Metoda Maxwella – Mohra
Układy statycznie niewyznaczalne
Metoda sił
Zasada minimum energii
Metody energetyczne
2
1
2
2
N dx
dV
Ndu
EA
=
=
2
1
2
2
S
s
S
M dx
dV
M d
GI
ϕ
=
=
2
1
2
2
g
g
M dx
dV
M d
EI
ϑ
=
=
2
1
2
2
T
T dx
dV
Tdv
GA
β
=
=
Energia
sprężysta
układu
prętowego
(
)
(
)
2
1
2
Sila wewnętrzna
dV
dx
Sztywnosc
=
2
1
2
dV
N
dx
EA
=
Rozciąganie:
2
1
2
g
M
dV
dx
EI
=
Zginanie:
2
1
2
s
s
M
dV
dx
GI
=
Skręcanie:
2
1
2
dV
T
dx
GA
β
=
Ścinanie:
(
)
(
)
2
0
2
l
Sila wewnętrzna dx
V
Sztywnosc
=
∫
2
0
2
l
N dx
V
EA
=
∫
Rozciąganie:
2
0
2
l
g
M dx
V
EI
=
∫
Zginanie:
2
0
2
l
s
s
M dx
V
GI
=
∫
Skręcanie:
2
0
2
l
T dx
V
GA
β
=
∫
Ścinanie:
2
2
N l
V
EA
=
Rozciąganie:
Jeśli
N
oraz
EA
nie zależą od
x
2
2
s
s
M l
V
GI
=
Skręcanie:
Jeśli
M
s
oraz
GI
s
nie zależą od
x
2
2
g
M l
V
EI
=
Zginanie:
Jeśli
M
g
oraz
EI
nie zależą od
x
2
2
T l
V
GA
β
=
Ścinanie:
Jeśli
T
oraz
GA
nie zależą od
x
(
)
(
)
2
2
Sila wewnętrzna dlugosc
V
Sztywnosc
=
Jeśli
siła wewnętrzna
oraz
sztywność
nie zależą od
x
W przypadku ogólnym energia
sprężysta odkształcenia odcinka
pręta o długości dx będzie równa
sumie prac składowych sił
wewnętrznych
N, M
s
, M
gy
, M
gz
, T
y
, T
z
na odpowiadających im
przemieszczeniach
du, d
ϕ
, d
θ
y
, d
θ
z
,
d
υ
T
, dw
T
.
Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to
N, M
s
,
M
gy
, M
gz
, T
y
, T
z
należy traktować jako siły zewnętrzne
(
)
1
2
s
gy
y
gz
z
y
T
z
T
dV
Ndu M d
M d
M d
T d
T dw
ϕ
ϑ
ϑ
υ
=
+
+
+
+
+
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi
funkcjami składowych sił wewnętrznych
Ndx
du
EA
=
s
s
M dx
d
GI
ϕ
=
gy
y
y
M dx
d
EI
ϑ
=
gz
z
z
M dx
d
EI
ϑ
=
y y
T
T dx
d
GA
β
υ
=
z z
T
T dx
dw
GA
β
=
Otrzymamy zależność
2
2
2
2
2
2
1
2
gy
gz
y y
s
z z
s
y
z
M
M
T
N
M
T
dV
dx
EA GI
EI
EI
GA
GA
β
β
⎛
⎞
=
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Energia sprężysta w pręcie prostym w
przypadku ogólnym
2
2
2
2
2
2
0
1
2
l
gy
gz
y y
s
z z
s
y
z
M
M
T
N
M
T
V
dx
EA GI
EI
EI
GA
GA
β
β
⎛
⎞
=
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
Metody energetyczne wyznaczania
przemieszczeń
• Castigliana
•
Maxwella-Mohra
Metoda Maxwella-Mohra
W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia
u
w
prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohra
wykonamy następujące operacje:
• Wyznaczymy siły
N, M
s
, M
gy
, M
gz
, T
y
, T
z
w prętach układu, wywołane
obciążeniem rzeczywistym
• Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą
poszukiwanemu przemieszczeniu
u
i wyznaczamy
N’, M
s
’, M’
gy
, M’
gz
,
T’
y
, T’
z
, które wywołuje ona w prętach
1
W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę
uogólnioną o wartości P (P=0), która wywoła dodatkowo
siły wewnętrzne:
'
2
' 2
'
2
'
2
' 2
' 2
0
(
)
(
)
(
)
1
2
(
)
(
)
(
)
gy
gy
s
s
l
s
y
gz
gz
y
y
y
z
z
y
z
M
PM
N PN
M
PM
EA
GI
EI
V
dx
M
PM
T
PT
T
PT
EI
GA
GA
β
β
⎛
⎞
+
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
+
+
+
⎜
⎟
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
'
'
'
'
'
',
,
,
,
,
s
gy
gz
y
z
PN PM PM
PM
PT PT
0
P
V
u
P
=
∂
⎛
⎞
= ⎜
⎟
∂
⎝
⎠
1
1
Metoda Maxwella-Mohra
'
'
'
'
'
'
0
l
gy
gy
gz
gz
y y
y
s
s
z z
z
s
y
z
M M
M M
T T
NN
M M
T T
u
dx
EA
GI
EI
EI
GA
GA
β
β
⎛
⎞
=
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
W celu określenia przemieszczenia
u
metodą Maxwella-Mohra dla
dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać
sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów
(prętów).
Statycznie niewyznaczalne układy
prętowe
Układ prętowy jest
statycznie niewyznaczalny
, jeśli nie można określić
reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów,
posługując się wyłącznie równaniami równowagi.
Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli
hiperstatycznych
, równa
różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań
równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu
prętowego.
Statycznie niewyznaczalne układy
prętowe
Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz
wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia
geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała.
Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności:
A. Równania równowagi,
B. Warunki geometryczne
C. Związki fizyczne
Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań
statycznie niewyznaczalnych:
- metodę sił - metodę przemieszczeń
Równania równowagi
2
0
1
0
2
A
B
A
A
ql R
R
M
R l
ql
−
−
=
−
+
−
=
Równania:
2
Niewiadome:
3
Zadanie jednokrotnie (
3-2
) statycznie niewyznaczalne
Warunki geometryczne
0
B
υ
=
Reakcja R
B
(traktowana jako wielkość
hiperstatyczna) jest spowodowana
podparciem belki w punkcie B, co odpowiada
następującemu warunkowi geometrycznemu
Związki fizyczne
Związek fizyczny powinien uzależniać
υ
B
od
sił działających na belkę oraz jej własności
sprężystych.
Okazuje się, że warunek geometryczny
υ
B
=0 jest po prostu dodatkowym warunkiem
brzegowym.
Metoda sił
1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować
równania równowagi
Algorytm postępowania
Metoda sił
- Punkt C – podpora przegubowa stała –
dwie reakcje
(pozioma i pionowa)
- Punkt A – utwierdzenie –
trzy reakcje
(pozioma, pionowa i moment)
równania
równowagi
2
0
0
1
0
2
A
C
A
C
C
C
A
H
H
ql
V
V
V l H l
ql
M
+
+
=
+
=
−
−
+
=
Metoda sił
2. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć
podstawowy układ prętowy
Algorytm postępowania
Metoda sił
- Liczba niewiadomych
5
(reakcje)
- Liczba równań
3
5 – 3 = 2
- rama jest dwukrotnie
statycznie niewyznaczalna
Wielkości hiperstatyczne:
X
1
=
H
c
X
2
=
V
c
Metoda sił
3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i
sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił
Algorytm postępowania
Metoda sił
u
1
= 0, u
2
= 0
Związki
fizyczne
1
11
1
12
2
1
2
21
1
22
2
2
P
P
u
f X
f X
u
f X
f X
=
+
+ Δ
=
+
+ Δ
11
1
12
2
1
21
1
22
2
2
0
0
P
P
f X
f X
f X
f X
+
+ Δ =
+
+ Δ =
1
2
,
P
P
Δ Δ
- część przemieszczeń
u
1
i u
2
spowodowana
działaniem obciążenia q.
Metoda sił
4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił
Algorytm postępowania
Metoda sił
Algorytm postępowania
12
12
11
22
21
21
0
0
1
1
2
l
l
g
g
g
g
f
M M dx
M
M dx
f
EI
EI
=
+
=
∫
∫
2
2
11
11
21
0
0
1
1
2
l
l
g
g
f
M dx
M dx
EI
EI
=
+
∫
∫
1
1
11
2
21
0
0
1
1
2
l
l
P
g P
g
g P
g
M
M dx
M
M dx
EI
EI
Δ =
+
∫
∫
2
2
22
12
22
0
0
1
1
2
l
l
g
g
f
M dx
M
dx
EI
EI
=
+
∫
∫
2
1
12
2
22
0
0
1
1
2
l
l
P
g P
g
g P
g
M
M dx
M
M
dx
EI
EI
Δ =
+
∫
∫
M
g11
, M
g21
M
g12
, M
g22
M
g1P
, M
g2P
1
2
1
1
X
X
=
=
Metoda sił
5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości
hiperstatyczne
Algorytm postępowania
1
2
X
X
Metoda sił
6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe
niewiadome
Algorytm postępowania
Metoda sił
7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych
Algorytm postępowania
Metoda sił
8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia
Algorytm postępowania
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona
przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości
hiperstatyczne X
1
, ..., X
n
oraz niehiperstatyczne.
Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadome
niehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia
V stanie się funkcją X
1
, ..., X
n
, jako zmiennych niezależnych.
Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u
1
, ...,
u
n
, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X
1
, ...,X
n
, można
zapisać nastepująco
u
1
= 0, ..., u
n
= 0
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z
wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X
1
, ..., X
n
)
1
1
, ... ,
n
n
V
V
u
u
X
X
∂
∂
=
=
∂
∂
związki
fizyczne
Po podstawieniu do związków geometrycznych:
1
0, ... ,
0
n
V
V
X
X
∂
∂
=
=
∂
∂
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Spośród wszystkich możliwych zbiorów
wielkości X
1
, ..., X
n
zbiorem rzeczywistych
wielkości hiperstatycznych jest ten, dla
którego energia sprężysta całego układu
prętowego V osiąga wartość minimalną.