Ścinanie

Shear

Z obliczeń statycznych otrzymujemy

wartość

i rozkład siły poprzecznej na długości belki

V

Ed

Naprężenia główne

Elementy prętowe – płaski stan odkształcenia,

naprężenia, koło Mohra

bJ

VS

2

2

2

2

y

x

y

x

2

,

1







































Trajektorie naprężeń głównych

























 













2

)

2

(

tg

2

2

0

2

2

x

x

2

,

1

y

a) Trajektorie naprężeń głównych przy obciążeniu siłami

skupionymi

b) Obraz zarysowania

Naprężenia główne w osi obojętnej przekroju

Koło naprężeń Mohra



















2

1

x

y

0

0

Trajektorie naprężeń – teoria klasyczna

Trajektorie naprężeń

po zarysowaniu

W rozciąganej strefie belki krzyżulce ściskane (i

rozciągane) są

pochylone pod kątem 45°

(względem

osi belki)

Naprężenia styczne (ścinające) – przekrój prostokątny

Naprężenia σ i τ w przekrojach oddalonych o

odcinek dl

bz

V

0





Naprężenia styczne (ścinające) – przekrój teowy

z

b

V

0

0





Kratownicowe modele ścinania

a) statycznie wyznaczalny b) statycznie niewyznaczalny

c) i d) alternatywne rozbudowane modele przy podporze

Warunki równowagi w modelu kratownicowym

- strzemiona pionowe

Warunki równowagi w modelu kratownicowym

- strzemiona pochylone

Ścinanie według PN-EN 1992-1-1

wrzesień 2008

Obowiązuje model kratownicowy, z
krzyżulcami ściskanymi o kącie pochylenia
względem podłużnej osi belki θ ≤ 45°
( w ograniczonym zakresie)

Stosowane symbole:

V

Rd,c

– nośność krzyżulca rozciąganego

betonowego
(bez zbrojenia poprzecznego)

V

Rd,max

– nośność krzyżulca ściskanego

betonowego

V

Rd,s

– nośność krzyżulca rozciąganego

zbrojonego,
po zarysowaniu betonu



s

d

A

V(cot



- cot







V

N

M



½ z

½ z

V

z = 0.9d

F

cd

F

td

B

C

D

A – pas ściskany
B –
krzyżulce
ściskane
C – pas
rozciągany D
– zbrojenie na
ścinanie

Rys. 6.5: Model kratownicowy i
oznaczenia

Nośność krzyżulca rozciąganego betonowego

– przed zarysowaniem

V

Rd,c

= [C

Rd,c

k(100

l

f

ck

)

1/3

+ k

1



cp

]b

w

d

V

Rd,c

≥ (

min

+ k

1



cp

)b

w

d

C

Rd,c

= 0,18 / γ

c



min

= 0,035 k

3/2

f

ck

1/2

k = 1 + d [mm]

k

1

= 0,15

σ

cp

= N

Ed

/ A

c

lecz nie więcej niż 0,2 f

cd

(MPa)

d

/

200

02

,

0





d

b

A

w

sL

L



Nośność krzyżulca rozciąganego betonowego

– przed zarysowaniem

Rys. 6.3: Określanie A

sl

Zbrojenie poprzeczne nie jest obliczeniowo

wymagane, jeżeli:

V

Ed

≤ V

Rd,c

nośność betonowego krzyżulca

rozciąganego

V

Ed

≤ 0,5 b

w

d  f

cd

nośność betonowego krzyżulca
ściskanego

 = 0,6 (1 – f

ck

/250)

f

ck

[MPa]

Jeżeli obciążenie równomiernie rozłożone jest

obciążeniem dominującym, to siłę poprzeczną
oblicza się w

odległości d od podpory

Rysunek 6.4: Obciążenia w pobliżu podpór

a

v

d

a

v

d

a) Belka z podporą

bezpośrednią b) Krótki wspornik

Jeżeli 0,5d ≤ a

v

≤ 2d, to siłę poprzeczną można

pomnożyć przez

β = a

v

/ (2d)

– przy sprawdzaniu warunku V

Rd,c

Nie redukujemy siły przy sprawdzaniu warunku

V

Rd,max

Można także stosować modele ST (Struts – Ties)

Elementy wymagające obliczania
zbrojenia na ścinanie
V

Ed

> V

Rd,c

Oblicza się je na podstawie modelu kratownicowego

Kąt pochylenia krzyżulca ściskanego względem
podłużnej osi belki przyjmuje się

1,0  cot(θ)  2,5 EN

1,0  cot(θ)  2,0 PN

a kąt pochylenia zbrojenia poprzecznego
α

45° ≤ α ≤ 90°



s

d

A

V(cot



- cot







V

N

M



½ z

½ z

V

z = 0.9d

F

cd

F

td

B

C

D

A – pas ściskany B – krzyżulce ściskane

C – pas rozciągany D – zbrojenie na ścinanie
(poprzeczne)

Jeżeli belka jest zbrojona pionowymi

strzemionami, to
α = 90°

cotθ

zf

s

A

V

ywd

sw

s

Rd,



V

Rd,max

= 

cw

b

w

z 

1

f

cd

/(cot+tan)



cw

= 1,0 konstrukcje

niesprężone


1

= 

= 0,6 (1 – f

ck

/250) (f

ck

w

MPa)

Jeżeli f

ywd

≤ 0,80 f

yk

, to można

przyjmować



1

= 0,6

f

ck

≤ 60 MPa



1

= 0,9 – f

ck

/200 ≥ 0,5

f

ck

> 60 MPa

Jak przyjmować kąt pochylenia krzyżulców

ściskanych?

Ze względu na strzemiona –

jak największy

V

Rd,s

= V

Ed

s =

Ze względu na krzyżulec ściskany –

tak, aby nie

przekroczyć jego nośności



cot

z

V

f

A

Ed

ywd

sw

Nośność krzyżulca

ściskanego w funkcji

ctgθ

V

Ed

V

Ed

V

Rd,max

Decyzja o kącie pochylenia krzyżulca ściskanego
wpływa ponadto na zakotwienie prętów zbrojenia
podłużnego

Siłę rozciągającą

V (cotθ – cotα)
przykładamy po połowie do obu pasów kratownicy

Powoduje to

zwiększenie siły w pasie rozciąganym

,

co uwzględniamy rozsuwając wykres momentów
zginających o odcinek

a

l

= 0,5 z (cotθ – cotα)

A – obwiednia siły M

Ed

/z + N

Ed

B – siła rozciągająca w zbrojeniu F

s

C – nośność zbrojenia na rozciąganie F

Rs

Rys. 6.6: Zbrojenie na ścinanie przy
bezpośrednim przekazywaniu obciążenia przez
ściskany krzyżulec

Jeżeli 0,5 d < a

v

< 2,0 d

V

Ed

a

v

/(2d) ≤ A

sw

f

ywd

sin α

A

sw

– oznacza pole przekroju zbrojenia na

oznaczonym
odcinku

Zmniejszenie V

Ed

można stosować tylko przy

obliczaniu zbrojenia na ścinanie.

Zbrojenie między środnikiem a półkami

A – krzyżulce ściskane
B – pręt podłużny zakotwiony poza przekrojem, od
którego
poprowadzono strzałkę B

□

□

Skręcanie

Torsion

T

Ed

- moment skręcający z obliczeń

statycznych

Za modele przekrojów pełnych można
przyjmować ich cienkościenne
odpowiedniki.

Przekroje o złożonym kształcie można
dzielić na części i przypisać im momenty
skręcające proporcjonalnie do sztywności
tych części na skręcanie.

a, b – przykłady obciążenia wywołującego skręcanie

c – naprężenia styczne w przekroju, spowodowane
skręcaniem

a – naprężenia główne

b – charakter zarysowania

Kratownicowy model
obliczeniowy

Skręcanie według PN-EN 1992-1-1

wrzesień 2008

A - linia środkowa

B – zewnętrzna krawędź

przekroju efektywnego,

obwód u,

C - otulina

Rysunek 6.11. Oznaczenia i określenia

t

ef

– efektywna grubość ściany

Czyste skręcanie

W przekrojach pełnych, w przybliżeniu prostokątnych,

zbrojenie na skręcanie nie jest wymagane,

poza zbrojeniem minimalnym, jeżeli

T

Ed

≤ T

Rd,c

T

Rd,c

– skręcający moment rysujący, przy τ

t

= f

ctd

T

Rd,c

= 2 A

k

f

ctd

t

ef

A

k

– pole powierzchni wewnątrz linii środkowej

t

ef

– efektywna grubość ściany, równa A/u

A – całe pole powierzchni przekroju,

u – zewnętrzny obwód przekroju

t

ef

≥ podwojona odległość osi zbrojenia od krawędzi

t

ef

≤ rzeczywista grubość ściany

Czyste skręcanie

Zbrojenie na skręcanie jest wymagane

, jeżeli

T

Ed

> T

Rd,c

Stosuje się strzemiona + pręty podłużne

Nośność ze względu na strzemiona

Uwaga – A

sw

oznacza pole przekroju jednego ramienia

strzemiona !

Pole przekroju dodatkowego zbrojenia podłużnego





cot

s

A

f

A

2

T

sw

ywd

k

s

,

Rd





cot

A

f

2

u

T

A

k

yd

k

Ed

sl

Element jednocześnie ścinany i skręcany

W przekrojach pełnych, w przybliżeniu
prostokątnych,

zbrojenie minimalne uznaje

się za wystarczające

, gdy spełniony jest

warunek:

T

Ed

/ T

Rd,c

+ V

Ed

/ V

Rd,c

≤ 1,0

T

Rd,c

- skręcający moment rysujący

V

Rd,c

- siła poprzeczna określana dla ścinania

(nośność betonowego krzyżulca

rozciąganego)

Element jednocześnie ścinany i

skręcany,

wymagane zbrojenie

Zbrojenie obliczamy niezależnie na ścinanie i

skręcanie !

Sprawdzamy nośność krzyżulca ściskanego,
obciążonego ścinaniem i skręcaniem

T

Ed

/T

Rd,max

+ V

Ed

/V

Rd,max

 1,0

T

Rd,max

= 2 ν α

cw

f

cd

A

k

t

ef

sinθ cosθ

Kąt θ przyjmuje się taki sam przy ścinaniu i skręcaniu!

Przykłady zbrojenia na ścinanie

A - strzemiona wewnętrzne nie otaczające

B - strzemię otaczające

Kotwienie strzemion przenoszących
skręcanie
I zbrojenie podłużne

Pręty zbrojenia podłużnego:

- w każdym narożu należy umieścić co najmniej jeden pręt

- pozostałe pręty należy ułożyć wewnątrz obwodu strzemion,
w rozstawie nie większym niż 350 mm

Przykłady kształtów strzemion na skręcanie

Należy przyjmować α = 90°

a1) a2) a3) b)
kształt nie

zalecany
a) kształty zalecane
Uwaga:

na rysunku a2 zakład na górze powinien mieć

pełną długość wymaganą przy połączeniu na zakład;
hak może być tylko na jednym końcu strzemienia

Stopień zbrojenia strzemionami pionowymi na

ścinanie

(dotyczy też skręcania)

nie może być mniejszy niż

Maksymalny rozstaw ramion strzemion powinien

spełniać warunki:
- w kierunku podłużnym

s

max

 0,75d (1 + cotα)

- w kierunku poprzecznym

s

max

 0,75d

s

max

 600mm

s

b

A

w

sw

w





yk

ck

min

,

w

f

f

08

,

0





Łączne oddziaływanie ścinania, skręcania i

zginania – element wydrążony (skrzynkowy)

Pełny

przekrój

prostokątny

Badania dr inż. P. Bodzaka

Badania

doktorantów

Belka wzmocniona na ścinanie matą CFRP

Badania dr inż.
A. Kosińskiej
z zespołem

Element

zginany,

ścinany
i skręcany

Obraz zarysowania – widok z boku

widok z góry

Liczba w kółku oznacza numer rysy, nadawany w kolejności
Ich powstawania
Poprzeczne kreski z liczbami oznaczają miejsce, do którego rysa
dotarła przy podanym obciążeniu

Przebicie

Punching

A - podstawowy
przekrój
kontrolny
B – podstawowa
powierzchnia
kontrolna A

cont

C – podstawowy
obwód
kontrolny, u

1

D – powierzchnia
obciążona A

load

r

cont

dalszy obwód

kontrolny

Rysunek 6.13: Typowe, podstawowe obwody
kontrolne wokół pól obciążenia

d

eff

= (d

x

+ d

z

)/2

Rysunek 6.14: Obwód kontrolny w pobliżu otworu

Rysunek 6.15: Podstawowe obwody kontrolne dla

pól
obciążenia położonych blisko krawędzi
lub naroża

Określane są następujące graniczne naprężenia
styczne (MPa) wzdłuż przekrojów kontrolnych:

v

Rd,c

obliczeniowa wytrzymałość na ścinanie

płyty bez zbrojenia na przebicie wzdłuż
rozważanego przekroju kontrolnego,

v

Rd,cs

obliczeniowa wytrzymałość na ścinanie

płyty ze zbrojeniem na przebicie wzdłuż
rozważanego przekroju kontrolnego

v

Rd,max

obliczeniowa maksymalna wytrzymałość

na ścinanie wzdłuż rozważanego przekroju
kontrolnego.

• Należy przeprowadzić następujące

sprawdzenia:

(a)

na obwodzie słupa lub na obwodzie

powierzchni obciążenia maksymalne
naprężenie styczne nie powinno przekraczać
maksymalnego naprężenia stycznego przy
przebiciu:

v

Ed

< v

Rd,max

(b) jeżeli

v

Ed

< v

Rd,c

to zbrojenie na przebicie nie jest konieczne

(c) jeśli w rozważanym przekroju kontrolnym

v

Ed

przekracza wartość v

Rd,c

, to należy

zastosować zbrojenie na przebicie.

d

u

V

β

v

i

Ed

Ed



1

1

Ed

Ed

W

u

V

M

k

1

β







Jeśli reakcja podpory jest przyłożona mimośrodowo
w stosunku do obwodu kontrolnego, to maksymalne
naprężenie styczne można obliczać ze wzorów

gdzie:
k – współczynnik uwzględniający kształt przekroju słupa
W

1

– odpowiada rozkładowi naprężeń stycznych i jest funkcją

podstawowego obwodu kontrolnego u

1

W obszarze przylegającym do słupa

v

Ed

≤ v

Rd,max

=

0,4

v f

cd

v – jak przy ścinaniu

A - słup wewnętrzny
B - słup
krawędziowy
C - słup narożny

Jeżeli poprzeczna stateczność konstrukcji nie zależy od współpracy
płyty i słupów rozpatrywanych jako elementy ramy, to do układów, w których
przylegające do siebie przęsła nie różnią się długościami o więcej niż 25%,
można stosować

przybliżone wartości .

6.4.5 Nośność na ścinanie przy przebiciu płyt i stóp
fundamentowych ze zbrojeniem na ścinanie

(1) Jeśli wymagane jest zbrojenie na ścinanie, oblicza się je zgodnie
z wyrażeniem (6.52):

V

Rd,cs

= 0,75 V

Rd,c

+ 1,5 (d/s

r

) A

sw

f

ywd,ef

(1/

(u

1

d))sin

(6.52

gdzie:
A

sw

pole powierzchni jednego obwodu zbrojenia na ścinanie

dookoła słupa
(mm

2

),

s

r

promieniowy rozstaw obwodów zbrojenia na ścinanie,

f

ywd,ef

efektywna wytrzymałość obliczeniowa zbrojenia na ścinanie

przy
przebiciu, zgodnie z wzorem:

f

ywd,ef

= 250 + 0,25d  f

ywd

(MPa)

d

średnia z wysokości użytecznych dwóch ortogonalnych

kierunków
(mm),


kąt między zbrojeniem na ścinanie i płaszczyzną płyty.

Zbrojenie na ścinanie przy przebiciu

A -

zewnętrzny obwód kontrolny,

wymagający zbrojenia na ścinanie
B - pierwszy obwód kontrolny,
poza którym nie potrzeba
zbrojenia na ścinanie