ÿþc . : ) X = 2 p + q + r , y = p + 3 q + 4 r , g d z i e p , q , r s " ! p a r a m i p r o s t o p a d l y m i
w e r s o r a m i 0 o r i e n t a c j i z g o d n e j z o r i e n t a c j , , ! u k l a d u w s p 6 l r z ~ d n y c h .
5 . 1
O b l i c z y c d l u g o s c i p o d a n y c h w e k t o r o w :
: I : : i . 5 . 8
a ) a = ( 3 , - 4 , 1 2 ) ; b ) b = ( ~ , - J 5 , 2 J 2 ) ;
( ) b l i c z y c p o l a p o d a n y c h p o w i e r z c h n i :
c ) c = ( g c o s < p , g s i n < p , h ) , g d z i e g ~ ° o r a z < p , h E l R ;
I ) r 6 w n o l e g l o b o k r o z p i ~ t y n a w e k t o r a c h a = ( 1 , 2 , 3 ) , b = ( 0 , - 2 , 5 ) ;
d ) d = ( g c o s < p c o s ' l j J , g s i n < p c o s ' l j J , g s i n ' l j J ) , g d z i e g ~ ° o r a z < p , ' l j J E R I I ) t r 6 j k " ! t 0 w i e r z c h o l k a c h A = ( 1 , - 1 , 3 ) , B = ( 0 , 2 , - 3 ) , C = ( 2 , 2 , 1 ) ;
1 , ) c z w o r o s c i a n r o z p i ~ t y n a w e k t o r a c h i i , V , w .
5 . 2
W e k t o r y a , b t w o r z , , ! d w a s ¥ i e d n i e b o l d t r o j k " ! t a . W y r a z i c s r o d k o w e t e g o t r o j l { / I I , I
, ; : I 5 . 9
- 4 - 4
p r z e z w e k t o r y a , b .
' 1 \ ' 6 j k , , ! t A B C r o z p i ~ t y j e s t n a w e k t o r a c h A B = ( 1 , 5 , - 3 ) , A C = ( - 1 , 0 , 4 ) . O b l i c z y c
w y s o k o s c t e g o t r 6 j k " ! t a o p u s z c z o n , , ! z w i e r z c h o l k a C .
5 . 3
Z n a l e z c w e r s o r i i , k t o r y :
! ' : : : 5 1 0
: : ; : ; .
a ) l e z y w p l a s z c z y z n i e x O y i t w o r z y k " ! t a z d o d a t n i , , ! c z ~ s c i , , ! o s i O x ;
I l h l i c z y c i l o c z y n y m i e s z a n e p o d a n y c h t r 6 j e k w e k t o r o w :
b ) t w o r z y z d o d a t n i m i c z ~ s c i a m i o s i O x , O y , O z o d p o w i e d n i o k , , ! t y a , ( 3 , , ;
I ) i t = ( - 3 , 2 , 1 ) , b = ( 0 , 1 , - 5 ) , c = ( 2 , 3 , - 4 ) ;
c ) t w o r z y j e d n a k o w e k , , ! t y z w e k t o r a m i a = ( 0 , 3 , - 4 ) , b = ( 8 , 6 , 0 ) i j e s t p o l o v , l l l l
I t ) i 1 = 1 + j , v = 2 1 - 3 j + k , w = - 1 + 2 j - 5 k ,
w p l a s z c z y z n i e w y z n a c z o n e j p r z e z t e w e k t o r y .
5 . 1 1
5 . 4
( l I J l i c z y c o b j ~ t o s c i p o d a n y c h w i e l o s c i a n 6 w :
O b l i c z y c i l o c z y n y s k a l a r n e p o d a n y c h p a r w e k t o r 6 w :
r w n o l e g l o s c i a n r o z p i ~ t y n a w e k t o r a c h a = ( 0 , 0 , 1 ) , b = ( - 1 , 2 , 3 ) , c =
a ) a = ( 1 , - 2 , 5 ) , b = ( 3 , - 1 , 0 ) ;
( 2 , 5 , - 1 ) ;
b ) i i = 3 i - 2 k , v = - i + 3 j + 7 k ;
I ) c 1 - w o r o s c i a n 0 w i e r z c h o l k a c h A = ( 1 , 1 , 1 ) , B = ( 1 , 2 , 3 ) , C = ( 2 , 3 , - 1 ) , D =
c ) x = p + 2 q - r , Y = 3 p - q + 2 r , g d z i e p , q , r s " ! w e r s o r a m i p a r a m i p l ' f ' I I
( - 1 , 3 , 5 ) ;
p a d l y m i .
I ) I ' o w n o l e g l o s c i a n 0 p r z e k , , ! t n y c h i i , v , w .
5 . 5
5 . 1 2
K o r z y s t a j , , ! c z i l o c z y n u s k a l a r n e g o o b l i c z y c m i a r y k " ! t 6 w m i ~ d z y :
' 1 1 1 I ' I I , w d < : i c ,
c z y
a ) w e k t o r a m i a = ( - 3 , 0 , 4 ) , b = ( 0 , 1 , - 2 ) ;
) w i : k t o r y a = ( - 1 , 3 , - 5 ) , b = ( 1 , - 1 , 1 ) , c = ( 4 , - 2 , 0 ) s " ! w s p 6 l p l a s z c z y z n o w ;
b ) d w u s i e c z n y m i k " ! t 6 w u t w o r z o n y c h p r z e z o s i e O x , O y o r a z o s i e O y , 0 . : :
I t ) P l l l l k t y P = ( 0 , 0 , 0 ) , Q = ( - 1 , 2 , 3 ) , R = ( 2 , 3 , - 4 ) , S = ( 2 , - 1 , 5 ) s " ! w s p 6 1
O x y z ;
p I I I K 1 -
' z y z n o w e .
c ) p r z e k , , ! t n y m i r 6 w n o l e g l o s c i a n u r o z p i ~ t e g o n a w e k t o r a c h i i = ( 1 , 2 , : 1 ) , , 1
( - 1 , 0 , 2 ) , w = ( 3 , 1 , 5 ) .
! d 3
l l i p i r l l l , { ' r w n a n i a o g 6 l n e i p a r a m e t r y c z n e p l a s z c z y z n s p e l n i a j , , ! c y c h p o d a n e W I I
5 . 6
I I l d I
O b l i c z y c d l u g o s c r z u t u p r o s t o ~ t n e g o w e k t o r a a = ( J 2 , v ' 3 , - I i » 1 1 1 1 \ \ I I I
p l l l r l 1 - c 1 - , y 1 - n a
p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( 1 , - 2 , 0 ) i j e s t p r o s t o p a d l a d o w < : k
b = ( - v t s , 0 , J 5 ) .
1 1 1 1 1 1 , ' I I . ( 0 , - 3 , 2 ) ;
' I 1 ' 1 I I I 1 I ' , C ' I ' , y 1 - 1 l
1 1 , p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t y P I = ( 0 , 0 , 0 ) , P 2 = ( 1 , 2 , 3 ) , P : !
: : : : ' : i : : : : : : 5 . 7
( I , : 1 , I I ) ;
O b l j ? , y c i l o C I ' , y l l y w ( ' k L n r o w C ' J l I I d l \ . l I Y I ' h 1 " 1 1 w l · 1 1 1 1 1 1 1 \ \ 1
I I I I I I I ' ( , ' ' ' ' ' Y 1 - I I I 1 , p r l ' , ( ' ( : l I o c ! l I i I l I l l d d , y " I ( I , : 1 , 1 1 ) , P ' j , ( 2 , 0 , - 1 ) 1 l I ' l W , j l l r d ,
p r l l ( l 1 -
. 1 ) I i , ( : 1 , ' J , ( ) ) , / ; ( 1 " ' 1 ' J ) . 1 i ) , 1 1 / , , 1
I I I I I l i t I I l ' l I d I I I d l , 1 ' 1 1 I 1 l 1 - 1 ' 1 - y ' I , l I y ,
" ,
x = t ,
d ) p l a s z c z y z n a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( 1 , - 1 , 3 ) o r a z j e s t r 6 w n o l e g l a d l l
Y = 1 + 2 t ,
w e k t o r 6 w I i = ( 1 , 1 , 0 ) , b = ( 0 , 1 , 1 ) ;
z = 2 + 3 t ,
e ) p l a s z c z y z n a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( 0 , 3 , 0 ) i j e s t r 6 w n o l e g l a d o p l a s z c J l Y
z n y 7 r : 3 x - y + 2 = 0 ;
f ) p l a s z c z y z n a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( 2 , 1 , - 3 ) i j e s t p r o s t o p a d l a d o p l a H J I
: : : : : ~ : ~ i . 1 6
5
c z y z n 7 r l : x + y = 0 , 1 r 2 : y - z = O .
Z n a l e z c p u n k t y p r z e c i c t c i a :
a ) r o s t c h l : { x + 2 y - z + 4 = 0 , l : { 2 x - y - 2 z + 8 = 0 ,
5 . 1 4
p Y 1 Y + z - 3 = 0 , 2 X + 2 y + 2 z - 5 = 0 ;
N a p i s a c r 6 w n a n i a p a r a m e t r y c z n e i k i e r u n k o w e p r o s t y c h s p e l n i a j 1 t : c y c h p o d a n e W l I
x - I y + 2 z - 4 .
r u n k i :
b ) p r o s t e j l : - 0 - = - 3 - = - . : : : I 1 p l a s z c z y z n y
a ) p r o s t a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( - 3 , 5 , 2 ) i j e s t r 6 w n o l e g l a d o w e k t O l ' I I
X = 8 + t ,
v = ( 2 , - 1 , 3 ) ;
7 r : y = 1 + 8 + 2 t ,
b ) p r o s t a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t y P I = ( 1 , 0 , 6 ) , P 2 = ( - 2 , 2 , 4 ) ;
{
z = 3 + 2 8 + 4 t ,
c ) p r o s t a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t P = ( 0 , - 2 , 3 ) i j e s t p r o s t o p a d l a d o p l a s z c z y z l I Y
7 r : 3 x - y + 2 z - 6 = 0 ;
d ) p r o s t a p r z e c h o d z i p u n k t P = ( 7 , 2 , 0 ) i j e s t p r o s t o p a d l a 0 w e k t o r 6 w V I
( 2 , 0 , - 3 ) , V 2 = ( - 1 , 2 , 0 ) ;
: f f 5 . 1 7
. : . : . : . : . : . : .
e ) p r o s t a j e s t d w u s i e c z n 1 t : k 1 t : t a o s t r e g o u t w o r z o n e g o p r z e z p r o s t e
) b l i c z y c o d l e g l o s c :
l ' x + 2 = y - 4 = ~ l . x + 2 = y - 4 = ~ .
. 1 ) p u n k t u P = ( 1 , - 2 , 3 ) o d p l a s z c z y z n y 7 r : x + y - 3 z + 5 = 0 ;
1 · 3 - 1 5 ' 2 . 1 - 5 3 '
b ) p l a s z c z y z n r 6 w n o l e g l y c h 7 r l : 2 x + y - 2 z = 0 , 7 r 2 : 2 x + y - 2 z - 3 = 0 ;
f * ) p r o s t a j e s t d w u s i e c z n 1 t : k 1 t : t a o s t r e g o u t w o r z o n e g o p r z e z p r o s t e
x - I Y + 1 z - 2 x + 6 y - 1 z + 2 9 c . ) p l a s z c z y z n 7 r l : x - 2 y + 2 z + 5 = 0 , 7 r 2 : 3 x - 6 y + 6 z - 3 = 0 ;
h : - 2 - = - = 1 = - 2 - ' l 2 : - 4 - - - = 3 - 1 2 '
I I ) p u n k t u P = ( 0 , 1 , - 1 ) o d p r o s t e j l : ~ = ! 1 = ~ ;
. x - I y + 1 z x y - 1 z - 3
~ ~ : ~ i ~ i ~
5 . 1 5
I ) p r o s t y c h r o w n o l e g l y c h h : - 1 - = - 2 - = - 1 ' l 2 : - 2 = - - - = 4 = - 2 - ;
Z b a d a c , c z y
a ) p u n k t y A = ( 1 , 2 , 3 ) , B = ( - 1 , - 2 , 0 ) n a l e z 1 t : d o p r o s t e j
f ) p r o s t y c h s k o s n y c h I I : { : : ~ : l 2 : { ~ : ~ ;
X = 1 + t ,
x - g y - 2 z x y + 7 z - 2
l : y = 2 + 2 t , g d z i e t E J R ;
p r o s t y c h I I : - 4 - - - = 3 l ' l 2 : - 2 = - g - - - 2 - ;
{
z = 3 - t ,
X = 2 + t ,
2 x + y - z + 3 = 0 . , .
- 0 J e s t z a w a r t a w p l a s z c z y z m e I I ) p r o s t e j l : y = - 3 + 2 t , g d z i e t E J R , o d p l a s z c z y z n y 1 r : 2 x + y + 4 z = O .
b ) p r o s t a m : {
x - 2 y z - 5 -
+ {
z = 2 - t ,
7 r : 5 y - 3 z + 1 3 = 0 ;
c ) p u n k t y A = ( 0 , 1 , 5 ) , B = ( 1 , 2 , 3 ) n a l e z 1 t : d o p l a s z c z y z n y
5 . 1 8
X = - 1 + 8 + t ,
( ) 1 I I j < . ; z y c m i a r c t k 1 t : t a m i c t d z y :
7 f : y = 2 + 3 8 - t , g d z i e 8 , t E J R ;
x - 3 y - 1 z + 2
{
z = 3 - 8 + 2 t ,
) p r o H L t 1 l : - 2 - = - 0 - = - - = 3 i p l a s z c z y z n 1 t : 7 r : x - z = 0 ;
y - ] z - : 2
x + 1 y - 3 z + 4 x
I I ) p l l l H Z ; r , y z n a m i 7 r l : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 , 1 r 2 : 2 x + y - z + 3 = 0 ;
l i l l i < , ' I I ' I i I I I I
d ) p r o s t e h
- 2 - - 1 - - - - = - 8 ' l 2
I
X = 1 - t , { x = 3 - 2 t ,
w s p 6 1 n y ;
I ) p l ' o l l l , y l l l i I I : 1 1 = : - 2 + t , g d z i e t E J R , l 2 : y = 4 - t ,
{
z . 1 / " z = 1 + 3 t ,
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