Zadania . Przykłady. 

 

Zad 1. Zakład może wytwarzać trzy rodzaje wyrobów: A, B i C. Przy produkcji tych wyrobów zużywane są dwa rożne 
surowce: S

1

 i S

2

, których zasoby są limitowane i wynoszą odpowiednio: 2000 i 1600 kg. Jednostkowe normy zużycia 

tych surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podane są w tabeli: 
 
 
 
 
 
 
 
Zysk jednostkowy zrealizowany ze sprzedaży wyrobu A wynosi 4 zł, wyrobu B – 3 zł, a wyrobu C – 5 zł. Należy 
wyznaczyć takie wielkości produkcji poszczególnych wyrobów, aby przy podanych ograniczeniach całkowity zysk ze 
sprzedaży produkowanych wyrobów był możliwie największy. 

 

Zad 2.  Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby X i Y . Produkcja tych wyrobów wymaga nakładu różnych środków 
produkcji. Część tych środków można nabyć w nieograniczonych ilościach, jednak niektóre z nich można wykorzystać 
tylko w ściśle określonych granicach. Ograniczenia te są związane np. z trudnościami natychmiastowej dostawy surowca 
z importu – przedsiębiorstwo dysponuje 3600 kg, możliwością zatrudnienia wykwalifikowanych pracowników – 24000 
rbh, czy limitami zużycia energii w określonych godzinach – 2800 kWh. Technologia procesów produkcyjnych określa 
nakład każdego z limitowanych środków produkcji, niezbędny do wytworzenia jednostki każdego z wyrobów. Znane są 
parametry zadania, czyli ceny wyrobów oraz środków produkcji.Znając zyski jednostkowe ze sprzedaży wyrobów X i Y, 
które  wynoszą  odpowiednio:  8  i    5  zł,  znaleźć  optymalny  plan  produkcji  uwzględniający  warunki  ograniczające  i 
maksymalizujący  zysk  ze  sprzedaży.  Z  dotychczasowych  analiz  sprzedaży  wynika,  że  wyrobu  X  nie  będzie  można 
sprzedać więcej niż 350 sztuk. Wyrobu Y nie opłaca się produkować mniej niż 50 sztuk (powinno się produkować co 
najmniej  w  ilości  50  sztuk).  Zużycie  surowca  oraz  energii  na  jednostkę  produktu  X  i  Y  jest  równe  1  jednostce 
rozliczeniowej. Natomiast do wyprodukowania jednostki wyrobu X należy zużyć 20 rbh, a do wyprodukowania jednostki 
wyrobu Y 10 rbh. 

 

Zad 3. Organizm człowieka w pewnym wieku potrzebuje określonej ilości składników odżywczych: białka, 
węglowodanów i tłuszczu. Należy dostarczyć ich odpowiednią ilość zakupując w tym celu jedynie dwa produkty: chleb 
i mięso. Zakładamy, że w 1 kg każdego z tych produktów zawarte są następujące ilości tych substancji (w gramach): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zakładamy również, że należy spożyć dziennie co najmniej 100 g białka, 100 g tłuszczu i 150 g węglowodanów. 
Spożycie chleba nie może przekroczyć 1,5 kg na dzień, a spożycie tłuszczu w ilości 300 g dziennie jest szkodliwe dla 
zdrowia. Cena chleba wynosi 3 zł/kg, a mięsa 15 zł/kg. 

 

Zad 4.   
Tartak posiada 20 kłód o długości 2,3 m. Z kłód tych można uzyskać belki o mniejszej długości. Klient zamówił 2 belki o 

długości 1,5  m i 10 belek o długości 0,8 m. 

a. 

Ustalić wszystkie możliwe racjonalne sposoby przecinania kłód na belki. 

b. 

Ustalić kryterium wyboru optymalnego planu cięcia kłód. 

c. 

Sformułować problem w postaci zadania PL. 

d. 

Podać, czy ograniczenie ze względu na liczbę kłód jest istotne. 

e. 

Znaleźć rozwiązanie optymalne zadania metodą geometryczną. Podać jakie założenia upraszczające należy przyjąć, 
aby móc ją zastosować. 

f. 

Podać optymalny plan cięcia kłód i ocenić  przyjęte kryterium wyboru. 

Jakie dane są jeszcze potrzebne, aby jako kryterium wyboru przyjąć maksymalizację dochodu? Sformułować 

odpowiednią funkcję celu. 

 

Zad 5. Opracuj plan zakupu obligacji spośród trzech typów(Aaaa- dwuletnie, Bbbb-trzyletnie, Cccc-roczne), przy 

podanej cenie zakupu oraz planowanych przychodach na koniec każdego z okresów I,II,III (dane w poniższej tabeli).  

Obligacje

 

Cena

 

I

 

II

 

III

 

Aaaa

 

225,00

 

8%

 

8%

 

 

Bbbb

 

250,00

 

10%

 

10%

 

10%

 

Cccc

 

200,00

 

7%

 

 

 

 

Określ plan zakupu obligacji, tak by przy minimalnych nakładach zapewnić pokrycie wydatków w poszczególnych 
okresach: I- 5000, II-3000, III-2000.  

 

 

1600 

2 

2 

1 

S

21

 

2000 

1 

4 

3 

S

1

 

Zasoby 

C 

B 

A 

                Wyroby 
Surowce 

150 

10 

500 

Węglowodany 

 

100 

100 

Minimalne 

zapotrzebowa

15 

3 

Cena w zł/kg 

200 

20 

Tłuszcz 

100 

80 

Białko 

Mięso 

Chleb 

Zawartość w g/kg 

WZORY – STATYSTYKA i EKONOMETRIA 

 

  P{

x

 - u



n

S(x)

 < m < 

x

 + u



n

S(x)

} = 1 - 



;    

 

P{

x

 - t



,s

1

n

S(x)



< m < 

x

 + t



,s

1

n

S(x)



} = 1 - 



,     

P{S(x) - u



2n

S(x)

 < 



(x) < S(x) + u



2n

S(x)

} = 1 - 



;  P{w

i

 - u





(w

i

) < p

i

 < w

i

 + u





(w

i

)} = 1 - 



,    

P{

2

1

n

s

,

2

1

1

2

2

2

1

n

s

,

2

1

2

(x)

nS

(x)

(x)

nS

























} = 1 - 



;    



2

 = 

(x)

(x)

Sˆ

1)

(n

(x)

(x)

nS

2
0

2

2
0

2









 

n = 

)

x

(

d

(x)

S

u

2

2

2



;     n = 

)

x

(

d

(x)

S

ˆ

t

2

2

2

1

n

s

,







;    n = 

)

(p

d

q

p

u

i

2

i

i

2



 = 

)

(p

d

)

w

(1

w

u

i

2

i

i

2





 ;     n = 

)

(p

4d

u

i

2

2



,    

 

u = 

n

S(x)

m

x

0



;     t = 

1

n

S(x)

m

x

0





;     u = 

n

q

p

p

w

0

0

0

i



;        u = 

2

2
2

1

2

1

2

1

n

(x)

S

n

(x)

S

x

x





;     F = 

2

2

2

1

Sˆ

Sˆ

;   

t = 

)

n

1

n

1

(

2

n

n

(x)

S

n

(x)

S

n

x

x

2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2

1











;   u = 

n

q

p

w

w

2

1



;  

2

1

2

1

n

n

m

m

p







;  

2

1

2

1

n

n

n

n

n





,    









m

1

i

ij

2

j

lj

r

1

r

h

  ;   







m

1

i

lj

l

h

H

;  

y

 X

)

X

(X

 

 

a

T

1

T





;   

1

-

k

-

n

y

X

a

 

-

 

y

y

 

 

1

-

k

-

n

e

e

 

 

S

T

T

T

T

2

e





  ;  

100

y

e

S

e

V



)

(

)

(

2

i

i

a

V

S

a

S





; 

2

T

T

2

T

T

T

2

)

y

(1

n

1

-

y

y

)

y

(1

n

1

-

 

y

X

a

 

 

 

R



  ;   

Y

X

a

T

1

T

X

 

)

(X

 

 





  ;  

 

i

i

i

a

S

a

t



 

k

1

k

n

R

1

R

F

2

2











  ;  ;   

j

ij

j

i

i

j

Q

q

a

Q

A

q

q

A

Q













ij

1

   

;

   

 

)

(I

 

 

      

;

     

 

)

(I

 

 

 

Zadanie  Pewna  firma  zamierza,  w  wynajętym  lokalu,  uruchomić  sklep  z  artykułami  gospodarstwa  domowego. 
Dysponuje ona kapitałem w wysokości 500 mln zł. Lokal będzie wynajęty na trzy lata. Koszt jego remontu i urządzenia 
będzie wynosił 180 mln zł. W sklepie sprzedawane będą lodówki, pralki i kuchenki gazowo-elektryczne. Ceny zakupu 
sprzętu przez firmę, ceny sprzedaży (w mln zł) i maksymalny miesięczny popyt (w sztukach) zawiera tabela. 

 

lodówka 

pralka 

kuchenka 

cena zakupu 

4 

5 

6 

cena sprzedaży 

4,5 

5,3 

7 

maksymalny popyt 

40 

30 

20 

 
Firma na zakup towaru może przeznaczyć 310 mln zł. Średnio obrót całym zapasem towaru (rotacja) trwa 1 miesiąc. 
Miesięczny czynsz za wynajęcie lokalu wynosi 8 mln zł., płace pracowników 10 mln zł, a pozostałe koszty 12 mln zł. 
a)  Sformułować model matematyczny w postaci zadania programowania liniowego. Podać założenia upraszczające jakie 

musimy tutaj przyjąć. 

b)  Ustalić strategię zakupu towarów maksymalizującą dochód firmy 
c)  Obliczyć miesięczny dochód, koszty i zysk. 
Sprawdzić, czy projektowana działalność handlowa jest opłacalna w porównaniu z długoterminową lokatą kapitału na 36%.