1
Inżynieria Środowiska
Studia dzienne - Semestr II - 2012/13
Zagadnienia do egzaminu z zadań
I. Obliczyć całki nieoznaczone:
x + 13 x - 21 2x - 3
dx, dx, dx,
(x - 2)(x + 3) (x + 2)(x - 3) x(x + 3)
3x - 8 1 1 1
dx, dx, dx, dx,
x(x - 2) ex + 1 sin x cos x
" " "
x2 - 81 dx, x2 + 49 dx, 25 - x2 dx.
II.1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi o równaniach:
y = x2 - 4, y = 2x - 4; y = -x2 + 4, y = -2x + 4;
3 3
y = , y = -x + 4; y = - , y = x - 4.
x x
II.2. Obliczyć długości krzywych o równaniach:
L = {(x, y) : 0 x 3, y = 2x2}, L = {(x, y) : 0 x 2, y = 3x2}.
II.3. Obliczyć objętości brył powstałych w wyniku obrotu dookoła osi Ox
obszarów:
G = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x2 + 3},
G = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x3 + 2}.
II.4. Obliczyć pola powierzchni powstałych w wyniku obrotu dookoła osi
Ox krzywych:
L = {(x, y) : 1 x 2, y = 3x + 5}, L = {(x, y) : 1 x 2, y = 5x + 3}.
III.1. Wyznaczyć Re z, Im z, jeśli:
2 + i 3 - i
z = , z = .
1 - 3i 1 + 2i
III.2. Obliczyć:
" " " "
( 3 + i)30, (- 3 + i)30, (1 - 3i)60, (-1 - 3i)60.
2
III.3. Rozwązać równania zespolone:
z2 = -5 + 12i, z2 = 5 - 12i, z2 - 10z + 41 = 0, z2 + 10z + 41 = 0.
IV.1. Wyznaczyć macierz A-1, jeśli:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 3 3 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 1 0 0 , A = 5 0 2 .
-2 3 5 -3 1 -2
IV.2. Rozwązać równania macierzowe:
-1 2 -5 1 0 -2 0 -6
· X = , X · = .
0 3 -6 0 -1 1 1 -5
IV.3. Rozwiązać układy równań liniowych:
-x + 3iy = 2 3ix - 5y = 1 + i
, ,
2ix + 7y = 1 - i x + 2iy = -2
Å„Å‚
x
òÅ‚ - 3y - 2z + 3u = 5
3x - 9y - 5z + 9u = 15 ,
ół
4x - 12y - 8z + 12u = 20
Å„Å‚
x
òÅ‚ - 2y + 3z - 5u = 7
2x - 4y + 6z - 9u = 14 .
ół
4x - 8y + 12z - 16u = 28
IV.4. Obliczyć cos (u, v), jeśli u = [1, -1, 2], v = [-4, 2, -2].
IV.5. Obliczyć |sin (u, v)|, jeśli u = [-1, 0, 2], v = [4, -2, 0].
V.1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:
f(x, y) = x2 + y2 - 2x + 8y - 1, f(x, y) = -x2 - y2 + 2x - 8y + 1,
f(x, y) = x2 + xy + y2 - 4x + 7y - 11, f(x, y) = -x2 - xy - y2 + 4x - 7y + 11,
f(x, y) = 2x2 - xy + y2 - 3x - 8y + 2, f(x, y) = -2x2 + xy - y2 + 3x + 8y - 2.
V.2. Obliczyć całki podwójne f(x, y) dx dy, jeśli:
P
f(x, y) = x2 + 2y, P = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 2};
f(x, y) = 2x + y2, P = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1};
f(x, y) = x2y - xy2, P = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 2};
f(x, y) = xy2 - x2y, P = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1}.