Metody energetyczne(1)

background image

Metoda Maxwella – Mohra
Układy statycznie niewyznaczalne
Metoda sił
Zasada minimum energii

Metody energetyczne

background image

2

1

2

2

N dx

dV

Ndu

EA

=

=

2

1

2

2

S

s

S

M dx

dV

M d

GI

ϕ

=

=

2

1

2

2

g

g

M dx

dV

M d

EI

ϑ

=

=

2

1

2

2

T

T dx

dV

Tdv

GA

β

=

=

Energia

sprężysta

układu

prętowego

background image

(

)

(

)

2

1

2

Sila wewnętrzna

dV

dx

Sztywnosc

=

2

1

2

dV

N

dx

EA

=

Rozciąganie:

2

1

2

g

M

dV

dx

EI

=

Zginanie:

2

1

2

s

s

M

dV

dx

GI

=

Skręcanie:

2

1

2

dV

T

dx

GA

β

=

Ścinanie:

background image

(

)

(

)

2

0

2

l

Sila wewnętrzna dx

V

Sztywnosc

=

2

0

2

l

N dx

V

EA

=

Rozciąganie:

2

0

2

l

g

M dx

V

EI

=

Zginanie:

2

0

2

l

s

s

M dx

V

GI

=

Skręcanie:

2

0

2

l

T dx

V

GA

β

=

Ścinanie:

background image

2

2

N l

V

EA

=

Rozciąganie:

Jeśli

N

oraz

EA

nie zależą od

x

2

2

s

s

M l

V

GI

=

Skręcanie:

Jeśli

M

s

oraz

GI

s

nie zależą od

x

2

2

g

M l

V

EI

=

Zginanie:

Jeśli

M

g

oraz

EI

nie zależą od

x

2

2

T l

V

GA

β

=

Ścinanie:

Jeśli

T

oraz

GA

nie zależą od

x

(

)

(

)

2

2

Sila wewnętrzna dlugosc

V

Sztywnosc

=

Jeśli

siła wewnętrzna

oraz

sztywność

nie zależą od

x

background image

W przypadku ogólnym energia
sprężysta odkształcenia odcinka
pręta o długości dx będzie równa
sumie prac składowych sił
wewnętrznych

N, M

s

, M

gy

, M

gz

, T

y

, T

z

na odpowiadających im
przemieszczeniach

du, d

ϕ

, d

θ

y

, d

θ

z

,

d

υ

T

, dw

T

.

Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to

N, M

s

,

M

gy

, M

gz

, T

y

, T

z

należy traktować jako siły zewnętrzne

(

)

1

2

s

gy

y

gz

z

y

T

z

T

dV

Ndu M d

M d

M d

T d

T dw

ϕ

ϑ

ϑ

υ

=

+

+

+

+

+

background image

Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi
funkcjami składowych sił wewnętrznych

Ndx

du

EA

=

s

s

M dx

d

GI

ϕ

=

gy

y

y

M dx

d

EI

ϑ

=

gz

z

z

M dx

d

EI

ϑ

=

y y

T

T dx

d

GA

β

υ

=

z z

T

T dx

dw

GA

β

=

Otrzymamy zależność

2

2

2

2

2

2

1

2

gy

gz

y y

s

z z

s

y

z

M

M

T

N

M

T

dV

dx

EA GI

EI

EI

GA

GA

β

β

=

+

+

+

+

+

background image

Energia sprężysta w pręcie prostym w

przypadku ogólnym

2

2

2

2

2

2

0

1

2

l

gy

gz

y y

s

z z

s

y

z

M

M

T

N

M

T

V

dx

EA GI

EI

EI

GA

GA

β

β

=

+

+

+

+

+

background image

Metody energetyczne wyznaczania

przemieszczeń

Castigliana

Maxwella-Mohra

background image

Metoda Maxwella-Mohra

W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia

u

w

prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohra
wykonamy następujące operacje:

• Wyznaczymy siły

N, M

s

, M

gy

, M

gz

, T

y

, T

z

w prętach układu, wywołane

obciążeniem rzeczywistym

• Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą
poszukiwanemu przemieszczeniu

u

i wyznaczamy

N’, M

s

’, M’

gy

, M’

gz

,

T’

y

, T’

z

, które wywołuje ona w prętach

1

background image

W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę
uogólnioną o wartości P (P=0), która wywoła dodatkowo
siły wewnętrzne:

'

2

' 2

'

2

'

2

' 2

' 2

0

(

)

(

)

(

)

1

2

(

)

(

)

(

)

gy

gy

s

s

l

s

y

gz

gz

y

y

y

z

z

y

z

M

PM

N PN

M

PM

EA

GI

EI

V

dx

M

PM

T

PT

T

PT

EI

GA

GA

β

β

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

'

'

'

'

'

',

,

,

,

,

s

gy

gz

y

z

PN PM PM

PM

PT PT

0

P

V

u

P

=

= ⎜

1

1

background image

Metoda Maxwella-Mohra

'

'

'

'

'

'

0

l

gy

gy

gz

gz

y y

y

s

s

z z

z

s

y

z

M M

M M

T T

NN

M M

T T

u

dx

EA

GI

EI

EI

GA

GA

β

β

=

+

+

+

+

+

W celu określenia przemieszczenia

u

metodą Maxwella-Mohra dla

dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać
sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów
(prętów).

background image

Statycznie niewyznaczalne układy

prętowe

Układ prętowy jest

statycznie niewyznaczalny

, jeśli nie można określić

reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów,
posługując się wyłącznie równaniami równowagi.

Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli

hiperstatycznych

, równa

różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań
równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu
prętowego.

background image

Statycznie niewyznaczalne układy

prętowe

Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz
wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia
geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała.

Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności:

A. Równania równowagi,

B. Warunki geometryczne

C. Związki fizyczne

Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań

statycznie niewyznaczalnych:

- metodę sił - metodę przemieszczeń

background image

Równania równowagi

2

0

1

0

2

A

B

A

A

ql R

R

M

R l

ql

=

+

=

Równania:

2

Niewiadome:

3

Zadanie jednokrotnie (

3-2

) statycznie niewyznaczalne

background image

Warunki geometryczne

0

B

υ

=

Reakcja R

B

(traktowana jako wielkość

hiperstatyczna) jest spowodowana

podparciem belki w punkcie B, co odpowiada

następującemu warunkowi geometrycznemu

background image

Związki fizyczne

Związek fizyczny powinien uzależniać

υ

B

od

sił działających na belkę oraz jej własności

sprężystych.

Okazuje się, że warunek geometryczny

υ

B

=0 jest po prostu dodatkowym warunkiem

brzegowym.

background image

Metoda sił

1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować

równania równowagi

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

- Punkt C – podpora przegubowa stała –

dwie reakcje

(pozioma i pionowa)

- Punkt A – utwierdzenie –

trzy reakcje

(pozioma, pionowa i moment)

równania

równowagi

2

0

0

1

0

2

A

C

A

C

C

C

A

H

H

ql

V

V

V l H l

ql

M

+

+

=

+

=

+

=

background image

Metoda sił

2. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć

podstawowy układ prętowy

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

- Liczba niewiadomych

5

(reakcje)

- Liczba równań

3

5 – 3 = 2

- rama jest dwukrotnie

statycznie niewyznaczalna

Wielkości hiperstatyczne:

X

1

=

H

c

X

2

=

V

c

background image

Metoda sił

3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i

sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

u

1

= 0, u

2

= 0

Związki

fizyczne

1

11

1

12

2

1

2

21

1

22

2

2

P

P

u

f X

f X

u

f X

f X

=

+

+ Δ

=

+

+ Δ

11

1

12

2

1

21

1

22

2

2

0

0

P

P

f X

f X

f X

f X

+

+ Δ =

+

+ Δ =

1

2

,

P

P

Δ Δ

- część przemieszczeń

u

1

i u

2

spowodowana

działaniem obciążenia q.

background image

Metoda sił

4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

Algorytm postępowania

12

12

11

22

21

21

0

0

1

1

2

l

l

g

g

g

g

f

M M dx

M

M dx

f

EI

EI

=

+

=

2

2

11

11

21

0

0

1

1

2

l

l

g

g

f

M dx

M dx

EI

EI

=

+

1

1

11

2

21

0

0

1

1

2

l

l

P

g P

g

g P

g

M

M dx

M

M dx

EI

EI

Δ =

+

2

2

22

12

22

0

0

1

1

2

l

l

g

g

f

M dx

M

dx

EI

EI

=

+

2

1

12

2

22

0

0

1

1

2

l

l

P

g P

g

g P

g

M

M dx

M

M

dx

EI

EI

Δ =

+

M

g11

, M

g21

M

g12

, M

g22

M

g1P

, M

g2P

1

2

1

1

X
X

=

=

background image

Metoda sił

5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości

hiperstatyczne

Algorytm postępowania

1

2

X

X

background image

Metoda sił

6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe

niewiadome

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych

Algorytm postępowania

background image

Metoda sił

8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia

Algorytm postępowania

background image

Zasada minimum energii sprężystej

Menabrei-Castigliana

Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona
przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości
hiperstatyczne X

1

, ..., X

n

oraz niehiperstatyczne.

Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadome
niehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia
V stanie się funkcją X

1

, ..., X

n

, jako zmiennych niezależnych.

Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u

1

, ...,

u

n

, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X

1

, ...,X

n

, można

zapisać nastepująco

u

1

= 0, ..., u

n

= 0

background image

Zasada minimum energii sprężystej

Menabrei-Castigliana

Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z
wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X

1

, ..., X

n

)

1

1

, ... ,

n

n

V

V

u

u

X

X

=

=

związki

fizyczne

Po podstawieniu do związków geometrycznych:

1

0, ... ,

0

n

V

V

X

X

=

=

background image

Zasada minimum energii sprężystej

Menabrei-Castigliana

Spośród wszystkich możliwych zbiorów

wielkości X

1

, ..., X

n

zbiorem rzeczywistych

wielkości hiperstatycznych jest ten, dla

którego energia sprężysta całego układu

prętowego V osiąga wartość minimalną.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 ugiecia metody energetyczne imimid 16232
Metody energetyczne zastosowanie twierdzenia Menabre'a Zad 1(1)
16 Metody energetyczne wykład
13 metody energetyczneid 14715
09 metody energetyczneid 7958
Metody energetyczne, Studia, Wytrzymałość materiałów
Metody energentyczne część 1
Metody energentyczne część 2
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
metody otrzymywania soli, ENERGETYKA AGH, sem 2, chemia
chemiczne metody oczyszczania, Ekologia, Gospodarka odpadami, Energetyka, Ścieki przemysłu spożywcze
pyt 10,11 , Podstawowa i całkowita przemiana materii, potrzeby energetyczne człowieka, metody pomiar
21 Podstawy metodyczne analizy energetyczno ekologicznej obiektu budowlanego w pełnym cyklu istnieni

więcej podobnych podstron