1
Inżynieria Środowiska
Studia dzienne - Semestr II - 2012/13
Zagadnienia do egzaminu z teorii
Całki górna i dolna, całka oznaczona. Warunek konieczny całkowalności,
warunki wystarczające całkowalności. Miara przedziału na prostej rzeczywi-
stej. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Twierdzenia: o liniowości
całki oznaczonej, o całce z funkcji nieujemnej, o zachowaniu nierówności dla
całki oznaczonej i o całkowaniu modułu. Podstawowe twierdzenie rachunku
różniczkowego i całkowego, twierdzenie o funkcji pierwotnej funkcji ciągłej,
wzór Newtona-Leibniza. Wzory na całkowanie przez podstawienie i przez
części dla całki oznaczonej. Pole figury płaskiej, długość łuku krzywej pła-
skiej, objętość bryły obrotowej i pole powierzchni obrotowej.
Szereg potęgowy (definicja, promień zbieżności, twierdzenie Cauchy ego-
Hadamarda, przedział zbieżności, twierdzenie o zbieżności). Szeregi Taylora
i Maclaurina. Szereg trygonometryczny, szereg Fouriera. Twierdzenia o sze-
regu cosinusów i szeregu sinusów.
Zbiór liczb zespolonych. Jednostka urojona. Postać algebraiczna liczby
zespolonej. Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej. Liczba sprzę-
żona. Moduł liczby zespolonej. Argument liczby zespolonej. Postać trygono-
metryczna liczby zespolonej. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Wzór
de Moivre a. Pierwiastek z liczby zespolonej. Twierdzenie o pierwiastkach
równania zn = w. Zasadnicze twierdzenie algebry. eiÕ, postać wykÅ‚adnicza
liczby zespolonej, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykład-
niczej, wzory Eulera.
Macierz. Macierze: zerowa, kwadratowa, diagonalna i jednostkowa. Rów-
ność macierzy, mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i odejmowanie
macierzy, iloczyn macierzy. Macierz transponowana. Definicja indukcyjna
wyznacznika macierzy kwadratowej. Minor macierzy kwadratowej, dopełnie-
nie algebraiczne. Rozwinięcie Laplace a. Wyznacznik macierzy diagonalnej.
Własności wyznacznika. Twierdzenie Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu
macierzy. Macierz odwrotna. Twierdzenia o istnieniu i o postaci macierzy
odwrotnej. Równania macierzowe. Układ równań liniowych, macierze zwią-
zane z układem równań liniowych. Układ Cramera, wzory Cramera. Mi-
nor macierzy, rzÄ…d macierzy, operacje elementarne. Twierdzenie Kroneckera-
Capellego. Twierdzenie o układach liniowych jednorodnych.
2
Interpretacja geometryczna przestrzeni R3. Mnożenie wektora przez licz-
bę, dodawanie i odejmowanie wektorów. Norma wektora. Długość odcinka.
Równoległość wektorów. Iloczyn skalarny wektorów i jego obliczanie w R3.
Prostopadłość wektorów. Wektory jednostkowe na osiach układu współrzęd-
nych. Układy współrzędnych prawoskrętny i lewoskrętny. Iloczyn wektorowy
i jego obliczanie w R3. Iloczyn mieszany wktorów w R3.
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych, pochodna funkcji dwóch
zmiennych. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych,
druga pochodna funkcji dwóch zmiennych. Twierdzenie Schwarza o pochod-
nych mieszanych. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funk-
cji dwóch zmiennych, warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
funkcji dwóch zmiennych.
Zamiana całki podwójnej na całki iterowane. Obszary normalne, oblicza-
nie całek podwójnych po obszarach normalnych. Współrzędne biegunowe na
płaszczyz
nie, obliczanie całki podwójnej we współrzędnych biegunowych.
Postacie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego. Roz-
wiązanie równania różniczkowego. Zagadnienie Cauchy ego, rozwiązanie za-
gadnienia Cauchy ego, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia Cauchy ego. Równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych,
jednorodne, zupełne i liniowe.