2016-03-06
Program przedmiotu
Rok akademicki 2015/2016
" W1. Statystyka ubezpieczeniowa i problematyka aktuariatu.
" W2. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego
Metody aktuarialne
w ubezpieczeniach typu non-life.
wykład 2
" W3. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego
w ubezpieczeniach typu life
" W5. Kalkulacja składek ubezpieczeniowych
dr Agnieszka Pobłocka
" W4. Modelowanie ryzyka w portfelach
Katedra Statystyki UG
" W6. Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe
agnieszka.poblocka@ug.edu.pl
" W7. Reasekuracja
Program przedmiotu Modelowanie ryzyka w ubezpieczeniach
" W 2 i 3. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego
" Niech R będzie zmienną losową opisującą ryzyko ubezpieczeniowe
Modele ryzyka w ubezpieczeniach typu non-life:
jej rozkład służy m.in. do opisu działalności ubezpieczeniowej
" rozkłady prawdopodobieństwa (lekko-ogonowe i grubo-ogonowe)
podstawowych charakterystyk ubezpieczeniowych:
" Zakładamy, że wartość oczekiwana zmiennej R jest skończona
liczby roszczeń
wartości indywidualnej szkody
" ryzyko mające nieskończoną wartość oczekiwaną nie podlega ubezpieczeniu
czasu pomiędzy roszczeniami
" Wskazane jest, aby wariancja zmiennej R także była skończona.
Model Erlanga jako model działalności ubezpieczeniowej
uwzględniający proces ryzyka
współczynnika szkodowości " Rozkład zmiennej R może być opisywany za pomocą następujących funkcji:
wyniku ogólnego
dystrybuanty
modele ryzyka katastrofalnego.
prawdopodobieństwa, gdy R jest zmienną losową dyskretną
Aproksymacje rozkładów wykorzystywane do opisu procesu ryzyka
ubezpieczeniowego. gęstości, gdy R jest zmienną losową ciągłą
Modele ryzyka w ubezpieczeniach typu life:
tworzącej momenty
" funkcja przeżycia, dalsza długość trwania życia, oczekiwany pozostały czas życia,
charakterystycznej.
natężenie umieralności i modele demograficzne,
" tablice trwania życia.
Ryzyko ubezpieczeniowe Ryzyko ubezpieczeniowe
" Zmienna losowa R " Zmienna losowa R
może być analizowana i modelowana dla pojedynczej polisy ubezpieczeniowej może być analizowana i modelowana dla pojedynczej polisy ubezpieczeniowej
lub dla całego portfela polis lub dla całego portfela polis
może opisywać następujące zmienne: może opisywać następujące zmienne:
1. liczbę roszczeń 1. liczbę roszczeń
2. wartości szkód (indywidualne i łączne) 2. wartości szkód (indywidualne i łączne)
3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy 3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy
i dodatkowo: i dodatkowo:
4. wynik ogólny towarzystwa 4. wynik ogólny towarzystwa
5. współczynnik szkodowości. 5. współczynnik szkodowości.
1
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Ad. 1. Liczba roszczeń - założenia Ad. 1. Liczba roszczeń K
" Niech zmienna losowa R
" Niech liczba roszczeń (szkód)
będzie zmienną losową K opisującą liczbę roszczeń (szkód) spowodowanych
przez dane ryzyko lub portfel ryzyka w jednym roku
pochodzi z pojedynczej polisy lub z portfela polis
może być funkcją czasu (nie musi).
" Zmienna losowa K:
" Niech portfel polis:
" to zmienna skokowa, w której rozkładzie może wystąpić trend, wahania
składa się z N jednorodnych rodzajów ryzyka oraz cykliczne lub krótkookresowe, a także losowe
prawdopodobieństwo wystąpienia szkody w każdym z nich w ciągu roku " jest najczęściej opisywana przez następujące rozkłady prawdopodobieństwa:
jest takie samo i równe p.
rozkład dwumianowy (Bernoulliego, binominalny)
rozkład Poissona
rozkład ujemny dwumianowy
rozkład geometryczny
rozkład logarytmiczny.
Ad. 1. Liczba roszczeń K
Rozkład dwumianowy Bin( , )
rozkład dwumianowy Bin( , )
" Rozkład dwumianowy oraz rozkład zero jedynkowy (ozn. 0 - 1 ) dla:
" Zmienna losowa K ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p (ozn. K ~ Bin( , )):
p = q jest rozkładem symetrycznym,
= = " " - dla k = 0, 1,..., n p > q jest rozkładem o asymetrii dodatniej,
p < q jest to rozkładem o asymetrii ujemnej.
( ) = "
( ) = " " q dla q = 1 -
" Uwaga:
= " " q -
Zmienną losową X o rozkładzie , można traktować jako sumę n
niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie zero-jedynkowym:
Gdzie: n - liczba doświadczeń, p prawdopodobieństwo sukcesu Jeżeli , , . . . , ~ 0 - 1 , to Z= " ~ ,
n
ć n!
= , 1! = 0! = 1, k ! =1 2... k " Twierdzenie o dodawaniu
k k !(n - k)!
Ł ł
Jeżeli zmienne są niezależne o rozkładach , ,
" W Excelu: to ich suma ma rozkład " , :
=kombinacje(n; k)
Jeżeli , , . . . , ~ , , to Z= " ~ " ,
= = rozkład.dwum(k; n; p; fałsz) wartość prawdopodobieństwa
Rozkład dwumianowy Bin( , ) Ad. 1. Liczba roszczeń K rozkład Poissona Pois( )
" Rozkład dwumianowy może być aproksymowany: " Zmienna losowa K ma rozkład Poissona z parametrem (ozn. K ~ Pois( ) ):
granicznym rozkładem Poissona z parametrem dla dużych n i małych p:
( = ) = " dla k = 0, 1, 2, ...
!
" , =
= ( ) =
" im większe n i mniejsza wartość p tym przybliżenie rozkładu jest lepsze
Gdzie: średnia
" w praktyce n e" 100; p d" 0,1; = d"10
granicznym rozkładem normalnym z parametrami = , = dla
dużych n:
" Uwaga: Rozkład Poissona nazywany jest rozkładem rzadkich zdarzeń.
" , = , =
" W Excelu:
" przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest n i H" 0,5.
" ( = ) = rozkład.poisson(k; średnia; FAASZ) wartość prawdopodobieństwa
2
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Ad. 1. Liczba roszczeń K
Rozkład Poissona - Pois( )
rozkład ujemny dwumianowy (r, )
" Rozkład Poissona " Zmienna losowa K ma rozkład ujemny - dwumianowy (ozn. K ~ (r, ) ):
to rozkład o asymetrii dodatniej
+ -
= = " " - dla k = 0, 1, 2, ... , r e"0, " 0,1
wraz ze wzrostem parametru rozkład Poissona zbliża się do rozkładu
( ) = dla q = 1 -
symetrycznego
może być aproksymowany granicznym rozkładem normalnym z ( ) =
parametrami = , = :
" Gdzie: r - liczba sukcesów (szkód),
" = , =
" p prawdopodobieństwo sukcesu (wystąpienia szkody)
" = - prawdopodobieństwo wystąpienia r-tej szkody po k okresach
" przybliżenie jest tym lepsze, im jest większe
bezszkodowych
" Twierdzenie o dodawaniu " Jeżeli wariancja jest dużo większa od średniej ( ), to do opisu zmiennej K
s2 >> x
używa się rozkład ujemny-dwumianowy.
Jeżeli zmienne są niezależne o rozkładach Pois( ),
to ich suma ma rozkład " :
" W Excelu:
Jeżeli , , . . . , ~ Pois( ) to Z= " ~ "
=kombinacje(n;k)
= = rozkład.dwum.przec(k; r; p) wartość prawdopodobieństwa
Rozkład ujemny-dwumianowy (r, ) Rozkład ujemny-dwumianowy (r, )
" może być aproksymowany:
posiada własność braku pamięci (tak jak rozkład wykładniczy)
granicznym rozkładem Poissona z parametrem dla dużych r i małych p:
dla r=1 nazywa się rozkładem geometrycznym
" r, =
dla r " (liczb całkowitych) nazywa się rozkładem Pascala
Zmienną losową o rozkładzie (r, ) można traktować jako liczbę doświadczeń
przeprowadzonych w schemacie Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p dla r " , to
potrzebną do uzyskania r sukcesów:
- 1 + k - 1 "..."
= = " " 1 - dla k = r, r+1, ... , r e"0, " 0,1 = = ,
- 1 " ! !
gdzie: = +" exp - dla x > 0.
" Twierdzenie o dodawaniu
Jeżeli zmienne są niezależne o rozkładach , ,
to ich suma ma rozkład " , :
Jeżeli , , . . . , ~ , , to Z= " ~ " ,
Ad. 1. Liczba szkód K - Rozkład geometryczny (1, ) Ad. 1. Liczba szkód K - Rozkład geometryczny (1, )
" Zmienna losowa K ma rozkład geometryczny (ozn. K ~ (1, ) ): " Zmienna losowa K ma rozkład geometryczny (ozn. K ~ (1, ) ):
= = " - dla k = 0, 1, 2, ... , " 0,1 = = " - dla k = 1, 2, ... , " 0,1
( ) = dla q = 1 -
( ) = dla q = 1 -
( ) =
( ) =
" Uwaga: " Uwaga:
" Rozkład geometryczny z parametrem p to rozkład ujemny dwumianowy z " Rozkład geometryczny z parametrem p to rozkład ujemny dwumianowy z
parametrami r=1 i p (Geo( ) = (1, ) )
parametrami r=1 i p (Geo( ) = (1, ) )
" = to prawdopodobieństwo wystąpienia szkody po k okresach " = to prawdopodobieństwo wystąpienia szkody po k okresach
bezszkodowych bezszkodowych
" W Excelu: " W Excelu:
" = = rozkład.dwum.przec(k; 1; p) wartość prawdopodobieństwa
" = = rozkład.dwum.przec(k; 1; p) wartość prawdopodobieństwa
3
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń
Ad. 1. Liczba roszczeń K rozkład logarytmiczny Log( )
przypadających na jedną polisę w ciągu roku
" Zmienna losowa K ma rozkład logarytmiczny (ozn. K ~ Log( ) ):
Liczba Liczba klientów
roszczeń (ni)
( = ) = dla k = 1,...
| ( )|
(xi)
0 370 412
=
| ( )|
1 46 545
( ) = (|ln( )| - ) 2 3 935
3 317
4 28
5 3
Suma 421 240
yródło: Johnson P.D., Hey G.B., Statistical Studies in Motor Insurance.
"Journal of Statistical Actuaries", vol. 97, część II i III.
Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń
przypadających na jedną polisę w ciągu roku przypadających na jedną polisę w ciągu roku
Liczba roszczeń Liczba klientów Iloczyny
" Z danych empirycznych wyznaczamy charakterystyki empiryczne:
(xi 2 ni )
(xi) (ni) (xini)
" Średnia liczba roszczeń:
" " 0 370 412 0 0
=
1 46 545 46545 46 545
2 3 935 7870 15 740
" Obliczanie wariancji roszczeń:
3 317 951 2 853
2
5 5 5 4 28 112 448
xi 2 ni ć ni 2 ni
xi xi
5 3 15 75
i=1 i=1 i=1
s2 = m2 - m12 = - = - x2
N =
Suma 421 240 55 493 65 661
N N N
Ł ł
yródło: opracowanie własne
Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń
przypadających na jedną polisę w ciągu roku przypadających na jedną polisę w ciągu roku
" Z danych empirycznych wyznaczamy charakterystyki empiryczne: " Zakładamy, że rozkład empiryczny jest zgodny z teoretycznym i wyznaczamy
parametry rozkładu teoretycznego:
" Średnia liczba roszczeń:
k-ty moment centralny jest równy k-temu momentowi z próby, np.:
" " 55493
= = = 0,13174 H" 0,132
421240 " średnia z próby równa się średniej w rozkładzie teoretycznym,
" Obliczanie wariancji roszczeń:
" wariancja z próby równa się wariancji w rozkładzie teoretycznym:
2
5 5 5
xi 2 ni ć ni 2 ni Np. w rozkładzie Poissona =
xi xi
i=1 i=1 i=1
s2 = m2 - m12 = - = - x2 " Obliczamy prawdopodobieństwa teoretyczne pi
N N N
Np. w rozkładzie Poissona pi=
Ł ł
!
" Obliczamy liczebności hipotetyczne (teoretyczne): =N*pi
" Testem zgodności (np. Chi-kwadrat) sprawdzamy zgodność rozkładów
" Odchylenie standardowe roszczeń:
4
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Przykład aproksymacji rozkładu liczby roszczeń
Modelowanie ryzyka - powtórzenie
przypadających na jedną polisę w ciągu roku
" Zmienna losowa R i jej rozkład służy do opisu działalności ubezpieczeniowej.
Liczba Liczba Iloczyny Poisson Liczeb.
roszczeń (xi) klientów (ni) (xini) (pi) hipotetyczne
(ni=N*pi)
" W teorii aktuarialnej ryzyko ubezpieczeniowe zmienna losowa R
może opisywać następujące zmienne:
0 370 412 0 0,8781 369 889
1. liczbę roszczeń (szkód)
1 46 545 46545 0,11415 48 085,6
2. wartości szkód (odszkodowań) - indywidualne oraz łączne
2 3 935 7870 0,00742 3 125,6
3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy
3 317 951 0,00032 135,4
4 28 112 1E-05 4,4
i dodatkowo:
5 3 15 2,7E-07 0,1
Suma 421 240 55 493 1 421 240
N = 4. wynik ogólny towarzystwa
5. współczynnik szkodowości.
" "
=
!
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
" Niech R = X, " Zmienna losowa X jest najczęściej opisywana przez następujące rozkłady
prawdopodobieństwa:
gdzie: X to zmienna losowa opisującą wartość indywidualnej szkody
" rozkład gamma
(odszkodowania lub świadczenia)
" rozkład wykładniczy
" rozkład logarytmiczno-normalny
X to zmienna losowa:
" rozkład Pareto
" ciągła
" rozkład beta (w tym rozkład jednostajny)
" o wartościach nieujemnych
" rozkład Weibulla (dla bardzo dużych szkód).
" o rozkładzie, w którym głównie dominują szkody małe i średnie, a szkody
katastroficzne występują rzadko (asymetria dodatnia)
" o pewnej dystrybuancie F(x) oraz
" o skończonej wartości oczekiwanej E(X)
" wskazane jest, aby wariancja rozkładu Var(X) także była skończona.
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
Rozkład Gamma ,
rozkład Gamma ,
" Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami , > 0 (ozn. ~ , ):
" Rozkład gamma z parametrami , :
ba
= 1 nazywa się rozkładem wykładniczym z parametrem
xa -1 exp -b x dla x > 0
( )
f x = G(a)
( )
" ( = 1, = )
dla x Ł 0
0
> 1 jest rozkładem asymetrycznym
< 1 jest rozkładem skrajnie asymetrycznym
Gdzie:
" = +" exp - dla > 0, > 0.
= n nazywa się rozkładem Erlanga
" + 1 = ! 1 = 0! = 1, 0 = -1 =. . . = - = 0, "
" ( = n, )
( ) =
= i = nazywa się rozkładem Chi-kwadrat z n/2 stopniami swobody
( ) =
" ( = , = )
Rozkład stosowany: dla małych szkód dla <=1, dla dużych szkód >1
" W Excelu:
=rozkład.gamma(x; alfa; beta; FAASZ) wartość prawdopodobieństwa
=rozkład.gamma(x; alfa; beta; PRAWDA) dystrybuanta
5
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
Rozkład wykładniczy
rozkład wykładniczy
" Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem > 0 (ozn. ~ ):
" Rozkład wykładniczy z parametrem 6"
to rozkład gamma z parametrami = 1, : = 1, =
f x = b exp -b x dla x ł 0 F x = 1- exp -b x dla x ł 0
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) =
posiada własność braku pamięci.
( ) =
=
-
" W Excelu:
= rozkład.exp(x; beta; FAASZ) wartość prawdopodobieństwa
= rozkład.exp(x; beta; PRAWDA) dystrybuanta
Rozkład normalny , Standaryzowany rozkład normalny ,
" Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami ź, > 0 (ozn. X ~ , ): " Jeżeli zmienna X ma rozkład normalny z parametrami ź, > 0 , (ozn. X ~ , )
X - m
2 " to zmienna losowa
Z =
ć
x - m s
1 ( )
fX x = exp - , x R ma standaryzowany rozkład normalny z parametrami 0, 1 (ozn. Z ~ , ):
( )
2
s 2p 2s
Ł ł
1 ć z2
f z = exp - , z R
( )
( ) =
2p 2
Ł ł
( ) =
= 0
( ) = 0
( ) = 1
" W Excelu:
= 0
=rozkład.normalny(x; średnia; odchylenie standardowe; prawda)
" W Excelu:
wartość dystrybuanty
=ROZKAAD.NORMALNY.S(z)) wartość prawdopodobieństwa
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
Ad. 4. Wynik ogólny towarzystwa
rozkład logarytmiczno-normalny
rozkład Pareto ,
" Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami ź, > 0 " Zmienna losowa X ma rozkład Pareto z parametrami , > 0 (ozn. X~ , ):
(ozn. X ~ , ),
= dla 0 d" < " e" 0
jeżeli zmienna losowa U=lnX rozkład normalny z parametrami ź, > 0:
U=lnX ~ , :
= 1 -
2
ć
ln x - m
1 ( ) 1
fX x = exp - , x > 0 ( ) = dla > 1
( )
2
s 2p 2s x
Ł ł
= dla > 2
( ) = exp +
2
( ) = exp 2 + [exp( ) - 1]
Uwaga:
Wartości funkcji gęstości rozkładu Pareto są wolniej zbieżne do zera dla rosnących
wartości zmiennej losowej niż w rozkładzie logarytmiczno-normalnym.
" W Excelu:
Wykorzystywany do modelowania szkód ogniowych.
=rozkł.log(x; średnia; odchylenie standardowe; prawda) wartość dystrybuanty
6
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X Ad. 2. Wartość indywidualnej szkody X
Ad. 4. Wynik ogólny towarzystwa Ad. 5. Współczynnik szkodowości W
rozkład Pareto , rozkład Beta
" Zmienna losowa X ma rozkład Pareto z parametrami , > 0 (ozn. X~ , ): " Jeżeli zmienna losowa Y Beta określony na przedziale [a,b], to
zmienna W= określona na przedziale [0,1]ma rozkład Beta z parametrami ,
= dla 0 d" < " e" 0
>0, (ozn. W~ , ):
G a + b
( ) b -1
f x = xa -1 1- x , 0 Ł x Ł1, a, b > 0
( ) ( )
= 1 -
G a G b
( ) ( )
( ) = dla > 1
( ) =
+
= dla > 2
= =
+ + + 1
" W Excelu:
Uwaga:
= rozkład.beta(x; , ; FAASZ) wartość prawdopodobieństwa
Wartości funkcji gęstości rozkładu Pareto są wolniej zbieżne do zera dla rosnących
wartości zmiennej losowej niż w rozkładzie logarytmiczno-normalnym. = rozkład.betax; , ; PRAWDA) dystrybuanta
Wykorzystywany do modelowania szkód ogniowych.
Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań
Odszkodowanie L. roszczeń
(xi0;xi1) (ni)
500
0 2000 488
450
2000 - 4000 115
400
4000 - 6000 92 350
300
6000 - 8000 54
250
8000 - 10000 33
200
10000 - 12000 19
150
100
12000 - 14000 15
50
14000 - 16000 15
0
16000 - 18000 7 0 - 2000 - 4000 - 6000 - 8000 - 10000 12000 14000 16000 18000
2000 4000 6000 8000 10000 - - - - -
18000 - 20000 4 12000 14000 16000 18000 20000
suma 842 = N Odszkodowanie
Wykres 1. Rozkład wielkości empirycznych
Żródło: Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. [1992], s. 39.
Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań
Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań
Odszkodowanie L. roszczeń Środek Iloczyny Prawd. teor. Rozkład wykładn.
"
"
(xi0;xi1) (ni) przedziału (pi) (ni=N*pi)
" Z danych empirycznych wyznaczamy charakterystyki empiryczne: ( ni)
" Średnia:
0 2000 488 1000 488000 0,452915 381,4
2000 - 4000 115 3000 345000 0,247783 208,6
"
2792000
4000 - 6000 92 5000 460000 0,135558 114,1
= = =3315,91
6000 - 8000 54 7000 378000 0,074162 62,4
" Wariancja:
8000 - 10000 33 9000 297000 0,040573 34,2
2
k k
2
i i 10000 - 12000 19 11000 209000 0,022197 18,7
ćx - x ni x ni
Ł ł
i=1 i=1
s2 = = - x2
12000 - 14000 15 13000 195000 0,012144 10,2
n n
14000 - 16000 15 15000 225000 0,006644 5,6
" Odchylenie standardowe:
16000 - 18000 7 17000 119000 0,003635 3,1
s = s2 = 3705,29
18000 - 20000 4 19000 76000 0,00439 3,7
suma 842 = N 2792000 1 842
Żródło: Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. [1992], s. 39.
7
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Liczba roszczeń
2016-03-06
Przykład aproksymacji rozkładu teoretycznego
Przykład aproksymacji w rozkładzie wykładniczym
(wartości odszkodowań) rozkładem empirycznym
" Parametry rozkładu teoretycznego wyznaczamy np. metodą momentów, w której " Zakładamy, że k-ty moment jest równy k-temu momentowi z próby, np.:
zakładamy, że
" Średnia z próby równa się średniej w rozkładzie teoretycznym,
k-ty moment centralny jest równy k-temu momentowi z próby, np.:
x = EX
" średnia z próby równa się średniej w rozkładzie teoretycznym,
1
x =
" wariancja z próby równa się wariancji w rozkładzie teoretycznym:
b
x = EX 1
Ć
b =
2
x
s =VarX
" Obliczamy prawdopodobieństwa teoretyczne:
= " exp - "
" Stąd wyznaczamy parametry rozkładu teoretycznego, np. w rozkładzie normalnym
" gdzie: to górne granice przedziałów!
m,s2
" Obliczamy liczebności teoretyczne:
=N "
" Na koniec testem zgodności (np. Chi-kwadrat) sprawdzamy zgodność rozkładu
teoretycznego (wykładniczego) z rozkładem empirycznym
Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań Przykład aproksymacji rozkładu wartości odszkodowań
Odszkodowanie L. szkód Środek Iloczyny Prawd. teor. Rozkład wykładn.
"
"
(xi0;xi1) (ni) przedziału (pi) (ni=N*pi)
( ni)
0 2000 488 1000 488000 0,452915 381,4
2000 - 4000 115 3000 345000 0,247783 208,6
4000 - 6000 92 5000 460000 0,135558 114,1
6000 - 8000 54 7000 378000 0,074162 62,4
8000 - 10000 33 9000 297000 0,040573 34,2
10000 - 12000 19 11000 209000 0,022197 18,7
12000 - 14000 15 13000 195000 0,012144 10,2
14000 - 16000 15 15000 225000 0,006644 5,6
16000 - 18000 7 17000 119000 0,003635 3,1
18000 - 20000 4 19000 76000 0,00439 3,7
yródło: opracowanie własne
842=N 2792000 1 842
Żródło: Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. [1992], s. 39.
" exp - "
Modelowanie ryzyka - powtórzenie Ad. 3. Wynik ogólny towarzystwa zmienna Y
" Niech R = Y,
" Zmienna losowa R i jej rozkład służy do opisu działalności ubezpieczeniowej.
gdzie: Y to zmienną losową opisującą wynik ogólny towarzystwa.
" W teorii aktuarialnej ryzyko ubezpieczeniowe zmienna losowa R
może opisywać następujące zmienne:
" Zmienna losowa Y może być opisywana przez następujące rozkłady
1. liczbę roszczeń (szkód)
prawdopodobieństwa:
2. wartości szkód (odszkodowań) - indywidualne oraz łączne
rozkład Pareto
3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy
rozkład logarytmiczno-normalny.
i dodatkowo:
4. wynik ogólny towarzystwa
5. współczynnik szkodowości.
8
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Modelowanie ryzyka - powtórzenie Współczynnik szkodowości W
" Niech R = W,
" Zmienna losowa R i jej rozkład służy do opisu działalności ubezpieczeniowej.
gdzie: W to zmienną losową opisującą współczynnik szkodowości losowej
badający udział wielkości szkody w sumie ubezpieczenia.
" W teorii aktuarialnej ryzyko ubezpieczeniowe zmienna losowa R
może opisywać następujące zmienne:
1. liczbę roszczeń (szkód) " Zmienna losowa W może być opisywana np. przez rozkład prawdopodobieństwa:
2. wartości szkód (odszkodowań) - indywidualne oraz łączne
" rozkład beta.
3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy
i dodatkowo:
4. wynik ogólny towarzystwa
5. współczynnik szkodowości.
Modelowanie ryzyka - powtórzenie Model Erlanga - wprowadzenie
" Niech zmienne:
" Zmienna losowa R i jej rozkład służy do opisu działalności ubezpieczeniowej.
X to wartość indywidualnych odszkodowań,
T to czas pomiędzy kolejnymi roszczeniami (zgłoszeniami szkód).
" W teorii aktuarialnej ryzyko ubezpieczeniowe zmienna losowa R
może opisywać następujące zmienne:
" Zmienne X i T są kluczowe w analizie ryzyka, gdyż za ich pomocą można określić
1. liczbę roszczeń (szkód) inne zmienne, np. - ogólny koszt wypłaconych odszkodowań w przedziale (0, t):
= + +. . . +
2. wartości szkód (odszkodowań) - indywidualne oraz łączne
3. momenty czasu, w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy
gdzie: zmienną losową (K) jest także liczba składników tej sumy.
" Zakłada się, że:
i dodatkowo:
długości przedziałów czasu pomiędzy kolejnymi roszczeniami są wzajemnie
niezależne ( ~ independent);
4. wynik ogólny towarzystwa
wartości wypłacanych odszkodowań przez zakład ubezpieczeń są wzajemnie
5. współczynnik szkodowości.
niezależne ( ~ independent);
żadna ze zmiennych nie wpływa na którąkolwiek ze zmiennych ( , ~i.).
Model Erlanga wprowadzenie cz. 2 Model Erlanga - cz. 3
" Jeżeli w szczególności założy się, że:
" Często dodatkowo zakłada się, że: ma rozkład wykładniczy z parametrem D (ozn. ~ D )
ciąg przedziałów czasowych , , , & jest ma rozkład wykładniczy z parametrem (ozn. ~ )
ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
(i.i.d. - independent & identically distributed): " co oznacza, że prawdopodobieństwa zmiennych i maleją wykładniczo wraz
ze wzrostem wartości tych zmiennych:
" , , , & ~ i.i.d.
( = ) = dla e" 0
ciąg wartości odszkodowań , , , . . . jest
( = ) = dla t e" 0
ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach:
" , , , . . . ~ i.i.d.
" to do opisu procesu ryzyka stosujemy tzw. model Erlanga, który pozwala
wyznaczyć rozkład liczby roszczeń w okresie o długości t.
" (Straub E., Non-Life Insurance Mathematics, Springer Verlag, 1988, s. 12)
9
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Model Erlanga - cz. 4 Model Erlanga cz. 5 podsumowanie
" Niech w przedziale czasu [0, t] : " Można wykazać (por. Straub [1988, s. 13]), że:
oznacza czas pomiędzy zerowym roszczeniem a roszczeniem 1,
< d" + = "
oznacza czas pomiędzy roszczeniem 1 a roszczeniem 2, itd.
( - 1)!
" Wystąpienie k szkód w przedziale czasu [0, t] oznacza, że:
" Wniosek:
+ +. . . + d" , ale + +. . . + + >
" Jeżeli
" Jeżeli oznacza liczbę roszczeń w okresie [0, t], czyli zmienną losową przyjmującą
wartości indywidualnych szkód są niezależne i zgodne z rozkładem
wartości 0, 1, 2, ... , z prawdopodobieństwami:
wykładniczym oraz
( = ) = " d" " > k = 0, 1, 2, ... ,
czas pomiędzy kolejnymi roszczeniami podlega rozkładowi wykładniczemu,
" to można wykazać (por. Straub [1988, s. 13]), że liczbę roszczeń ma rozkład
Poissona:
" to
< d" + = "
liczba roszczeń w przedziale czasu [0, t] ma rozkład Poissona.
( - 1)!
Rozkłady lekko- i ciężko-ogonowe Rozkłady lekko- i ciężko-ogonowe
" Rozkłady wartości szkód można podzielić na: " Rozkłady lekko-ogonowe:
Rozkłady lekkoogonowe (cienkoogonowe): wykładniczy
Rozkład jest rozkładem o lekkim ogonie, gdy istnieją a>0, b>0 takie, że gamma
= 1 - d" " exp - "
Weibulla z parametrami > 0, e" 1
ucięty normalny
Rozkłady ciężkoogonowe (gruboogonowe):
Rozkład jest rozkładem o ciężkim ogonie, gdy istnieją a>0, b>0 takie, że
" Rozkłady ciężko-ogonowe:
= 1 - > " exp - "
Weibulla z parametrami > 0, 0 < < 1
lognormalny
loggamma
Pareto
Bura
Ryzyko katastrofalne Ryzyko katastrofalne
" Ryzyko określa się jako katastrofalne, " Do modelowania wartości szkód pochodzących ze zdarzeń katastrofalnych
wykorzystywane są rozkłady wartości ekstremalnych:
jeśli jego realizacja generuje wielkie szkody losowe,
rozkład Frecheta (Maurice Frecht):
które mogą wystąpić w jednym lub w wielu obiektach
i które mogą być kumulacją bardzo dużej liczby nawet drobnych szkód
( ) = " " exp - , x > 0, parametr kształtu ą > 0 i parametr skali > 0.
powstałych w wyniku katastrofy naturalnej lub spowodowanej przez człowieka.
F( ) = exp -
rozkład Weibulla (Waloddi Weibull):
" Cechy ryzyka katastrofalnego:
niespełniony jest warunek:
( ) = " " exp - , x > 0, ą > 0 i > 0
" o niezależności występowania szkód
F( ) = exp - -
" o powtarzalności jednorodnych szkód, pozwalający na korzystanie z
rozkład Gumbela (Emil Gumbel):
wnioskowania statystycznego (konieczność korzystania z symulacji)
prawdopodobieństwo realizacji ryzyka jest bardzo małe i trudne do ( ) = " exp - - exp - , " , = .
oszacowania
F( ) = exp -exp -
szkody będące realizacją ryzyka katastrofalnego pojawiają się prawie w tym
uogólnione rozkłady wartości ekstremalnych (Generalized Extreme Value, GEV,
samym czasie.
distributions), które są kombinacją ww. rozkładów.
10
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2016-03-06
Ryzyko katastrofalne
" Do modelowania wartości szkód pochodzących ze zdarzeń katastrofalnych
wykorzystywane są rozkłady wartości ekstremalnych:
rozkład Frecheta (Maurice Frecht):
rozkład Weibulla (Waloddi Weibull):
rozkład Gumbela:
uogólnione rozkłady wartości ekstremalnych:
11
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metody Aktuarialne W6 wersja 2016 studentmetody numeryczne i w2metody aktuarialne, 2012 Metody aktuarialne 3metody numeryczne w2metody aktuarialne, 2012 Metody aktuarialne 1rdzeń nadnerczy dla studentów wersja x 6Materiały dla studentów OA W2metody w2 et2008 patomorfologia wykl wersja studenckaid&54107 02 2016 Metody obliczeniowewięcej podobnych podstron