Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa II, 8 III 2006,
godz. 12.30
1. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jedno-
stajnym na przedziale [-1, 1]. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej
losowej
Z =max (X, Y ) - min(X, Y ).
2. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
jednostajnym na przedziale [0, 1]. Niech Zn = na ·min(X1, . . . , Xn), gdzie a >0.
Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu (Zn) w zależności od a.
3. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
jednostajnym na przedziale [0, 2]. Niech Zn = X1 · . . . · Xn. Zbadać zbieżność
p.n. i w L1 ciÄ…gu (Zn).
4. Niech (Xn) będą wynikami kolejnych rzutów uczciwą kostką, i niech Zn będzie
ostatniÄ… cyfrÄ… rozwiniÄ™cia dziesiÄ™tnego liczby X1 · . . . · Xn, n 1, Z0 =1.
a) Wykazać, że (Zn) jest łańcuchem Markowa.
b) Które stany są pochłaniające?
c) Jaki jest średni czas pochłonięcia (Z0 =1).
5. Niech pk oznacza prawdopodobieństwo otrzymania k lub więcej orłów w 2k
rzutach symetryczną monetą. Wyznaczyć limk" pk.
BONUS. Zbadać monotoniczność ciągu (pk).
6. Klient supermarketu z prawdopodobieństwem 0,1 kupuje papierosy; wtedy
jego wydatki mają rozkład jednostajny na przedziale [4, 10]. W pozostałych
przypadkach jego wydatki są zmienną losową o rozkładzie wykładniczym i śred-
niej 200 (zł). Jaka jest szansa, że 500 osób dokona zakupów za 101000 zł lub
więcej?
7. (Wt)t 0 jest procesem Wienera. Wyznaczyć rozkład wektora losowego (W1, W2, W3).
8. Zbadać istnienie granicy (i podać, w jakim sensie istnieje):
n-1

lim (X(k+1)/n - Xk/n)3
n"
k=0
gdy (Xt) jest procesem a) Wienera; b) Poissona.
1