ĆWICZENIA Z MATEMATYKI -
ZAGADNIENIA NA POPRAW
SEMESTRU I
1. ROWZI
ZYWANIE RÓWNAC
I NIERÓNOŚCI
Zakres materiału dotyczący:
�� równań kwadratowych  znajomość pojęć: delta, miejsca zerowe (zależność liczby miejsc
zerowych w zależności od wyróżnika kwadratowego, wykres trójmianu kwadratowego);
�� wielomianów - będzie obejmował rozkładanie wielomianu na czynniki z zastosowaniem:
wyciągania czynnika przed nawias, grupowania wyrazów, zastosowania tw. Bezout, rysowanie
wykresu,
Zad. Rozwiązać nierówności:
a) x2 -� 6x +� 9x >� 0 ,
b) x3 +� x2 -� 6x >� 0 .
c) x3 -� 4x2 +� 5x -� 2 ł� 0 .
x +� 2
d) Ł� 3 .
x -� 2
2. SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI
Zakres materiału dotyczący szkicowania wykresów funkcji będzie obejmował wszystkie przykłady
z zestawu, czyli niezbędna jest umiejętność przekształcania wykresy funkcji, wyznaczania miejsc
zerowych oraz wierzchołka trójmianu kwadratowego.
Zad. Naszkicować wykres funkcji i wskazać miejsca zerowe:
�� dla x ł� -�2
x2 -� x -� 6
a) f x =� ,
(� )�
��
dla x <� -�2
-�x -� 2
��
�� dla x Ł� 3
x2 -� x -� 6
b) f x =� .
(� )�
��
dla x >� 3
-�x +� 3
��
3. MACIERZE I UKA
ADY RÓWNAC

Zakres materiału dotyczący macierzy obejmuje wszystkie zadania z zestawu, przy czy szczególną
uwagę należy zwrócić na wyznaczniki, rząd macierzy i macierz odwrotną, bo te zadania na pewno
pojawią się na zaliczeniu.
Układy równań zarówno cramerowskie oraz z zastosowaniem tw. Kroneckera  Capelliego, to kolejne
dwa przykłady, które na pewno będą na zaliczeniu.
Przykłady:
Zad 1. Rozwiązać następujące układy równań:
4x +� 2y -� 4z =� -�2 2x +� 3y -� z +� 3t =� 2
�� ��
�� ��2x +� 4y +� 6z -� 2t =� 6
x +� 3y +� z =� -�6
�� ��
a) , b)
�� ��
3x -� y -� 4z =� 5 5x +� 8y +� z +� 5t =� 7
�� ��
Zad. 2.Obliczyć A-�1
1 -�1 0
�� ł�
ę�2
A =� -� 3 1ś�
ę� ś�
ę� ś�
��2 0 1��
Zad. 3. Obliczyć:
1 -� 2 0 0
�� ł�
ę� ś�
0 1 3 5
ś�
detę�
ę� ś�
2 4 -�1 -�1
ę� ś�
��-� 2 2 0 1 ��
Zad. 4. Obliczyć rząd macierzy:
1 -� 2 0 0 1
�� ł�
ę� ś�
0 1 3 5 0
ę� ś�
A =�
ę� ś�
2 4 -�1 -�1 2
ę�
��-� 2 2 0 1 -� 2ś�
��
4. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zakres materiału dotyczący geometrii analitycznej będzie obejmował obliczanie pól powierzchni figur
(trójkątów i równoległoboków), objętości brył (czworościanów i równoległościanów), wyznaczanie
równania płaszczyzny i prostej w Ą�3 , szukanie punktu symetrycznego do prostej i płaszczyzny.
Przykładowo:
Zad. 1 Dane są punkty A(5, -�4), B(3, 2), C(2, -�5)
a) oblicz pole trójkąta ABC ,
b) sprawdz
czy trójkąt ABC jest prostokątny.
Zad. 2 Oblicz objętość czworościanu (ewentualnie równoległościanu):
a) o wierzchołkach O(0,1,0), A(5, 2,1), B(2,5,0), C(0,2,4)
r� r� u�r�
b) rozpiętego na wektorach u =� 1,0,-�2 , v =� 0,2,-�3 , w =� 1, -�1, 2
[� ]� [� ]� [� ]�
Zad.3 Wyznacz równanie parametryczne prostej w Ą�3 przechodzącej przez punkty A 1,-�3, 2 ,
(� )�
B -�2,2,1 .
(� )�
Zad.4 Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez:
a) punkty A 2,3,-�1 , B 1,0,2 , C 2, 2,1 ,
(� )� (� )� (� )�
r� r�
b) punkt A 2,3,-�1 oraz wektory u =� [-�1,3, 2], v =� [3, 2,5] ,
(� )�
c) proste o równaniach
x =�1+� t, x =�1-� t,
�� ��
�� ��
k : y =� -�1-� t, l : y =� -�1+� 2t,
�� ��
��z =� 1+� 2t, ��z =� 1+� t,
�� ��
Zad.5 Znalez
ć punkt symetryczny do punktu A(5, 2, -�1) względem płaszczyzny o równaniu
p� : 2x -� y +� 3z +� 23 =� 0 .
UWAGA !:
- do prawie wszystkich z powyższych zadań potrzebna jest umiejętność obliczania iloczynów:
skalarnego, wektorowego oraz mieszanego.