -8000(x-0,73)
4
+0,7
Zakładaj c, e:
o odci tych, to poziom drogi,
zarys karoserii ko czy si 0,2 [m] od poziomu drogi,
obrys koła, to kwadrat o boku 0,2 [m]
oblicz pole powierzchni obrysu samochodu, czyli stał
S
do wzoru na
opór aerodynamiczny. Musisz w tym celu:
znale punkty przeci cia krzywych zarysu ze sob ,
znale punkty przeci cia krzywych zarysu z prost „odcinaj c ”
zarys od dołu,
obliczy całki w odpowiednich zakresach i innych par drobiazgów
składaj cych si na pole powierzchni obrysu,
zło y razem wyniki cz stkowe.
Na ko cu, znaj c ju parametr
S,
sporz d odpowiedni funkcj i narysuj
wykres, który zilustruje zale no siły oporu aerodynamicznego
samochodu od jego pr dko ci.
Uwaga. Wszystkie warto ci liczbowe s tak dobrane, by nie były potrzebne adne
przeliczenia jednostek, a wynik otrzymasz w [N].
karos1
karos2
karos3
str. 42
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a
Obliczenia numeryczne
Zadanie 1.
Masz funkcj
2
05
.
0
)
9
(
1
02
.
0
)
3
(
1
)
(
2
2
−
+
−
+
+
−
=
x
x
x
f
Narysuj wykres tej funkcji w przedziale od –5 do 20.
W przedziale od 2,5 do 10:
oblicz wektor warto ci funkcji z przyrostem argumentu o 0,2 ,
znajd minimum funkcji,
znajd warto ci w dwóch najwy szych punktach wykresu,
znajd miejsca zerowe.
Zadanie 2.
Maj c funkcj o postaci
)
cos(
)
3
cos(
)
(
x
x
x
y
+
=
okre l jej warto ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Maj c te
punkty przeprowad interpolacj za pomoc trzech metod. Na
jednym wykresie przedstaw w zły interpolacji i trzy uzyskane
przebiegi funkcji interpoluj cych.
Zadanie 3.
Maj c funkcj o postaci
)
cos(
)
3
cos(
)
(
x
x
x
y
+
=
okre l jej warto ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Poszukaj
funkcji aproksymuj cych ró nego stopnia i przedstaw na jednym
wykresie punkty w złowe i rezultaty aproksymacji.
Zadanie 4.
Oblicz warto ci całki w przedziale od
– /2 do /2 z funkcji
)
sin(
2
)
(
x
x
x
f
+
=
Zadanie 5.
Wyznaczy pole obszaru ograniczonego krzywymi:
x
x
y
5
2
2
−
=
;
x
y 3
=