Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa  zadania
PWSZ - Elbl¸
ag
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1
Niech &! = " b¸ przestrzenia zdarzeÅ„ elementarnych dla pewnego ekspe-
edzie ¸
rymentu losowego, jego podzbiory A Ä…" &! nazywamy zdarzeniami. Udowod-
nić, że w algebrze zdarzeÅ„ zachodz¸
a:
prawa rozdzielności
A )" (B *" C) = A )" B *" A )" C
A *" B )" C = (A *" B) )" (A *" C)
prawa de Morgana
(A *" B) = A )" B
(A )" B) = A *" B
oraz
A *" A )" B = A
A )" (A *" B) = A.
Uwaga. A, B, C Ä…" &! s¸ zdarzeniami.
a
Zadanie 2
Uprościć wyrażenia
(A *" B) )" (A *" B ) , (A *" B) )" (A *" B) , (A *" B) )" (A *" B ) )" (A *" B) ,
gdy A, B, C s¸ zdarzeniami ustalonej przestrzeni &!.
a
Zadanie 3
Na rysunkach przedstawiono obwody elektryczne.
1
Niech Ai oznacza zdarzenie polegajace na tym, że przepali si¸ i ty ele-
¸ e
ment. Opisz zdarzenie, że z zacisku pocz¸ ad
atkowego Zp przeplynie pr¸ do
zacisku końcowego Zk (dla każdego ukladu), używajac zdarzeń Ai.
¸
(a) (b)
A1
Zp A1 A2 Zk Zp Zk
A2
(c)
A2 A4
Zp A1 Zk
A3 A5
(d)
A1 A4 A5
A2
Zp Zk
A3 A6
A8
A7
(e)
A1 A2
A5 A6 Zk
Zp
A3 A4
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 4
Åšciany drewnianego szeÅ›cianu pomalowano na stalowy kolor, a nast¸
epnie
poci¸ go na 1000 takich samych szeÅ›cianików, które potem dobrze wymie-
eto
szano. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany sześcianik ma
(a) 2 Å›ciany w tym samym stalowym kolorze, a 4 pozostale s¸ w kolorze
a
wn¸
etrza,
(b) wszystkie swoje ściany w tym samym kolorze.
Zadanie 5
Cyfry 1, 2, 3, . . . , 9 zapisane s¸ na różnych kartkach. Wybieramy losowo
a
(bez zwracania) po kolei dwie z nich i zapisujac je w kolejności losowa-
¸
nia (od lewej do prawej), tworzymy liczb¸ dwucyfrow¸ Jakie jest praw-
e a.
dopodobieÅ„stwo, że b¸ to liczba
edzie
(a) podzielna przez 2,
(b) podzielna przez 3?
Zadanie 6
Losowo wybrany numer telefoniczny zawiera 7 cyfr. Jakie jest prawdopodo-
bieństwo, że
(a) wszystkie cyfry s¸ różne,
a
(b) numer sklada si¸ tylko z cyfr nieparzystych,
e
(c) każda cyfra nieparzysta wyst¸ w numerze tylko raz,
api
(d) każda cyfra nieparzysta wystapi w numerze co najmnej raz?
3
Zadanie 7
Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi (klasycznymi). Oblicz prawdopo-
dobieństwo, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest
(a) podzielny przez 2,
(b) podzielny przez 5.
Zadanie 8
Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że w losowo wzi¸ permutacji ciagu liczb
etej ¸
(1, 2, . . . , n), liczby parzyste nie zmienia swojej starej pozycji?
¸
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 9
Uczestniczysz w turnieju szachowym, w którym wyst¸ 7 szachistów lep-
epuje
szych od ciebie i 8 slabszych. Zawodników podzielono losowo na 4 cztero
osobowe grupy. Jakie jest prawopodobieństwo, że przejdziesz do drugiej
rundy, jeżeli z każdej grupy do dalszej rundy przechodzi tylko zwyci¸
ezca
grupy? Jak zmienia si¸ twoje szanse, gdy do drugiej rundy przechodzi z
¸ e
każdej grupy pierwszy i drugi szachista?
Zadanie 10 (Paradoks kawalera de Méré )
Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki
przy rzucie 4 kostek, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach
przy 24 rzutach obu kostek?
Zadanie 11 (Zadanie Samuela Pepysa )
Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej jednej szóstki
w 6 rzutach kostk¸ co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej
a,
trzech szóstek w 18 rzutach?
4
Zadanie 12 (Paradoks kawalera de Méré )
Jest to przyklad wyboru wlaściwego modelu dla opisu zjawiska. Przy rzucie
trzema kostkami sum¸ 11 i 12 oczek można otrzymać na tyle samo sposobów.
e
Dlaczego cz¸Å›ciej wypada suma 11 oczek?
e
Zadanie 13
WÅ›ród dziesi¸ losów trzy s¸ wygrywajace. KupiliÅ›my 5 losów. Obliczyć
eciu a ¸
prawdopodobieÅ„stwo, że wÅ›ród nich znajduje si¸
e:
(a) jeden los wygrywajacy,
¸
(b) dwa losy wygrywajace,
¸
(c) trzy losy wygrywajace.
¸
Zadanie 14
Wind¸ jedzie 8 osób, a każda może wysiaść na jednym z dziesi¸ poziomów.
a ¸ eciu
Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że na pewnym pi¸ wysiadzie wi¸ niż
etrze ¸ ecej
jedna osoba?
Zadanie 15*
Zestaw Å›niadaniowy sklada si¸ z 6 kubków i 6 talerzyków, z których po dwa
e
s¸ odpowiednio w kolorach bialych, czerwonych i fioletowych. Gospodyni
a
losowo ustawila je na stole. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda para
(kubek/talerzyk) jest różnokolorowa?
Zadanie 16*
(a) W m ponumerowanych urnach umieszczono w sposób losowy n jed-
nakowych kul. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w pierwszej
urnie jest n1 kul, w drugiej n2 kul, . . . , w m tej urnie nm kul, gdzie
n1 + n2 + · · · + nm = n i nj e" 0.
(b) W m urnach (bez numeracji, tzn. ich porz¸ jest nieistotny) umiesz-
adek
czono w sposób losowy n jednakowych kul. Obliczyć prawdopodobień-
stwo tego, że dla zadanego zbioru parami różnych liczb {k1, k2, . . . , km},
gdzie 0 d" kj i k1+k2+· · ·+km = n, liczebnoÅ›ci kul w urnach pokrywaj¸
a
si¸ z kj.
e
Jak zmieni si¸ problem, gdy kule ponumerujemy (pokolorujemy na różne
e
kolory)?
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 17
Losowo wybrano dwie nieujemne liczby x, y takie, że każda z nich jest nie
wi¸ od 1. Znalez
ć prawdopodobieństwo, że x + y d" 1 i xy e" 0.09.
eksza
Zadanie 18
Niech (&!, F, P ) b¸ przestrzenia probabilistyczn¸ A, B " F spelniaj¸
edzie ¸ a. a
3 1 1 1
P (A) = , P (B) = . Pokaż, że d" P (A )" B) d" .
4 3 12 3
Zadanie 19
Talia sklada si¸ z 52 kart w czterech kolorach. Po wyciagni¸ jednej karty
e ¸ eciu
i zwróceniu jej do talii, tasujemy karty i znów wyciagamy kart¸ Obliczyć
¸ e.
prawdopodobieÅ„stwo, że obie wyciagni¸ karty s¸ tego samego koloru.
¸ ete a
Zadanie 20
Z talii kart (52 sztuki) wybieramy losowo (bez zwracania) trzy karty. Obli-
czyć prawdopodobieÅ„stwo, że b¸ a to trójka, siódemka i król.
ed¸
Zadanie 21
3 krotnie rzucono symetryczn¸ kostk¸ Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że
a a.
(a) szóstka wypadla dokladnie raz?
(b) wszystkie wyrzucone oczka byly parzyste?
(c) suma wyrzuconych oczek jest co najwyżej 5?
(d) suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez 6?
Zadanie 22*(Paradoks Bertranda)
Z okr¸ o promieniu 1 wybrano losowo ci¸ e AB. Jaka jest szansa, że
egu eciw¸
b¸ ona dluższa niżeli bok trójk¸ równobocznego wpisanego w okr¸
edzie ata ag?
6
Zadanie 23* (Igla Buffona)
Igl¸ o dlugoÅ›ci l rzucono na podlog¸ z desek o szerokoÅ›ci a (l d" a). Jaka jest
e e
szansa, że igla przetnie kraw¸ deski?
edz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 24
Ufoludki nadaja przez ufoludkowe kanaly slowa ze swojego j¸ w któ-
¸ ezyka,
rym alfabet sklada si¸ z liter A, B, C, D. Statystycznie na dziesi¸Ä‡ wys-
e e
t¸ acych liter literka A wyst¸ 4 razy, B 3 razy, C 2 razy, a D je-
epuj¸ epuje
den raz. Ponieważ Elfy zaklócaja ufoludkowe kanaly transmisyjne praw-
¸
dopodobieństwo, że nadana litera zostanie odczytana wlaściwie wynosi dla
każdej litery 0.7 i z jednakowym prwawdopodobieństwem 0.1 jako jedna z
pozostalych. Litery wchodz¸ w sklad każdego slowa s¸ przeklamywane
ace a
niezależnie.
1. Jakie jest prawodpodobieństwo, że nadajac slowo
¸
(a) ABBA na wyjÅ›ciu pojawi si¸ slowo BABA,
e
(b) BACA na wyjÅ›ciu pojawi si¸ slowo CACA?
e
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy na wyjście dotarlo slowo
(c) BABA to nadano slowo ABBA,
(d) ABBA to nadano slowo ABBA,
(e) BACA to nadano slowo CACA?
Zadanie 25
W urnie jest n kul bialych i k kul czarnych, gdzie n e" 3, k e" 3. Po
każdym losowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej j kul koloru prze-
ciwnego, ale zatrzymujemy wylosowan¸ kul¸ W drugim losowaniu
a e.
wyciagni¸ kul¸ biala. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że w pierwszym
¸ eto e ¸
losowaniu wyciagni¸ kul¸ czarn¸
¸ eto e a?
7
Zadanie 26
Kierowcy dziela si¸ na ostrożnych (jest ich 95%) i taki kierowca powoduje
¸ e
w ciagu roku wypadek z prawdopodobieństwem 0.01 oraz na piratów dro-
¸
gowych (jest ich 5%), którzy z prawdopodobieństwem 0.5 maja wypadek w
¸
ciagu roku. Wybrany losowo kierowca nie spowodowal wypadku w latach
¸
2006 i 2007. Jaka jest szansa, że b¸ on mial wypadek w 2008 roku?
edzie
Zadanie 27
W urnie jest b kul bialych i c kul czarnych. Po każdym losowaniu jednej kuli
z urny dorzucamy do niej j kul tego samego koloru i zwracamy wylosowan¸
a
kul¸ Wyprowadzić wzór na pi = prawdopodobieÅ„stwo, że w i tym losowa-
e.
niu wylosowano kul¸ biala.
e ¸
Zadanie 27f&
W urnie jest b kul bialych, c kul czarnych i z kul zielonych. Po każdym
losowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej j kul tego samego koloru i
zwracamy wylosowan¸ kul¸ Wyprowadzić wzór na pi = prawdopodobieÅ„-
a e.
stwo, że w i tym losowaniu wylosowano kul¸ bial¸
e a.
Zadanie 28
W urnie jest k losów pustych i n o pewnej wartoÅ›ci. Do urny podchodz¸
a
kolejno uczestnicy loterii i ciagn¸ jeden los. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo,
¸ a
że j ty uczestnik wyciagnie los pusty (1 d" j d" k + n)?
¸
Zadanie 28f&
Urna zawiera z kul zielonych, n kul niebieskich i b kul bialych. Wyciagamy
¸
bez zwracania kule. Niech Ck oznacza zdarzenie polegajace na tym, że w k
¸
tym losowaniu, gdzie 1 d" k d" n + z + b, wylosowano kul¸ biala. Wyprowadz

e ¸
wzór na prawdopodobieństwo P (Ck).
Zadanie 29*
Niech (&!, F, P ) b¸ przestrzenia probabilistyczn¸ A " F, B " F spelniaja
edzie ¸ a, ¸
0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1. Udowodnij, że P (A|B) > P (A) Ð!Ò!
P (B|A) > P (B) Ð!Ò! P (A|B ) < P (A).
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 30
Firma ubezpieczeniowa ma stalych klientów, stanowiacych 85% wszystkich
¸
klientów, którzy powoduj¸ w ciagu roku wypadek z prawdopodobieÅ„stwem
a ¸
0.01 oraz 15% nowych klientów, którzy powoduja wypadek z prawdopodobień-
¸
stwem 0.05. PrawdopodobieÅ„stwo, że dany klient b¸ mial w ciagu roku
edzie ¸
wypadek jest dla niego niezmienne, niezależne od tego, czy mial wypadek
poprzednio czy nie. Zatem prawdopodobieństwo, że wybrany losowo klient
b¸ mial wypadek, jest równe 0.016, a prawdopodobieÅ„stwo, że b¸ mi-
edzie edzie
al drugi wypadek, jeżeli wiemy, że mial pierwszy, jest równe 0.02875. W jaki
sposób jest to prawdopodobieństwo obliczane? Czy aktuariusz nie powinien
wprost obliczyć to prawdopodobieÅ„stwo jako 0.016 × 0.016 = 0.000256?
Zadanie 30f& (W pewnym sensie kontynuacja zadania poprzedniego)
Kierowcy dziela si¸ na ostrożnych (jest ich 95%) i taki kierowca powoduje
¸ e
w ciagu roku wypadek z prawdopodobieństwem 0.01 oraz na piratów dro-
¸
gowych (jest ich 5%), którzy z prawdopodobieństwem 0.5 maja wypadek w
¸
ciagu roku. Wybrany losowo kierowca nie spowodowal wypadku w latach
¸
2005 i 2006. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
(a) b¸ on mial wypadek w 2007 roku?
edzie
(b) jest to pirat?
Zadanie 31
Gracze A i B graja w  orla i  reszk¸ rzucajac monet¸ (niekoniecznie
¸ e , ¸ a
symetryczn¸ W pojedynczej kolejce gracz A wygrywa 1 zl z prawdopodo-
a).
bieństwem p " (0, 1) i przegrywa 1 zl z prawdopodobieństwem q = 1 - p.
Pocz¸ kapitaly graczy A i B wynosz¸ odpowiednio a i b (a + b = z).
atkowe a
Gra koÅ„czy si¸ wtedy, gdy jeden z graczy nie ma pieni¸
e edzy.
" Oblicz prawdopodobieństwo pa ruiny gracza A.
9
" Gracz przyjmuje strategi¸ że  wychodzi z gry, gdy po raz pierwszy
e,
ma na swoim koncie kwot¸ a + k, gdzie 0 < k d" b. Oblicz praw-
e
dopodobieÅ„stwo, że gracz A zrealizuje swoja strategi¸
¸ e.
" Zalóżmy, że gracz A dysponuje nieograniczonym kapitalem (a = ") i
postanawia, że gra tak dlugo, aż calkowicie  splucze przeciwnika B.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokona tego w skończonym czasie?
Zadanie 31* (Bl¸ prokuratorskie)
edy
Niech W oznacza zdarzenie: oskarżony jest winny, a Z zdarzenie: zeznanie
Å›wiadka oskarżenia jest prawdziwe. Pewna grupa s¸ wyznaje zasad¸
edziów e:
P (W |Z) = P (Z|W ). Pokaż, że tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy P (W ) =
P (Z).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 32
Czy z tego, że zdarzenia A, B i C s¸ parami niezależne, wynika, że A \ C,
a
B s¸ też niezależne?
a
Zadanie 33
Na rysunku poniżej widać dwa systemy niezależnie dzialajacych bezpieczni-
¸
ków. PrawdopodobieÅ„stwo przepalenia si¸ bezpiecznika przed uplywem cza-
e
su T jest równe p (takie samo dla wszystkich bezpieczników). Oblicz praw-
dopodobieÅ„stwo ciaglego przeplywu pr¸ (a) z P do Q i (b) z R do S
¸ adu
w czasie T.
10
(a)
P Q
(b)
R S
Zadanie 34
Wacek gra z Zuz¸ w nast¸ ¸ a gr¸ Wacek rzuca symetryczn¸ kostk¸
a epujac¸ e: a a
szeÅ›cienn¸ a Zuza losuje (ze zwracaniem) monety 2 i 5 zlotowe ze szczelnego
a,
worka, w którym znajduje si¸ 15 monet 2 zlotowych i 10 monet 5 zlotowych.
e
Liczba oczek wyrzuconych przez Wacka jest mnożona przez wartość monety
wyciagni¸ przez Zuz¸ i otrzymujemy pewn¸ wartość (zmienn¸ losow¸ X.
¸ etej e a a a)
Jeżeli wynik mnożenia X jest podzielny przez 5, to tak¸ kwot¸ Wacek placi
a e
Zuzi. Jeżeli wynik X nie jest podzielny przez 5, to wtedy tak¸ kwot¸ placi
a e
Zuzia Wackowi. Czy gra jest uprzywilejowana dla Wacka, czy dla Zuzi?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 35
Mówimy, że zmienna losowa X : (&!, F, P ) R ma:
(a) rozklad Bernoulliego (dwumianowy), gdy
11
n
P (X = k) = pk(1 - p)n-k , k = 0, 1, . . . , n , 0 d" p d" 1.
k
(b) rozklad Poissona z parametrem  > 0 , gdy
k
P (X = k) = e- , k = 0, 1, 2, . . . .
k!
(c) rozklad geometryczny, gdy
P (X = k) = (1 - p)k-1p , k = 1, 2, . . . , 0 < p < 1 .
(d) rozklad jednostajny na odcinku [a, b], gdy
Å„Å‚
ôÅ‚0 t d" a
òÅ‚
t-a
P (X d" t) = .
a < t < b
ôÅ‚b-a
ół
1 t e" b
(e) rozklad wykladniczy z parametrem  > 0, gdy
0 t d" 0
P (X d" t) = .
1 - e-t t > 0
Oblicz EX , V ar(X) dla rozkladów (a)  (e).
Zadanie 36*
Niech X(É) oznacza liczb¸ wyrzuconych oczek w pojedynczym rzucie (symetry-
e
czn¸ kostk¸ szeÅ›cienn¸ Znajdz
i narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej
a) a a. e
(a) X,
(b) Y = X(X - 2),
(c) Z = |X - 3|.
Zadanie 37*
Niech zmienna losowa U ma rozklad jednostajny na odcinku [0, 1]. Dla
ustalonej liczby naturalnej n znajdz
rozklad (dystrybuant¸ zmiennej losowej
e)
V = nU + 1 oraz wartość oczekiwan¸ E(V ) zmiennej losowej V .
a
Przypomnienie: · oznacza funkcj¸ podlogow¸ tzn. dla x " R, x =
e a,
najwi¸ liczbie calkowitej nie wi¸ niżeli x.
ekszej ekszej
Zadanie 38*
Niech zmienna losowa X ma rozklad N (0, 1) i a > 0 dowolnie ustalona liczba
dodatnia. Znajdz
rozklad zmiennej losowej
X(É), jeżeli |X|(É) < a ,
Xa(É) =
-X(É), jeżeli |X|(É) e" a .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 39
Rzucamy jedn¸ kostk¸ szeÅ›cienn¸ symetryczn¸ X oznacza liczb¸ wyrzu-
a a a a. e
conych oczek. Jest to zmienna losowa. Oblicz wartość oczekiwan¸ EX i
a
wariancj¸ V arX. Narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej X.
e e
Zadanie 40
Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi symetrycznymi. Przez Y oznacza-
my sum¸ wyrzuconych oczek. Jest to zmienna losowa. Oblicz wartość
e
oczekiwan¸ EY i wariancj¸ V arY . Narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej
a e e
Y .
Zadanie 41
Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi symetrycznymi. Przez Z oznacza-
my iloczyn wyrzuconych oczek. Jest to zmienna losowa. Oblicz wartość
oczekiwan¸ EZ i wariancj¸ V arZ. Narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej
a e e
Z.
Zadanie 42
Niech U b¸ zmienn¸ losow¸ o rozkladzie jednostajnym na odcinku [0, 1].
edzie a a
(a) Wyznacz i narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej U2, znajdz
jej g¸
e estość
i oblicz jej wartość oczekiwan¸ oraz wariancj¸
a e.
(b) Wyznacz i narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej W = 5 · U + 1,
e
gdzie · oznacza funkcj¸ podlogow¸
e a.
Zadanie 43*
Niech V b¸ zmienn¸ losow¸ o rozkladzie wykladniczym z parametrem
edzie a a
. Znajdz
wartość oczekiwan¸ EV oraz wariancj¸ V arV . Znajdz
g¸
a e estość
zmiennej losowej V2 = 2 · V .
13
Zadanie 44*
Niech N1 i N2 oznaczaja niezależne zmienne losowe o rozkladach Poisson-
¸
a odpowiednio z parametrami 1 i 2. Dla ustalonej nieujemnej liczby
calkowitej k oblicz P (N1 + N2 = k). Jaki ma rozklad zmienna losowa
N1 + N2?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 45
Niech zmienna losowa X ma rozklad (funkcj¸ prawdopodobieÅ„stwa postaci:
e)
xi x1 = -2 x2 = -1 x3 = 0 x4 = 2 x5 = 4
pi 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3
Narysuj dystrybuant¸ zmiennej losowej X oraz oblicz jej wartość oczekiwan¸
e a
i wariancj¸
e.
Zadanie 46
Wyznacz g¸ zmiennych losowych, jeżeli ich dystrybuanty s¸ postaci:
estości a
0, gdy x d" 0
(a) FX1(x) =  > 0 (rozklad Rayleigha)
x2
1 - e- 
, gdy x > 0
0, gdy x d" 0
(b) FX2(x) = , p > 0 (rozklad Weibulla)
xp
1 - e- 
, gdy x > 0
Oblicz mediany.
Zadanie 47
Wykres g¸ zmiennej losowej X przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć
estości
wartść oczekiwan¸ zmiennej losowej X oraz znajdz
jej dystrybuant¸
a e.
14
y
0,5
y = f(x)
x
-1 1 2 3
Zadanie 48
Zmienna losowa X ma rozklad o g¸
estości
3x2, gdy 0 d" x d" 1,
f(x) =
0, poza tym.
Obliczyć wartość oczekiwan¸ EX oraz median¸
a e.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 49
Niech zmienne losowe X, Y b¸ a niezależne o dystrybuantach odpowiednio
ed¸
FX i FY . Znajdz
dystrybuanty zmiennych losowych V = max{X, Y } i
U = min{X, Y }. Zastosuj otrzymany rezultat do rozkladów wykladniczych
i oprócz dystrybuant znajdz
g¸ zmiennych losowych U i V .
estości
Zadanie 50
Niech X b¸ zmienn¸ losow¸ o rozkladzie N (0, 1) oraz Y = eX. Znajdz

edzie a a
g¸ Y . Oblicz E(Y ).
estość
Zadanie 51
Niech X, Y s¸ zmiennymi losowymi okreÅ›lonymi na (&!, F, P ) o skoÅ„czo-
a
nym drugim momencie, gdzie V ar(X) = 0. Wyznacz stale liczbowe a , b

tak, aby E(Y - aX - b)2 byla minimalna.
15
Zadanie 52
Niech zmienna losowa X oznacza wyskość (wyrażona w [m]) czlowieka a Y
dlugość jego kciuka (wyrażona w [cm]). Przebadano losowo wybran¸ grup¸
a e
(11 osób) i uzyskano nast¸ ¸ a tabelk¸
epujac¸ e:
xi 1.87 1.72 1.52 1.67 1.67 1.55 1.94 1.49 1.88 1.75 1.63
yi 7.23 6.25 4.96 5.67 6.88 6.55 8.23 5.51 7.89 7.12 6.78
Wyznaczyć równania prostych regresji cechy X wgl¸ Y i cechy Y
edem
wzgl¸ cechy X. Każdy student przynosi wykresy (prostych regersji
edem
pochodz¸ z rozwi¸ tego zadania) wykonane na papierze
ace azania
milimetrowym.
Zadanie 53*
Wykazać, że wspólczynnik korelacji jest symetryczny (Á(X, Y ) = Á(Y, X))
oraz nie zmienia si¸ przy przeksztalceniach liniowych, tzn. Á(X, Y ) =
e
Ä…Á(aX + b, cY + d) (o ile a = 0, c = 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 54
Rzucamy 100 razy monet¸ Niech Xj (j = 1, 2, . . . ) oznacza wynik j tego
a.
rzutu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba wyrzuconych orlów jest
wi¸ od 55.
eksza
Zadanie 55
Wadliwość produkowanych elementów wynosi w = 0, 05 . Z bież¸ pro-
acej
dukcji pobieramy w sposób losowy próbk¸ o liczbnoÅ›ci n = 100. Niech Sn
e
b¸ liczb¸ sztuk wadliwych w próbce.
edzie a
(a) Obliczyć P (Sn e" 5) , P (Sn e" 9) .
16
(b) Jeżeli w badanej próbce stwierdzono, że liczba sztuk wadliwych jest
równa 9, to czy wynik ten nasuwa przypuszczenie, że wadliwość
w = 0, 05 jest podana zbyt optymistycznie?
Zadanie 56
Aparat wykonuje w takich samych warunkach seri¸ niezależnych zdj¸Ä‡ fo-
e e
tograficznych okreÅ›lonego obiektu. Wiadomo, że 10% zdj¸Ä‡ spelnia sta-
e
wiane wymagania techniczne. Ile zdj¸Ä‡ należy wykonać, aby z prawdopodo-
e
bieÅ„stwem 0,9 co najmniej 10 zdj¸Ä‡ spelnialo stawiane wymagania tech-
e
niczne?
Zadanie 57
Prawdopodobieństwo uszkodzenia elementu w ciagu określonego czasu T
¸
jest równe 0,2 . Jak duża powinna być liczba elementów, aby co najmniej
50 spośród nich z prawdopodobieństwem 0,9 nie uleglo uszkodzeniu w ciagu
¸
rozważanego czasu T ?
Zadanie 58
PrawdopodobieÅ„stwo urodzenia si¸ chlopca jest równe 0,52 . Jakie jest
e
prawdopodobieÅ„stwo tego, że wÅ›ród 1000 noworodków b¸ co najwyżej
edzie
480 dziewczynek?
Zadanie 59
PrawdopodobieÅ„stwo, że sterownik ulegnie awarii w okresie 12 miesi¸ jest
ecy
równe p = 0, 0001. Na stacji kosmicznej w trybie ciaglym pracuje ich 1250.
¸
Ile trzeba zabrać zapasowych sterowników, aby z prawdopodobieństwem
0, 999 przez okres jednego roku, nie trzeba bylo wysylać statku transporto-
wego z cz¸Å›ciami zamiennymi?
e
Zadanie 60
Rzucamy kostk¸ 180 razy. Oszacować prawdopodobieÅ„stwo, że wyrzucono
a
 6 mniej niż 25 razy.
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strony, które przywolujemy w zadaniach z tej listy odnosz¸ si¸ do po-
a e
dr¸
ecznika: W. Krysicki, J. Bartos, i inni, Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach, cz¸Å›Ä‡ II Statystyka matematyczna,
e
PWN wydanie 7 (2000).
Zadanie 61
Niech zmienna losowa X ma zadany rozklad. Odczytaj ze stosownych tablic:
1. P (X " (-2, 4]) gdy X ma rozklad normalny N (1, 9), tzn. m = 1,
Ã2 = 9.
2. P (|X| e" 2) gdy X ma rozklad normalny N (0, 1), tzn. m = 0, Ã2 = 1.
3. P (X d" 4) gdy X ma rozklad normalny N (2, 4), tzn. m = 1, Ã2 = 4.
4. P (0.5 d" X d" 6) gdy X ma rozklad Ç2 z 4 stopniami swobody.
5. P (X d" 9) gdy X ma rozklad Ç2 z 15 stopniami swobody.
6. P (d" X d" 20) gdy X ma rozklad Ç2 z 20 stopniami swobody.
7. P (-0.5 d" X d" 6) gdy X ma rozklad t studenta z 4 stopniami
swobody.
8. P (|X| d" 4) gdy X ma rozklad t studenta z 8 stopniami swobody.
9. P (X e" -2) gdy X ma rozklad t studenta z 10 stopniami swobody.
Zadanie 62 (strony 49 55 i 85 88)
Zmierzono opór 10 losowo wybranych oporników i uzyskano nast¸ ¸
epujace
wyniki (w [k&!]):
12.23, 11.98, 12.12, 11.99, 12.11, 11.92, 12, 31, 11, 89, 12.11, 12.05 .
Zakladajac, że rozklad jest normalny N (m, Ã2), gdzie à = 0.1 wyznacz na
¸
podstwie tej próby przedzial ufności (patrz str. 50) dla nieznanej wartości
przeci¸ m, jeżeli zadano poziom ufnoÅ›ci
etnej
1. 1 - 0.05 = 0.95.
2. 1 - 0.01 = 0.99.
3. 1 - 0.1 = 0.9.
4. Na poziomie istotnoÅ›ci Ä… = 0.05 zweryfikować hipotez¸ H : m = 12
e
przy alternatywie K : m = µ < 12 (patrz str. 87, zadanie 3.3)
18
Zadanie 63 (strony 49 55 i 85 88)
Zmierzono wytrzymalość 10 losowo wybranych elementów kontrukcji bu-
dowlanych i uzyskano nast¸ ¸ wyniki (w [MP a]):
epujace
423, 498, 412, 499, 411, 492, 431, 489, 411, 405 .
Zakladajac, że rozklad jest normalny N (m, Ã2), o nieznanych parametra-
¸
ch m, à wyznacz na podstwie tej próby przedzial ufnoÅ›ci (patrz str. 50)
dla nieznanej wartoÅ›ci przeci¸ m, jeżeli zadano poziom ufnoÅ›ci (patrz
etnej
zadanie 2.8 str. 54)
1. 1 - 0.05 = 0.95.
2. 1 - 0.01 = 0.99.
3. 1 - 0.1 = 0.9.
Na poziomie istotności ą = 0.05 zweryfikować
4. Hipotez¸ H : m = 450 wobec hipotezy alternatywnej K : m = 450
e
(patrz str. 87 i 88, zadanie 3.5).
Zadanie 63 (patrz str. 56,57,89,90)
Nowo zatrudniony górnik w kolejnych dniach mial nast¸ ¸ urobek (wyra-
epujacy
żony w tonach [t]):
5.723, 5.902, 6.111, 5.989, 6.107, 6.095, 6.113, 5.899, 6.194, 6.108 .
Zakladajac, że jego sprawność w poszczególnych dniach nie ulaga determini-
¸
stycznym wplywom i że dzienny urobek ma rozklad normalny N (m, Ã2):
1. Znalez
ć 90% owe realizacje przedzialów ufności dla jego wariancji i
odchylenia standardowego (patrz zadanie 2.11 str. 57).
2. Zweryfikować na poziomie istotnoÅ›ci Ä… = 0.05 hipotez¸ H: Ã2 = 0.01
e
dotycz¸ a wariancji Ã2 wahaÅ„ urobku, wobec hipotezy alternatywnej K:
ac¸
Ã2 = 0.01 (patrz zad. 3.6 str.90).

19