1
Metody energetyczne
Przykład 1
Wyznaczyć współczynnik
z
α
dla przekroju prostokątnego, który wzdłuż osi y ma wymiar b, wzdłuż osi
z - h.
Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem
( )
−
=
2
2
4
2
z
h
b
z
S
y
. Po podstawieniu do definicji otrzymamy
( )
( )
∫
∫
−
=
+
−
=
+
−
=
=
α
2
2
4
2
2
4
2
2
6
2
2
2
2
2
1
80
1
24
1
16
1
36
d
2
16
4
144
d
h
h
A
y
y
z
,
z
b
z
z
h
h
b
b
h
b
bh
A
z
b
z
S
I
A
.
Przykład 2
Dla wspornika stalowego jak na rys. P2
zbadać wpływ sił wewnętrznych na
wartość energii sprężystej w zależności
od proporcji
h
l . Współczynnik
Poissona przyjąć
ν
= 0,3.
Siły wewnętrzne będą określone
zależnościami
.
Px
M
,
P
T
,
P
N
y
z
−
=
−
=
−
=
Energię sprężystą wyznaczamy ze
wzoru
(
)
(
)
.
lh
,
l
lh
Ebh
P
h
l
,
h
l
h
l
Eb
P
Ebh
l
P
,
Ebh
l
P
Ebh
l
P
GA
x
T
EI
x
M
EA
x
N
U
U
U
U
l
z
z
l
y
y
l
T
M
N
z
y
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
12
3
4
2
56
1
2
2
1
2
6
0
2
2
2
d
2
d
2
d
+
+
=
+
+
=
=
ν
+
+
+
=
α
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫
Wyznaczmy udziały poszczególnych sił w całkowitej energii sprężystej
( )
3
3
2
2
4
12
4
4
12
4
h
l
h
l
,
h
l
l
lh
,
lh
U
U
N
+
=
+
=
,
( )
( )
3
3
3
2
3
03
1
4
12
4
4
h
l
h
l
,
h
l
l
lh
,
l
U
U
y
M
+
=
+
=
,
Rys. P2. Schemat statyczny
2
( )
3
3
2
2
4
12
4
12
3
4
12
4
12
3
h
l
h
l
,
h
l
,
l
lh
,
lh
,
U
U
z
T
+
=
+
=
.
W poniższej tabeli zestawiono wyznaczone udziały dla różnych stosunków
h
l
h
l
1
1
1
5
1
10
1
15
1
20
1
25
U
U
N
0,1232 0,0096 0,0025 0,0012 0,0007 0,0004
U
U
y
M
0,4926 0,9604 0,9898 0,9954 0,9974 0,9984
U
U
z
T
0,3842 0,0300 0,0077 0,0034 0,0019 0,0012
Według przyjętych powszechnie kryteriów za belkę uważamy konstrukcję o stosunku
10
>
h
l
.
Z zamieszczonych wyników widzimy, że w zginanych konstrukcjach prętowych można pominąć wpływ
sił osiowych i poprzecznych na energię sprężystą.
Przykład 3
Wyznaczyć przemieszczenia:
ϕ
– z twierdzenia Castigliana, w – ze wzoru Maxwella-Mohra – rys. P3.
Przyjąć EI = const.
Wyznaczamy reakcje
∑
=
→
=
0
0
D
l
C
R
M
,
,
l
M
P
R
Pl
l
R
M
M
A
A
B
−
−
=
→
=
+
+
→
=
∑
0
0
.
P
l
M
R
Pl
l
R
M
M
B
B
A
2
0
2
0
+
=
→
=
+
−
→
=
∑
Zapisujemy funkcje momentów zginających
w przedziałach
,
x
l
M
P
M
x
R
M
M
A
AB
1
1
+
−
=
+
=
(
)
2
2
Px
Pl
x
R
R
Pl
M
B
A
BC
+
−
=
+
+
−
=
,
0
3
=
=
x
R
M
D
DC
.
Aby wyznaczyć zmianę kąta z twierdzenia Castigiana musimy wykonać różniczkowanie po momencie
zginającym przyłożonym w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Tak się składa, że
Rys. P3. Schemat statyczny. Wykresy momentów
3
dysponujemy odpowiednią zmienną – M. Energię sprężystą możemy ograniczyć do części pochodzącej od
zginania.
.
Pl
M
EI
l
l
l
M
P
l
l
M
P
Ml
EI
x
l
x
l
M
P
x
l
M
P
M
EI
x
l
x
x
l
M
P
M
EI
x
M
M
M
x
M
M
M
x
M
M
M
EI
x
M
M
EI
M
l
l
l
DC
DC
l
BC
BC
l
AB
AB
i l
i
i
i
i
−
=
+
+
+
−
=
=
+
+
+
−
=
−
+
−
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
ϕ
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
6
3
3
2
2
1
d
2
1
d
1
1
d
d
d
1
d
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
0
3
0
2
0
1
Potrzebne we wzorze Maxwella-Mohra momenty od obciążenia jednostkowego w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia w uzyskamy, podstawiając w wyznaczonych wcześniej równaniach
momentów M = 0, P = 1
0
2
1
=
+
−
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
x
l
M
,
x
M
.
Wyznaczamy przemieszczenie ze wzoru Maxwella-Mohra, ograniczając się jedynie do zginania
( )
(
)(
)
(
)
.
Pl
M
EI
l
l
P
Pl
Pl
l
l
M
P
l
M
EI
x
x
lx
l
P
x
x
l
M
P
Mx
EI
x
x
l
Px
Pl
x
x
x
l
M
P
M
EI
x
EI
M
M
w
l
l
l
l
i l
i
i
i
i
+
−
=
+
−
+
+
+
−
=
=
+
−
+
+
+
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
∫
∫
∫
∫
∑∫
3
2
6
3
3
2
1
d
2
d
1
d
d
1
d
2
3
3
3
3
2
0
2
2
2
2
2
0
1
2
1
1
0
2
2
2
0
1
1
1
Przykład 4
Metodą Castigliana wyznaczyć przemieszczenie w w belce obciążonej jedynie momentem zginającym M
– rys. P4. Przyjąć EI = const.
W przeciwieństwie do przykładu 3 nie
dysponujemy siłą uogólnioną w miejscu
poszukiwanego przemieszczenia. Przyłóżmy
zatem siłę
0
=
*
P
, która umożliwi
wykonanie różniczkowania. Funkcje
momentów zginających w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3 i
obliczamy szukane przemieszczenie
0
2
1
=
+
−
=
+
−
=
DC
*
*
BC
*
AB
M
,
x
P
l
P
M
,
x
l
M
P
M
M
,
Rys. P4. Schemat statyczny
4
(
)
( )
.
EI
Ml
l
l
EI
M
x
l
x
x
EI
M
x
x
l
x
M
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
w
l
l
i l
i
*
i
*
i
*
i
6
3
2
d
d
1
1
d
0
2
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∑∫
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu siły
*
P .
Przykład 5
Ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć
przemieszczenie
ϕ
w belce obciążonej
jedynie siłą P – rys. P5. Przyjąć EI = const.
Funkcje momentów zginających i momentów
od obciążenia jednostkowego w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3
i obliczamy szukane przemieszczenie
0
2
1
=
+
−
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
Px
Pl
M
,
Px
M
,
0
0
1
1
=
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
M
,
l
x
M
,
(
)
EI
Pl
l
l
EI
P
x
l
x
x
EI
P
x
l
x
Px
EI
x
EI
M
M
l
l
i l
i
i
i
i
6
3
2
d
d
1
1
d
2
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
ϕ
∫
∫
∑∫
.
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu momentu jednostkowego
*
M .
Przykład 6
Metodą Castigliana wyznaczyć rozwarcie rozciętego
pierścienia – rys. P6.
Opis uzależnimy od zmiennej kątowe
ϕ
. Elementarna
długość pręta wyniesie
ϕ
=
d
d
r
l
.
Moment zginający będzie równy
( )
(
)
ϕ
−
=
=
ϕ
cos
1
Pr
Px
M
.
Obliczamy energię sprężystą
(
)
=
ϕ
+
ϕ
−
=
=
∫
∫
π
2
0
2
3
2
2
d
cos
cos
2
1
2
2
d
l
EI
r
P
EI
l
M
U
l
Rys. P5. Schemat statyczny
Rys. P6. Schemat statyczny
5
EI
r
P
EI
r
P
l
EI
r
P
2
3
sin2
4
1
sin
2
2
3
2
d
cos2
2
1
2
1
cos
2
1
2
3
2
2
0
3
2
2
0
3
2
π
=
ϕ
+
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
+
+
ϕ
−
=
π
π
∫
i poszukiwane przemieszczenie
EI
Pr
P
U
f
3
3
π
=
∂
∂
=
.
Przykład 7
Dla ramy – rys. P7.1 wyznaczyć reakcje:
A
H - z twierdzenia Menabrei,
B
H z zasady Bettiego. Przyjąć
EI = const. dla wszystkich prętów.
Z równań statyki otrzymamy:
,
l
ql
V
M
A
B
2
0
2
=
→
=
∑
,
l
ql
V
V
A
B
2
0
pion
2
=
=
→
=
∑
.
H
qh
H
A
B
−
=
→
=
∑
0
poz
Momenty zginające w przedziałach będą równe:
( )
2
2
1
1
1
qx
x
H
x
M
A
−
=
,
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
l
qh
qh
h
H
x
V
qh
h
H
x
M
A
A
A
−
−
=
−
−
=
,
( )
(
)
3
3
3
x
qh
H
x
H
x
M
A
B
−
=
−
=
.
Oblicza się reakcję z twierdzenia Menabrei
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
,
h
l
l
h
qh
l
h
h
H
EI
h
qh
H
l
qh
l
qh
l
h
H
qh
h
H
EI
x
x
qh
H
x
h
x
l
qh
qh
h
H
x
x
qx
x
H
EI
x
H
x
M
EI
x
M
x
H
x
M
EI
x
M
x
H
x
M
EI
x
M
H
U
A
A
A
A
h
A
l
A
h
A
h
A
l
A
h
A
A
+
+
+
−
+
=
=
−
+
−
−
+
−
=
=
−
+
−
−
+
−
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
24
8
6
12
3
3
3
2
1
3
4
2
8
3
1
d
d
2
2
d
2
1
d
d
d
0
3
2
3
3
3
2
4
3
0
3
2
3
0
2
2
2
2
0
1
1
2
1
1
0
3
3
3
0
2
2
2
0
1
1
1
l
h
l
h
qh
H
A
3
2
18
11
8
+
+
=
.
Rys. P7.1. Schemat statyczny
6
Zasadę Bettiego zapisujemy dla dwóch zastępczych schematów, w których usunięto więź na kierunku
poszukiwanej reakcji
B
H - rys. P7.2. W układzie I, który jest rzeczywistym układem sił, przemieszczenie
w miejscu usuniętej więzi jest zerowe. W układzie J przykładamy obciążenie, siłę P, w miejscu usuniętej
więzi. Dla przemieszczeń oznaczonych jak na rys. P7.2 możemy zapisać pracę sił układu I na
przemieszczeniach układu J
( )
1
0
1
1
2
u
H
dx
x
qu
w
P
B
h
n
J
n
I
n
+
−
=
∫
∑
.
Praca sił układu J na przemieszczeniach układu I będzie
równa zero -
0
=
∑
m
I
m
J
m
w
P
. Z równości powyższych prac
otrzymamy wyrażenie na poszukiwaną reakcję
( )
∫
=
h
B
dx
x
qu
u
H
0
1
1
2
1
1
.
Potrzebne przemieszczenia układu J wyznaczymy
z twierdzenia Castigliana – rys. P7.3. Przy wyznaczaniu
1
u możemy posłużyć się siłą P, przy przemieszczeniu
2
u
przyłożymy fikcyjną siłę
0
=
*
P
. Reakcje będą równe
l
x
P
V
V
,
P
P
H
*
B
A
*
A
−
=
=
+
=
.
Momenty zginające zapiszemy wzorami:
( )
(
)
1
1
x
P
P
x
M
*
+
−
=
,
Rys. P7.2. Układy sił i przemieszczeń
Rys. P7.3. Wyznaczenie przemieszczeń
7
( )
(
)
(
)
(
)
x
P
x
x
P
x
P
x
x
P
P
x
M
*
*
*
−
+
−
=
+
+
+
−
=
4
4
4
4
,
( )
(
)
2
2
x
l
x
P
x
h
P
Ph
x
M
*
*
+
−
−
−
=
,
( )
3
3
Px
x
M
−
=
.
Wyznaczamy potrzebne przemieszczenia
(
)
(
)( )
(
)(
)
(
)( )
(
)( )
(
)
,
l
h
EI
Ph
h
l
h
h
EI
P
x
x
x
h
x
x
x
x
EI
P
x
x
Px
x
h
Ph
x
x
x
x
x
P
x
x
Px
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
u
h
l
h
x
x
h
l
x
h
x
i l
i
i
*
i
i
3
2
3
3
3
d
d
d
d
d
d
d
d
1
d
0
2
3
2
3
0
3
2
3
0
2
2
1
2
1
0
1
2
1
0
3
3
3
0
2
0
4
4
4
0
1
1
1
1
+
=
+
+
=
=
+
+
+
=
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
−
( )
(
)
(
)( )
(
)( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
.
xhl
l
h
xh
x
EI
P
xhl
l
h
xh
h
x
x
h
x
x
x
EI
P
xhl
xhl
l
h
x
h
x
x
h
x
x
EI
P
x
x
l
hx
hx
h
x
xx
x
x
x
EI
P
x
x
l
x
x
h
Ph
x
x
x
x
P
x
x
Px
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
x
u
l
x
h
x
l
x
h
x
i l
i
*
i
*
i
*
i
9
6
3
6
9
6
3
6
3
6
6
2
6
2
2
3
d
d
d
d
d
d
1
d
0
2
2
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
2
3
0
2
2
2
0
4
4
2
0
1
2
1
0
2
2
0
4
4
0
1
1
1
2
−
+
+
−
=
−
+
+
−
+
+
−
=
=
−
−
+
−
+
−
+
=
=
−
−
+
+
+
=
+
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
−
−
Wyznaczamy poszukiwaną reakcję
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
.
l
h
l
h
qh
hl
h
l
h
q
l
h
l
h
h
h
l
h
h
q
dx
hl
x
l
h
h
x
x
EI
P
l
h
Ph
EIq
dx
x
qu
u
H
h
h
B
3
2
6
5
8
4
6
4
5
3
2
2
2
9
6
2
3
4
3
2
2
9
6
3
6
3
2
3
1
2
3
3
4
4
2
0
1
1
2
2
1
3
1
2
0
1
1
2
1
+
+
=
+
+
=
−
+
+
−
+
=
−
+
+
−
+
=
=
∫
∫
Kontrola
qh
l
h
l
h
qh
l
h
l
h
qh
l
h
l
h
qh
H
H
B
A
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
3
2
24
16
8
3
2
6
5
8
3
2
18
11
8
.
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metody energentyczne część 2
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
15 ugiecia metody energetyczne imimid 16232
Metody energetyczne zastosowanie twierdzenia Menabre'a Zad 1(1)
16 Metody energetyczne wykład
13 metody energetyczneid 14715
METODY NUMERYCZNE CZESC PIERWSZA
09 metody energetyczneid 7958
Metody energetyczne, Studia, Wytrzymałość materiałów
METODY NUMERYCZNE CZESC DRUGA
Metody energetyczne(1)
więcej podobnych podstron