Prezentację opracowała

mgr Renata Koperwas

nauczycielka ZSP w

Krasnobrodzie

CO TO JEST POLE

FIGURY ?

Rysunek przedstawia

plan trzech działek. Łatwo
zauważyć, że działka A
jest najmniejsza.
Natomiast aby porównać
wielkość działek B i C
należy wypełnić je
jednakowymi figurami
tzw. jednostkowymi.

A

B

C

CO TO JEST POLE

FIGURY ?

Figura C zawiera 17 kwadratów, zatem

ma większą powierzchnię niż figura B,
która ma 16 kwadratów.

A

C

B

CO TO JEST POLE

FIGURY ?

Figura obok składa się z 10

jednakowych trójkątów, więc jej
pole wyrażone za pomocą tych
trójkątów wynosi 10 jednostek.

Powszechnie stosowanymi jednostkami pola są :



milimetr kwadratowy (mm

2

)



centymetr kwadratowy (cm

2

)



decymetr kwadratowy (dm

2

)



metr kwadratowy (m

2

)



kilometr kwadratowy (km

2

)

Ogrody, place, działki rolne i większe obszary mierzymy w

arach

(a) i

hektarach

(ha). Są to gruntowe jednostki pola.

1cm

1cm

1cm

2

Zależności między jednostkami pola
wynikają
z zależności między jednostkami
długości :
1cm = 10mm

1m = 100cm

1cm

2

=100mm

2

1m

2

=

10000cm

2

10·10

100·100

1 ar to pole kwadratu o boku10m,
zatem
1a = 100m

2

1 hektar to pole kwadratu o boku
100m, zatem
1 ha =10000m

2

1 ha = 100a

1cm

2

= 100mm

2

1dm

2

= 100cm

2

= 10000mm

2

1m

2

=100dm

2

= 10000cm

2

=

1000000mm

2

1km

2

=100ha =10000a = 1000000 m

2

Prostokąt o wymiarach 3cm i 4cm

dzielimy na kwadraty o
boku 1cm.
Mamy więc 3 rzędy po 4 kwadraty,

każdy o

polu 1cm

2

.

3·4=12 więc P = 12cm

2

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość

przez szerokość tego prostokąta.

przez szerokość tego prostokąta.

WZÓR NA POLE PROSTOKĄTA :
P = a

P = a

·

·

b

b

a,b – długości boków prostokąta

a

b

Ponieważ kwadrat jest prostokątem, jego

pole obliczamy w ten sam sposób.

Wzór na pole kwadratu :

P = a

P = a

·

·

a

a

gdzie a oznacza długość boku kwadratu
Inna postać wzoru :

P = a

P = a

2

2

a

a

Gdyby rozciąć równoległobok wzdłuż wysokości to
z otrzymanych części można ułożyć prostokąt.
Pole równoległoboku jest równe polu otrzymanego
prostokąta.

a

h

a

h

Obliczając pole równoległoboku korzystamy
ze wzoru :

P = a

P = a

·

·

h

h

a – długość boku (podstawy)
b – długość wysokości poprowadzonej do tego

boku

a

h

Pole rombu możemy obliczyć dwoma
sposobami :

1.

Ponieważ romb jest

równoległobokiem, więc jego pole
można obliczyć tak jak pole
równoległoboku :

P = a

P = a

·

·

h

h

a – długość podstawy
h – długość wysokości

poprowadzonej do tej
podstawy

a

h

2.

Dane są dwie przekątne rombu.

Mając dwa jednakowe romby o przekątnych e
i f,
można z nich ułożyć prostokąt o bokach e i f.

e

f

e

Prostokąt składa się z dwóch rombów, więc jego pole jest dwa razy

większe

niż pole każdego z tych rombów. Zatem pole rombu jest

równe połowie pola prostokąta. Stąd :

P = ½

P = ½

·

·

e

e

·

·

f

f

P – pole rombu
e,f – długości przekątnych rombu

f

Z dwóch jednakowych trójkątów o
podstawie

a

i wysokości

h

opuszczonej na tę podstawę,

można zbudować równoległobok o
podstawie

a

i wysokości

h

.

Pole równoległoboku jest dwa razy

większe niż pole trójkąta, zatem pole
trójkąta jest równe połowie pola
równoległoboku o podstawie

a

i wysokości

h

.

a

h

a

a

h

Wzór na pole

trójkąta :

P = ½

P = ½

·

·

a

a

·

·

h

h

a – długość podstawy

a – długość podstawy

h – długość wysokości

h – długość wysokości

opuszczonej na

opuszczonej na

podstawę a

podstawę a

a

h

Ponieważ wysokością dla podstawy a jest
przyprostokątna b
i odwrotnie, pole trójkąta prostokątnego jest
równe połowie iloczynu jego przyprostokątnych.

P = ½

P = ½

·

·

a

a

·

·

b

b

a, b – długości przyprostokątnych

b

a

Z dwóch jednakowych trapezów o podstawach
długości

a

i

b

oraz wysokości

h

można ułożyć

równoległobok

o wymiarach – podstawa

a+b

i wysokość

h

.

Równoległobok składa się z dwóch trapezów zatem

jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z
trapezów. Stąd pole trapezu jest równe połowie pola
równoległoboku o wymiarach

a+b

i

h

.

a

b

h

a

b

h

a

b

P = ½

P = ½

·

·

(a + b)

(a + b)

·

·

h

h

P – pole trapezu
a,b – długości podstaw
h – długość wysokości

a

b

h

Przekątne deltoidu to odcinki |AC|=e

i |BD|=f. Deltoid można podzielić na
dwa trójkąty :ACD i ACB. Zatem pole
deltoidu będzie sumą pól tych
trójkątów.

P

ACD

= ½· e ·|DS| P

ACB

= ½ ·e ·|SB|

P

ABCD

= ½ ·e ·|DS| + ½· e·|SB|

=½· e ·(|DS| + |SB|) = ½ ·e · f
Pole deltoidu jest równe połowie

iloczynu długości jego przekątnych.

e

f

A

B

C

D

S

Wzór na pole deltoidu :

P = ½

P = ½

·

·

e

e

·

·

f

f

e,f –długości przekątnych

e,f –długości przekątnych

deltoidu

deltoidu

f

e

Pole figury, do której nie da się zastosować żadnego

z podanych wzorów można obliczyć na dwa sposoby :

1.

1.

Dzielimy figurę na

mniejsze części. Pole
czworokąta będzie równe
sumie pól trapezu
i trójkąta.

Uzupełniamy figurę tak, aby

otrzymać prostokąt i trójkąty.

Aby obliczyć pole
czworokąta należy od
pola prostokąta odjąć
pola dwóch trójkątów.

Pola wielokątów -

Pola wielokątów -

podsumowanie

podsumowanie

Pole prostokąta : P = a

P = a

·

·

b

b

Pole kwadratu : P = a

P = a

2

2

Pole równoległoboku : P = a

P = a

·

·

h

h

Pole rombu : P = a

P = a

·

·

h

h

lub

P = ½

P = ½

·

·

e

e

·

·

f

f

Pole trójkąta :

P = ½

P = ½

·

·

a

a

·

·

h

h

Pole trapezu :

P = ½

P = ½

·

·

(a+b)

(a+b)

·

·

h

h

Korzystając z tych wzorów można obliczać

pola innych wielokątów.

UWAGA – przy obliczaniu pól figur należy pamiętać,

aby wszystkie potrzebne wymiary podane były

w tych samych jednostkach.

Powyższa prezentacja opracowana

została na podstawie podręcznika
„Matematyka 5” Gdańskiego
Wydawnictwa Oświatowego.

Dany fragment prezentacji może być

wprowadzeniem do nowej lekcji w kl.IV
lubV, albo przypomnieniem wiadomości w
kl.VI.

Znak ten zwraca uwagę na pojawiający

się wzór na obliczanie pola danej figury.