Radek - TSiP - kolokwium I  

Strona 1 

 

ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA WŁASNEGO DLA 

SYMETRYCZNEJ MACIERZY  

   

 

Rozwiązaniem zagadnienia własnego są jej wartości i wektory własne. 

 

 

   

           

 

  

 

  

 

  

 

  

 ,          

   

    

  

        

   

 , 

  

   

   

 

 

 

 

 ,        

 

  

 
Wyznaczenie wartości własnych macierzy 2x2: 
 

          

 

                ,              

 

               

 

  

   

 

  

 

  

 

  

        

   

 
 

  

  

      

  

        

  

 

  

   

 

            

  

 

  

   

  

 

        

 

 

 

 

   

  

   

  

      

 

  

 

   

  

 

  

   

  

 

 

 
 

   

 

       

 

  

 

W wyniku czego: 
 

               

 

   

 

       

 

    

 
W  tym  momencie  rozkładamy  równanie  charakterystyczne  na  część  kulistą  i  dewiatorową:

 

           

   

 
 

         

 
 

 

 

   

           

 

    

 
 

                     

         

 
 

 

 

            

 
Stosujemy pierwsze podstawienie:        

 
 

 

 

    

 

               

 

Radek - TSiP - kolokwium I  

Strona 2 

 

               

 

  

   

 

  

 

  

 

  

         

  

      

  

        

  

 

  

   

 

              

  

 

  

 

 

  

 

     

 

    

  

 

  

   

  

 

      

 

wiemy, że trD=0 

 

 

 

          

 

  

 

   

  

 

  

   

  

 

 

 
 

   

 

       

 

     

 
 

   

 

 

 
 

                 

 

    

 

    

 

 

     

 

 

         

 

 

      

 
 

   

 

 

Jak już wiadomo: 

       

 
 

 

 

 

   

 
 

 

 

    

   

 
 

 

 

      

 

 

   

 
 

       

 
 

   

 

 

 

 

 

 
 

       

 
 

   

 

 

 

 

 

 
 

       

 
 

   

 

 

 

 

Radek - TSiP - kolokwium I  

Strona 3 

 

Żeby z tej postaci wartości własnych macierzy wyeliminować trD należy wyznaczyć elementy dewiatora 
macierzy A w postaci opartej wyłącznie o elementy tej macierzy: 

          

   

 

 

      

 
 

      

 
 

  

  

  

  

      

   

     

 
 

  

  

  

  

 

 

 

 
 

  

  

  

  

 

  

Zatem: 

          

     

 

  

 

  

 

  

 

  

     

 
 

  

  

  

  

 

 

 

 
 

  

  

  

  

 

     

 
 

  

  

  

  

 

 

  

 

  

 
 

  

  

  

  

 

  

Ad hoc: 

Rozwinięcie    

 

  

 

 

         

 

  

 

  

 

  

 

  

   

 

  

 

  

 

  

 

  

     

 

  

 

   

  

 

 

  

 

  

  

  

 

  

 

  

 

  

  

  

 

  

 

  

 

   

  

 

  

   

 

   

  

 

    

  

 

   

  

 

 

   

 

   

 
 

  

  

  

  

  

 

    

  

 

   

 
 

  

  

  

  

  

 

 

 
 

  

  

  

  

 

 

  

  

   

  

 

 

    

  

 

 

 
 

  

  

 

    

  

 

  

   

  

 

   

  

 

    

  

 

  

   

  

 

      

  

 

       

 

 

 

 
 

       

 
 

   

 

 

 
 

     

  

 

    

 

  WARTOŚĆ WŁASNA MACIERZY-1 

 

 

 

 
 

       

 
 

   

 

 

 
 

     

  

 

    

 

 WARTOŚĆ WŁASNA MACIERZY-2 

 
Wyznaczenie wektorów własnych macierzy 2x2: 

 

      

 

    

   

            

   

      

bez sumowania 

 

 

  

 

  

 

  

 

  

     

 

    

   

     

 

  

 

  

 

  

 

  

     

 

 

 

   

 

     

 

  

   

 

 

  

 

  

 

  

   

 

      

Radek - TSiP - kolokwium I  

Strona 4 

 

 

 

  

   

 

 

  

 

  

 

  

   

 

   

 

 

   

 

 

   

      

 

  

 

  

  

   

 

  

 

   

   

  

 

 

   

   

 

  

 

 

   

    

  

   

 

  

 

   

   

  

Jest nieoznaczony układ równań o nieskończonej ilości rozwiązań, jednak za rozwiązanie 
możemy przyjąć wyznaczenie jednej z wartości przy założeniu, że druga jest dowolna (jest 
parametrem). 

Założenie: 

 

 

   

- dowolne 

  

  

   

 

  

 

   

   

  

 

 

   

    

 

  

 

 

   

    

  

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

  

  

   

 

 

 

  

 

 

   

 

 

 

    

 

   

   

 

 

   

 

 

   

  WEKTOR WŁASNY 1 - sprzężenie z parametrem 

 

 

    

 

   

   

 

 

   

 

 

   

  WEKTOR WŁASNY 2. - sprzężenie z parametrem