Prognozowanie
i symulacje
Wykład V
Prognozowanie na podstawie
szeregów czasowych z wahaniami
okresowymi. Model Wintersa. Modele
tendencji rozwojowej. Prognozowanie
oparte na modelach tendencji
rozwojowej
Dr inż. Paweł Najechalski
Wygładzanie wykładnicze - metoda Wintersa
Grupa metod Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego
Składowe szeregu Trend, wahania okresowe i wahania przypadkowe
czasowego
Przesłanki metody Nie nastąpią zmiany w sposobie oddziaływania czynników
określających zmienną prognozowaną, niezmienność trendu i
niezmienność siły i rodzaju wahań sezonowych
Postawa, zasada, Postawa pasywna, zasada status quo, reguła podstawowa
reguły prognostyczne prognozowania, model addytywny (wahania bezwzględnie stałe),
model multiplikatywny (wahania względnie stałe)
Horyzont prognozy Prognoza krótkookresowa
Ocena prognozy Ocena dopuszczalności prognozy za pomocą średniego błędu s*
prognozy lub średniego błędu � ex post
Zalety metody Elastyczność metody (model adaptacyjny)
Wady metody Konieczność i trudność doboru parametrów wygładzania ą, � i g�
(minimalizacja błędów), konieczność przechowywania dużej ilości
danych
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 2
Model addytywny Wintersa
Efekt związany z sezonem i jest stały w czasie tj. Ci H" Ci+r H" Ci+2r H" &
1
��
Fr =� ( y1 +� y2 +� ... +� yr )
��
��
r Ft =� a�( yt -� Ct -�r ) +� (1-�a� )(Ft -�1 +� St -�1)
��
��
��S =� 1 ( yr +� yr +� ... +� y2r ) -� 1 ( y1 +� y2 +� ... +� yr )
St =� b� (Ft -� Ft -�1) +� (1 -� b� )St -�1
��
�� r +�1 +�2
r r
�� ��
Ct =� g� ( yt -� Ft ) +� (1 -� g� )Ct -�r
��
��C =� yk -� 1 ( y1 +� y2 +� ... +� yr ) dla k =� 1,2,.., r
k
��
�� r
a� �� 0;1 b� �� 0;1 g� �� 0;1
a�  stała wygładzania zmiennej prognozowanej
b�  stała wygładzania przyrostu trendu
g�  stała wygładzania wskaz
nika okresowości
Prognozy wygasłe Prognozy wartości przyszłych
*
*
yt� =� Fn +� (t� -� n)Sn +� Ct-�r
yt =� Ft-�1 +� St-�1 +� Ct-�r
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 3
Model multiplikatywny Wintersa
Efekty sezonowe względnie stałe
- stały jest ich udział w wartości zmiennej prognozowanej
1
��
yt
��
Fr =� ( y1 +� y2 +� ... +� yr )
��
r
��Ft =� a� Ct +� (1 -� a� )(Ft -�1 +� St -�1)
��
1 1 -�r
��
��
Sr =� ( yr +�1 +� yr +�2 +� ... +� y2r ) -� ( y1 +� y2 +� ... +� yr ) ��
St =� b� (Ft -� Ft -�1) +� (1 -� b� )St -�1
r r
��
��
��
��
yk
yt
dla k =� 1,2,.., r
��Ck =� 1
�� Ct =� g� +� (1 -� g� )Ct -�r
�� ��
Ft
( y1 +� y2 +� ... +� yr )
��
�� r
a� �� 0;1 b� �� 0;1 g� �� 0;1
a�  stała wygładzania zmiennej prognozowanej
b�  stała wygładzania przyrostu trendu
g�  stała wygładzania wskaz
nika okresowości
Prognozy wygasłe Prognozy wartości przyszłych
*
*
(� )�
yt� =� Fn +� (t� -� n)Sn Ct-�r
(� )�
yt =� Ft-�1 +� St-�1 Ct-�r
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 4
Parametr wygładzania  a�, b�, g�
a� �� 0;1 b� �� 0;1 g� �� 0;1
" w praktyce wybiera się a�, b�, g� Ł� 0,5
" często zawęża się przedział do
a�, b�, g� ��<0,1; 0,3>
" a�, b�, g� > 0,5 może świadczyć o
obecności w analizowanym szeregu
zmiennego trendu lub zmiennej
okresowości
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 5
Parametr wygładzania  a�, b�, g�
" zwiększając parametry a�, b�, g� zmniejszamy stopień
wygładzenia szeregu
" parametr a� bliższy jedności tym prognoza bliższa
wartości ostatniej realizacji
" parametr b� bliższy jedności tym prognozowany przyrost
bliższy ostatniemu rzeczywistemu przyrostowi
" parametr g� bliższy jedności tym prognozowana
okresowość bliższa ostatniej rzeczywistej okresowości
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 6
Przykład 1
Firma dostarczająca wodę z
ródlaną dokonała zestawienia ilości
sprzedanej wody w poszczególnych kwartałach za ostatnie
trzy lata. Dane w tys. hektolitrów: 2,3,5,2,3,6,7,4,5,7,10,5.
Przeprowadzid prognozę ilości sprzedanej wody na kolejny
rok.
a) Zastosowad odpowiedni model Wintersa do wyznaczania
prognozy, przyjąd a�=b�=g�=0,5.
b) Wyznaczyd i zinterpretowad błędy ex-post (miernik Theila).
c) Przeprowadzid analizę błędów ex-post na podstawie
mierników Theila
d) Dokonad doboru współczynników wygładzania.
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 7
Prognoza wg modelu multiplikatywny Wintersa
16,0
14,0
12,0
10,0
yt
8,0
y*t
6,0
4,0
2,0
0,0
0 4 8 12 16
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 8
Przykład 2
Zestawiono dane wartości tygodniowego zysku:
1,2,2,3,5,6,5,6,7 [ w tys. zł] osiąganego przez
sklep internetowy w okresie 9 kolejnych tygodni.
Zastosować różne modele analityczne do
prognozowania zysku w 10 tygodniu.
a) Model liniowy.
b) Model kwadratowy.
c) Model wykładniczy
d) Model potęgowy.
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 9
Model liniowy
8
y = 0,750x + 0,361
7
R� = 0,915
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yt
t - czast (x w modelu)
Liniowy (yt)
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 10
zysk [tys. zł]
Model kwadratowy
8
y = -0,0314x2 + 1,0639x - 0,2143
7
R� = 0,9231
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yt
t - czas (x w modelu)
Wielob. (yt)
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 11
zysk [tys. zł]
Model wykładniczy
8
y = 1,121e0,227x
7
R� = 0,873
6
y = 1,121*1,255x
5
R2 = 0,873
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yt
t - czas (x w modelu)
Wykł. (yt)
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 12
zysk [tys. zł]
Model potęgowy
8
y = 0,970x0,899
7
R� = 0,946
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yt
Potęg. (yt)
t - czas (x w modelu)
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 13
zysk [tys. zł]
Zestawienie modeli analitycznych
WSHiP dr inż. Paweł Najechalski 14