CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO
Określenie ciepła właściwego związane jest z pierwszą zasadą termodynamiki ą prawem
zachowania i przemian energii w procesach cieplnych. Zgodnie z tą zasadą, ilość ciepła Q
przekazana ciału (lub układowi ciał), ąidzie� na zmianę "U jego energii wewnętrznej i na
wykonanie pracy 2 przeciw siłom zewnętrznym:
W
2
Q = "U + W
.
W przypadku ciała jednorodnego wygodnie jest mówić o cieple właściwym (molowym)
jednego mola substancji. Ciepłem molowym C nazywamy ilość ciepła potrzebną do nagrzania
1 mola danej substancji o jeden stopień. Jeśli w procesie nagrzewania ilości substancji
m
v =
M
(gdzie m ą masa, M ą masa molowa substancji)
przekazano jej ilość ciepła Q, a jej temperatura zmienia się od T1 do T2, to
Q Q
C = =
.
v(T2 -T1) (m / M )(T2 -T1)
Równocześnie z ciepłem molowym, można określić ciepło właściwe c, czyli ciepło
potrzebne do nagrzania jednostki masy substancji o jeden stopień.
C
Oczywiście, mamy: c = .
M
Znając ciepło molowe (właściwe) substancji w danym procesie termodynamicznym, łatwo
można znalez
ć pobraną przez ciało ilość ciepła:
m
Q = mc(T2 -T1) = C(T2 -T1) = vC(T2 -T1) .
M
Jest tu bardzo ważne, aby zrozumieć, że praca 2 wykonywana jest nad siłami
W
zewnętrznymi (przeciw tym siłom) i zależy od warunków, przy których zachodzi dany
proces przekazania ciepła.
Dlatego też, ciepło molowe określa się nie tylko poprzez właściwości substancji, ale także
przez sposób, w jaki dany proces przebiega.
Np. przy izotermicznym rozprężaniu gazu (T = const) do ciała (gazu) dostarczamy ciepło,
ale jego temperatura pozostaje niezmieniona. Z definicji widać, że ciepło właściwe gazu w
przemianie izotermicznej jest nieskończenie wielkie. W tym przypadku całe przekazane
2
Q = W
układowi ciepło idzie na wykonanie pracy: . Jeśli ten sam gaz uczestniczy w procesie
adiabatycznym, to jego temperatura zmienia się, a pobrane przez gaz ciepło jest równe zero.
A więc w procesie adiabatycznym ciepło właściwe jest równe zero, a praca 2 gazu przeciw
W
siłom zewnętrznym wykonywana jest kosztem ubytku energii wewnętrznej:
2 .
W = -"U
A więc ciepło właściwe gazu zależy od procesu.
Takie procesy, w których ciepło właściwe gazu pozostaje stałe nazywamy
politropowymi.
Przykładami procesów politropowych, obok wspomnianych procesów izotermicznych i
adiabatycznych, są przemiany: izochoryczna (V = const) i izobaryczna (p = const).
Odpowiadające im ciepła molowe oznaczamy przez CV i Cp. Rozpatrzmy te procesy bardziej
dokładnie.
W pierwszym przypadku (V = const) tłok jest unieruchomiony (przymocowany), a gaz
podczas nagrzewania pracy nie wykonuje (rys. 1a):
Całe otrzymane przez gaz ciepło zużywane jest na zwiększenie energii wewnętrznej gazu.
W drugim przypadku (p = const) tłok jest swobodny (rys. b), a gaz przy nagrzewaniu
rozszerza się i wykonuje pracę. Pobrane przez gaz ciepło tylko częściowo zużywane jest na
wykonanie pracy przez tłok. A więc jasne jest, że dla podwyższenia temperatury o 1 stopień,
w drugim przypadku należy przekazać większą ilość ciepła, a więc Cp > CV.
Znajdz
my teraz ilościowy związek między Cp i CV. Z teorii kinetycznej gazów wiadomo,
że energia wewnętrzna gazu doskonałego jest wprost proporcjonalna do jego temperatury
bezwzględnej:
�ł �ł
3 2
�ł �ł
U = RvT pV = NE
śr
�ł
2 ŹŹ k �ł
�ł 3 �ł
�ł U łł
J
�ł
R = 8,31mol �" K �ł
�ł �ł
�ł łł
W procesie izochorycznym
2 Q = "U = CV �" v(T2 - T1)
W = 0 , .
Wynika stąd, że dla gazu jednoatomowego ciepło molowe dla stałej objętości wynosi
3
CV = R .
2
Praca gazu przy rozszerzaniu izobarycznym wyraża się wzorem
2
W = p(V2 - V1) = p �" "V .
Jeśli w rozpatrywanym procesie termodynamicznym ciśnienie się zmienia to powyższą
zależność także można stosować, ale tylko dla bardzo małych zmian "V .
Możemy teraz zapisać I zasadę termodynamiki w postaci:
Q = CV v(T2 - T1) + p(V2 - V1) = CV �" v �" "T + p"V
.
Stąd, posługując się określeniem ciepła molowego, otrzymujemy regułę dla ciepła m. dla
gazu doskonałego w dowolnym procesie:
Q p "V
C = = CV +
.
v(T2 - T1) v "T
Zmiana objętości "V i temperatury w tej zależności związane są równaniem
"T
pV = vRT
Clapeyrone' a i równaniem procesu cieplnego, w którym uczestniczy gaz.
W szczególności, dla procesu izobarycznego
"V vR
=
p(V2 - V1) = vR(T2 - T1) , lub ,
"T p
p = const.
A stąd ciepło molowe wynosi:
C = CV + R
.
p
Okazuje się, że w ciałach stałych i ciekłych, ciepła Cp i CV mało różnią się od siebie.
Związane jest to z tym, że przy ogrzewaniu ciał stałych i ciekłych ich objętość zmienia się
bardzo mało, tak, że w obu przypadkach (np. przy ciśnieniu atmosferycznym lub podobnym)
wykonywana przy rozszerzaniu praca jest praktycznie zerowa.
W takim przypadku ciepło molowe związane jest ze zmianą energii wewnętrznej (tylko)
przy zmianie temperatury o jeden stopień.
Zadanie 1.
Pewna ilość gazu doskonałego nagrzewa się przy stałym ciśnieniu p = 1at od temperatury
T1 = 300K do temperatury T2 = 400K. Jaką pracę wykonał w tym procesie gaz, jeśli jego
początkowa objętość wynosiła V1 = 3l. ?
R: Niech v ą ilość moli.
Doprowadzona do gazu ilość ciepła
Q = vC (T2 -T1)
,
p
a przyrost energii wewnętrznej gazu
"U = vCV (T2 - T1)
.
Zgodnie z I zasadą termodynamiki, wykonana przez gaz praca wynosi:
2
W = Q - "U = v(C - CV )"T = vR"T
.
p
Z równania stanu gazu doskonałego
vR = pV1 T1 ,
wtedy
2
W = pV1 (T2 T1 - 1 ) = 1 0 0 J .
[Nie jest to oczywiście jedyne możliwe rozwiązanie.]
Zadanie 2.
Jeden mol gazu doskonałego ze stanu o temperaturze T1 = 100K rozszerza się izobarycznie,
a następnie przechodzi izochorycznie do stanu o początkowej temperaturze. Ile razy zmieni
się przy tym objętość gazu, jeśli do przejścia gazu ze stanu początkowego do końcowego
konieczna była ilość ciepła Q = 831J.?
R:
Ciepło dostarczane jest do gazu na odcinku izobarycznym i oddawane przez gaz na
odcinku izochorycznym:
Q = vCp (T2 - T1) + vCV (T1 - T2 ) = vR(T2 - T1)
.
Dla odcinka izobarycznego z równania stanu gazu otrzymujemy
T2 - T1 = T1(T2 T1 -1) = T1(V2 V1 -1) .
Z zależności tych otrzymujemy
V2 Q
= 1+ = 2 .
V1 vRT
Zadanie 3.
Ze stanu początkowego o znanej temperaturze T1, mol gazu doskonałego przechodzi w stan
o takiej samej temperaturze dwoma drogami (rys.). W jednej z nich gaz początkowo ogrzewa
się izobarycznie do temperatury T2 = 2T1, a następnie ochładza się. W drugiej drodze ą gaz
początkowo izochorycznie ochładza się, a następnie izobarycznie ogrzewa. Znalez
ć ilość
ciepła (różnicę) dostarczoną do gazu w obu procesach.
R:
Rozwiążmy to zadanie w sposób analogiczny jak poprzednie:
Q = vC (T2 - T1) + vCV (T1 - T2 )
,
1 p
Q 2 = vCV (T3 - T1) + vC (T1 - T3 )
p
i
Q1 - Q 2 = vR(T2 + T3 - 2T1 )
.
Uwzględniając r-nie Clapeyrone' a pV = vRT dla izobarycznych odcinków procesu 1 i 2,
znajdziemy związek między temperaturami T1, T2 i T3:
vRT1 vRT2 vRT3 vRT1
p1 = = p2 = =
, ,
V1 V2 V1 V2
skąd
�ł V1 T1 T3 łł
T1 = T2 �"T3
�ł�! = T3 = T1 śł
V2
�ł �ł
Zgodnie z warunkiem T2 = 2T1, mamy
T1
T3 = .
2
Ostatecznie otrzymujemy:
Q - Q 2 = vRT3 = vRT1 2
.
1
Zadanie 4.
Mol gazu doskonałego rozszerza się zgodnie z zależnością pV2 = const.
Określić ciepło molowe w tym procesie.
R: Jak wykazano wyżej, ciepło molowe wynosi:
p "V
C = CV +
v "T
Z r-nie Clapeyrone' a pV = vRT i r-nia procesu otrzymujemy
[pV 2 = vRTV = const]
VT = const.
Równość ta jest słuszna dla dowolnych V i T, dlatego
(V + "V )(T + "T ) = VT
.
Otrzymujemy stąd (zaniedbując "V �" "T 0 );
"V V
V"T + T"V = 0 lub = - .
"T T
A zatem, ostatecznie mamy
pV
C = CV - = CV - R .
vT
Zadanie 5.
Mol gazu doskonałego znajduje się w cylindrze z ruchomym, nieważkim tłokiem
połączonym z dnem przy pomocy sprężyny, której wydłużenie spełnia prawo Hoockey' a
(rys.). Określić ciepło molowe tego procesu, przyjmując ciśnienie zewnętrzne równe zero i
zaniedbując długość nierozciągniętej sprężyny.
R: Niech p ą ciśnienie gazu
V = Sx ą objętość gazu
S ą przekrój cylindra
x ą rozciągnięcie sprężyny
Niech stała sprężystości wynosi k;
Zapiszmy równanie równowagi tłoka:
pS = kx, lub pS2 = kV.
"
p
Z ostatniej zależności wynika, że i "V są związane równaniem
k p "p p
�ł łł
"p = "V = �" "V .
2 �ł"V = V śł
S V �ł �ł
Z r-nia Clapeyrone' a pV = vRT słusznego dla dowolnych p, V, T znajdujemy
( p + "p)(V + "V ) = vR(T + "T )
.
"p"V
( 0)
Pozbywając się w tym wyrażeniu nawiasów i zaniedbując wyraz ,
otrzymujemy
p"V +V"p = vR"T
,
"
p
lub, uwzględniając poprzednią zależność miedzy i "V ,
p "V R
= .
v "T 2
A więc ciepło molowe wynosi:
p "V R
C = CV + = CV +
v "T 2
Problemy:
1. Mol jednoatomowego gazu doskonałego ze stanu początkowego o temperaturze T1 =
300K nagrzewa się izochorycznie, a następnie izobarycznie ochładza do pewnej
temperatury końcowej. Znalez
ć tę temperaturę, jeśli wiadomo, że ciepło Q = 1500J
pobrane przez gaz w przemianie izochorycznej równe jest ciepłu oddanemu przez gaz
w przemianie izobarycznej.
2. Mol gazu doskonałego wykonuje zamknięty cykl (rys.). Początkowo gaz nagrzewa się
izobarycznie, tak, że jego objętość powiększa się: V2V1 = n. Następnie gaz ochładza
się izochorycznie, tak, że jego ciśnienie zmniejsza się p2 p1 = m . Na koniec gaz
adiabatycznie powraca do stanu początkowego. Określić, przy tych danych, pracę
gazu na odcinku adiabatycznym, jeśli znana jest początkowa temperatura T1 i molowe
ciepło gazu CV.
MS