str. 36

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

WICZENIE 15

–

Miejsca zerowe, minima i maksima funkcji

Ni ej przedstawione funkcje Matlaba poszukuj miejsca zerowego i minimów funkcji

jednej zmiennej w pobli u wskazanej warto ci.

x1=fzero(‘nazwa_funkcji‘,x0)

– zwraca miejsca zerowe

x1

funkcji o

nazwie

nazwa_funkcji

poszukuj c rozwi zania w pobli u

warto ci

x0

. Definicja funkcji musi by zapisana w m-pliku.

x1=fminbnd(‘nazwa_funkcji‘,xp,xk)-

zwraca miejsce

x1

, w którym

funkcja

nazwa_funkcji

osi ga minimum. Definicja funkcji musi

by zapisana w m-pliku.

Zawsze zachodzi pytanie, jak okre li warto ci,

x0, xp, xk

. Przy poszukiwaniu rozwi za

w zagadnieniach praktycznych, zwykle jest to do oczywiste. Np. poszukiwany wymiar

lub współczynnik nie mo e by ujemny lub z góry wiemy w jakim przedziale warto ci

mo e si zawiera .

Je li brak nam wiedzy o orientacyjnej warto ci poszukiwanych zmiennych, to tworzymy

najpierw wykres funkcji (

fplot

) w szerokim przedziale argumentów. Na podstawie

analizy wykresu mo emy ju w łatwy sposób tak zastosowa przedstawione funkcje,

by uzyska oczekiwane wyniki.

Zadanie 24

Masz dane równanie jak w zadaniu 18:

0

5

.

0

)

cos(

7

.

0

1

.

0

30

1

)

sin(

2

3

=

−

−

−

+

t

e

t

t

t

t

W przedziale argumentów od –6 do 6 znajd pierwiastki równania. Okre l

miejsca i warto ci minimów i maksimów funkcji utworzonej z tego

równania.

Porównaj wyniki z rezultatami zadania 18.

WICZENIE 16

–

Pierwiastki wielomianu

Wielomian, to wyra enie matematyczne postaci

1

1

2

1

...

)

,

(

+

−

+

+

+

+

=

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

a

a

x

W

Podstawowym zagadnieniem jest najcz ciej wyznaczenie pierwiastków wielomianu.

Funkcje przydatne w działaniach z wielomianami zestawione s w tabeli.

r=roots(a)

zwraca wektor

r

pierwiastków wielomianu

W(x,a);

a

– wektor uporz dkowanych współczynników wielomianu

a=poly(r)

zwraca wektor

a

współczynników wielomianu o pierwiastkach

podanych w wektorze

r

p=polyval(a,x0)

oblicza warto w punkcie

x0

wielomianu o współczynnikach

zawartych w wektorze

a

. Je li

x0

jest wektorem, to i wynik

p

jest wektorem.

str. 37

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

Zadanie 25

Wyznacz pierwiastki wielomianu

6

3

2

)

(

2

4

−

+

+

=

x

x

x

x

W

i sprawd poprawno uzyskanych wyników tworz c wykres odpowied-

niej funkcji.

WICZENIE 17

–

Interpolacja

Zagadnienie interpolacji pojawia si wtedy, gdy funkcja jest zadana sko czon

ilo ci punktów (w zły interpolacji:

x

i

,y

i

) i zachodzi potrzeba obliczenia jej

warto ci pomi dzy tymi punktami.

da si w tym przypadku, by w w złach

funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto ci.

Nie b dziemy zajmowa si postaciami i teori funkcji interpoluj cych.

Do wyznaczenia warto ci funkcji mi dzy w złami stosuje si zapis

yy=interp1(x,y,xx,’metoda’)

gdzie:

•

yy

- wektor poszukiwanych warto ci funkcji w punktach okre lonych

wektorem

xx

,

•

xx

– wektor punktów, w których szukamy warto ci funkcji,

•

x,y

– wektory okre laj ce w zły interpolacji, ci g współrz dnych

w wektorze

x

powinien by monotoniczny,

•

’metoda’

– tekst okre laj cy metod interpolacji.

Stosowane metody interpolacji nazwane s nast puj co:

•

’linear’

– interpolacja liniowa,

•

’spline’

– interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego,

•

’cubic’

– interpolacja wielomianami trzeciego stopnia.

Ró nice mi dzy metodami interpolacji poznamy rozwi zuj c przykład.

Zadanie 26

Jeste projektantem karoserii samochodu. Masz wiedz o ogranicze-

niach geometrycznych narzuconych przez kolegów projektuj cych

podzespoły nap dowe i pozostały osprz t w komorze silnika. Na rysunku

ograniczenia te przedstawione s w postaci punktów z podanymi

współrz dnymi (punkty w złowe).

Metodami interpolacji zaprojektuj lini nadwozia w przedniej cz ci

samochodu.

Musisz przekaza wyniki do działu projektuj cego formy tłocz ce

elementy karoserii, podaj c współrz dne linii nadwozia z krokiem 1 cm.

str. 38

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

x [cm]

y [cm]

x = 5 50 125 210 330 430 500

y =

330

310
235

210

180

160

45

Oce rezultaty działa analizuj c odpowiednie wykresy nakładane

na siebie.

Spróbuj wpłyn na wyniki zmieniaj c metody interpolacji, a w

przypadku braku zadowalaj cych rezultatów, zmieniaj c

sensownie poło enie (współrz dne) punktów w złowych.

Ostateczne rezultaty oblicze zapisz w pliku.

Nie usuwaj wykresów.

WICZENIE 18

–

Aproksymacja

Aproksymacja stanowi uogólnione zagadnienie interpolacji. Zadanie

sformułowane jest podobnie, lecz nie

da si w tym przypadku, by w

w złach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto ci.

Pojawia si zatem poj cie bł du aproksymacji, który okre la si jako ró nic

warto ci obu funkcji. Zadaniem metod numerycznych jest minimalizacja bł du

aproksymacji. Aproksymacja redniokwadratowa (zwana metod najmniej-

szych kwadratów) wielomianami wybranego stopnia jest najcz ciej

stosowana. Polega ona na minimalizacji bł du aproksymacji, zdefiniowanego

jako suma kwadratów odchyłek we wszystkich punktach w złowych:

2

0

)]

(

)

(

[

i

i

n

i

x

f

x

F

−

=

Do aproksymacji stosuje si dwie funkcje:

p=polyfit(x,y,n)

– wyszukuje współczynniki

p

wielomianu

aproksymuj cego:

x

i

y

- wektory zawieraj ce współrz dne punktów w złowych,

n

– rz d wielomianu;

yw=polyval(p,xw)

– oblicza warto ci wielomianu aproksymuj cego

w punktach okre lonych wektorem

xw

:

p

– wektor współczynników wielomianu,

xw

– wektor współrz dnych niezale nych dla których

wyznacza si warto ci wielomianu.

str. 39

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

Aproksymacj stosuje si najcz ciej, gdy punkty w złowe pochodz z bada

eksperymentalnych. Wyniki zazwyczaj obarczone s bł dem i stosowanie

interpolacji nie ma sensu. Cz sto za zale y prowadz cemu eksperyment na

opisaniu zale no ci analityczn charakteru obserwowanych zjawisk.

Jednym z pyta , na które trzeba odpowiedzie , to „jakiego rz du ma by

wielomian opisuj cy wyniki bada eksperymentalnych”. My b dziemy t

warto dobiera intuicyjnie (mała liczba całkowita).

Zadanie 27

Problem analogiczny, jak w zadaniu poprzednim. Ró nica polega na tym,

e ograniczenia konstrukcyjne nie s „sztywne”. Mo na wi c krzyw

opisuj c lini karoserii poprowadzi w pobli u punktów w złowych.

Metod aproksymacji zaprojektuj lini nadwozia w przedniej cz ci

samochodu.

1. Utwórz nowe okno wykresów i ustaw rysowanie kilku krzywych

w jednym oknie.

2. Oce rezultaty aproksymacji analizuj c odpowiednie wykresy.

3. Porównaj:

rezultaty działa przy dobieraniu coraz wi kszego rz du

wielomianu aproksymuj cego,

wyniki najlepsze z najlepszymi wynikami z zadania

poprzedniego (interpolacja).

4. Pami taj, e:

wyniki musisz przekaza do działu projektuj cego formy

tłocz ce elementy karoserii, podaj c współrz dne linii

nadwozia z krokiem 1 cm,

wyniki musisz zapisa w pliku.

Zadanie 28

W zadaniu porównaj wykre lnie (na jednym rysunku) i liczbowo dwie

sytuacje.

Sytuacja 1. Wygeneruj

n

punktów w pobli u

prostej wyj ciowej

o zadanych współczynnikach

a, b

w pewnym przedziale

argumentów

x

. Argumenty te zawsze zaczynaj si od

0

i przyrastaj ze stałym krokiem

krok_x

. Do wygenerowania

tych punktów musisz utworzy funkcj , która ma

argumenty:

a, b, n, krok_x, rozrzut_losowania

. Prost

y=ax+b

oraz punkty wokół niej poło one narysuj na wykresie.

Sytuacja 2. Zapomnij na chwil , e istnieje ju prosta wyj ciowa. Za to

punkty wygenerowane wokół prostej potraktuj jako punkty

pochodz ce z pomiarów pewnego zjawiska, które ma

charakter liniowy (daje si według teorii opisa równaniem

prostej). Maj c te punkty, poszukaj metod aproksymacji

równania prostej, która do nich „najlepiej pasuje”. Na tym

samym wykresie co poprzednio narysuj t

znalezion

prost

.

str. 40

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

Porównaj:

wykresy prostej wyj ciowej i znalezionej,

warto ci współczynników równania prostej wyj ciowej i prostej

znalezionej metod aproksymacji.

Przykładowy wykres otrzymany przy rozwi zywaniu tego zadania

pokazuje rysunek.

Ju teraz wiesz dlaczego naukowcy bardzo si ciesz , gdy mog powiedzie ,

e wyniki ich bada uzyskane s z dokładno ci do 10%.

WICZENIE 19

–

Całkowanie numeryczne

Obliczanie warto ci całek oznaczonych, to problem do powszechny i cz sto

trudny, gdy nie jest znana funkcja pierwotna analizowanej funkcji. Stosuje si

wtedy metody przybli one, numeryczne. Cała istota tych metod zasadza si

na jak najdokładniejszym obliczeniu pola powierzchni pod krzyw całkowan .

Istnieje wiele algorytmów prowadz cych do wyniku z ró n dokładno ci . Nie

wdaj c si w rozwa ania nad tymi algorytmami zapami taj, e do całkowania

stosujemy jedn z funkcji:

c=quad(’nazwa_funkcji’,a,b)

–

metoda Simpsona

c=quadl(’nazwa_funkcji’,a,b)

–

metoda Lobatto

gdzie:

c

– warto całki,

nazwa_funkcji

– nazwa funkcji lub m-pliku z jej definicj ,

a, b

– dolna i górna granica całkowania.

Zadanie 29

Musisz okre li jaka b dzie siła oporu aerodynamicznego

projektowanego samochodu w zale no ci pr dko ci jazdy. Poka esz to

na odpowiednim wykresie.

str. 41

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

Siła oporu aerodynamicznego jaki stawia powietrze rozp dzonemu

samochodowi opisana jest wzorem

S

V

c

P

2

2

ρ

=

gdzie:

c

- współczynnik oporu ma stał warto 0,01,

ρρρρ

- g sto powietrza ma stał warto 1,29 ,

V

- pr dko samochodu,

S

- pole powierzchni poprzecznego obrysu samochodu.

Podstawowym

problemem

jest

obliczenie

pola

powierzchni

poprzecznego obrysu samochodu. Znane s funkcje (

karosx

), które

fragmentami opisuj ten obrys. Pogl dowo pokazuje to rysunek.

karos1= -8x

8

+1,2

karos2= -8000(x+0,73)

4

+0,7

karos3= -8000(x-0,73)

4

+0,7

Zakładaj c, e:

o odci tych, to poziom drogi,

zarys karoserii ko czy si 0,2 [m] od poziomu drogi,

obrys koła, to kwadrat o boku 0,2 [m]

oblicz pole powierzchni obrysu samochodu, czyli stał

S

do wzoru na

opór aerodynamiczny. Musisz w tym celu:

znale punkty przeci cia krzywych zarysu ze sob ,

znale punkty przeci cia krzywych zarysu z prost „odcinaj c ”

zarys od dołu,

obliczy całki w odpowiednich zakresach i innych par drobiazgów

składaj cych si na pole powierzchni obrysu,

zło y razem wyniki cz stkowe.

Na ko cu, znaj c ju parametr

S,

sporz d odpowiedni funkcj i narysuj

wykres, który zilustruje zale no siły oporu aerodynamicznego

samochodu od jego pr dko ci.

Uwaga. Wszystkie warto ci liczbowe s tak dobrane, by nie były potrzebne adne

przeliczenia jednostek, a wynik otrzymasz w [N].

karos1

karos2

karos3

str. 42

HM

Matlab_cw_15__19.doc

M A T L A B

Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a

Obliczenia numeryczne

Zadanie 1.

Masz funkcj

2

05

.

0

)

9

(

1

02

.

0

)

3

(

1

)

(

2

2

−

+

−

+

+

−

=

x

x

x

f

Narysuj wykres tej funkcji w przedziale od –5 do 20.

W przedziale od 2,5 do 10:

oblicz wektor warto ci funkcji z przyrostem argumentu o 0,2 ,

znajd minimum funkcji,

znajd warto ci w dwóch najwy szych punktach wykresu,

znajd miejsca zerowe.

Zadanie 2.

Maj c funkcj o postaci

)

cos(

)

3

cos(

)

(

x

x

x

y

+

=

okre l jej warto ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Maj c te

punkty przeprowad interpolacj za pomoc trzech metod. Na

jednym wykresie przedstaw w zły interpolacji i trzy uzyskane

przebiegi funkcji interpoluj cych.

Zadanie 3.

Maj c funkcj o postaci

)

cos(

)

3

cos(

)

(

x

x

x

y

+

=

okre l jej warto ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Poszukaj

funkcji aproksymuj cych ró nego stopnia i przedstaw na jednym

wykresie punkty w złowe i rezultaty aproksymacji.

Zadanie 4.

Oblicz warto ci całki w przedziale od

– /2 do /2 z funkcji

)

sin(

2

)

(

x

x

x

f

+

=

Zadanie 5.

Wyznaczy pole obszaru ograniczonego krzywymi:

x

x

y

5

2

2

−

=

;

x

y 3

=