Wykład V
Krzywe drugiego stopnia
Okrąg
Elipsa
Hiperbola
Parabola
1
Okrąg
Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny
XOY odległych o r (r>0) od ustalonego punktu S(a,b). Punkt
S(a,b) nazywamy środkiem okręgu, natomiast r - promieniem.
P(x,y)
r
S(a,b)
Współrzędne punktów okręgu spełniają równość:
2 2
(x - a) + (y - b) = r2
2
Elipsa
Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,
których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1 i F2,
nazywanych ogniskami elipsy, jest stałą i wynosi 2a.
P(x,y)
b
a
F1
F2
x2 y2
Współrzędne punktów
+ = 1
elipsy spełniają równość:
a2 b2 3
Ogniska elipsy mają współrzędne F1(-c,0) i F2(c,0) , gdzie
a2
c2=a2-b2.
x = -
B2(0,b)P(x,y)
c
Elipsa posiada 4 wierzchołki:
b
A1, A2, B1, B2, które spełniają:
a
|A1A2|=2a, |B1B2|=2b.
A1(-a,0) F1(-c,0) S(0,0) F2(c,0) A2(a,0)
Odcinek |A1A2|=2a nazywa
a2
się dużą osią, natomiast
x =
B1(0,-b)
c
odcinek |B1B2|=2b małą osią.
Elipsa posiada:
mimośród, który jest stosunkiem |F1F2| do |A1A2|, czyli e=2c/2a=c/a
dwie kierownice: x=ąa/e =ąa2/c
Jeżeli środkiem elipsy jest dowolny punkt S(x0,y0), wówczas równanie
2 2
elipsy ma postać:
(x - x0) (y - y0)
+ =1
a2 b2
Ponadto, wierzchołki, ogniska i kierownice należy przesunąć o wektor
4
v=[x0,y0].
Hiperbola
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,
których moduł różnicy odległości od dwóch ustalonych
punktów F1 i F2, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stałą i
wynosi 2a.
P(x,y)
b
a a
F1 F2
b
x2 y2
Współrzędne punktów
- =1
hiperboli spełniają równość:
a2 b2 5
Ogniska hiperboli mają współrzędne F1(-c,0) i F2(c,0) ,
gdzie c2=a2+b2.
Hiperbola posiada 2 wierzchołki: A1 i A2, które spełniają: |A1A2|=2a.
Odcinek |A1A2|=2a nazywa się osią rzeczywistą natomiast odcinek
|B1B2|=2b osią urojoną.
Hiperbola posiada (identycznie jak elipsa)
mimośród, który jest stosunkiem |F1F2| do |A1A2|, czyli e=2c/2a=c/a
dwie kierownice: x=ąa/e =ąa2/c
Jeżeli środkiem hiperboli jest dowolny punkt S(x0,y0), wówczas
równanie hiperboli ma postać:
2 2
(x - x0) (y - y0)
- =1
a2 b2
Ponadto, wierzchołki, ogniska i kierownice należy przesunąć o wektor
6
v=[x0,y0].
Parabola
Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny
równo oddalonych od prostej nazywanej kierownicą paraboli i
od ustalonego punktu F, nazywanego ogniskiem paraboli.
P(x,y)
F
Współrzędne punktów
y2 = 2 px
paraboli spełniają równość:
7
p
�ł
F ,0�ł
�ł �ł
Parabola posiada jedno ognisko w punkcie
2
�ł łł
p
x = -
oraz jedną kierownicę
2
Parabola posiada wierzchołek w początku układu.
Mimośród paraboli jest równy jedności.
Jeżeli wierzchołek paraboli jest w punkcie O(x0,y0),
wówczas równanie paraboli ma postać:
2
(y - y0) = 2 p(x - x0)
Ponadto, podobnie jak w przypadku elipsy i hiperboli wierzchołek,
ognisko i kierownicę należy przesunąć o wektor v=[x0,y0].
8
Ogólne równanie linii stopnia drugiego
Ogólne równanie linii stopnia drugiego możemy zapisać w
postaci
a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Kształt linii opisanej powyższym równaniem zależy od
dwóch wyznaczników:
a11 a12 a13
a11 a12
w =
W = a12 a22 a23
a12 a22
a13 a23 a33
Charakterystyka krzywych:
W`"0 W=0
w>0 jeśli a11W<0 elipsa punkt
jeśli a11W>0 zb. pusty
w=0 parabola proste równoległe
9
w<0 hiperbola proste przecinające się
W celu określenia krzywej drugiego stopnia możemy
równanie opisujące krzywą doprowadzić do postaci
kanonicznej.
a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Jeżeli w równaniu
wyraz a12=0 (brak obrotu krzywej), czyli
a11x2 + a22 y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Wówczas grupujemy wyrazy z x i y
(a11x2 + 2a13x)+(a22 y2 + 2a23y)+ a33 = 0
Wyłączamy przed nawias odpowiednio a11 i a22 , a wyrażenie w nawiasie
zwijamy do kwadratu:
�ł �ł �ł �ł
a13 �ł a23 �ł
�ł �ł
a11�ł x2 + 2 x�ł + a22�ł y2 + 2 y�ł + a33 = 0
a11 łł a22 łł
�ł �ł
2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a13 �ł a23 �ł a13 a23 �ł
�ł �ł �ł �ł �ł
a11�ł x + + a22�ł y + + a33 - a11�ł �ł - a22�ł = 0
10
a11 �ł a22 �ł a11 a22 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
Przykłady:
Jakie krzywe przedstawiają poniższe równania:
a) x2+y2+4x+6y-12=0
b) x2+2y2-2x+8y+9=0
c) y2-4y+6x-2=0
Rozwiązania:
1 0 2
a)
a11W = 10 1 3 = -12 - 4 - 9 < 0
x2 + y2 + 4x + 6y -12 = 0
2 3 -12
(x2 + 4x)+(y2 + 6y)-12 = 0
1 0
w = =1 > 0
0 1
2 2
(x + 2) - 4 + (y + 3) - 9 -12 = 0
2 2
(x + 2) + (y + 3) = 25
Ostatecznie otrzymaliśmy, że równanie opisuje okrąg o
11
środku w punkcie S(-2,-3) i promieniu r=5.
1 0 -1
b)
x2 + 2y2 - 2x + 8y + 9 = 0
W = 0 2 4 =18 - 2 -16 = 0
-1 4 9
(x2 - 2x)+ 2(y2 + 4y)+ 9 = 0
2 2
1 0
(x -1) -1+ 2(y + 2) -8 + 9 = 0
w = = 2 > 0
0 2
(x -1)2 + 2(y + 2)2 = 0
Równanie opisuje punkt S(1,-2).
a)
0 0 3
y2 - 4y + 6x - 2 = 0
W = 0 1 - 2 = -9 `" 0
3 - 2 9
(y2 - 4y)= -6x + 2
2
0 0
(y - 2) - 4 = -6x + 2
w = = 0
F(-3/2,2)
0 1
2
O(1,2)
(y - 2) = -6(x -1)
Równanie opisuje parabolę o wierzchołku w
12
punkcie O(1,2) i parametrze p=-3.