Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej
funkcja przybliżana f ( x ),
siatka węzłów xi , i =� 0,...,m, fi =� f ( xi )
dane: punkty węzłowe ( xi , fi ) i =� 0,...,m
współczynniki wagowe wi >� 0 i =� 0,...,m
funkcje bazowe j�i ( x ) i =� 0,...,n
n
*
funkcja aproksymująca f ( x ) =� cij�i ( x )
��
i=�0
m
*
szukane stałe ci takie by ( f ( xi ) -� fi )2 wi �� min
��
i=�0
W2 - 1
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Notacja:
dla dowolnych funkcji f (�� ), g(�� ), przy danej siatce
węzłów i współczynników wagowych
m
f , g :=� f ( xi )g( xi )wi
��
i=�0
Jeżeli f , g =� 0 to funkcje f (�� ), g(�� ), nazywamy
ortogonalnymi.
Jeżeli fi , f =� 0 dla i ą� j i fi , fi ą� 0
to funkcje
j
fi (�� ), i =� 1,2,... układem (rodziną) funkcji
ortogonalnych.
W2 - 2
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Twierdzenie
Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
Grammian
normalnych:
j�0,j�0 j�1,j�0 L� j�n,j�0 ��c0 f ,j�0
�� ł� �� ł�
ł�
ę�
j�0,j�1 j�1,j�1 L� j�n,j�1 ś�ę�c1 ś� ę� f ,j�1 ś�
ę� ś� ę� ś�
ę� ś�
=�
ę� L� L� L� L� ś� M� ę� L� ś�
ę� ś�
ę�
j�0,j�n j�1,j�n L� j�n,j�n ś�ę�cn ś� ę� f ,j�n ś�
�� ��
�� �� �� ��
Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:
f ,j�i
ci =� , i =� 0,...,n
j�i ,j�i
W2 - 3
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Przykład
j�i( x ) =� xi , i =� 0,...,n
1
x0 =� 0, x1 =� , ... , xm =� 1, m=10
m
wi =� 1, i =� 0,...,m
Maksymalny element odwrotności Maksymalny element odwrotności
n n
Grammianu Grammianu
1 0.9 8 1.9908e+010
2 12.5 9 1.4199e+012
3 375 10 2.4218e+014
4 9 874
5 252 828
6 8 771 904
7 3.9133e+008
W2 - 4
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Wielomiany Czebyszewa
Tn( x ) =� cos( n arc cos x ) -� 1 Ł� x Ł� 1, n =� 0,1,...
T0( x ) =� 1 T1( x ) =� x, Tn+�1( x ) =� 2xTn( x ) -�Tn-�1( x ) n =� 1,2,...
Współczynnik wiodący wielomianu Tn( x ) jest równy
2n-1 dla n=1,2,.
Tn( -�x ) =� ( -�1 )nTn( x )
Wielomian Tn+�1( x ) ma n+1 zer
( 2k +� 1 )p�
xk =� cos , k =� 0,1,...,n, n =� 0,1,....
2( n +� 1 )
W2 - 5
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Układ wielomianów T0( x ),T1( x ),...,Tn( x ) jest
ortogonalny względem wag wi =� 1 i węzłów xi , które są
zerami wielomianu Tn+�1( x ):
0 dla i ą� j
��
��
n +� 1
Ti ,Tj =� dla i =� j ą� 0
��
��n 2 1 dla i =� j =� 0
+�
��
W2 - 6
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 7
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej
funkcja przybliżana f ( x ),
siatka węzłów xi , i =� 0,...,m, fi =� f ( xi )
dane: punkty węzłowe ( xi , fi ) i =� 0,...,m
n
*
funkcja aproksymująca f ( x ) =� ai xi ma być
��
i=�0
wielomianem stopnia co najwyżej n
*
szukane stałe ai takie by max f ( xi ) -� fi �� min
i
Tw. Weierstrassa
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale
[�a,b]�, to dla każdego e� >� 0 istnieje wielomian Pn( x )
stopnia n, taki że dla każdego x ��[�a,b]�, f ( x ) -� Pn( x ) <� e�
W2 - 8