IflJlwl , III
NI"I\!1 ".I" q~lI"I'~".llb od powlCltI II II 1'1/1/,,1 W /",'/1,1111I.0111I11,11\II1Y w l,y"l ~(\dl\."i I j)ruwadzlL d ) IIld"du r6wnan
,II 1 71/ I 2z + 4t = 0 { x + 3y + 3z + 3t = 1
a + 2b + 2c = 60
) 21/ 1- z = 0 . b) 3x + Y + 3z + 3t = 1 .
2a+ b+ c=60
,I: I '11J-I- z = 1 ' 3x + 3y + z + 3t = 1 '
a + b + 3c = 70 .
{
It.l: 1 :3y + 2z = 0 3x + 3y + 3z + t = 1
1
a + 2b + 4c = 90
1 1 211- '.l: = 3y + 4z - 6 = 5z + 68 = 78 + 8t = x + Y + z + 8 + t - 2 = O.
Wy~naczenie wag poszczeg6lnych detali bchydzic mial jednoznaczne rozwi1:j,zanie, Stosuj!j,C metodc< eliminacji Gaussa - Jordn'"11
Ill,l'~ymamy
4.4 -,
1Ill',whl:~ac podane uklady r6wnaii metod~ macierzy odwrotnej:
x+ y+z=5
2:1; - y = 3 .
b) 2x + 2y + z = 3
{
) :3:r; + y = 2 ' {
3x + 2y + z = 1
y+z+t= 4
x+ y+ z= 4
d) x + z + t = -1
I ) 2x - 3y + 5z = -5
x+y +t= 2
{
{
-x + 2y - z = 2
x + Y + z = -2
1 0 0 20]
~ 0105.
[
o 0 1 15
~IIILI ic rZb) [ ;; ~]
-1 0 3
f::::::::::::: 41
::~~tt!i
.
3 -1
Dla jakich wartosci parametru p E JRpodane uklady r6wnaii s~ ukladami Cramera:
d) [; i-;]
2 0
~]
;
4 5 4
4 -2 -3
1 3 4
2px + 4y - pz = 4
(p + l)x - py = 1
a .
)
b) 2x + Y + pz = 1
{
o 1
2x + (p - l)y = 3p 1
{
(4 + 2p)x + 6y + pz = 3 5 1
f) 4 3 3 0 0
o 1
X - y - z - t = px 00075
8 1
[;~_i~~]
px + 3y + pz = 0
00016
o 1
d) -x + Y - z - t = py ?
c) -px + 2z = 3
{
-x - y + z - t = pz
{
x + 2y + pz = p
:;::;:;:::-:
-x - y - z + t = pt 'J;::::::: 4.6
Wykonuj~c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy
~:~~::.::::
4. 2
obliczyc ich rZKorzystaj~c ze wzoru Cramer a znaleic rozwi~zania podany 11 IIkll1d6w r6wnaii:
-2 1 -3 1 -5]
b) 45 15 30 -60 75
a) [; -~ -i ~i]
X + 2y + 3z = 1 Xi '21/ I 3z = 14
[
5 3 2 -8 7
4 -5 3 5 6
a) { 5x - 2y = 6 .
b) 2x + 3y + z = 3 ; c) 4x 1 :ly - z = 7.
3x + Y = 4 ' { {
3x + Y + 2z = 2 :/;-1/1 z=2
5x - 3y - z = 3
X - y + 2z - t = 1
31621]
2 1 422 2x+y-z= 1
d) 2x - 3y - z + t = :-1
d) [ ~ Ii 1~j]
c) 3 1 3 1 3 c) 3x - 2y + 2z = -4
{
[ {
x + 7y - t = 4
13 14 15 16
21214 x - Y - 2z = -2
1 1 1 0 000
X - 3y + 2z = 7
3 2 2 1 000
e) x - t = 2
{
5 3 2 2 100
- x - 3y + 2z + 2t = 3
-Li : :];
5212110
1 1 -4 1
3 1 0 1 010
4.10
1 1 1-4
1000001
Wskazae wszystkie mozliwe zbiory niewiadomych, ktore mog~ bye parametrami
okreslaj~cymi rozwi~zania podanych ukladow rownan liniowych:
4.7
X - y + z = -1 { x + 2y + 3z + 4t = -1
Sprowadzaj~c podane macierze do postaci schodkowej wyznaczye ich rz~dy:
a) 2x + 2y - 2z = 3; b) -x + 8y + llz + 12t = 5;
{
4 1 2 5
3x + y - z = 2 2x - y - z = -4
o 1 3 4
3 1
X - 3y + z - 2s + t = -5
4 4 7 13
7 1
u) [ ~ ~
c) 2x - 6y - 4s + t = -10
4 1 -2 1
;
1 2 3 4 ~]
{
2z + t = 0
8 5 5 14
-1 -2 -3 5 -3
-4 -1 2-1
,.::~:~::::::
4 11
::::t~: "
() A = [aij] jest macierz~ wymiaru 5 x 7, gdzie aij = i+ j dla 1 ~ i ~ 5, 1 ~ j ~7;
OkreSlie liczby rozwi~zan podanych ukladow rownan liniowych w zaleznosci od
«I) /3 = [bij] jest macierz~ wymiaru 6 x 6, gdzie bij = i2j dla 1 ~ i,j ~ 6.
p~lrametru rzeczywistego p:
(p -I- l)x - Y -I- pz = 1
4.8
){ (p+1)x+(2-p)y= P
b) (3-p)x -I- 4y - pz =-4
y"lIddc rz~dy podanych macierzy w zaleznosci od parametro rzeczywistego p:
.1 (1 _ 3p)x + (p - l)y = -6 ; {
px + 3y = -3
')[~~~] b)[~ !2 7~P]; 2x -I- py -I- pz + pt = 1
px + Y + 2z = 1
2p 2 2 1 2 + 2p -3 - p
d) 2x + 2y -I- pz -I- pt = 2
( ) x + py + 2z = 1 ;
2x -I- 2y + 2z -I- pt = 3
{
{
11-] p-1 1 1] [111 P] x + Y + 2pz = 1
2x -I- 2y -I- 2z + 2t = 4
( ) I p2 - IIp -lId) IIp P
I p-1p-1 1ppp
X + (p - 2)y - 2pz = 4
c) px+(3-p)y+ 4z=1
{
(L-I-p)x-l- y-l-2(2-p)z=7
() i -~-~-~]. f*) [~~ 2~ :: 4444]
:1 p 3 p , p2 2p 21pl 4
11 I P 1 p2 2p 21pl 2P
4.12
W wyLw6rni montuje Ril( wyroby A, B, C, D, E z czterech typow detali a, b, c, d.
1,1,·~hy.dda-li w ho :l~~l~(:ych Hklni! poszczegolnych wyrobow podane s~ w tabeli
w
W Plldlll\ych uldadacb rownan liniowych okrcslif: (nin mv,will~II.i'I'· i,-II) li(:~by ro~
will~1I1\Ilrll~ pnnUI1 trow:
1/ (,' fF
" I, ;1, :.
z
I
11
{ ." :1
I '11
,) ..;: h) {": I :~ II I
I 1
I, I I
I
I :1/1
I I
, I I
'I II :1
I
:"