6

METODY ENERGETYCZNE

Energia spr ysta cia a odkszta calnego

Rozpatrywane zagadnienia wytrzyma

ciowe sprowadza y si do wyznaczenia odkszta ce

wywo anych dzia aj cymi si ami okre lonymi za pomoc odpowiednich zale no ci.
Istniej zagadnienia bardziej skomplikowane wymagaj ce wykorzystania znanych sposobów
rachunkowych, np. ró niczkowania.
Przy zastosowaniu nowych metod rozwi za pos ugujemy si energi potencjaln w cia ach
odkszta calnych. Energia ta, jest równa pracy wykonanej przez si y dzia aj ce na dane cia o,
zwana jest energi spr yst odkszta calnego cia a lub energi odkszta cenia.

Energia spr ysta E

s

- energia potencjalna si wewn trznych spr ysto ci.

Zgodnie z zasad energii (równo przyrostu energii kinetycznej E cia a oraz pracy si
dzia aj cych na to cia o), wyra aj

si y zewn trzne L jak i wewn trzne W

W

L

E

(1)

Dla uk adów b

cych w równowadze energia kinetyczna równa jest zeru. Je eli u yjemy

podstawienia

W

wówczas

L

(2)

Energia spr ysta cia a odkszta calnego b

cego w równowadze równa

jest pracy si zewn trznych dzia aj cych na to cia o.

Proces obci enia si ami odbywa si quasi-statycznie. W ka dej chwili obci enia zachowana
jest równowaga mi dzy si ami zewn trznymi i wewn trznymi. Czas trwania takiego
wyidealizowanego procesu jest niesko czony, a szybko narastania odkszta ce równa zeru,
wówczas si y bezw adno ci s pomijalnie ma e.

Energia spr ysta pr ta rozci ganego ( ciskanego)

Praca elementarnego odcinka pr ta - iloczyn si y wewn trznej N i przemieszczenia du jakie
ona spowodowa a

du

N

dL

EA

Fl

u

Si wewn trzn N w ka dym przekroju pr ta uwa

b dziemy za sta i równ obci eniu

zewn trznemu

N=F

. Podstawiaj c

l

EA

u

F

otrzymamy

du

u

l

EA

d

i po sca kowaniu

u

du

u

l

EA

0

otrzymamy

2

2

1

u

l

AE

(3)

poniewa

EA

Fl

u

, ostatecznie

energia spr ysta

dla pr ta rozci ganego wynosi (rys. 1)

7

EA

l

F

2

2

1

lub

Fu

2

1

(4)

F

l

u

F

F

u

u

Fu

2

1

Rys. 1. Energia spr

ysta pr ta rozci ganego

W zagadnieniach u ywa si

ciw energi spr yst .

Jest to

energia

jednostkowa

odniesiona do

jednostki obj to ci

cia a odkszta calnego. Dla pr ta rozci ganego

E

A

F

Al

EA

l

F

Al

2

2

2

2

1

1

2

1

(5)

poniewa

A

F

i z prawa Hooke’a

E

w

ciw energi spr

yst mo na wyrazi

wzorami:

E

A

F

2

2

2

1

2

1

E

2

2

1

2

2

1

E

(6)

Energia spr ysta pr ta jednocze nie zginanego i rozci ganego

Stan napr enia w pr cie jednocze nie zginanym i rozci ganym

y

I

M

A

N

g

(7)

W jednoosiowym stanie napr

enia

ciwa energia spr ysta

E

2

2

1

, a energia

spr

ysta

elementarnego odcinka pr ta o obj to ci

dxdA

dV

wynosi

A

dA

dx

d

po podstawieniu odpowiednich wielko ci otrzymamy

8

A

g

dA

y

I

M

A

N

E

dx

d

2

2

1

A

g

A

g

A

dA

y

I

M

ydA

AI

NM

dA

A

N

E

dx

d

2

2

2

2

2

2

2

1

Uwzgl dniaj c, e

A

dA

A

,

I

dA

y

A

2

oraz e dla g ównych centralnych osi bezw adno ci

0

A

ydA

ostatecznie otrzymujemy

EI

M

EA

N

dx

d

g

2

2

2

2

(8)

Energia spr ysta

sko czonego odcinka pr ta o

ugo ci l

wynosi (ca kuj c powy sze

równanie)

I

M

A

N

E

l

EI

l

M

EA

l

N

dx

EI

M

dx

EA

N

g

g

l

g

l

2

2

2

2

0

2

0

2

2

2

2

2

2

(9)

2

2

1

u

l

AE

Energia spr ysta jest jednorodn kwadratow funkcj przemieszcze .
Poniewa jest kwadratowa to nie mo na do oblicze energii spr ystej
stosowa zasady superpozycji.

9

To zjawisko wyja niono na przyk adzie pr ta rozci ganego (rys. 2.).

l

A

F

l

A

F

1

F

2

a)

b)

Rys. 2.

Energi pr ta a (rys. 2.a)

Fu

V

a

2

1

EA

Fl

u

EA

l

F

V

a

2

2

1

Energi pr ta b (rys. 2.b)

EA

l

F

F

EA

l

F

EA

l

F

EA

l

F

F

V

a

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

Energi spr

yst mo na równie wyznaczy jako

prac si wewn trznych

,

któr dla przypadków prostych (rozci ganie, zginanie, cinanie, skr canie)
podano w zestawieniu.

Rozci ganie, ciskanie

dx

EA

N

V

EA

N

dx

dV

2

2

1

2

2

10

Zginanie

dx

EI

Mg

V

EI

Mg

dx

dV

2

2

1

2

2

cinanie

dx

GA

T

V

GA

T

dx

dV

2

2

1

2

2

Skr canie

dx

GI

Ms

V

GI

Ms

dx

dV

0

2

0

2

2

2

1

Energia spr ysta jednostki d ugo ci pr ta równa jest po owie ilorazu

kwadratu si y wewn trznej podzielonej przez odpowiedni sztywno .

Uk ady liniowo spr yste Clapeyrona

Aby rozwa aniom nada ogólny charakter dotycz cy wszelkich przypadków obci

,

wprowadzono poj cie

si y uogólnionej

F

, przez któr nale y rozumie dowolne obci enia

dzia aj ce na dane cia o:

si a skupiona

, para si o momencie

M

s

lub

M

g

, obci enie ci

e

q

.

Wspó rz dna uogólnion f

– przemieszczenie odpowiadaj ce sile uogólnionej

F

.

Przy rozci ganiu – sile uogólnionej

F

odpowiada wspó rz dna uogólniona wyd

enia

u

,

przy skr caniu

M

s

odpowiada k t skr cenia ,

przy zginaniu

M

g

odpowiada k t obrotu .

Je eli przemieszczenie

u

dowolnego punktu uk adu wywo ane zrównowa onym dzia aniem

si F

1

, F

2

, ...., F

n

mo na wyrazi jako funkcj liniow tych si

n

n

k

k

F

F

F

F

u

...

...

2

2

1

1

to uk ad taki nazywa si uk adem liniowo-spr ystym lub uk adem

Clapeyrona

.

Dla uk adu liniowo-spr

ystego mamy:

n

nn

j

nj

n

n

n

n

n

j

j

n

n

j

j

F

F

F

F

u

F

F

F

F

u

F

F

F

F

u

...

...

.....

..........

..........

..........

..........

..........

.....

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

(10)

n

j

j

ij

i

F

u

1

j

ij

i

F

u

11

gdzie:
u - przemieszczenia uogólnione;
F - si a uogólniona;

-liczba wp ywowa.

Liczby wp ywowe

- przemieszczenie wywo ane odpowiednimi si ami o warto 1, czyli

przemieszczenie jednostkowe.

sila

uogólniona

zenie

przemieszc

uogólnione

gdzie:

1

N

m

- si a - si a skupiona [N], przemieszczenie - przesuni cie [m];

1

-1

N

m

- si a – moment si y [m N], przemieszczenie - obrót w mierze ukowej itd.

Oznaczmy:

D

- macierz liczb wp ywowych,

F

i

U

odpowiednie macierze jednokolumnowe si i przemieszcze .

Stosuj c wprowadzone oznaczenia mo na przedstawi zale no (10) w zapisie
macierzowym.

k

nn

n

n

n

n

n

k

F

F

F

u

u

u

2

1

2

1

3

32

31

2

22

21

1

12

11

2

1

=

U=DF

macierz podatno ci

Okre laj c

obci enia

(zmienna niezale na), wówczas si y

F

i

wyra amy przez odpowiadaj ce

im przemieszczenia

u

k

n

nn

i

ni

n

n

n

n

n

i

i

n

n

i

i

u

k

u

k

u

k

u

k

F

u

k

u

k

u

k

u

k

F

u

k

u

k

u

k

u

k

F

...

...

.....

..........

..........

..........

..........

..........

.....

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

(11)

n

j

j

ij

i

u

k

F

1

j

ij

i

u

k

F

gdzie:

u - przemieszczenia uogólnione;

F - si a uogólniona;

k

- wspó czynnik okre laj cy wp yw przemieszczenia

u

k

na warto si y

F

i

.

12

K

macierz wspó czynników k,

F

i

U

odpowiednie macierze jednokolumnowe si i przemieszcze .

Zale no (1.11) w zapisie macierzowym.

k

nn

n

n

n

n

n

k

u

u

u

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

F

F

F

2

1

2

1

3

32

31

2

22

21

1

12

11

2

1

=

F=KU

macierz sztywno ci

Macierz

K

jest macierz odwrotn macierzy

D (K=D

-1

).

Twierdzenie Castigliano

Uk ad Clapeyrona obci ony si ami F

1

, F

2

, F

3

,………….. F

n

.

Energia spr

ysta w belce

)

...

..

(

2

1

2

1

1

1

3

3

2

2

1

1

f

F

f

F

f

F

f

F

f

F

Ff

V

i

i

(12)

Rys. 4. Zobrazowanie twierdzenia Castigliano

Dodajemy sile

F

i

pewien przyrost

F

i

. Nast pi

przyrost energii spr ystej

belki

spowodowany przyrostem si y.
Przyrost energii V spowodowany przyrostem

F

i

zmiennej

F

i

jest równy iloczynowi

pochodnej cz stkowej

V/ P

i

przez ten przyrost

F

i

.

Energia spr

ysta belki (rys. 4b) wynosi

13

i

i

F

F

V

V

V

1

(13)

Taki sam (ko cowy) stan obci

i odkszta ce belki (rys. 4b) mo na osi gn przyk adaj c

si y w innej kolejno ci.
Przyk adaj c najpierw do nieobci onej belki dowolnie ma si

F

i

(rys. 4c) ,spowoduje ona

ugi cie (przemieszczenie uogólnione)

f

i

.

Praca statycznie przy

onej si y

F

i

na przemieszczeniu

f

i

jest równa energii spr ystej

nagromadzonej w belce i wynosi

)

(

2

1

i

i

f

F

V

(14)

Nast pnie do belki obci onej si

F

i

przy

ono zasadniczy uk ad obci

jak na rys. 4a.

Zgodnie z zasad superpozycji praca wykonana przez te si y w czasie takiego obci enia
wyrazi si zale no ci (12), ponadto si a

F

i

wykona w tym samym czasie prac

L

na

przemieszczeniu

f

i

. Praca ta wynosi (bez mno nika ½)

i

i

f

F

L

(15)

poniewa w czasie przemieszczenia si punktu przy

enia si y

F

i

ca a warto si y

F

i

wykonywa a prac .
Energia spr

ysta nagromadzona w belce przedstawionej na rys. 4d wynosi

i

i

i

i

f

F

V

f

F

L

V

V

V

)

(

2

1

2

(16)

Ko cowy stan obci

i odkszta ce belki jest dla obu tych sposobów (kolejno ci)

przyk adania si jednakowy (rys. 4b i d).
Energie spr

yste odpowiadaj ce tym stanom s jednakowe tz. V

1

=V

2

.

Porównuj c wyra enia (13) i (16) uzyskano

i

i

i

i

i

i

f

F

V

f

F

F

F

V

V

)

(

2

1

(17)

Wyra enie w nawiasie b

ce iloczynem dwóch wielko ci ma ych jest ma wy szego

(drugiego) rz du, dlatego mo na go odrzuci

)

0

(

i

i

f

F

. Tak wi c

i

i

i

i

i

i

f

F

V

f

F

F

F

V

i

i

f

F

V

(18)

Zale no (18) zwana jest

twierdzeniem Castigliana

.

Pochodna cz stkowa energii spr ystej uk adu wzgl dem si y uogólnionej jest równa
wspó rz dnej uogólnionej odpowiadaj cej tej sile.

14

Zastosowanie twierdzenia Castigliano.

Przyk ad pr ta (belki) poddanego zginaniu.
Energia spr

ysta w takim pr cie wyra ona jest zale no ci wcze niej podan

l

g

dx

M

EJ

V

0

2

2

1

(19)

Wykorzystuj c twierdzenie Castigliano, nie jest potrzebne wyra enie na energi , lecz
pochodna cz stkowa tej energii wzgl dem si y uogólnionej

F

i

. Ró niczkuj c zale no (19)

uzyskano

l

i

l

i

i

i

dx

EI

Mg

Mg

F

dx

EI

Mg

F

F

V

f

0

0

2

2

2

l

i

i

i

dx

F

Mg

Mg

Mg

F

Mg

EI

f

0

2

1

Ostatecznie:

l

g

g

dx

F

M

M

EJ

F

V

f

0

1

(20)

15

TWIERDZENIE MENABREA

Statycznie wyznaczalny uk ad Clapeyrona – belka spoczywaj

na dwóch podporach i

obci ona si P. Dla belki tej mo na wyznaczy reakcje podporowe

`
A

R oraz

`

B

R . Obliczy

energi spr

yst V i stosuj c twierdzenie Castigliano wyznaczy strza

ugi cia f

C

pod si

P oraz strza

ugi cia f

D

w przekroju D belki.

Rys. Wyprowadzenie twierdzenia Menabrea

W punkcie D przy

ono dodatkowa si X = 0 (stan 1).

Ta sama belka zamiast si P obci ona jest si X przy

on w przekroju D (stan 2). Dla

takiego obci enia równie wyznaczono reakcje podporowe

``
A

R oraz

``

B

R , obliczono energi

spr

yst V

``

belki. Stosuj c twierdzenie Castigliano obliczono strza

ugi cia

``

C

f

w

przekroju C oraz strza

ugi cia

``

D

f w przekroju D belki.

Stosuj c metod superpozycji i nak adaj c na siebie oba rozpatrywane stany obci

,

wówczas energia ca kowita uk adu V b dzie funkcj si P oraz X, strza ki za ugi cia

przekrojów C i D - zgodnie z twierdzeniem Castigliano – wyra

si jako pochodne

cz stkowe energii V, a wi c

P

V

f

C

oraz

X

V

f

D

. Nie ma adnej ró nicy mi dzy si P a

si X, obie te wielko ci s od siebie niezale ne.

16

Nast pnie dobrano tak si X, aby ugi cie przekroju D by o równe zeru (f

D

= 0), co wyst puje

wówczas, gdy w przekroju tym da si podpor (rys. c). Uzyska si wówczas uk ad, w którym

statycznie niewyznaczaln reakcj X wyznaczy mo na z podanej wy ej zale no ci

wynikaj cej z twierdzenia Castigliano:

0

X

V

f

D

Otrzymany rezultat

0

X

V

twierdzenie Menabrea.

Pochodna cz stkowa energii spr ystej uk adu wzgl dem reakcji statycznie
niewyznaczalnej jest równa zeru.

Dla belki spoczywaj cej na trzech podporach, obci onej si P (rys. c) powy szy wzór

pozwala obliczy statycznie niewyznaczaln reakcj na podporze D. Gdyby belka mia a

wi cej podpór statycznie niewyznaczalnych, to dla ka dej takiej podpory mo na napisa

warunek powy szy. Ile zatem reakcji statycznie niewyznaczalnych wyst puje w uk adzie, tyle

dodatkowych równa typu

0

X

V

, mo na napisa i tym samym wyznaczy wszystkie

reakcje uk adu.

Zale no typu

0

X

V

ma dodatkow interpretacj fizyczn . Pochodna funkcji jest równa

zeru wówczas, gdy funkcja osi ga warto ekstremaln (max, min lub punkt przegi cia o

stycznej poziomej na wykresie tej funkcji). Tak wi c, gdy pochodna okre ona zale no cia

Menabrea jest równa zero, to energia spr zysta belki (uk adu) osiaga minimum. Belka (ustrój)

przybiera taki kszta t pod dzia aniem obci enia, e energia spr

ysta belki osi ga minimum.

Wyra enie

0

X

V

zwane jest

zasad najmniejszej pracy Menabrea

lub

zasad minimum

energii.

Dla przypadku gdy energia spr

ysta uk adu pochodzi g ównie od zginania, twierdzenie

Menabrea mo na wyrazi zale no ci (dla belki o sta ej sztywno ci EJ=const)

;

0

1

0

dx

X

M

M

EJ

X

V

l

g

g

St d

.

0

0

dx

X

M

M

l

g

g