W y k ł a d 2 6

C a ł k i p o d w ó j n e

Niech P =[a,b] × [c,d], f:R

2

->R - ograniczona w P

∆

n

:{P

k

}

k∈{1,...,n}

, Prostokąty P

k

mają co najwyżej wspólny bok oraz

Definicja 26.1. (średnica podziału)

d

k

- długość przekątnej P

k

Definicja 26.2. (normalny ciąg podziałów)

Niech (∆

n

)

n∈N

- ciąg podziałów prostokąta P

(∆

n

)

n∈N

- normalny

Niech

- pole P

k

Definicja 26.3. (całka podwójna Riemanna)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P i dowolnego wyboru punktów

pośrednich (ξ

k

,η

k

) istnieje

, która nie zależy od normalnego ciągu podziałów prostokąta P

i wyboru punktów pośrednich (ξ

k

,η

k

), to granicę tę nazywamy całką podwójną po P i oznaczamy

Definicja 26.4. (zbiór miary płaskiej Riemanna 0)

Zbiór A ⊂ R

2

jest miary Riemanna 0 (w R

2

) ⇔ jeżeli A da się pokryć skończoną ilością prostokątów

o łącznym polu nie przekraczającym z góry zadanej liczby e.

Uwaga

Każda krzywa (o skończonej długości) ma miarę płaską Riemanna 0.

Twierdzenie 26.1.

Każda funkcja ciągła poza (ewentualnie) zbiorem miary Riemanna 0 jest całkowalna.

Twierdzenie 26.2. (Fubiniego)
Z:
P =[a,b] × [c,d]

T:
1° g∈C[a,b] (poza co najwyżej zbiorem miary Riemanna 0 (w R))

2°

Interpretacja geometryczna całki podwójnej

Jeżeli ∀x,y∈P: f(x,y)≥0, to

jest objętością bryły ograniczonej od dołu

prostokątem P, od góry powierzchnią o równaniu z = f(x,y) i z boku tworzącymi prostopadłymi do
płaszczyzny (x,y)

Definicja 26.5. (obszar normalny)

R

2

⊃ D - normalny względem osi OX:

⇔

D = {(x,y)∈R

2

: a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x) }

Każda prosta prostopadła do (a,b) przecina obszar w dwóch punktach.

R

2

⊃ D - normalny względem osi OY:

⇔

D = {(x,y)∈R

2

: c ≤ y ≤ d ∧ u

1

(x) ≤ y ≤ u

2

(x) }

Twierdzenie 26.3. (o iteracji całki)

Z:
D - normalny względem osi OX, f - ciągła w D (i ograniczona)
T:

D:

( Zbiór punktów nieciągłości funkcji f* ma miarę płaską Riemanna 0, Funkcja f* jest ograniczona w
P ) ⇒ f* jest całkowalna w sensie Riemanna w P

Przykład 26.1.a.

Rysujemy obszar:

Przykład 26.1.b.

Przykład 26.2.

Zamienić kolejność całkowania:

Twierdzenie 26.4. (o zamianie zmiennych)

Z: f:R

2

⊃ D -> R

F: Φ:(u,v)∈∆ -> (x,y)=(x(u,v),y(u,v))∈D
1° F - bijekcja

2° F∈C

1

(∆) ∧ det(Φ'(u,v)) ≠ 0 ∀(u,v)∈ ∆

3° f - ciągła w ∆

T:

Oznaczenie:

det(Φ'(u,v)) = J(u,v) - jakobian odwzorowania Φ

Przykład 26.3.

Współrzędne biegunowe:

Przykład 26.4.

Współrzędne biegunowe uogólnione (eliptyczne):

Przykład 26.5.

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

Wprowadzam współrzędne eliptyczne:

Z a s t o s o w a n i a g e o m e t r y c z n e c a ł k i

p o d w ó j n e j :

1. D⊂R

2

, D - obszar

2. V={(x,y,z) ∈R

3

: (x,y)∈D ∧ 0 ≤ z ≤ f(x,y)}

3. S={(x,y,z) ∈R

3

: (x,y)∈D ∧ z = z(x,y)}

Z a s t o s o w a n i a f i z y c z n e c a ł k i p o d w ó j n e j

Z: ρ: (x,y)∈D -> ρ(x,y) - gęstość obszaru D w punkcie (x,y)

1. Masa D:

2. Momenty statyczne:

- moment statyczny względem osi OX

- moment statyczny względem osi OY

3. Momenty bezwładności:

- względem osi OX

- względem osi OY

- względem punktu (0,0)

4. Współrzędne środka ciężkości obszaru D:

Wykład opracował: Paweł Szczepaniec