METODY OBLICZENIOWE

Zagadnienie własne macierzy

Zadanie: o

blicz wartości i wektory własne macierzy

12

6

6

6

16

2

6

2

16

−









= 







−





A

1.

Podejście klasyczne.

a)

Zbuduj i rozwiąż równanie charakterystyczne

det (

)

0

− α =

A

I

, gdzie I oznacza macierz

jednostkową, a α jest poszukiwaną wartością własną.

b)

Rozwiąż z pomocą komendy LinearSolve równanie macierzowe

(

)

i

− α

=

A

I u

0 , w

którym

α

i

jest

jedną z wyznaczonych wartości własnych, a u − wektorem własnym.

c)

Rozwiąż z pomocą komendy GenerateEquations układ równań jednorodnych,
odpowiadający równaniu

(

)

i

− α

=

A

I u

0 . Porównaj wyniki uzyskane w p. b) i c).

d) Powtórz obliczenia z p. b) i c)

dla każdej wartości własnej wyznaczonej w p. a).

2. Użyj komendy Eigenvectors do wyznaczenia wartości i wektorów własnych macierzy A.

Porównaj otrzymany rezultat z wynikami uzyskanymi w

podejściu klasycznym.

3.

Zastosuj metodę potęgową do wyznaczenia wszystkich par własnych macierzy A.

a) Wyznacz n

ajwiększą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie

związków:

1

1

1

2

,

,

.

,

T

k

k

k

k

k

k

k

k

+

+

+

=

=

α ≈

≈

v

w

v

Aw

w v

u

v

v

b)

Wyznacz najmniejszą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie

związków:

1

1

1

1

2

1

,

,

,

.

k

k

k

k

k

T

k

k

k

−

+

+

+

=

=

α ≈

≈

v

w

v

A w

u

v

v

w v

c)

Wyznacz pośrednią wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie

związków:

1

1

1

1

2

1

,

(

)

,

,

.

k

k

k

k

k

T

k

k

k

−

+

+

+

=

=

− µ

α ≈

+ µ

≈

v

w

v

A

I

w

u

v

v

w v

Uwaga: przyjąć µ = 15.

Porównaj otrzymane rezultaty z wynikami uzyskanymi

z pomocą komendy

Eigenvectors

.