STRUKTURY PÓL KOMUTACYJNYCH



Tomasz Świderek
Struktury pól
komutacyjnych
 
Na podstawie książki Andrzeja Jajszczyka
`Podstawy
komutacji kanałów' WNT Warszawa 1990
 UWAGA! Przy każdym powtórnie
użytym symbolu lub terminie znajduje się taki przycisk:. Należy go wcisnąć
gdy Czytelnik nie pamięta znaczenia tego symbolu lub terminu. Spowoduje to
otwarcie kopii dokumentu w nowym oknie przeglądarki (tak aby Czytelmik nie
stracił z oczu tego miesca w teście, które czytał) w miejscu, gdzie dany symbol
lub termin jest zdefiniowany.
 
Spis
treści:
1. Wstęp
2. Klasyfikacja pól komutacyjnych.
3. Pola Komutacyjne nieblokowalne w wąskim
sensie.
4. Pola komutacyjne nieblokowalne w szerokim
sensie.
5. Przestrajalne pola komutacyjne.
6. Optymalizacja pól komutacyjnych.
ZADANIA
 
 
1. Wstęp
Pole komutacyjne to urządzenie
przełączające złożone z pojedynczych komutatorów (matryc komutacyjnych).
Spotykane w literaturze symbole komutatorów przedstawia rys. 1.

Rys. 1. Symbole komutatorów.
Pola komutacyjne przedstawia natomiast się
trzema metodami:

za pomocą komutatorów i łączy
za pomocą symboliki szwedzkiej
(Jacobeausa)
za pomocą grafów pola i kanałowych.

Metody te zilustruję przedstawiając to samo pole
komutacyjne przy pomocy każdej z nich.

Rys. 2. Pole komutacyjne przedstawione za pomocą
komutatorów i łączy.

Rys. 3. Pole z rys. 2. przedstawione w symbolice
szwedzkiej.
Na rys. 3. litery A, B, i C oznaczają wejścia
komutatorów odpowiednich sekcji, kreski wskazują kierunek łączenia, a
zaczernione kółka - zajęte organy połączeniowe.

Rys. 4. Graf polaz rys. 2. (a) i graf kanałowy
(prawdopodobieństwowy) (b) dla pola rys. 2.
W grafie pola (a) wierzchołki odpowiadają
komutatorom, a krawędzie - łączom międzysekcyjnym. Graf kanałowy jest podgrafem
grafu pola. Pokazuje on wszystkie możliwe drogi połączeniowe między określonym
wyjściem i wejściem pola.
W praktyce występują następujące rodzaje matryc
komutacyjnych:

w pełni wyposażone, umożliwiające połączenie
każdego wolnego wejścia z każdym wolnym wyjściem
częściowo wyposażone zestawienie połączenia
tylko między niektórymi parami wolne wejście - wolne wyjście.
Należy w tym miejscu podkreślić, iż ilość
punktów komutacyjnych jest kluczowym parametrem kształtującym cenę pola
komutacyjnego. W świetle tego faktu sensowne staje się stosowanie matryc
częściowo wyposażonych jeśli nie pogarsza to w istotnym stopniu jakości
świadczonych usług.
2.
Klasyfikacja pól komutacyjnych.
Do spisu terści
Ponieważ istnieje bardzo wiele różnorodnych pól
komutacyjnych i duża ilość cech je charakteryzujących istnieje wiele kryteriów
klasyfikacji tych pól.
Ze względu na sposób rozdziału dróg
rozmównych pola dzielimy na:

pole z rozdziałem przestrzennym - wszystkie
połączenia realizowane są przez fizycznie rozdzielone drogi
połączeniowe
pole z rozdziałem czasowym - wiele połączeń
może być realizowanych w jednym łączu fizycznym; każdemu kanałowi przydzielana
jest kolejno ramka czasowa; Istotę tego zagadnienia ilustruje rys. 5.
z rozdziałem częstotliwościowym - wiele
połączeń może być realizowanych w jednym łączu fizycznym poprzez przydzielenie
każdemu kanałowi innej częstotliwości nośnej

Rys. 5. Ilustracja działania pola z rozdziałem
czasowym.
Ze względu na liczbę sekcji pola
dzielimy na:

jednosekcyjne - połączenie żądanej pary wejście - wyjście jest realizowana za pomocą jednego punktu
komutacyjnego np.: pojedynczy komutator prostokątny
wielosekcyjne - wyjścia jednej grupy
komutatorów (sekcji) są połączone z wejściami komutatorów innej sekcji


Rys. 6. Pole komutacyjna o pojemności 64x64 (a)
jednosekcyjne, (b) wielosekcyjne
Co zyskujemy, a co tracimy zwiększając liczbę
sekcji?
Zwiększając liczbę sekcji zmniejszamy ilość
punktów komutacyjnych. Widać to choćby na przykładzie przedstawionym na
rys. 6. W przypadku pola jednosekcyjnego (a) punktów tych jest
642=4096, a w przypadku pola
dwusekcyjnego o tej samej pojemności (b) 16� 82=1024. Innym argumentem przemawiającym za konstruowaniem
pól wielosekcyjnych jest możliwość uzyskiwania dużych pojemności, niemożliwych
do zrealizowania w postaci pojedynczego komutatora, choćby ze względów technologicznych. Z drugiej jednak
strony, nadmierne zwiększanie ilości sekcji powoduje trudności w sterowaniu
takim polem.
Ze względu na stosunek liczby wejść do liczby wyjść pola dzielimy
na:

pola z kompresją - w tych polach liczba wejść
jest większa od liczby wyjść
pola z ekspansją - w tych polach liczba wyjść
jest większa od liczby wejść
pola rozdziału ruchu - w tych polach liczba
wyjść jest równa liczbie wejść
Ze względu na dostępność wyjść
pola dzielimy na:

niepełnodostępne - konstrukcja pola
uniemożliwia zestawienie połączenia pomiędzy dowolnym wejściem a dowolnym
wejściem
pełnodostępne - możliwe jest zestawienie połączenia pomiędzy dowolnym
wejściem a dowolnym wyjściem
Poprzez odpowiednie połączenie komutatorów
pełnodostępnych można utworzyć pole niepełnodostępne jak i poprzez odpowiednie
połączenie pól niepełnodostępnych można otrzymać pole pełnodostępne.
Ze względu na występowanie stanów
blokady pola dzielimy na:

nieblokowalne w
wąskim sensie - można zestawić dowolne połączenie wolne wyjście - wolne
wejście bez względu na stan pola,
czyli istniejące już w nim połączenia
nieblokowalne w szerokim sensie
- możliwe jest ominięcie wszystkich stanów blokady (niemożności zestawienia
połączenia między parą wejście - wyjście mimo istnienia dostępności) przy
zastosowaniu określonego algorytmu wyboru drogi połączeniowej
przestrajalne
- można zestawić dowolne połączenie wolne
wyjście - wolne wejście, lecz jeśli to konieczne, możliwe są w tym celu zmiany
istniejących już dróg połączeniowych
blokowalne - w zależności od stanu pola mogą wystąpić stany blokady
mimo zastosowania wymienionych wyżej zabiegów
Chciałbym w tym miejscu podkreślić różnicę
między polem blokowalnym a niepełnodostępnym. Nepełnodostępność wynika z uwarunkowań
sprzętowych - braku fizycznej możliwości
zestawienia danej drogi połączeniowej np. zbyt małej ilości punktów
komutacyjnych. Stan blokady natomiast wynika ze stanu pola.
Mówimy o nim wtedy, gdy mimo istnienia fizycznej
możliwości zestawienia danego połączenia nie można go uzyskać, np. ze względu na
zajętość łączy, jednak po odpowiedniej zmianie stanu pola zestawienie tego połączenia będzie możliwe.
Ze względu na liczbę łączy między
komutatorami sąsiednich sekcji pola dzielimy na:

zupełne -
komutatory sąsiednich sekcji połączone są co najwyżej jednym łączem
międzysekcyjnym
niezupełne - komutatory sąsiednich sekcji połączone są więcej niż
jednym łączem międzysekcyjnym
Ze względu na sposób przyłączania urządzeń końcowych pola
dzielimy na:

dwustronne - zbiory wejść i wyjść są rozłączone, a połączenia
można realizować tylko między wejściami a wyjściami
jednostronne -
można realizować między dowolnymi końcówkami, każda końcówka może pełnić role
zarówno rolę wejścia jak i wyjścia
mieszane - część końcówek pełni role wejść
część wyjść, a pozostałe realizują obie funkcje
Istnieje kilka sposobów realizacji pól
jednostronnych. Jeden z nich zilustrowany jest na rys. 7. Zauważmy, że
połączenie między końcówkami tego samego komutatora sekcji pierwszej odbywa się bez pośrednictwa sekcji
drugiej.

Rys. 7 Jednostronne pole komutacyjne (a)
jednosekcyjne, (b) dwusekcyjne zrealizowane na komutatorach
trójkątnych.

Rys. 8. Jednostronne pole komutacyjne utworzone przy
pomocy połączeń pętlowych.
Inny sposób utworzenia pola jednostronnego
ilustruje rys. 8. Przekształcono tu pole dwustronne w jednostronne stosując tzw.
połączenia pętlowe. Łączą one wejścia i wyjścia o tych samych numerach.W
takim polu istnieją dwa sposoby zestawienia
połączenia między dwiema końcówkami:

połączenie typu 1. - od końcówki wywołującej
przez pole komutacyjne do wyjścia komutatora ostatniej sekcji i przez pętlę do
końcówki wywoływanej
połączenie typu 2. - od końcówki wywołującej
przez pętlę do wyjścia komutatora ostatniej sekcji i przez pole komutacyjne do
końcówki wywoływanej
Ze względu na przepływ informacji
pola dzielimy na:

jednokierunkowe - informacje przesyłane są
tylko w kierunku od wejść do wyjść pola
dwukierunkowe - informacje przesyłane są w
obu kierunkach
Należy w tym miejscu podkreślić różnicę pomiędzy
polami jednokierunkowymi i dwukierunkowymi a
jednostronnymii dwustronnymi. Z informacji o tym czy pole
jest jednostronne czy dwustronne dowiadujemy się z których końcówek możemy
nawiązywać połączenie, a z których je odbierać, natomiast informacja o tym czy
pole jest jednokierunkowe czy dwukierunkowe mówi mam w którą stron możemy
przesyłać dane po nawiązaniu połączenia.
Ze względu na sposób wyboru wyjść
pola dzielimy na pola z
selekcją:



P-P
punkt -punkt
G-P
grupa - punkt
W-P
Wszystkie - punkt

P-G
punkt - grupa
G-G
grupa - grupa
W-G
Wszystkie - grupa

P-W
punkt - wszystkie
G-W
grupa - wszystkie
W-W
Wszystkie - wszystkie
Inne określenia niektórych typów
selekcji:
P-P indywidualny wybór
wyjść - określone wejście łączymy z określonym wyjściem
P-G grupowy wybór
wyjść - określone wejście łączymy z jednym z wyjść należącym do określonej
grupy
P-W nieuwarunkowany (swobodny) wybór wyjść - określone wejście łączymy dowolnym
wyjściem
Ze względu na liczbę końcówek biorących udział w
połączeniu pola dzielimy na:

jednopołączeniowe - w połączeniu biorą udział tylko jedno wejście i
jedno wyjście
wielopołączeniowe - w połączeniu może brać
udział wiele wejść i wiele wyjść
Pole wielopołączeniowe określone za pomocą parametrów:

q1 - ilość wejść
mogących jednocześnie uczestniczyć w połączeniu z q2 wyjściami
q2 - ilość wyjść mogących
jednocześnie uczestniczyć w połączeniu z q1 wejściami
nazywamy (q1 , q2)-połączeniowymi. Pola takie wykorzystywane są np. dla realizacji połączeń
konferencyjnych. Szczególnym przypadkiem pola wielopołączeniowego jest pole
(1 , q2)-połączeniowe,
zwane także rozsiewczym. Może być ono
wykorzystywane do dystrybucji sygnału telewizji przewodowej.
Podkreślmy różnicę pomiędzy polami z
indywidualnym, grupowym, bądź
swobodnym wyborem
wyjść a polami jedno- i wielopołączeniowymi. Pierwsze trzy pola
określają z jakiej grupy wyjść należy wybrać wyjście docelowe dla danego wejścia
podczas gdy pola z drugiej grupy umożliwiają zadecydowanie między iloma i jakimi
wejściami i wyjściami ma być zawiązane jednoczesne połączenie (konferencyjne).
Liczność grupy tych wejść nie może być oczywiście większa od
q1, a wyjść od
q2.
Ze względu na istnienie przelewu wewnętrznego
pola dzielimy na:

pola z możliwością przelewu wewnętrznego (z
łączami pomocy wzajemnej)
pola bez możliwości przelewu
wewnętrznego
Przelew wewnętrzny uzyskuje się poprzez
połączenie ostatniego wyjścia pierwszego komutatora danej sekcji z pierwszym
wejściem drugiego, ostatniego wyjścia drugiego komutatora tej sekcji z pierwszym
wejściem trzeciego itd. Wprowadzenie przelewu wewnętrznego może zmniejszyć
prawdopodobieństwo blokady.
3. Pola Komutacyjne nieblokowalne w wąskim sensie. Do spisu terści
Największe znaczenie w teorii komutacji mają tak
zwane pola Closa. Zostały one zaproponowane przez Charlesa Closa w 1953 roku.
Struktura trzysekcyjnego pola Closa została przedstawiona na rys. 9. Jest
ona jednoznacznie określana za pomocą trzech parametrów: m,
n, r. Znaczenie tych parametrów wyjaśnia
rys. 9. Pole Closa przedstawione na tym rysunku oznacza się symbolem:
n(m, n,
r).

Rys. 9. Trzysekcyjne pole Closa n(m, n,
r)
Warunki nieblokowalności tego pola określa
twierdzenie Closa:
Twierdzenie 1. (Closa)
Dwustronne trzysekcyjne pole komutacyjne Closa n(m, n, r) jest
nieblokowalne w wąskim sensie wtedy tylko wtedy,
gdy:

Istnieją także pola Closa o większej liczbie
sekcji. Clos podał iteracyjny sposób rozbudowy zaproponowanego przez siebie pola
trzysekcyjnego. Polega ona na zastąpieniu komutatorów środkowej sekcji
trzysekcyjnymi polami Closa. Otrzymać można w ten sposób pola Closa o
nieparzystej liczbie sekcji. O warunkach nieblokowalności takiego pola mówi
kolejne twierzdenie:
Twierdzenie 2.
Dwustronne s-sekcyjne pole komutacyjne Closa
jest nieblokowalne w wąskim sensie wtedy i tylko wtedy, gdy pola trzysekcyjne na
wszystkich poziomach hierarchicznych, wynikających z rozbudowy iteracyjnejsą
również nieblokowalne w wąskim sensie.
Oba powyższe twierdzenia dotyczą pól
dwustronnych. Jeśli chodzi o pola
jednostronne, to przypomnijmy, że
omawialiśmy takie pola zrealizowane na komutatorach trójkątnych oraz za pomocą
połączeń pętlowych. Kolejne dwa twierdzenia określają warunki nieblokowalności
takich pól.
Twierdzenie 3.
Dwusekcyjne pole komutacyjne zbudowane z
komutatorów trójkątnych jest nieblokowalne w
wąskim sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony jeden z
warunków:

gdzie oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą
x
Twierdzenie 4.
Trzysekcyjne pole komutacyjne z połączeniami
pętlowymi trójkątnych jest nieblokowalne w wąskim sensie wtedy i tylko wtedy,
gdy jest spełniony jeden z warunków:

4. Pola komutacyjne nieblokowalne w szerokim
sensie. Do spisu terści
Wiemy już, że aby w polu nieblokowalnym w szerokim sensie nie wystąpiły stany blokady należy
posłużyć się odpowiednim algorytmem zestawiania połączeń. Nie zawsze jednak
prowadzi to do zysku objawiającego się w zmniejszeniu liczby punktów
komutacyjnych. Udowodniono, że w przypadku jednopołączeniowych pól Closa, zawierających
mniej niż po dwa komutatory w sekcjach zewnętrznych, zastosowanie znanych
algorytmów wyboru dróg połączeniowych nie przynosi zysku w sprzęcie pola.

Pojęcie pola nieblokowalnego w szerokim
sensie jest bardzo użyteczne w
przypadku pól wielopołączeniowych. Oto cztery algorytmy wyboru dróg
połączeniowych dla takich pól:
Algorytm 1.
Zdekomponuj parę
(T1,T2) na |T1| |T2| par połączeń pojedynczych:
{(t1,t2), t1� T1, t2� T2}. Połącz je kolejno tak, aby
(t1,t2) i (t'1,t'2) nie były zestawione przez ten sam komutator sekcji
środkowej, jeżeli t1=t'1 lub
t2=t'2.

Algorytm 2.
Wybierz |T1| komutatorów sekcji
środkowej, z których każdy łączy różną parę
(t1,T2), t1� T1.

Algorytm 3.
Wybierz |T2|
komutatorów sekcji środkowej, z których każdy łączy różną parę
(T1,t2), t2�T2

Algorytm 4.
. Wybierz jeden komutator sekcji środkowej
łączący parę (T1,T2).

Twierdzenia wyznaczające warunki
nieblokowalności pól przy zastosowaniu
powyższych algorytmów sformułujemy dla uogólnionych trzysekcyjnych pól
Closa n(m, n1,
r1, n2,
r2), gdzie:
r1 - liczba komutatorów o wymiarach
n1 x m w sekcji wejściowej
m - liczba komutatorów o wymiarach
r1 x r2 w sekcji środkowej
r2 - liczba komutatorów o wymiarach
m x n2 w
sekcji wyjściowej
Twierdzenie 5.
Trzysekcyjne pole n(m,
n1, r1,
n2, r2) jest
nieblokowalne
jako pole (q1 , q2)-połączeniowe przy zastosowaniu algorytmu 1.
wtedy i tylko wtedy, gdy:

Twierdzenie 6.
Trzysekcyjne pole n(m,
n1, r1,
n2, r2) jest
nieblokowalne
jako pole (q1 , q2)-połączeniowe przy zastosowaniu algorytmu 2.
wtedy i tylko wtedy, gdy:

Twierdzenie 7.
Trzysekcyjne pole n(m,
n1, r1,
n2, r2) jest
nieblokowalne
jako pole (q1 , q2)-połączeniowe przy zastosowaniu algorytmu 2.
wtedy i tylko wtedy, gdy:

Twierdzenie 8.
Trzysekcyjne pole n(m,
n1, r1,
n2, r2) jest
nieblokowalne
jako pole (q1 , q2)-połączeniowe przy zastosowaniu algorytmu 2.
wtedy i tylko wtedy, gdy:

5.
Przestrajalne pola komutacyjne. Do spisu terści
Przestrajalne pola komutacyjne są interesujące z
tego względu, że z punktu widzenia końcówek zachowują się jak pola
nieblokowalne zawierając przy tym znacznie
mniej punktów komutacyjnych. Skutek ten osiąga się stosując złożone algorytmy
sterowania uwzględniające możliwości zmiany dróg połączeniowych połączeń już
istniejących w celu niedopuszczenia do zaistnienia stanu blokady. Kolejne trzy
twierdzenia określają warunki jakie muszą spełniać trzy podstawowe, rodzaje pól
komutacyjnych, aby były one przestrajalne.
Twierdzenie 9.
Dwustronne trzysekcyjne pole Closa n(m, n, r) jest przestrajalne wtedy i
tylko wtedy, gdy

Twierdzenie 10.
Jednostronne dwusekcyjne pole komutacyjne
zbudowane z komutatorów trójkątnychjest przestrajalne przy r - 3
wtedy i tylko wtedy, gdy

Twierdzenie 9.
Jednostronne trzysekcyjne pole Closa n(m, n, r) z połączeniami pętlowymi jest przestrajalne wtedy i
tylko wtedy, gdy

6.
Optymalizacja pól komutacyjnych.
Do spisu terści
Jest bardzo wiele czynników, które należy brać
pod uwagę przy projektowaniu pól komutacyjnych. Oto niektóre z nich:

koszt elementów (punktów komutacyjnych i
połączeń między nimi)
technologia elementów
koszt sterowania związanego ze
strukturą
wpływ struktury na jakość sygnałów
przesyłanych przez pole
wielkość opóźnień sygnałów
zakres pojemności centrali
łatwość zmiany pojemności pola
niezawodność
łatwość diagnostyki
własności ruchowe
łatwość wytwarzania (regularność struktury,
prostota okablowania, unifikacja elementów)
Wyrażając koszt pola przez liczbę punktów
komutacyjnych można przeprowadzić optymalizację pola w celu ustalenia parametrów
jego struktury o najmniejszej ilości tych punktów przy założonej liczbie wejść -
N. Dla trzysekcyjnego pola Closa n(m, n, r) liczba punktów komutacyjnych wyraża się wzorem:

Podstawiając zależność wynikającą wprost ze
struktury pola Closa:

otrzymujemy funkcję dwóch zmiennych. Należy
jeszcze podstawić zależność między m i n, która jest zależna od rodzaju optymalizowanego pola.
Zależności te określone są przez przytoczone twierdzenia. Gdy funkcja kosztów
CN jest już funkcją
jednej zmiennej n, szukamy jej
minimum poprzez wyliczenie miejsc zerowych jej pochodnej. Ponieważ w
rzeczywistości funkcja kosztu przyjmuje wartości dyskretne i całkowite (jako
liczba punktów komutacyjnych), a my licząc jej pochodną potraktowaliśmy ją jako
funkcję ciągłą, musimy umieć zinterpretować wynik niecałkowity. Gdy wartość
nopt nie jest całkowita,
wybieramy dwie liczby całkowite najbliższe nopt, jedną większą, a drugą mniejszą od
nopt i liczymy wartość
funkcji kosztu dla każdej z nich. Za optymalną wartość n przyjmuje się tą liczbę, dla której funkcja kosztu ma
mniejszą wartość. Ostatnim etapem jest wyliczenie pozostałych parametrów
pola (r i m). Posługujemy się w tym
celu dwoma zależnościami, które podstawialiśmy do funkcji kosztu:

oraz podstawić zależność między m
i n, zależną od rodzaju optymalizowanego
pola.
 
 
Wykaz ważniejszych oznaczeń:
m,n,r - parametry pola Closa (patrz rys. 9.)

- największa
liczba całkowita mniejsza lub
równa x

- najmniejsza
liczba całkowita większa lub
równa x
N - liczba wejść pola
komutacyjnego
CN - liczba punktów komutacyjnych w polu
T1 - zbiór wejść
pola
t1 - pojedyncze
wejście
T2 - zbiór wyjść
pola
t2 - pojedyncze wyjście
q1 - ilość wejść
mogących jednocześnie uczestniczyć w połączeniu z q2 wyjściami
q2 - ilość wyjść
mogących jednocześnie uczestniczyć w połączeniu z q1 wejściami
Do spisu terści
 
ZADANIA
Zadanie 1.
Wykaż, że jednopołączeniowe, trzysekcyjne
pole Closa nieblokowalne w szerokim sensie zawiera zawsze więcej punktów
komutacyjnych niż komutator kwadratowy o takiej samej liczbie
wejść.
Jednopołączeniowe, trzysekcyjne pole Closa
nieblokowalne w szerokim sensie to pole o parametrach:
, gdzie
- największa liczba
całkowita mniejsza lub równa x
Liczba punktów komutacyjnych trzysekcyjnego pola
Closa wyraża się wzorem:

podstawiając parametry naszego pola
otrzymujemy:

Dla komutatora kwadratowego liczba punktów komutacyjnych wynosi:

Biorąc pod uwagę, że n jest liczbą naturalną można z całą pewnością stwierdzić,
że
.
Potwierdza to poniższy wykres:

Zadanie 2.
Podaj parametry struktury optymalnego przestrajalnego pola Closa o liczbie wejść i wyjść N = 1024.
Porównaj liczbę punktów komutacyjnych tego pola oraz, trzysekcyjnego
nieblokowalnego pola Closa o tej samej pojemności. Jaka byłaby struktura
optymalnego, nieblokowalnego pola Closa o N = 1024?
Obliczmy parametry struktury optymalnego
przestrajalnego pola Closa o liczbie wejść i wyjść
N = 1024.
Twierdzenie 9 mówi, że dwustronne trzysekcyjne
pole Closa n(m, n, r) jest
przestrajalne wtedy i tylko wtedy, gdy

Dla otrzymania struktury o najmniejszej liczbie punktów komutacyjnych
przyjmijmy:
.
Liczba punktów komutacyjnych trzysekcyjnego pola
Closa wyraża się wzorem:

Podstawiając zależności:
i
otrzymujemy:

W celu znalezienia minimum funkcji kosztu
policzymy jej pochodną i znajdziemy miejsca zerowe tej pochodnej.

Dziedziną funkcji kosztów są liczby naturalne.
Licząc pochodną potraktowaliśmy tą funkcję jako ciągłą, stąd otrzymane minimum
nie jest liczbą naturalną. Musimy więc znaleźć liczbę naturalną minimalizującą
funkcję kosztu. W tym celu wyliczymy wartość funkcji kosztu dla dwóch liczb
naturalnych najbliższych otrzymanemu n. Są to liczby 22 i 23. Za nopt
uznam to z nich, dla której wartość funkcji kosztu
będzie mniejsza.
więc
Parametry przykładowej struktury optymalnego
przestrajalnego pola Closa o liczbie wejść i wyjść N = 1024 są być
następujące:

Dla porównania określimy liczbę punktów
komutacyjnych trzysekcyjnego nieblokowalnego pola Closa o tej samej
pojemności.
Tym razem podstawiamy do funkcji kosztu
graniczny warunek nieblokowalności pola Closa:

Po zastosowaniu identycznej procedury jak w przypadku poprzednim
otrzymujemy:

Widzimy więc, iż pole nieblokowalne Closa o
N=1024 posiada dwukrotnie więcej
punktów komutacyjnych niż pole przestrajalne o tej samej pojemności.
Struktura ooptymalnego trzysekcyjnego nieblokowalnego pola Closa o
N=1024 ma postać:
.
 
Zadanie 3.
Porównaj trzysekcyjne przestrajalne pole
Closa o N=4 z zawierającym mniej punktów komutacyjnych przestrajalnym polem
Waksmana. Wykaż, że istnieją dwa sposoby zrealizowania permutacji
identycznościowej w polu Waksmana. Ile jest sposobów zrealizowania permutacji
odwrotnej (tzn. wejściom 1 2 3 4 odpowiadają wyjścia 4 3 2 1) w polu Closa, a
ile w polu Waksmana?

Jak widać z powyższych rysunków pole Waksmana
różni się od pola Closa brakiem jednego komutatora w ostatniej sekcji, przez co
oczywiście ma ono mniej punktów komutacyjnych. Oba te pola są przestrajalne,
czyli z zewnątrz widoczne jako nieblokowalne. Jednak brak wspomnianego
komutatora w polu Waksmana powoduje częstsze
występowanie konieczności przestrajania niż na to miejsce w polu Closa. Na
przykład: wyobraźmy sobie, że w obu polach są zestawione połączenia:
3-3' drogą
3- c -f- j- o- 3'
i
2-4 drogą
2- b- g- 1- p-
3'
i w obu tych polach zachodzi potrzeba
zestawienia połączenia 4-1'. Podczas gdy w polu Closa żądanie to zostanie
natychmiast zaspokojone poprzez zestawienie połączenia drogą:
4- d- h- k- n- 1',
to w polu Waksmana zachodzi konieczność zmiany
drogi połączeniowej
3-3'
zestawionego drogą 3- c- f- i- o- 3' na
3-3' drogą
3- d- h- l- p- 3'
i dopiero zestawienia żądanego połączenia:

4-1' drogą
4- c- f- i- m- 1'.
Ustalimy teraz ile istnieje sposobów realizacji
permutacji identycznościowej i odwrotnej w tych polach. Połączeniem typu 1
będziemy nazywać połączenie przez górny komutator sekcji drugiej dla wejść 1 i
2, a przez dolny komutator sekcji drugiej dla wejść 3 i 4. Połączeniem typu 2
będziemy nazywać połączenie przez dolny komutator sekcji drugiej dla wejść 1 i
2, a przez górny komutator sekcji drugiej dla wejść 3 i 4. W tabelach
pokazano sposoby uzyskiwania pojedynczych
połączeń w obu polach.




Połączenie

Droga
połączeniowa

Rodzaj
połączenia


Pole Closa

Pole Waksmana


Permutacja
identycznościowa


1-1'

1- a- e- i- m- 1'
 

1


1- b- g- k- n- 1'

1- b- g- k- n- 1'

2


2-2'

2- a- e- i- m- 2'

2- a- e- i- m- 2'

1


2- b- g- k- n- 2'
 

2


3-3'

3- d- h- l- p- 3'

3- d- h- l- p- 3'

1


3- c- f- j- o- 3'

3- c- f- j- o- 3'

2


4-4'

4- d- h- l- p- 4'

4- d- h- l- p- 4'

1


4- c- f- j- o- 4'

4- c- f- j- o- 4'

2
 
Oceńmy ile jest sposobów realizacji
permutacji identycznościowej w obu polach. W tym
celu sporządzimy tabelę w której umieścimy połączenia i sposoby ich
jednoczesnej realizacji.




Pole Closa

 
1-1'
2-2'
3-3'
4-4'

1.
1
2
1
2

2.
2
1
1
2

3.
1
2
2
1

4.
2
1
2
1


Pole Waksmana

 
1-1'
2-2'
3-3'
4-4'

1.
2
1
1
2

2.
2
1
2
1
 
 
 
 
Istnieją więc cztery sposoby realizacji
permutacji identycznościowej w polu Closa i
dwa w polu Waksmana.




Połączenie

Droga
połączeniowa

Rodzaj
połączenia


Pole Closa

Pole Waksmana


Permutacja odwrotna


1-4'

1- a- e-
j- o- 4'

1- a- e- j- o- 4'

1


1- b- g- l- p- 4'

1- b- g- l- p- 4'

2


2-3'

2- a- e- j- o- 3'

2- a- e- j- o- 3'

1


2- b- g- l- p- 3'

2- b- g- l- p- 3'

2


3-2'

3- d- h- k- n- 2'

3- d- h- k- n- 2'

1


3- c- f- i- m- 2'
 

2


4-1'

4- d- h- k- n- 1'
 

1


4- c- f- i- m- 1'

4- c- f- i- m- 1'

2
Oceńmy ile jest sposobów realizacji
permutacji odwrotnej w obu polach. W tym celu
sporządzimy tabelę w której umieścimy połączenia i sposoby ich
jednoczesnej realizacji.




Pole Closa

 
1-1'
2-2'
3-3'
4-4'

1.
1
2
1
2

2.
2
1
1
2

3.
1
2
2
1

4.
2
1
2
1


Pole Waksmana

 
1-1'
2-2'
3-3'
4-4'

1.
1
2
2
1

2.
2
1
2
1
Istnieją więc cztery sposoby realizacji
permutacji odwrotnej w polu Closa i dwa w polu Waksmana.