Arkusz 15: Ugięcia metody energetyczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn”

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn”

Arkusz

Arkusz

15: Ugięcia metody energetyczne

15: Ugięcia metody energetyczne

1. Podstawowe informacje – energia sprężysta, twierdzenia.

Wyprowadzenie wzorów podane zostało na wykładach oraz może być znalezione w odpowiedniej
literaturze, np. w książkach: [1] i [2].

1a) Energia sprężysta dla poszczególnych przypadków obciążeń prostych pręra o przekroju A i długości dx:

Rozciąganie, ściskanie
E – moduł Younga

Ścinanie
β – współczynnik kształtu przekroju poprzecznego
(dla koła: β=10/9; dla prostokąta: β=6/5)
G – moduł Kirchhoffa

Zginanie
E – moduł Younga
I

y (lub z)

– główny centralny moment bezwładności względem

odpowiedniej osi zginania

Skręcanie
G – moduł Kirchhoffa
I

x

– główny centralny moment bezwładności – biegunowy

Tabela 1: Energia sprężysta w zależności od składników sił przekrojowych

Całkowita energia sprężysta:

U

=

∭

V

Φ dV = U

N

+ U

T

+ U

M

+ U

S

[J ]

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

d U

S

dx

=

1

2

⋅

M

x

2

G

⋅I

x

d U

M

dx

=

1

2

⋅

M

y

(lub z )

2

E

⋅I

y

(lub z )

d U

T

dx

=

1

2

⋅β⋅

F

y

( lub z)

2

G

⋅A

d U

N

dx

=

1

2

⋅

F

x

2

E

⋅A

Arkusz 15: Ugięcia metody energetyczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

1b) Twierdzenie Bettiego – o wzajemności prac i przemieszczeń
Jeżeli na dany układ sprężysty działają kolejno dwa różne układy sił zewnętrznych, to suma iloczynów sił jednego z nich
przez przemieszczenia wywołane przez drugi równa się sumie iloczynów sił drugiego przez przemieszczenia wywołane
przez pierwszy.

P

i

δ

ik

= P

k

δ

ki

1c) Twierdzenie Maxwella – o wzajemności przemieszczeń
Jeżeli na dany układ liniowosprężysty działają dwie siły równe co do modułu, to przemieszczenie odpowiadające
pierwszej, lecz wywołane przez drugą równe jest przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej, lecz spowodowanemu
pierwszą siłą.

|P

i

|=|P

k

| ⇒ δ

ik

= δ

ki

1d) Twierdzenie Castigliano
W układach liniowosprężystych pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem jednej z niezależnie
działających sił jest równa odpowiadającemu jej przemieszczeniu.

∂ U

∂ P

i

= δ

i

⇔ ∂

U

∂ δ

i

= P

i

2. Wyznaczanie przemieszczeń układów

Pierwszą sprawą, z jakiej należy sobie zdać sprawę jest to, w jakim z czterech podstawowych stanów pracuje konstrukcja
– rozciąganie/ściskanie, ścinanie, zginanie, skręcanie, czy też może stan złożony. Wówczas można w sposób właściwy
dobrać składniki energii sprężystej pochodzące od poszczególnych powstających w związku z obcieniem sił
przekrojowych.

2a) Metoda Castigliano

δ

i

= ∂ U

∂ P

i

= ∂

∂ P

i

[

∫

N

2

2 EA

dx

+

∫

M

y

2

2 EI

y

dx

+...

]

=

∫

1

EA

⋅N⋅∂ N

∂ P

i

dx

+

∫

1

EI

y

⋅M

y

⋅

∂ M

y

∂ P

i

dx

+...

•

Gdy chcemy obliczyć przemieszczenie w danym punkcie to różniczkujemy daną siłę przekrojową względem siły
działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.

•

Gdy chcemy obliczyć kąt obrotu w danym punkcie to różniczkujemy daną siłę przekrojową względem momentu
przyłożonego w punkcie przekroju, którego kąt obrotu chcemy obliczyć. (Uwaga! dany fragment konstrukcji musi
móc przenosić obrót, czyli np. NIE liczy się kąta obrotu dla kratownic).

•

Jeżeli w tych punktach nie ma siły i/lub momentu zewnętrznego, to w tym miejscu przykłada się odpowiednio
dodatkową siłę P

d

(o kierunku działania w kierunku szukanego przemieszczenia) lub moment dodatkowy M

d

. Po

wykonaniu obliczeń całkowania podstawia się P

d

=0 i/lub M

d

=0.

2b) Metoda Castigliano zmodyfikowana
Tę metodę stosuje się do wyznaczania przemieszczań belek zginanych (zginanie proste, ukośne lub poprzeczne), przy
czym pomija się wpływ ewentualnych sił poprzecznych).

δ

i

= ∂

U

∂ P

i

=

∫

1

EI

y

⋅M

y

⋅

∂ M

y

∂ P

i

dx

+

∫

1

EI

z

⋅M

z

⋅

∂ M

z

∂ P

i

dx

2c) Metoda Maxwella-Mohra
W metodzie Maxwella-Mohra, aby obliczyć przemieszczenia stosuje się iloczyn wzoru siły przekrojowej spowodowanej
obciążeniem zewnętrznym oraz wzór odpowiadającej jej siły przekrojowej spowodowanej jednostkową siłą przyłożoną w

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

Arkusz 15: Ugięcia metody energetyczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

miejscu poszukiwanego przemieszczenia. Czynniki od siły jednostkowej oznaczono kreską nad daną wielkością:

δ =

∫

s

N

⋅¯

N

EA

dx

+ β

y

∫

s

Q

y

⋅ ¯

Q

y

GA

dx

+ β

z

∫

s

Q

z

⋅ ¯

Q

z

GA

dx

+

∫

s

M

y

⋅ ¯

M

y

EI

y

dx

+

∫

s

M

z

⋅ ¯

M

z

EI

z

dx

+

+

∫

s

M

x

⋅ ¯

M

x

GI

x

dx

+

∫

s

α

∆ T

z

h

z

¯

M

y

dx

+

∫

s

α

∆ T

y

h

y

¯

M

z

dx

(

+

∫

s

αT

0

¯

N dx

∑

k

¯

R

k

⋅∆

k

)

Jeśli chce się wyznaczyć kąt obrotu przekroju poprzecznego (tam gdzie ma to sens), zamiast siły jednostkowej, stosuje się
moment jednostkowy i wzory sił przekrojowych, które od niego powstają, mnoży się przez odpowiednie wzory sił
przekrojowych od obciążenia zewnętrznego.

W powyższym wzorze dodatkowo podano w nawiasie ewentualny wpływ temperatury oraz osiadań.

2d) Metoda Wereszczagina
Jest to metoda analogiczna do metody Maxwella-Mohra, ale zamiast całkowania analitycznego, czyli podstawiania
wzorów funkcji przekrojowych i wymnażania ich podcałkowo, stosuje się tzw. całkowanie graficzne.

Strzałkę paraboli f wyznacza się zawsze jako

f

= q L

2

8

gdzie q jest gęstością obciążenia na danym przedziale, zaś L jest

długością tego przedziału obciążonego obciążeniem ciągłym, liczoną prostopadle do kierunku działania tego obciążenia.

3. Podsumowanie

Należy rozwiązać zadania 7.35 do 7.42 (str. 275 do 293) z książki [1].

• Znajomość pojęcia energii sprężystej, wzorów przy poszczególnych siłach przekrojowych. Znajomość
pojęcia siły i momentu – jednostkowych, uogólnionych oraz przemieszczenia uogólnionego.
• Znajomość twierdzeń energetycznych (bettiego, Maxwella, Castigliano).
• Znajomość metody Castigliano (także zmodyfikowanej), Maxwella-Mohra oraz Wereszczagina.
Umiejętność zastosowania ich w rozwiązywaniu zadań polegających na obliczeniu przemieszczeń oraz kątów
obrotu konstrukcji w różnych stanach obciążenia.

4. Źródła

[1] Wolny S., Siemieniec A. „Wytrzymałość materiałów. Część I”, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków

2008, wyd. trzecie zmienione.

[2] Bąk R., Burczyński T. „Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego”, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2001
[3] dr inż. Paweł Szeptyński

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3

Tabela 2 Tabela całkowania graficznego ([3])