Symetria sieci
" Operacje symetrii 32 grup punktowych
" Dodatkowe operacje symetrii zgodne z nieskończonym
zbiorem jakim jest sieć:
" translacja czysta (element symetrii wektor translacji)
" translacja połączona z obrotem (element symetrii oś śrubowa)
" translacja połączona z odbiciem (element symetrii płaszczyzna
poślizgu)
" Zespół elementów symetrii zbioru nieskończonego
tworzy grupÄ™ przestrzennÄ…
Translacja  przemieszczenie motywu (figury) F z poczÄ…tku na koniec pewnego
wektora (a) prowadzi do motywu F nieodróżnialnego od F
Dowolna translacja na (n  liczba całkowita) również powinna być operacją symetrii
c
a
b
Osie śrubowe
Działanie osi śrubowych o krotności X polega na obrocie wokół tej osi o
kąt 2P/X (gdzie X  liczba całkowita), po którym musi nastąpić translacja t
równoległa do śrubowej osi symetrii. Wartość parametru t może
przyjmować tylko takie wartości, by po X kolejnych translacji połączonych
z obrotem nastąpiła translacja czysta d lub jej wielokrotność)
X t = kd (k  liczba całkowita). Stąd X>ke"1. Symbol osi śrubowej Xk
Oś śrubowa dwukrotna
Osie śrubowe trójkrotne
21
31 32
Enancjomorfizm osi śrubowych
Symbole osi śrubowych
21
31 32
41 42 43
61 62 63 64 65
Płaszczyzny poślizgu
Płaszczyzna poślizgu jest płaszczyzną, względem której
następuje odbicie zwierciadlane, po którym następuje
translacja równolegle do płaszczyzny odbicia o d/2 lub d/4.
a, b, c n d
a,b a/2 wzdłuż x lub b/2 wzdłuż y
c c/2 wzdłuż z lub (a+b+c)/2 wzdłuż [111] w osiach romboedrycznych
n (a+b)/2 lub (b+c)/2 lub (a+c)/2 lub (a+b+c)/2 (tylko reg. i tetr.)
d (aÄ…b)/4 lub (bÄ…c)/4 lub (cÄ…a)/4 lub (aÄ…bÄ…c)/4 (tylko reg. i tetr.)
Działanie płaszczyzn symetrii  zwykłych i poślizgu
Litera R  asymetryczna jednostka motywu
Grupy przestrzenne, sieć i motyw
" Grupa przestrzenna to zespół operacji symetrii nieskończonego
zbioru okresowego.
Całość takiego zbioru można opisać określając część zbioru
ograniczoną przez komórkę sieciową (motyw) i sposób, w jaki sieć
powtarza ten motyw, aby utworzyć cały zbiór. Do określenia operacji
symetrii takiego zbioru wystarczy podanie części elementów symetrii
całego zbioru, która zawarta jest w jednej komórce i zastosowanie do
nich translacji sieci. Tymi elementami symetrii mogą być osie śrubowe
zamiast osi zwykłych lub płaszczyzny poślizgu zamiast płaszczyzn
zwykłych
Elementy
zbiór
jednostka
symetrii
translacje
okresowy
asymetryczna motyw
grupy
sieci
przestrzennej
nieskończony
motywu
(określony układ
(kryształ)
(atom, czÄ…steczka)
atomów/cząsteczek
wokół węzła sieci)
Komórka elementarna Wigner-Seitz
" Część przestrzeni wokół węzła sieciowego, której każdy
punkt jest bliżej tego węzła niż jakiegokolwiek innego
węzła tej sieci
" Komórka ta jest komórką prymitywną o pełnej symetrii
danej sieci Bravais go
Gdy motywem jest grupa równoważnych punktów (atomów), należy ustalić
rozmieszczenie tych atomów w obrębie komórki elementarnej.
Pozycję punktu wewnątrz komórki elementarnej opisują koordynaty x,y,z
gdzie x  ułamek odcinka translacyjnego a, y  ułamek odcinka translacyjnego b,
z  ułamek odcinka translacyjnego c
x,y,z
c
a
0,0,0
b
½, ½, ½
0,1,0
Grupy przestrzenne
" W jednym wymiarze istnieją tylko 2 możliwe grupy
przestrzenne
" W przestrzeni dwuwymiarowej możliwe jest
wyprowadzenie 17 grup przestrzennych
" W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 230 grup
przestrzennych
" Przestrzeń czterowymiarowa to już 4 895 grup
przestrzennych
" Przestrzeń sześciowymiarowa umożliwia
uporzÄ…dkowanie sieci krystalicznej na 28 934 974
sposobów
Symbolika grup przestrzennych
" Dla grup jednowymiarowych (2 grupy przestrzenne) 
gotycka litera ż
oznaczajÄ…ca typ sieci i symbol elementu
symetrii np. ż
1
" Dla grup dwuwymiarowych mała litera p lub c
oznaczajÄ…ca typ sieci (prymitywna lub centrowana) i
elementy symetrii np. pmg
" Dla grup trójwymiarowych duża litera P lub I lub F lub C
(lub A, lub B) oznaczająca typ sieci i główne elementy
symetrii np. Pmn21
Grupy przestrzenne
jednowymiarowe
Grupy przestrzenne
obiektów dwuwymiarowych
o periodyczności w jednym
wymiarze
Grupy przestrzenne w klasie podwójnej piramidy rombowej
(mmm)
Punkty równoważne
Każdemu punktowi jednostki asymetrycznej odpowiada pewna liczba
innych punktów we wnętrzu motywu, zwanych punktami równoważnymi.
Liczba punktów równoważnych w motywie jest krotnością
charakterystyczną dla grupy przestrzennej. Krotność osiąga najwyższą
wartość, gdy punkt zajmuje położenie ogólne, poza elementami symetrii.
Punkty w położeniach szczególnych (na elementach symetrii) mają
symetriÄ™ punktowÄ….
Symbolika punktów równoważnych (atomów)
+ punkt (atom) wyjściowy położony powyżej płaszczyzny rysunku lub w
płaszczyz
nie rysunku
½+ punkt poÅ‚ożony o ½ odcinka translacyjnego nad punktem wyjÅ›ciowym
ź- punkt położony o ź odcinka translacyjnego pod punktem wyjściowym
, punkt równoważny będący odbiciem zwierciadlanym punktu wyjściowego
Wyznaczanie położeń
równoważnych
Zbiór punktów przestrzeni
euklidesowej posiadajÄ…cy
symetriÄ™ jednej z
krystalograficznych grup
przestrzennych może
zawierać więcej punktów niż
tylko węzły sieci.
Niezmienność względem
grupy przekształceń narzuca
konieczność pojawienia się
w zbiorze wraz z jednym
zadanym punktem ściśle
określonych, innych
punktów, które nazywa się
zbiorem położeń
równoważnych w grupie -
pozycjami Wyckoffa