Ekonometria I

Ćwiczenia 1

Ćwiczenia 1

Modele przepływów międzygałęziowych. Działania na macierzach.

TABLICA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH

x

ij

i X

i

1 2 3 … n

Y

i

1 X

1

x

11

x

12

x

13

… x

1n

Y

1

2 X

2

x

21

x

22

x

23

… x

2n

Y

2

M

M

… M

n X

n

x

n1

x

n2

x

n3

… x

nn

Y

n

x

0j

x

01

x

02

x

03

… x

0n

Z

j

Z

1

Z

2

Z

3

… Z

n

X

j

X

1

X

2

X

3

… X

n

X

i

-

wartość produktu globalnego i-tej gałęzi;

i = 1, 2, …,n

x

ij

-

przepływ z gałęzi i do j, czyli wartość produktu wytworzonego w gałęzi i-tej,

a zużytego przez gałąź j-tą;

j = 1, 2, …,n

Y

i

-

wartość produktu końcowego gałęzi i-tej;

x

0j

-

płace gałęzi j-tej;

Z

j

- zysk gałęzi j-tej.

MODEL LEONTIEFA

Relacje pomiędzy nakładami a wynikami produkcji zwane są relacjami input – output.

W modelu Leontiefa zakłada się, że są one stałe w czasie.

Dla j-tej gałęzi oblicza się współczynniki kosztów:

n

j

X

x

a

j

ij

ij

,...,

1

i,

,

=

=

zwane też współczynnikami bezpośredniej materiałochłonności.

ij

a

- oznacza wartość produktu pochodzącego z gałęzi i-tej, a zużywanego w gałęzi j-tej

w celu wytworzenia w tej gałęzi produktu o wartości jednostkowej.

1

Ekonometria I

Ćwiczenia 1

Współczynniki kosztów

tworzą macierz

ij

a

[ ]

n

n

ij

a

A

×

=

zwaną macierzą struktury kosztów.

Elementy tej macierzy są nieujemne, suma elementów tworzących j-tą kolumnę jest równa

współczynnikowi materiałochłonności m

j

.

Model Leontiefa ma postać:

Y

X

A

I

=

− )

(

X

- n-wymiarowy kolumnowy wektor produktu globalnego;

Y

- n-wymiarowy kolumnowy wektor produktu końcowego.

Macierz Leontiefa ma postać:

A

I

−

Model Leontiefa służy do prognozowania lub symulacji wektora produktu końcowego przy

ustalonej wartości wektora produktu globalnego.

Macierz

A

I

−

jest nieosobliwa, a macierz

ma elementy nieujemne, jeśli suma

elementów każdej kolumny macierz A jest mniejsza od 1.

1

)

(

−

− A

I

Znając powyższe własności macierzy można dokonać przekształcenia:

Y

X

A

I

=

− )

(

Y

A

I

X

A

I

A

I

1

1

)

(

)

(

)

(

−

−

−

=

−

−

Y

A

I

X

1

)

(

−

−

=

Elementy macierzy

noszą nazwę współczynników pełnej materiałochłonności.

1

)

(

−

− A

I

Zadanie 1

Dana jest tablica przepływów międzygałęziowych postaci:

i X

i

x

ij

Y

i

1 500 50 195 0 255

2 300 100 0 90 110

3 150 80 45 15 10

x

0j

200 30 15

Z

j

70 30 30

X

j

500 300 150

2

Ekonometria I

Ćwiczenia 1

a) Obliczyć współczynniki kosztów.

b) Zapisać macierz struktury kosztów. Zinterpretować elementy drugiej kolumny

utworzonej macierzy.

c) Zapisać macierz Leontiefa.

d) Obliczyć wektor produktu końcowego, na podstawie modelu Leontiefa, wykorzystując

dany wektor produktu globalnego.

e) Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy Leontiefa.

f) Wykorzystując macierz odwrotną do macierzy Leontiefa oraz wektor produktu

końcowego, wyznaczyć wektor produktu globalnego.

Zadanie 2

Dana jest tablica przepływów międzygałęziowych trzygałęziowego układu gospodarczego:

Produkt globalny

Przepływy

Produkt

końcowy

200 40 50 36 74

250 50 75 36 89

180 20 45 72 43

a) Wyznaczyć macierz struktury kosztów A oraz podać interpretację wyrazów drugiego

wiersza tej macierzy.

b) Wyznaczyć macierz I-A i sprawdzić, która z podanych macierzy jest macierzą do niej

odwrotną:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

81

,

1

65

,

0

24

,

0

38

,

0

83

,

1

22

,

0

73

,

0

69

,

0

15

,

1

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

04

,

2

66

,

0

46

,

0

84

,

0

84

,

1

68

,

0

72

,

0

62

,

0

53

,

1

Zadanie 3

Dane są macierze:

3

1 2

1

2 3

2 0

2 0

1 0 3 ,

4

0 1 ,

0 1 ,

1 1

4

2 1

1 2 2

1 1

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

= −

=

=

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

A

B

C

D

Wyznaczyć:

a)

b)

T

C

(2

)

−

A

B C

c)

2

D

3

Ekonometria I

Ćwiczenia 1

Zadanie 4

Wykonać działania:

a)

b)

[

]

c)

2

1 0
2 1

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

1
2

1 2 3 4

3
4

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1

0

1

2 1

2

1

3

2

0

1 5

⎡

⎤

−

⎡

⎤ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

−

⎣

⎦

d)

8

1

1 6

2

7

5 2

6

3

3 4

0

0

T

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎢

⎥

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⋅

⎢

⎥ ⎢

⎥

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

Zadanie 5

Jeżeli to możliwe, obliczyć:

a)

b) c)

⋅ + ⋅

A C B C

T

+

A C

T

T

T

+

⋅

A B

C

A

d)

(

)

T

⋅

A B

,

gdy:

i

2

1 0

1

1

5

0

1

3

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

A

1 1

0

1 0

5

0

1

2

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= −

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎣

⎦

B

oraz

1 3
2 2
3 1

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

C

Zadanie 6

Znaleźć wartości wyznaczników:

a)

0 3
1 1

b)

2sin

2cos

-cos

sin

x

x

x

x

c)

3 0 1
2 0 1
0 1 1

d)

0

0

0

1

1

1

5

1 4

−

e)

7

2

1

0

3

5

7

1

6

−

−

−

Zadanie 7

Znaleźć macierz odwrotną do macierzy:

a)

b)

c)

3 1
0 2

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

2 1

1

5 2

4

7 3

2

−

⎡

⎤

⎢

⎢

⎢

⎥

⎣

⎦

⎥

⎥

2 7 3
3 9 4
1 5 3

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

d)

1 2 1
1 4 2
1 3 2

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

e)

1 2 3
0 1 2
2 1 1

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Zadanie 8

Dla poniższych danych sprawdzić, czy prawdziwa jest równość

1

−

=

⋅

X

A

B

:

1

1

1

1

0 ,

1 1

1 ,

0

1

1

1

1

−

⎡ ⎤

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

=

= −

−

=

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

0

2

−

−

−

⎣ ⎦

⎣

⎦

⎣ ⎦

X

A

B

Zadanie 8

Sprawdzić, czy

(

)

, jeżeli

T

T

⋅

=

⋅

A B

B

A

T

1 1 3

3 2 1

,

2 2 1

2 1 1

3 2 1

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

A

B

4