1
Metody energetyczne
Przykład 1
Wyznaczyć współczynnik
z
α
dla przekroju prostokątnego, który wzdłuż osi y ma wymiar b, wzdłuż osi
z - h.
Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem
( )
−
=
2
2
4
2
z
h
b
z
S
y
. Po podstawieniu do definicji otrzymamy
( )
( )
∫
∫
−
=
+
−
=
+
−
=
=
α
2
2
4
2
2
4
2
2
6
2
2
2
2
2
1
80
1
24
1
16
1
36
d
2
16
4
144
d
h
h
A
y
y
z
,
z
b
z
z
h
h
b
b
h
b
bh
A
z
b
z
S
I
A
.
Przykład 2
Dla wspornika stalowego jak na rys. P2
zbadać wpływ sił wewnętrznych na
wartość energii sprężystej w zależności
od proporcji
h
l . Współczynnik
Poissona przyjąć
ν
= 0,3.
Siły wewnętrzne będą określone
zależnościami
.
Px
M
,
P
T
,
P
N
y
z
−
=
−
=
−
=
Energię sprężystą wyznaczamy ze
wzoru
(
)
(
)
.
lh
,
l
lh
Ebh
P
h
l
,
h
l
h
l
Eb
P
Ebh
l
P
,
Ebh
l
P
Ebh
l
P
GA
x
T
EI
x
M
EA
x
N
U
U
U
U
l
z
z
l
y
y
l
T
M
N
z
y
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
12
3
4
2
56
1
2
2
1
2
6
0
2
2
2
d
2
d
2
d
+
+
=
+
+
=
=
ν
+
+
+
=
α
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫
Wyznaczmy udziały poszczególnych sił w całkowitej energii sprężystej
( )
3
3
2
2
4
12
4
4
12
4
h
l
h
l
,
h
l
l
lh
,
lh
U
U
N
+
=
+
=
,
( )
( )
3
3
3
2
3
03
1
4
12
4
4
h
l
h
l
,
h
l
l
lh
,
l
U
U
y
M
+
=
+
=
,
Rys. P2. Schemat statyczny
2
( )
3
3
2
2
4
12
4
12
3
4
12
4
12
3
h
l
h
l
,
h
l
,
l
lh
,
lh
,
U
U
z
T
+
=
+
=
.
W poniższej tabeli zestawiono wyznaczone udziały dla różnych stosunków
h
l
h
l
1
1
1
5
1
10
1
15
1
20
1
25
U
U
N
0,1232 0,0096 0,0025 0,0012 0,0007 0,0004
U
U
y
M
0,4926 0,9604 0,9898 0,9954 0,9974 0,9984
U
U
z
T
0,3842 0,0300 0,0077 0,0034 0,0019 0,0012
Według przyjętych powszechnie kryteriów za belkę uważamy konstrukcję o stosunku
10
>
h
l
.
Z zamieszczonych wyników widzimy, że w zginanych konstrukcjach prętowych można pominąć wpływ
sił osiowych i poprzecznych na energię sprężystą.
Przykład 3
Wyznaczyć przemieszczenia:
ϕ
– z twierdzenia Castigliana, w – ze wzoru Maxwella-Mohra – rys. P3.
Przyjąć EI = const.
Wyznaczamy reakcje
∑
=
→
=
0
0
D
l
C
R
M
,
,
l
M
P
R
Pl
l
R
M
M
A
A
B
−
−
=
→
=
+
+
→
=
∑
0
0
.
P
l
M
R
Pl
l
R
M
M
B
B
A
2
0
2
0
+
=
→
=
+
−
→
=
∑
Zapisujemy funkcje momentów zginających
w przedziałach
,
x
l
M
P
M
x
R
M
M
A
AB
1
1
+
−
=
+
=
(
)
2
2
Px
Pl
x
R
R
Pl
M
B
A
BC
+
−
=
+
+
−
=
,
0
3
=
=
x
R
M
D
DC
.
Aby wyznaczyć zmianę kąta z twierdzenia Castigiana musimy wykonać różniczkowanie po momencie
zginającym przyłożonym w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Tak się składa, że
Rys. P3. Schemat statyczny. Wykresy momentów
3
dysponujemy odpowiednią zmienną – M. Energię sprężystą możemy ograniczyć do części pochodzącej od
zginania.
.
Pl
M
EI
l
l
l
M
P
l
l
M
P
Ml
EI
x
l
x
l
M
P
x
l
M
P
M
EI
x
l
x
x
l
M
P
M
EI
x
M
M
M
x
M
M
M
x
M
M
M
EI
x
M
M
EI
M
l
l
l
DC
DC
l
BC
BC
l
AB
AB
i l
i
i
i
i
−
=
+
+
+
−
=
=
+
+
+
−
=
−
+
−
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
ϕ
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
6
3
3
2
2
1
d
2
1
d
1
1
d
d
d
1
d
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
0
3
0
2
0
1
Potrzebne we wzorze Maxwella-Mohra momenty od obciążenia jednostkowego w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia w uzyskamy, podstawiając w wyznaczonych wcześniej równaniach
momentów M = 0, P = 1
0
2
1
=
+
−
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
x
l
M
,
x
M
.
Wyznaczamy przemieszczenie ze wzoru Maxwella-Mohra, ograniczając się jedynie do zginania
( )
(
)(
)
(
)
.
Pl
M
EI
l
l
P
Pl
Pl
l
l
M
P
l
M
EI
x
x
lx
l
P
x
x
l
M
P
Mx
EI
x
x
l
Px
Pl
x
x
x
l
M
P
M
EI
x
EI
M
M
w
l
l
l
l
i l
i
i
i
i
+
−
=
+
−
+
+
+
−
=
=
+
−
+
+
+
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
∫
∫
∫
∫
∑∫
3
2
6
3
3
2
1
d
2
d
1
d
d
1
d
2
3
3
3
3
2
0
2
2
2
2
2
0
1
2
1
1
0
2
2
2
0
1
1
1
Przykład 4
Metodą Castigliana wyznaczyć przemieszczenie w w belce obciążonej jedynie momentem zginającym M
– rys. P4. Przyjąć EI = const.
W przeciwieństwie do przykładu 3 nie
dysponujemy siłą uogólnioną w miejscu
poszukiwanego przemieszczenia. Przyłóżmy
zatem siłę
0
=
*
P
, która umożliwi
wykonanie różniczkowania. Funkcje
momentów zginających w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3 i
obliczamy szukane przemieszczenie
0
2
1
=
+
−
=
+
−
=
DC
*
*
BC
*
AB
M
,
x
P
l
P
M
,
x
l
M
P
M
M
,
Rys. P4. Schemat statyczny
4
(
)
( )
.
EI
Ml
l
l
EI
M
x
l
x
x
EI
M
x
x
l
x
M
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
w
l
l
i l
i
*
i
*
i
*
i
6
3
2
d
d
1
1
d
0
2
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∑∫
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu siły
*
P .
Przykład 5
Ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć
przemieszczenie
ϕ
w belce obciążonej
jedynie siłą P – rys. P5. Przyjąć EI = const.
Funkcje momentów zginających i momentów
od obciążenia jednostkowego w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3
i obliczamy szukane przemieszczenie
0
2
1
=
+
−
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
Px
Pl
M
,
Px
M
,
0
0
1
1
=
=
−
=
DC
BC
AB
M
,
M
,
l
x
M
,
(
)
EI
Pl
l
l
EI
P
x
l
x
x
EI
P
x
l
x
Px
EI
x
EI
M
M
l
l
i l
i
i
i
i
6
3
2
d
d
1
1
d
2
2
2
0
1
2
1
1
0
1
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
ϕ
∫
∫
∑∫
.
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu momentu jednostkowego
*
M .
Przykład 6
Metodą Castigliana wyznaczyć rozwarcie rozciętego
pierścienia – rys. P6.
Opis uzależnimy od zmiennej kątowe
ϕ
. Elementarna
długość pręta wyniesie
ϕ
=
d
d
r
l
.
Moment zginający będzie równy
( )
(
)
ϕ
−
=
=
ϕ
cos
1
Pr
Px
M
.
Obliczamy energię sprężystą
(
)
=
ϕ
+
ϕ
−
=
=
∫
∫
π
2
0
2
3
2
2
d
cos
cos
2
1
2
2
d
l
EI
r
P
EI
l
M
U
l
Rys. P5. Schemat statyczny
Rys. P6. Schemat statyczny
5
EI
r
P
EI
r
P
l
EI
r
P
2
3
sin2
4
1
sin
2
2
3
2
d
cos2
2
1
2
1
cos
2
1
2
3
2
2
0
3
2
2
0
3
2
π
=
ϕ
+
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
+
+
ϕ
−
=
π
π
∫
i poszukiwane przemieszczenie
EI
Pr
P
U
f
3
3
π
=
∂
∂
=
.
Przykład 7
Dla ramy – rys. P7.1 wyznaczyć reakcje:
A
H - z twierdzenia Menabrei,
B
H z zasady Bettiego. Przyjąć
EI = const. dla wszystkich prętów.
Z równań statyki otrzymamy:
,
l
ql
V
M
A
B
2
0
2
=
→
=
∑
,
l
ql
V
V
A
B
2
0
pion
2
=
=
→
=
∑
.
H
qh
H
A
B
−
=
→
=
∑
0
poz
Momenty zginające w przedziałach będą równe:
( )
2
2
1
1
1
qx
x
H
x
M
A
−
=
,
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
l
qh
qh
h
H
x
V
qh
h
H
x
M
A
A
A
−
−
=
−
−
=
,
( )
(
)
3
3
3
x
qh
H
x
H
x
M
A
B
−
=
−
=
.
Oblicza się reakcję z twierdzenia Menabrei
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
,
h
l
l
h
qh
l
h
h
H
EI
h
qh
H
l
qh
l
qh
l
h
H
qh
h
H
EI
x
x
qh
H
x
h
x
l
qh
qh
h
H
x
x
qx
x
H
EI
x
H
x
M
EI
x
M
x
H
x
M
EI
x
M
x
H
x
M
EI
x
M
H
U
A
A
A
A
h
A
l
A
h
A
h
A
l
A
h
A
A
+
+
+
−
+
=
=
−
+
−
−
+
−
=
=
−
+
−
−
+
−
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
24
8
6
12
3
3
3
2
1
3
4
2
8
3
1
d
d
2
2
d
2
1
d
d
d
0
3
2
3
3
3
2
4
3
0
3
2
3
0
2
2
2
2
0
1
1
2
1
1
0
3
3
3
0
2
2
2
0
1
1
1
l
h
l
h
qh
H
A
3
2
18
11
8
+
+
=
.
Rys. P7.1. Schemat statyczny
6
Zasadę Bettiego zapisujemy dla dwóch zastępczych schematów, w których usunięto więź na kierunku
poszukiwanej reakcji
B
H - rys. P7.2. W układzie I, który jest rzeczywistym układem sił, przemieszczenie
w miejscu usuniętej więzi jest zerowe. W układzie J przykładamy obciążenie, siłę P, w miejscu usuniętej
więzi. Dla przemieszczeń oznaczonych jak na rys. P7.2 możemy zapisać pracę sił układu I na
przemieszczeniach układu J
( )
1
0
1
1
2
u
H
dx
x
qu
w
P
B
h
n
J
n
I
n
+
−
=
∫
∑
.
Praca sił układu J na przemieszczeniach układu I będzie
równa zero -
0
=
∑
m
I
m
J
m
w
P
. Z równości powyższych prac
otrzymamy wyrażenie na poszukiwaną reakcję
( )
∫
=
h
B
dx
x
qu
u
H
0
1
1
2
1
1
.
Potrzebne przemieszczenia układu J wyznaczymy
z twierdzenia Castigliana – rys. P7.3. Przy wyznaczaniu
1
u możemy posłużyć się siłą P, przy przemieszczeniu
2
u
przyłożymy fikcyjną siłę
0
=
*
P
. Reakcje będą równe
l
x
P
V
V
,
P
P
H
*
B
A
*
A
−
=
=
+
=
.
Momenty zginające zapiszemy wzorami:
( )
(
)
1
1
x
P
P
x
M
*
+
−
=
,
Rys. P7.2. Układy sił i przemieszczeń
Rys. P7.3. Wyznaczenie przemieszczeń
7
( )
(
)
(
)
(
)
x
P
x
x
P
x
P
x
x
P
P
x
M
*
*
*
−
+
−
=
+
+
+
−
=
4
4
4
4
,
( )
(
)
2
2
x
l
x
P
x
h
P
Ph
x
M
*
*
+
−
−
−
=
,
( )
3
3
Px
x
M
−
=
.
Wyznaczamy potrzebne przemieszczenia
(
)
(
)( )
(
)(
)
(
)( )
(
)( )
(
)
,
l
h
EI
Ph
h
l
h
h
EI
P
x
x
x
h
x
x
x
x
EI
P
x
x
Px
x
h
Ph
x
x
x
x
x
P
x
x
Px
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
u
h
l
h
x
x
h
l
x
h
x
i l
i
i
*
i
i
3
2
3
3
3
d
d
d
d
d
d
d
d
1
d
0
2
3
2
3
0
3
2
3
0
2
2
1
2
1
0
1
2
1
0
3
3
3
0
2
0
4
4
4
0
1
1
1
1
+
=
+
+
=
=
+
+
+
=
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
−
( )
(
)
(
)( )
(
)( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
.
xhl
l
h
xh
x
EI
P
xhl
l
h
xh
h
x
x
h
x
x
x
EI
P
xhl
xhl
l
h
x
h
x
x
h
x
x
EI
P
x
x
l
hx
hx
h
x
xx
x
x
x
EI
P
x
x
l
x
x
h
Ph
x
x
x
x
P
x
x
Px
EI
x
P
M
EI
P
M
P
U
x
u
l
x
h
x
l
x
h
x
i l
i
*
i
*
i
*
i
9
6
3
6
9
6
3
6
3
6
6
2
6
2
2
3
d
d
d
d
d
d
1
d
0
2
2
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
2
3
0
2
2
2
0
4
4
2
0
1
2
1
0
2
2
0
4
4
0
1
1
1
2
−
+
+
−
=
−
+
+
−
+
+
−
=
=
−
−
+
−
+
−
+
=
=
−
−
+
+
+
=
+
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∑∫
−
−
Wyznaczamy poszukiwaną reakcję
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
.
l
h
l
h
qh
hl
h
l
h
q
l
h
l
h
h
h
l
h
h
q
dx
hl
x
l
h
h
x
x
EI
P
l
h
Ph
EIq
dx
x
qu
u
H
h
h
B
3
2
6
5
8
4
6
4
5
3
2
2
2
9
6
2
3
4
3
2
2
9
6
3
6
3
2
3
1
2
3
3
4
4
2
0
1
1
2
2
1
3
1
2
0
1
1
2
1
+
+
=
+
+
=
−
+
+
−
+
=
−
+
+
−
+
=
=
∫
∫
Kontrola
qh
l
h
l
h
qh
l
h
l
h
qh
l
h
l
h
qh
H
H
B
A
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
3
2
24
16
8
3
2
6
5
8
3
2
18
11
8
.
8