41. Siła grawitacji, zasada superpozycji.
Siła grawitacji - Zwana ciążeniem powszechnym. Jej wartość opisuje prawo powszechnego
ciążenia Newtona:
Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2,
znajdującymi się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te
punkty i ma wartość:
5�Z�15�Z�2
5�9� = 5�:�
5�_�2
Gdzie G jest stałą uniwersalną, mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów
materialnych.
Siły grawitacyjne działające między dwoma dowolnymi ciałami stanowią parę
sił: akcja-reakcja. Pierwsze ciało działa na drugie wzdłuż łączącej je prostej
siłą skierowaną do pierwszego ciała. I tak samo drugie ciało działa na
pierwsze siłą skierowaną do drugiego ciała wzdłuż łączące je prostej. Siły te
są równe co to wartości ale przeciwnie skierowane.
Zasada superpozycji- pole (siła) pochodzące od kilku z
ródeł
jest wektorową sumą pól (sił), jakie wytwarza każde z tych
z
ródeł. Prościej przy nałożeniu się
kilku pól (np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równ
a się sumie wektorowej natężeń wszystkich tych pól.
Spełniają ją pole elektromagnetyczne i pole grawitacyjne, a
w konsekwencji siły pochodzące od nich, m.in. siła
Coulomba.
Dzięki zasadzie superpozycji możemy obliczyć takie sprawy jak natężenie pola i jego
potencjał w danym punkcie:
Gdy pole grawitacyjne jest wytwarzane przez kilka mas, to
wypadkowe natężenie pola w danym punkcie jest wektorową sumą
natężeń pochodzących od wszystkich mas
W ten sam sposób wyznaczyć można potencjał pola w danym
punkcie pochodzący od wielu z
ródeł.
42. Pokazać, że moment siły grawitacji jest równy zeru.
43. Wyprowadzić prawa Keplera.
Pierwsze prawo Keplera: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w
której jednym z ognisk znajduje się Słońce.
wyprowadzenie- Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc
L=const. Ponieważ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego
stałość oznacza, że ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyz
nie. Zatem tor ruchu
planety jest krzywą płaską.
Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach
czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyz
nie orbity. Oznacza to, że wielkość jest
stała, przy czym oznacza pole powierzchni zakreślone przez tę linię.
wzór z wykładów:
r� r�
r �� dr
r�
dA 1 1 r� L
=� =� r �� mv =� =� const.
dt 2 dt 2m 2m
Wytłumaczenie ładniejsze:
W przedziale czasu t linia łącząca planetę ze Słońcem
o masie M (mająca w danej chwili długość r) zatacza kąt
, zakreślając przy tym obszar (zacieniowany) o polu
powierzchni S
Pole, jakie zakreśla planeta w małym czasie
, wynosi (z wzoru na pole trójkąta gdzie
P=1/2 ab siną) :
Szybkość zmian pola wynosi więc :
Natomiast moment pędu wynosi:
5�?� = 5�Z�5�_�25��
co oznacza, że prędkość polowa związana jest z momentem pędu wzorem
Ponieważ moment pędu jest stały, prędkość polowa jest również stała.
44. Potencjał pola grawitacyjnego i energia potencjalna w dużej odległości od z
ródła
pola.
Energia potencjalna: W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii
grawitacyjnej w skali porównywalnej do odległości od z
ródeł grawitacji (np. w lotach
kosmicznych, oddziaływaniach międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność
pola grawitacyjnego. Za poziom odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć
nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Wyrażenie na pracę potrzebną do
przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od środka masy M do nieskończoności
można wyznaczyć obliczając całkę
gdzie:
r  odległość od środka masy z
ródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu
[m],
G  stała grawitacyjna [N�m��kg 2],
M  masa z
ródła pola grawitacyjnego [kg],
m  masa przenoszonego ciała [kg].
Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym, dlatego pracę przeniesienia ciała z punktu A do
punktu B można wyrazić poprzez energię potencjalną w punkcie A i B
Porównując ten wzór ze wzorem (1) można zauważyć, że energia potencjalna w punkcie
odległym o r od centrum masy M może być wyrażona wzorem
Wzór ten jest prawdziwy dla sytuacji, gdy z
ródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa.
Pozostaje prawdziwy również dla kuli o symetrycznym rozkładzie masy, ale tylko na
zewnątrz tej kuli.
Potencjał  Stosunek energii potencjalnej, jaką ma w tym punkcie umieszczone tam ciało do
masy tego ciała.
5�8�5�]� 5�:�5�@�5�Z� 5�:�5�@�
5�I� = = - = -
5�Z� 5�_�5�Z� 5�_�
45. Ciśnienie hydrostatyczne. Prawo Pascala.
Ciśnienie hydrostatyczne  ciśnienie, wynikające z ciężaru cieczy znajdującej się w polu
grawitacyjnym. Analogiczne ciśnienie w gazie określane jest mianem ciśnienia
aerostatycznego. Ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od wielkości i kształtu zbiornika, a
zależy wyłącznie od głębokości. Ciśnienie określa wzór:
gdzie
��  gęstość cieczy  w układzie SI w kg/mł
��  przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne)  w układzie SI w m/s�
��  głębokość zanurzenia w cieczy (od poziomu zerowego)  w układzie SI w metrach
(m).
Całkowite ciśnienie panujące w cieczy jest sumą ciśnienia hydrostatycznego i ciśnienia
zewnętrznego. W przypadku zbiorników otwartych ciśnienie zewnętrzne jest ciśnieniem
atmosferycznym.
Grawitacja w przypadku obu rodzajów ciśnień  hydrostatycznego i aerostatycznego 
wywołuje zmianę ciśnienia w zależności od głębokości  im niżej tym większe ciśnienie. Jest
ono skutkiem nacisku (ciężaru) ze strony słupa płynu położonego nad danym punktem  im
wyższy słup, typ większy nacisk. Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne)
zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę techniczną. Ciśnienie powietrza na poziomie morza
jest równe atmosferze fizycznej, jest ona w przybliżeniu równa atmosferze technicznej.
Wynika stąd, że ciężar słupa powietrza nad powierzchnią ziemi jest w przybliżeniu równy
ciężarowi słupa wody o wysokości 10 m (10 ton wody na metr kwadratowy).
Jeżeli uwzględni się zarówno ciśnienie zewnętrzne, jak i ciśnienie hydrostatyczne, wówczas
całkowite ciśnienie w płynie wyraża wzór:
gdzie:
��  zewnętrzne ciśnienie wywierane na ciecz na poziomie uznanym za zerowy
(h = 0). Dla zbiorników otwartych jest to ciśnienie atmosferyczne na powierzchni
cieczy (w warunkach normalnych 1013 hPa).
Prawo Pascala  Ciśnienie przyłożone do zamkniętej cieczy przenosi się niezmienione do
każdego jej punktu i powierzchni naczynia.
F1 F2
=�
A1 A2
A2
F2 =� �� F1
A1
46. Wyprowadzić prawo Archimedesa.
Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w cieczy równa się ciężarowi cieczy wypartej
przez to ciało.
Mamy ciało o objętości Vc i gęstości �c zanurzone w płynie o gęstości �p. Objętość Vp
wypartego przez ciało płynu równa jest objętości zanurzonego ciała (zajęło ono miejsce
płynu).
Ciśnienie hydrostatyczne rozkłada się w płynie izotropowo (działa ze wszystkich kierunków).
Na górną powierzchnię A1 działa "od góry", a na dolną A2 - "od dołu". Ciśnienie to rośnie
wraz z głębokością, co pokazuje wzór:
p(h) = p0 + �pgh
gdzie: p(h) - ciśnienie na głębokości h, p0 - ciśnienie na powierzchni płynu, �p - gęstość płynu,
g - przyspieszenie ziemskie, h - głębokość.
Ciśnienie działające na górną ściankę ciała to: p(h1) = p0 + �pgh1
Ciśnienie działające na dolną ściankę ciała to: p(h2) = p0 + �pgh2
Jako, że F = pA (siła = ciśnienie razy powierzchnia), to:
Siła działająca na górną ściankę ciała to: F1 = (p0 + �pgh1)A1
Siła działająca na dolną ściankę ciała to: F2 = (p0 + �pgh2)A2
Skoro h2 > h1, a A2= A1 = A, to: F2 > F1
Wypadkowa siła wyporu (Fw = F2 - F1) skierowana jest więc "do góry" (zgodnie z kierunkiem
większej siły F2 i przeciwnie do siły ciężkości Fg) i ma wartość:
Fw = F2 - F1 = (p0 + �pgh2)A2 - (p0 + �pgh1)A1 = �pg A(h2 - h1)
Wiemy, że A(h2 - h1) to powierzchnia razy wysokość, czyli po prostu objętość zanurzonego
ciała (Vc).
Fw = �pg Vc
Wiemy też, że Vc równe jest objętości wypartego płynu (Vc = Vp), czyli:
Fw = �pg Vp = mpg
gdzie: mp - masa wypartego płynu
47. Wyprowadzić równanie ciągłości strugi.
Ciecz jest nieściśliwa, stąd w danym przedziale
czasowym Dt ,taka sama ilość masy wpływa przez
powierzchnię A1 co wypływa przez powierzchnię A2.
D�m2 =� r�D�V2 =� r�S2v2D�t
D�m1 =� r�D�V1 =� r�S1v1D�t
Gdzie S= A  przekrój rury.
S1v1 =� S2v2
Z równania wynika, że dla przepływu nieściśliwego płynu prędkość strumienia
zmienia sie tak, jak zmienia sie odwrotność powierzchni przekroju poprzecznego i jest
największa w największych częściach rurki. Można to zaobserwować w przypadku rzeki, która w
miejscach szerokich płynie wolno, a wpływając do wąwozu płynie z dużą szybkością.
48. Wyprowadzić równanie Bernoulliego.
Prawo Bernoulliego mówi, że kiedy prędkość płynu rośnie, ciśnienie maleje.
Bernoulli wyprowadził równanie, opisujące to zjawisko,
przy założeniu, że przepływ jest stacjonarny, laminarny
oraz, że płyn jest nieściśliwy, a lepkość jest tak mała, że
możemy japominąć.
Rozpatrujemy układ, gdzie płyn płynie w rurze o
zmiennym przekroju i wysokości nad
poziomem odniesienia.
Równanie Bernoulliego w takim układzie możemy określić
jako zasadę zachowania energii.
Energia płynu w pewnym położeniu w rurze jest suma
energii kinetycznej, potencjalnej energii grawitacji i energii
wewnętrznej, spowodowanej działaniem siły wewnętrznej.
Dla elementu masy
5�Q�5�Z� = 5��5�4�5�Q�5�e�
możemy napisać:
5�8� = 5�8�5�X� + 5�8�5�]� + 5�8�5�d�
5�Q�5�Z�5�c�2
5�8�5�X� =
2
5�8�5�]� = 5�Q�5�Z�5�T�!
5�8�5�d� = 5�]�5�Q�5�I�
49. Napięcie powierzchniowe.
Napięcie powierzchniowe ł jest to praca jaką należy wykonać aby zwiększyć
powierzchnię cieczy o jednostkę.
D�W F �� D�x
g� =�=�
D�S 2l �� D�x
F
"W  praca potrzebna do utworzenia powierzchni "S,
g� =�
"S  pole powierzchni.
2l
50. Transport ciepła: przewodnictwo, konwekcja, promieniowanie.
Ciepło jest strumieniem energii wynikającym z różnicy temperatur.
�� Przewodnictwo - określa zdolność substancji do
przewodzenia ciepła. W tych samych warunkach więcej
ciepła przepłynie przez substancję o większym
współczynniku przewodności cieplnej.
r� r�
dQ ś�T dQ
��
=� kA�� =� -�kA���T
����
dt ś�x dt
Ł�ł�
k- współczynnik przewodnictwa cieplnego
A - pole przekroju przez który przepływa ciepło
�� Konwencja - szybkość przepływu ciepła jest
proporcjonalna do szybkości przepływu substancji
�� Promieniowanie - Energia jest przenoszona jako fala elektromagnetyczna.