Wykład VII
Powierzchnie drugiego stopnia
Kula
Elipsoida
Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa
Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna
Stożek i walec
1
Kula
Kula o środku w punkcie S(a,b,c) i promieniu r (r>0) jest
opisana równaniem:
2 2 2
(x - a) + (y - b) + (z - c) = r2
z
P(x,y,z)
S(a,b,c)
r
y
x
2
Elipsoida
Elipsoida opisana jest równaniem:
x2 y2 z2
+ + =1
a2 b2 c2
z
y
x
3
Hiperboloida jednopowłokowa
Hiperboloida jednopowłokowa jest opisana równaniem:
x2 y2 z2
+ - = 1
a2 b2 c2
z
y
x
4
Hiperboloida dwupowłokowa
Hiperboloida dwupowłokowa jest opisana równaniem:
x2 y2 z2
- - = 1
a2 b2 c2
z
y
x
5
Paraboloida eliptyczna
Paraboloida eliptyczna opisana jest równaniem
x2 y2
+ = z
z
a2 b2
y
x
6
Paraboloida hiperboliczna
Paraboloida hiperboliczna opisana jest równaniem
x2 y2
- = z
Przecięcie płaszczyzną
a2 b2 z=const jest hiperbolą
z
Przecięcie płaszczyzną
y zawierającą oś OZ jest parabolą
x
7
Stożek eliptyczny
Stożek eliptyczny opisany jest równaniem:
x2 y2 z2
+ =
a2 b2 c2
Przecięcie płaszczyzną
z z=const jest elipsą
y
Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest parą prostych
x
8
Walec eliptyczny
Walec eliptyczny opisany jest równaniem:
x2 y2
+ = 1
a2 b2
Przecięcie płaszczyzną
z z=const jest elipsą
y
Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest prostokąt
x
9
Zadania z powierzchni drugiego stopnia
Zadanie 1. Znalez
ć równanie powierzchni powstałej z obrotu
x2 y2
+ =1
elipsy dookoła osi OY:
25 9
1.Punkt P leży na elipsie
zatem
2 2
�ł �ł
x2 k k
y
�ł
+ = 1�! x = 25�ł1- �ł
�ł
25 9 9
�ł łł
P ( ?, k, 0)
�ł �ł
�ł �ł
k2
S( 0,k,0)
�ł
P�ł 25�ł1- �ł
czyli
�ł, k,0�ł
k
�ł �ł
9
Q ( x,k,z)
�ł łł
�ł łł
x
2. Punkt P obracając się
dookoła osi OY zatacza okrąg o
środku w punkcie S(0,k,0)
z
3. Ponieważ punkty P i Q leżą
10
na okręgu, zatem |SP|=|SQ|.
4. Jeżeli |SP|=|SQ| to |SP|2=|SQ|2
2
2
�ł �ł
k
2
SQ = x2 + z2
�ł
SP = 25�ł1- �ł
+ 0 + 0
�ł
9
�ł łł
5. Porównujemy kwadraty odległości uzyskując:
2
�ł �ł
k
�ł
25�ł1- �ł
= x2 + z2 : 25
�ł
9
�ł łł
2
x2 z2 k x2 y2 z2
+ + =1 �! + + = 1
25 25 9 25 9 25
Odp. Otrzymaliśmy równanie elipsoidy.
11
Zadanie 2. Znalez
ć równanie powierzchni powstałej z obrotu
x2 z2
- =1
hiperboli dookoła osi OX:
25 9
x
1.Punkt P leży na hiperboli, zatem
S( k,0,0)
2 2
�ł �ł
k z2 k
P ( k,0,?)
Q ( k,y,z)
�ł �ł
- = 1�! z = 9�ł -1�ł
25 9 25
�ł łł
2
�ł �ł
�ł �ł
k
5
czyli
�ł �ł
P�łk,0, 9�ł -1�ł �ł
�ł �ł
25
�ł łł
z
�ł łł
2. Środek okręgu jest w punkcie S(k,0,0)
3 3
y 3. Punkt Q ma współrzędne Q(k,y,z)
5
2
2
�ł �ł
k
2
SQ = y2 + z2
�ł �ł
SP = 0 + 0 + 9�ł -1�ł
25
�ł łł
2
x2 y2 z2
�ł �ł
k
- - = 1
�ł �ł
9�ł -1�ł = y2 + z2 : 9 �!
25 9 9
25
�ł łł
12
Odp. Otrzymaliśmy hiperboloidę dwupowłokową.