Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
Kazimierz Zakrzewski
Politechnika A
ódzka, Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych
Rozwój metod modelowania pól elektromagnetycznych
w transformatorach
Transformatory budowane są od blisko 120 lat. Pierwszy Zakłada się odbicie prądu występującego w przewodzie
patent opisujący transformator o charakterze energetycznym umieszczonym w dielektryku ze współczynnikiem M w obsza-
powstał na terenie Austro-Węgier w 1884 roku (O.T. Blathy, rze ekranu, będące odpowiednikiem jego reakcji na rozkład pola
M. Deri, K. Zipernowsky  z firmy Ganz). Upłynęło wtedy ponad w obszarze dielektrycznym.
50 lat od odkrycia prawa indukcji M. Faradaya, stanowiÄ…cego Pole w obszarze ekranu jest wytwarzane wtedy przez hipote-
podstawę działania transformatora (1831 r.). Ekstremalne moce tyczny prąd ze współczynnikiem odbicia m. Z warunku zachowania
powyżej 1000 MVA w jednej jednostce trójfazowej zostały składowych normalnych indukcji i składowych stycznych natęże-
osiągnięte dopiero w latach 70. ubiegłego stulecia. Postęp ten nia pola magnetycznego na granicy ekran  dielektryk wynikają
osiągnięto w dużym stopniu w ścisłej współpracy z uczonymi, następujące współczynniki odbicia prądu stałego:
zajmującymi się badaniem zjawisk fizycznych leżących u podstaw
działania transformatora lub objawiających się podczas eksplo- (1)
atacji. W zależności od wzrostu mocy i napięć transformatora
uwypuklają się zagadnienia termiczne rzutujące na sposoby chło- (2)
dzenia, dielektryczne  związane z rozkładem pola elektrycznego,
elektrodynamiczne  w postaci siÅ‚ w strefie uzwojeÅ„ i odpÅ‚ywów. gdzie µer  przenikalność wzglÄ™dna ekranu
Oddzielną grupę zagadnień mogą stanowić badania materiałowe Spełniona jest także zależność
dotyczące właściwości materiałów magnetycznych, stosowanych
do budowy rdzeni uzwojeń (w ostatnich latach także materiały M + m = 1 (3)
nadprzewodzące wraz z cieczami kriogenicznymi, używanymi do
chÅ‚odzenia uzwojeÅ„). Zagadnienia modelowania pól elektrycznych PrzyjmujÄ…c dla ekranu ferromagnetycznego µer ", otrzy-
i magnetycznych były przedmiotem wieloletnich badań, między mujemy znane współczynniki odbicia M = 1 oraz m = 0.
innymi w Instytucie Maszyn Elektrycznych i Transformatorów ZakÅ‚adajÄ…c przenikalność ekranu µer = 0, uzyskuje siÄ™ M =
Politechniki A
ódzkiej =  1 oraz m = 2.
Na wstępie, zostanie zwrócona uwaga na metodę odbić Przejrzysta hipoteza  odbicia prądu w ekranie została zasto-
zwierciadlanych, która odegrała istotną rolę w badaniu pól sowana swego czasu do obliczania pól przemiennych, przy czym
magnetycznych układów transformatorowych. Podane zostaną współczynniki odbicia były wyznaczane na podstawie badań na
przykłady modeli analogowych odtwarzających rozkład pola elek- modelach fizycznych układów ekranowanych [3, 4].
trycznego uzwojeń i opisujących zjawiska nieliniowe w masywnych Typowym przykładem zastosowania tych współczynników jest
częściach konstrukcyjnych transformatorów. Metody te odegrały obliczenie pola od nieskończenie cienkich szyn wiodących prąd w
istotna rolę w badaniu pól przed powszechnym zastosowaniem tunelu o przekroju prostokątnym, stanowiącym obraz poprzeczny
techniki obliczeń komputerowych. Zostaną omówione kryteria (wyidealizowany model) okna transformatora jednofazowego
modelowania pola elektromagnetycznego, które były wcześniej dwuuzwojeniowego. Metoda odbić zwierciadlanych była w tym
podstawą realizacji uproszczonych modeli fizycznych i mogą być przypadku stosowana wielokrotnie, ze względu na założony
wykorzystane w modelach matematycznych polowych rozwiązy- kształt obszaru ekranującego. Szczegóły metody można znalez
ć,
wanych numerycznie za pomocą komputerów. między innymi, w pracy [4]. Skutki oddziaływania ekranów na
pole torów prądowych przy prądzie przemiennym były znane od
Idea i znaczenie metody odbić zwierciadlanych dawna. W elektrotechnice ustalił się podział na ekrany magne-
tyczne, skupiające strumień magnetyczny i elektromagnetyczne,
W badaniach doświadczalnych pola magnetycznego wy- wypierające strumień z obszaru ekranu na zasadzie silnej reakcji
twarzanego przez przepływ prądu stałego dookoła przewodów indukowanych prądów wirowych.
przesyłowych stwierdzono zakłócenia obrazu pola w obecności W praktyce transformatorowej kadzie stalowe wykładane są
ścian o innej przenikalności magnetycznej niż przenikalność od wewnątrz pakietami blach elektrotechnicznych, odciążającymi
dielektryka (powietrza, oleju). Dotyczy to w szczególności ścian (bocznikującymi) kadz
od strumieni rozproszenia lub pokrywane
ferromagnetycznych (µe=µFe>>µo) do których linie siÅ‚ pola magne- blachÄ… miedzianÄ… lub aluminiowÄ… w celu wypierania strumienia
tycznego wnikajÄ… niemal prostopadle. rozproszenia.
www.e-energetyka.pl
strona 662 wrzesień 2005
Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
Ustalenie współczynników odbicia w warunkach prądu Metoda odbić zwierciadlanych odegrała istotną rolę w oblicze-
przemiennego miało duże znaczenie praktyczne. Analitycz- niach układów transformatorowych, co pozwoliło na osiągnięcie
ne określenie współczynników odbicia prądu przemiennego ekstremalnych mocy jednostek, jeszcze przed powszechnym
w układach transformatorowych ekranowanych było przedmio- zastosowaniem metod komputerowych o charakterze polowym
tem pracy K. Zakrzewskiego i J. Sykulskiego [12]. w obliczeniach projektowych.
Odpowiednie wyrażenia zostały przedstawione w postaci
zależności (4) i (5) dla pary nieskończenie cienkich i równole-
głych uzwojeń o wysokości l odległych w odstępach a i b od Klasyfikacja generalna modeli
ściany ekranu, wiodących przeciwnie skierowane prądy o tej
samej amplitudzie. Mimo często używanego terminu modelowanie wypada
przypomnieć generalną klasyfikację, która wyróżnia poniżej
wymienione.
lð Modele geometryczne w postaci obiektów rzeczywistych
lub wirtualnych, które odtwarzają jedynie kształty modelu w od-
niesieniu do oryginału. W przypadku obiektów fizycznych mogą
(4) różnić się rodzajem i strukturą użytego materiału.
lð Modele matematyczne dotyczÄ…ce konkretnego obiektu
lub jego odwzorowania wirtualnego z zachowaniem opisu ma-
tematycznego w postaci funkcji, funkcjonału lub algorytmu itp.
obowiązujących jednocześnie w oryginale i modelu.
(5) lð Modele analogowe obejmujÄ…ce obiekty rzeczywiste,
odwzorowujące oryginał na zasadzie podobieństwa opisu ma-
gdzie tematycznego, lecz z wykorzystaniem innych wielkości fizycz-
ą = (1+j)k (6) nych w oryginale i modelu należy zaliczyć do rodziny modeli
matematycznych.
(7) lð Modele fizyczne obejmujÄ… obiekty rzeczywiste z zachowa-
niem w oryginale i modelu natury badanych wielkości fizycznych.
Typowym modelem w skali wymiarów geometrycznych 1:1 jest
Na praktyczny użytek metody odbić zwierciadlanych wpro- prototyp każdego urządzenia technicznego.
wadzono pojęcie zastępczych współczynników odbicia prądów
w kierunku stycznym i normalnym pola magnetycznego na po-
wierzchni ekranu. Przykłady modeli analogowych
Nie wnikając w szczegóły zawarte w pracy [12] można na użytek transformatorów
stwierdzić, że z porównania wzorów na amplitudy składowych
stycznych i normalnych indukcji na granicy ekranu otrzymuje siÄ™ Model dielektryczny
następujące współczynniki.
Pole elektromagnetyczne w transformatorze występuje w
obszarze uzwojeń, w przestrzeni dielektrycznej obszarów izo-
lacyjnych, w blachach rdzenia magnetycznego i w masywnych
częściach konstrukcyjnych, do których zalicza się kadzie, pokrywy,
(8) belki ściągające itp.
W transformatorach niskoczęstotliwościowych, jedynie w
blachach rdzenia i w masywnych częściach konstrukcyjnych,
własne pole elektromagnetyczne ma charakter falowy ze wzglę-
du na relacje długości fali do wymiarów grubości warstwy obiektu,
w którym to pole występuje.
9)
www.e-energetyka.pl
wrzesień 2005 strona 663
Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
Zjawiska falowe w obszarze uzwojeń i otaczającej ich izolacji
uwidoczniają się podczas zewnętrznych napięć o charakterze (13)
udarowym, atakujących zaciski uzwojeń.
W praktyce konstrukcyjnej, w odniesieniu do pola elektrycz- Modele analogowe odegrały ważną rolę w badaniu zjawisk
nego uzwojeń, już w latach pięćdziesiątych ubiegłego stulecia przemagnesowania i odtwarzaniu strat w materiałach ferro-
stosowano modele analogowe do wyznaczania rozkładu poten- magnetycznych, w szczególności strat w stalowych częściach
cjałów elektrycznych w obszarze poza uzwojeniami, wykorzystu- konstrukcyjnych [3, 4].
jąc wannę elektrolityczną lub papiery półprzewodzące. Modele
wykorzystywały analogię między polem elektrostatycznym i polem
przepływowym prądu elektrycznego [3]. Ogólne kryteria modelowania
W modelach tych linie gęstości prądu odpowiadały liniom pola elektromagnetycznego w transformatorze
pola elektrycznego występującym w oknie transformatora w
założeniu ekwipotencjalności uzwojeń na ustalonych poziomach Modelowanie pól fizycznych podlega zasadzie zachowania
V1 i V2 wobec uziemionego rdzenia, czyli analogia dotyczyła słuszności równań zarówno w obiekcie rzeczywistym, będącym
opisu różniczkowego pól w obszarze okna za pomocą równania oryginałem i w modelu, który może być wykonany w skali wy-
Laplace a. miarów liniowych (geometrycznych) ml `" 1. Zainteresowanie
modelami fizycznymi w skali wymiarów liniowych ml < 1 wynika
(10) ze zmniejszonych kosztów budowy w porównaniu z kosztami
prototypu. W wielu przypadkach, budowa prototypu bez wcze-
śniejszych badań modelowych może być ryzykowna.
Model wiroprądowy Z porównania równań Maxwella
Straty mocy wydzielane w transformatorze, w rdzeniu oraz (14)
w częściach konstrukcyjnych, będące wynikiem przemagneso-
wania, obejmujÄ… straty histerezowe i straty od indukowanych (15)
prądów wirowych. W przyjętym zapisie równań Maxwella (dla
środowisk nieruchomych w przestrzeni) otrzymuje się po prze- uzupełnionych równaniami konstytutywnymi
kształceniach wyjściowe równanie przewodnictwa opisujące
rozkÅ‚ad pola magnetycznego odpowiadajÄ…cy wnikaniu pÅ‚askiej B = µH (16)
fali elektromagnetycznej do wnętrza materiału.
D = µ E (17)
(11) W modelu i w oryginale uzyskuje się zależności, wiążące ze
sobą skale odwzorowania poszczególnych wielkości fizycznych
gdzie: wraz ze skalą wymiarów liniowych
x  współrzędna geometryczna w głębi materiału, t  czas.
(18)
W równaniu (11) uwypuklono nieliniową zależność indukcji
B od natężenia pola magnetycznego H, tak charakterystyczną (19)
dla materiałów ferromagnetycznych. Modelem analogowym
pozwalającym rozwiązać równanie (11) jest jeden z czterech (20)
uproszczonych czwórników, odtwarzających fragment tzw. linii
długiej (opisywanej równaniami telegrafistów) z obowiązującym Spełnienie jednoczesne trzech równań (18 20) gwarantu-
równaniem [14]. je wzajemną odpowiedniość wielkości w modelu i oryginale,
określoną właściwą skalą modelowania. Równania te nazwano
(12) ogólnymi kryteriami modelowania pola elektromagnetycznego w
transformatorze.
Została tutaj wykorzystana analogia między prądem i oraz Wykorzystując skale występujące w równaniach można z kolei
natężeniem pola magnetycznego H, a także analogia między wyznaczyć skale wielkości pochodnych takich jak np. straty w
funkcją B(H) i odpowiednio dobraną charakterystyką napięcia na blachach magnetycznych lub w częściach konstrukcyjnych w polu
nieliniowym oporniku  warystorze u (i). strumienia rozproszenia, straty w uzwojeniach, skalÄ™ rezystancji,
r
Pochodna prądu, odtworzona za pomocą prądu płynącego reaktancji i pojemności uzwojeń, itp. Sprawa skali modelowania
przez kondensator C, odpowiada gęstości prądów wirowych poszczególnych wielkości wymaga zawsze szczegółowej analizy
zgodnie z równaniem i nie będzie tutaj rozwijana.
www.e-energetyka.pl
strona 664 wrzesień 2005
Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
Zastosowanie tych samych materiałów dielektrycznych i prze-
Modele fizyczne w ujęciu kryterialnym
wodowych (m = m = 1) powoduje, że spełnienie jednoczesne
Å‚ µ
równań (18) i (19) jest możliwe tylko w przypadku, kiedy model
Teoria modelowania fizycznego ma wieloletniÄ… historiÄ™
odpowiada obiektowi rzeczywistemu (mf = ml = 1).
i odegrała istotną rolę w rozwoju produkcji transformatorów.
Szczególnie wiele uwagi poświęcono temu zagadnieniu w ówcze-
snym Wszechzwiązkowym Instytucie Budowy Transformatorów
Model dielektryczny
oraz w Fabryce Transformatorów w Zaporożu na Ukrainie w latach
70. ubiegłego stulecia, przeprowadzając badania na obiektach
W dotychczasowej praktyce modelowania fizycznego kiero-
w zmniejszonej skali wymiarów liniowych względem projektowa-
wano siÄ™ uproszczeniami.
nego oryginału.
Dla modeli eksponujących zjawiska dielektryczne posługi-
Znacznie wcześniej, wykorzystywano tzw. prawo wzrostu
wano siÄ™ kryterium (18) z zachowaniem skali (m = m =1), co
transformatora pozwalajÄ…ce na szybkie sporzÄ…dzenie ofert
µ µ
prowadzi do związku między skalą częstotliwości i wymiarów
handlowych, będące szczególnym przypadkiem modelowania
liniowych mf = 1/ml. Modele takie były znane pod nazwą (niezbyt
fizycznego. W laboratoriach badawczych spotyka się najczęś-
uzasadnioną) modeli elektromagnetycznych do badania rozkła-
ciej modele, które mogą być zakwalifikowane jako modele
du pól, w tym także spowodowanych udarami w uzwojeniach
zasadzajÄ…ce siÄ™ na prawie wzrostu [1].
transformatorów [2].
Model pełny
Model wiroprÄ…dowy
Aby równania kryterialne (18) i (19) były jednocześnie speł-
W badaniu strat, a w szczególności strat dodatkowych po-
nione, musi zachodzić równość
wodowanych w częściach konstrukcyjnych strumienia rozpro-
szenia, kierowano się kryteriami (19) zakładając, że (m = m =1),
m mf = m (21)
Å‚ µ
µ Å‚
co prowadzi do zależności
Spełnienie tego warunku w założeniu m = 1 dla obszarów
µ
dielektrycznych jest możliwe, gdy skala przewodności elektrycznej
w obszarach przewodzących odpowiada skali częstotliwości
Należy zwrócić uwagę, że w takich modelach skala natę-
żenia pola magnetycznego mH = 1/ml, co powoduje, że spełnie-
mf = m (22)
Å‚
nie m =1 jest w ogólnym przypadku niemożliwe (poza przy-
µ
padkami liniowej zależności indukcji od natężenia pola magne-
Zapewnienie jednakowego odwzorowania stanu nasycenia
tycznego). Stanowiło to trudność przeliczania strat w innych
w obszarach ferromagnetycznych wymaga spełnienia równości
warunkach nasycenia niż w oryginale na domniemane wartości
start w oryginale.
m = 1, czyli mH = mB = 1
µ
Autor zaproponował zachowanie tej samej skali natężenia
pola magnetycznego w modelu i oryginale, co wiąże się ze
Ze wzoru (20) dla mH = 1 wynika
wspomniana wcześniej intensyfikacją chłodzenia uzwojeń
transformatora modelowego.
(23)
Z równania (18) wynika związek między skalą częstotliwości
Model wynikajÄ…cy z prawa wzrostu
skalą wymiarów liniowych
W modelu tym zakłada się, że mji = mf = m = m = 1.
(24)
à µ
Kryterium (19) jest spełnione tylko wtedy, gdy ml = 1.
Przybliżoność modelowania polega także na tym, że ska-
Przy tych założeniach skala natężenia pola elektrycznego
la natężenia pola magnetycznego w rdzeniu mH = 1, natomiast
wynosiłaby mE = 1.
w pozostałych obszarach wynosi mH = ml.
Spełnienie warunku (23) jest możliwe dzięki intensyfikacji
Nieświadomość tego spowodowała w swoim czasie zasko-
chłodzenia uzwojeń transformatora. Natomiast zapewnienie
czenie dla konstruktorów, którzy budując coraz większe jednostki
warunku (22), dotyczącego zmiany przewodności materiałów
stwierdzali znacznie większy wzrost strat dodatkowych od stru-
w modelach dla ml < 1, jest w praktyce niemożliwe. W przypadku
mienia rozproszenia, gdyż w modelu na zasadzie prawa wzrostu
blach magnetycznych, wymagałoby to dodatkowo pocienienia
straty te były modelowane w znacznie mniejszej skali niż straty
ich grubości, zgodnie z założoną skalą wymiarów liniowych, co
w rdzeniu magnetycznym.
również nie jest możliwe w praktyce.
www.e-energetyka.pl
wrzesień 2005 strona 665
Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
wektorowego równa zero), co oznacza prostopadłe wnikanie linii
Modele matematyczne komputerowe
indukcji magnetycznej do ferromagnetyka.
W przykładowej pracy [9] rozwiązaniu podlegał układ rów-
Mimo rozwoju techniki obliczeń komputerowych daleko jest
nań różniczkowych (zespolonych) drugiego rzędu w obrębie
jeszcze do rozwiÄ…zania pola elektrycznego lub magnetycznego
uzwojeń:
we wszystkich fragmentach obszaru trójwymiarowego trans-
formatora. Podejścia stosowane dotychczas wskazują na roz-
wiązania uproszczone w sensie odwzorowania szczegółów
(25)
konstrukcyjnych, właściwości środowisk i ich reakcji na wiel-
kości wymuszające. Historycznie ujmując, pierwsze obliczenia
oraz poza uzwojeniami
dotyczyły analizy fragmentów transformatora odtworzonych w
postaci przekrojów płaskich, takich jak okno, obszar między
(26)
rdzeniem i kadzią, przewody odpływowe ekranowane itp. Sta-
nowiło to nawiązanie do modeli analogowych dielektrycznych
Z nowszych prac nawiązujących do obliczeń polowych modeli
opisywanych równaniami Laplace a lub magnetycznych opisy-
transformatorowych należy przytoczyć pracę [10], poświęconą
wanych równaniami różniczkowymi drugiego rzędu względem
szczególnemu przypadkowi awarii autotransformatora dużej
potencjału wektorowego.
mocy.
Najbardziej popularnymi metodami rozwiązywania równań
Przykładem światowych konferencji, będących odzwiercie-
były i pozostają nadal: Metoda Sieci Reluktancyjnych (MSR),
dleniem prac na temat obliczeń komputerowych pól są, między
Metoda Różnic Skończonych (MRS), a następnie Metoda Ele-
innymi, COMPUMAG (Conference on Computation of Electro-
mentów Skończonych (MES), która została upowszechniona
magnetic Fields) i ISEF (International Symposium on Electroma-
w tzw. pakietach komercyjnych, w tym także trójwymiarowych
gnetic Fields in Electrical Engineering  powołane do życia przez
[3, 4, 10].
Instytut Maszyn Elektrycznych i Transformatorów Politechniki
Możliwości aplikacyjne pakietów trójwymiarowych MES do
A
ódzkiej, przekształcony w Instytut Mechatroniki i Systemów
obliczeń maszyn elektrycznych wykazujących symetrię obrotową
Informatycznych w 2003 r.).
i osiową w sensie geometrycznym są lepsze niż w przypadku
transformatorów, które z natury takiej symetrii nie mają. Dlatego
postęp w obliczeniach transformatorów w skali obiektu rzeczy-
Zakończenie
wistego ml = 1 jest nadal ciÄ…gle niewystarczajÄ…cy.
Nawiązując do modelowania, które jest zasadniczym tema-
Rozwój techniki obliczeniowej w zakresie metod numerycz-
tem artykułu istnieje teoretyczna możliwość wirtualnych roz-
nych, wzrost mocy obliczeniowej spowodował osłabienie zainte-
wiązań w sensie tzw. modelu fizycznego pełnego, gdyż zmiana
resowania modelami fizycznymi transformatorów. Z drugiej strony
parametrów, nawet nierealna fizycznie, jest zawsze możliwa do
wpłynęło na to ogromne doświadczenie produkcyjne, zbierane
wprowadzenia w rozwiÄ…zaniach matematycznych. Jest to po-
przez dziesięciolecia w fabrykach wytwarzających transformatory.
stępowanie symulacyjne, które jest w ciągłym stadium rozwoju.
Globalizacja, polegająca na wchłanianiu (przez duże koncerny
Do celów symulacyjnych można wykorzystywać także pozostałe
międzynarodowe) fabryk, znajdujących się w różnych krajach
modele omówione w niniejszym artykule.
umożliwia powiększanie bazy danych konstrukcyjnych, w tym
W ostatnich latach nastąpił ogromny postęp w zakresie
bloków obliczeń w postaci oprogramowania.
automatycznego generowania dokumentacji technicznej pro-
Niezależnie od tego, autor podejmuje próby wykorzystanie
jektowanych urządzeń. Oprogramowanie rodzaju AUTOCAD
kryteriów modelowania odnoszących się do tzw. modelu peł-
lub AUTODESK pozwala tworzyć wirtualne rysunki przestrzenne
nego, w obliczeniach numerycznych modeli transformatorów
z odtworzeniem wielu zróżnicowanych szczegółów konstrukcyj-
o skali ml < 1. Nie ulega wątpliwości, że każdy obiekt technicz-
nych transformatora.
ny może być odwzorowany na użytek obliczeń numerycznych
Jednakże wprowadzenie wymuszeń napięciowych oraz prą-
jedynie w sposób przybliżony. Oprócz czynników wymienionych
dowych, określenie warunków brzegowych na granicy środowisk
wcześniej, istotnym zagadnieniem obliczeniowym jawi się również
wymagających znacznego zróżnicowania stopnia geometrycznej
dyskretyzacja przestrzenna obszarów lub podobszarów oblicze-
dyskretyzacji obszaru, uwzględnienie jednoczesnej reakcji prądów
niowych. Używane pakiety obliczeniowe, MAGNET, OPERA 3D,
indukowanych w blachach rdzenia i w częściach konstrukcyjnych
FLUX 3D, ANSYS itp., wykorzystujące metodę elementów skoń-
stanowi, jak dotychczas, barierÄ™ nie do przebycia.
czonych, zawierają ograniczoną liczbę węzłów, rzutujących na
W odniesieniu do pola magnetycznego najbardziej spotyka-
stopień dyskretyzacji obiektu, a przez to na dokładność obliczeń
nymi rozwiązaniami trójwymiarowymi są pola w ujęciu magne-
numerycznych.
tostatycznym (ze względu na niską częstotliwość przebiegów
Przysposabiając obiekt rzeczywisty do obliczeń w skali
prądowych) w strefie rozproszeniowej transformatora. Wpływ
ml < 1 możemy wpłynąć na powiększenie stopnia dyskretyzacji
rdzenia lub kadzi stalowej bywa uwzględniany zerowymi warun-
obszaru obliczeniowego.
kami Neumana na powierzchni granicznej (pochodna potencjału
www.e-energetyka.pl
strona 666 wrzesień 2005
Pierwsza Konferencja Transformatorowa
A
ódz
, maj 1955
LITERATURA [9] Zakrzewski K., Lukaniszyn M.: Three  dimensional model of three
 phase transformer for leakage field. Archiv für Elektrotechnik
[1] Jabłoński M.: Transformatory. Wyd. Politechniki A
ódzkiej, 1994 73 (1990) pp. 319-324
[2] Jezierski E.: Transformatory. WNT, Warszawa 1975 [10] Zakrzewski K., Tomczuk B., Koteras D.: Simulation of Forces
[3] Sykulski J. K. i inni: Computational Magnetics, Chappman and and 3D Field Arising during Power Autotransformer Fault due
Hall, Londyn, Glasgow, Weinheim, New York, Tokio, Melbourne, to Electric Are in HV Winding. IEEE Transactions on Magnetics,
Madras 1995 vol. 38, no 2, March 2002, pp. 1153-1156
[4] Turowski J.: Elektrodynamika Techniczna, WNT, Warszawa [11] Zakrzewski K.: Physical modeling of leakage field and stray losses
1993 in steel constructional parts of electrotechnical devices. Archiv
[5] Zakrzewski K.: Physical modelling of leakage Fidel and stray fuer Elektrotechnik 69 (1986) pp.129-135
losses In steel constructional parts of electrotechnical devices, [12] Zakrzewski K., Sykulski J.: Odbicie zwierciadlane prądów prze-
Archiv für Elektrotechnik, 1986 (69), ss. 129-135 miennych w jednostronnym ekranie przewodzÄ…cym w Å›wietle
[6] Zakrzewski K.: Modelowanie fizyczne pola i strat rozproszenio- metody potencjału wektorowego. Rozprawy Elektrotechniczne,
wych w transformatorach. Rozprawy Elektrotechniczne 1979, t. 23, z. 1, 1977, ss. 73-92
25 (2) ss. 401-418 [13] Zakrzewski K.: Modelowanie pól elektromagnetycznych w pro-
[7] Zakrzewski K.: Berechnung drs Wirk- und Blindleistung in einem jektowaniu transformatorów. Przegląd Elektrotechniczny 2002,
ferromagnetischen Blech unter Berücksichtigung der komplexen z. 3, ss. 59-63
magnetischen Permeabilität. Wiss. Heft der TH Ilmenau 16 (1970) [14] Zakrzewski K.: Modelowanie pola elektromagnetycznego
H.5 ss.101-105 w masywnym żelazie. Rozprawy Elektrotechniczne, t. 16, z. 1-2,
[8] Zakrzewski K., Kubiak W., Szulakowski J.: Wyznaczanie współ- 1970, ss. 27 43
czynnika anomalii strat w blachach magnetycznych anizotropo-
wych, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów
Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej Nr 48, Wrocław 2000,
ss. 298-305
www.e-energetyka.pl
wrzesień 2005 strona 667