Zadania . Przykłady.

Zad 1. Zakład może wytwarzać trzy rodzaje wyrobów: A, B i C. Przy produkcji tych wyrobów zużywane są dwa rożne
surowce: S

1

i S

2

, których zasoby są limitowane i wynoszą odpowiednio: 2000 i 1600 kg. Jednostkowe normy zużycia

tych surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podane są w tabeli:







Zysk jednostkowy zrealizowany ze sprzedaży wyrobu A wynosi 4 zł, wyrobu B – 3 zł, a wyrobu C – 5 zł. Należy
wyznaczyć takie wielkości produkcji poszczególnych wyrobów, aby przy podanych ograniczeniach całkowity zysk ze
sprzedaży produkowanych wyrobów był możliwie największy.

Zad 2. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby X i Y . Produkcja tych wyrobów wymaga nakładu różnych środków
produkcji. Część tych środków można nabyć w nieograniczonych ilościach, jednak niektóre z nich można wykorzystać
tylko w ściśle określonych granicach. Ograniczenia te są związane np. z trudnościami natychmiastowej dostawy surowca
z importu – przedsiębiorstwo dysponuje 3600 kg, możliwością zatrudnienia wykwalifikowanych pracowników – 24000
rbh, czy limitami zużycia energii w określonych godzinach – 2800 kWh. Technologia procesów produkcyjnych określa
nakład każdego z limitowanych środków produkcji, niezbędny do wytworzenia jednostki każdego z wyrobów. Znane są
parametry zadania, czyli ceny wyrobów oraz środków produkcji.Znając zyski jednostkowe ze sprzedaży wyrobów X i Y,
które wynoszą odpowiednio: 8 i 5 zł, znaleźć optymalny plan produkcji uwzględniający warunki ograniczające i
maksymalizujący zysk ze sprzedaży. Z dotychczasowych analiz sprzedaży wynika, że wyrobu X nie będzie można
sprzedać więcej niż 350 sztuk. Wyrobu Y nie opłaca się produkować mniej niż 50 sztuk (powinno się produkować co
najmniej w ilości 50 sztuk). Zużycie surowca oraz energii na jednostkę produktu X i Y jest równe 1 jednostce
rozliczeniowej. Natomiast do wyprodukowania jednostki wyrobu X należy zużyć 20 rbh, a do wyprodukowania jednostki
wyrobu Y 10 rbh.

Zad 3. Organizm człowieka w pewnym wieku potrzebuje określonej ilości składników odżywczych: białka,
węglowodanów i tłuszczu. Należy dostarczyć ich odpowiednią ilość zakupując w tym celu jedynie dwa produkty: chleb
i mięso. Zakładamy, że w 1 kg każdego z tych produktów zawarte są następujące ilości tych substancji (w gramach):










Zakładamy również, że należy spożyć dziennie co najmniej 100 g białka, 100 g tłuszczu i 150 g węglowodanów.
Spożycie chleba nie może przekroczyć 1,5 kg na dzień, a spożycie tłuszczu w ilości 300 g dziennie jest szkodliwe dla
zdrowia. Cena chleba wynosi 3 zł/kg, a mięsa 15 zł/kg.

Zad 4.
Tartak posiada 20 kłód o długości 2,3 m. Z kłód tych można uzyskać belki o mniejszej długości. Klient zamówił 2 belki o

długości 1,5 m i 10 belek o długości 0,8 m.

a.

Ustalić wszystkie możliwe racjonalne sposoby przecinania kłód na belki.

b.

Ustalić kryterium wyboru optymalnego planu cięcia kłód.

c.

Sformułować problem w postaci zadania PL.

d.

Podać, czy ograniczenie ze względu na liczbę kłód jest istotne.

e.

Znaleźć rozwiązanie optymalne zadania metodą geometryczną. Podać jakie założenia upraszczające należy przyjąć,
aby móc ją zastosować.

f.

Podać optymalny plan cięcia kłód i ocenić przyjęte kryterium wyboru.

Jakie dane są jeszcze potrzebne, aby jako kryterium wyboru przyjąć maksymalizację dochodu? Sformułować

odpowiednią funkcję celu.

Zad 5. Opracuj plan zakupu obligacji spośród trzech typów(Aaaa- dwuletnie, Bbbb-trzyletnie, Cccc-roczne), przy

podanej cenie zakupu oraz planowanych przychodach na koniec każdego z okresów I,II,III (dane w poniższej tabeli).

Obligacje

Cena

I

II

III

Aaaa

225,00

8%

8%

Bbbb

250,00

10%

10%

10%

Cccc

200,00

7%

Określ plan zakupu obligacji, tak by przy minimalnych nakładach zapewnić pokrycie wydatków w poszczególnych
okresach: I- 5000, II-3000, III-2000.

1600

2

2

1

S

21

2000

1

4

3

S

1

Zasoby

C

B

A

Wyroby
Surowce

150

10

500

Węglowodany

100

100

Minimalne

zapotrzebowa

15

3

Cena w zł/kg

200

20

Tłuszcz

100

80

Białko

Mięso

Chleb

Zawartość w g/kg

WZORY – STATYSTYKA i EKONOMETRIA

P{

x

- u



n

S(x)

< m <

x

+ u



n

S(x)

} = 1 -



;

P{

x

- t



,s

1

n

S(x)



< m <

x

+ t



,s

1

n

S(x)



} = 1 -



,

P{S(x) - u



2n

S(x)

<



(x) < S(x) + u



2n

S(x)

} = 1 -



; P{w

i

- u





(w

i

) < p

i

< w

i

+ u





(w

i

)} = 1 -



,

P{

2

1

n

s

,

2

1

1

2

2

2

1

n

s

,

2

1

2

(x)

nS

(x)

(x)

nS

























} = 1 -



;



2

=

(x)

(x)

Sˆ

1)

(n

(x)

(x)

nS

2
0

2

2
0

2









n =

)

x

(

d

(x)

S

u

2

2

2



; n =

)

x

(

d

(x)

S

ˆ

t

2

2

2

1

n

s

,







; n =

)

(p

d

q

p

u

i

2

i

i

2



=

)

(p

d

)

w

(1

w

u

i

2

i

i

2





; n =

)

(p

4d

u

i

2

2



,

u =

n

S(x)

m

x

0



; t =

1

n

S(x)

m

x

0





; u =

n

q

p

p

w

0

0

0

i



; u =

2

2
2

1

2

1

2

1

n

(x)

S

n

(x)

S

x

x





; F =

2

2

2

1

Sˆ

Sˆ

;

t =

)

n

1

n

1

(

2

n

n

(x)

S

n

(x)

S

n

x

x

2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2

1











; u =

n

q

p

w

w

2

1



;

2

1

2

1

n

n

m

m

p







;

2

1

2

1

n

n

n

n

n





,









m

1

i

ij

2

j

lj

r

1

r

h

;







m

1

i

lj

l

h

H

;

y

X

)

X

(X

a

T

1

T





;

1

-

k

-

n

y

X

a

-

y

y

1

-

k

-

n

e

e

S

T

T

T

T

2

e





;

100

y

e

S

e

V



)

(

)

(

2

i

i

a

V

S

a

S





;

2

T

T

2

T

T

T

2

)

y

(1

n

1

-

y

y

)

y

(1

n

1

-

y

X

a

R



;

Y

X

a

T

1

T

X

)

(X





;

 

i

i

i

a

S

a

t



k

1

k

n

R

1

R

F

2

2











; ;

j

ij

j

i

i

j

Q

q

a

Q

A

q

q

A

Q













ij

1

;

)

(I

;

)

(I

Zadanie Pewna firma zamierza, w wynajętym lokalu, uruchomić sklep z artykułami gospodarstwa domowego.
Dysponuje ona kapitałem w wysokości 500 mln zł. Lokal będzie wynajęty na trzy lata. Koszt jego remontu i urządzenia
będzie wynosił 180 mln zł. W sklepie sprzedawane będą lodówki, pralki i kuchenki gazowo-elektryczne. Ceny zakupu
sprzętu przez firmę, ceny sprzedaży (w mln zł) i maksymalny miesięczny popyt (w sztukach) zawiera tabela.

lodówka

pralka

kuchenka

cena zakupu

4

5

6

cena sprzedaży

4,5

5,3

7

maksymalny popyt

40

30

20

Firma na zakup towaru może przeznaczyć 310 mln zł. Średnio obrót całym zapasem towaru (rotacja) trwa 1 miesiąc.
Miesięczny czynsz za wynajęcie lokalu wynosi 8 mln zł., płace pracowników 10 mln zł, a pozostałe koszty 12 mln zł.
a) Sformułować model matematyczny w postaci zadania programowania liniowego. Podać założenia upraszczające jakie

musimy tutaj przyjąć.

b) Ustalić strategię zakupu towarów maksymalizującą dochód firmy
c) Obliczyć miesięczny dochód, koszty i zysk.
Sprawdzić, czy projektowana działalność handlowa jest opłacalna w porównaniu z długoterminową lokatą kapitału na 36%.