1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieńśtwa
PrawdopodobieÅ„Å›twem nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™ P : F R okreÅ›lonÄ… na Ã-ciele F podzbioru przestrzeni
zdarzeń elementarnych &! będących zdarzeniami losowymi, spełniającymi warunki (aksjomaty):
C jest klasą niepustą, C = "(można założyć, że " " C albo &! " C) (1.1)

" "

(A1, A2, . . . " F '" Ai )" Aj dla i = j) Ò! P [ An] = P [An] (1.2)

n=1 n=1
P [&!] = 1 (1.3)
Funkcję P spełniającą powyższe aksjomaty nazywa się często miarą probablistyczną, a uporządkowany układ
(&!, F, P ) nazywamy przestrzeniÄ… probablistycznÄ….
2 Własności prawdopodobieństwa wynikające z aksjomatów
W wielu sytuacjach prawdopodobieÅ„stwo wygodnie jest okreÅ›lić na klasie zbiorów nieco prostrzej niż Ã-ciaÅ‚o
np. na ciele zbiorów, a nastÄ™pnie rozszerzyć na Ã-ciaÅ‚o zawierajÄ…ce to ciaÅ‚o.
Ciałem zbioru nazywamy rodzinę C podzbiorów ustalonej przestrzeni &! = " spełniającej warunki:

C jest klasą niepustą, C = "( można założyć, że " " C albo &! " C) (2.1)

A " C Ò! A = &! - A " C (2.2)
A, B " C Ò! A *" B " C (2.3)
Warunek 2.3 tej definicji można zastąpić przez 2.15
A, B " C Ò! A )" B " C (2.4)
Chcąc zdefiniować prawdopodobieństwo na ciele zbiorów C będące podzbiorami przestrzeni &!, musimy zmo-
dyfikować tylko nieznacznie aksjomat 2.2:
" " "

(A1, A2, . . . " C '" Ai )" Aj = " dla j = j '" An " C) Ò! P [ An] = P [An] (2.5)

n=1 n=1 n=1
OczywiÅ›cie w Aksjomacie 2.5, Ã-ciaÅ‚o F trzeba zastÄ…pić przez ciaÅ‚o C.
2.1 Własności P na ciele C
P ["] = 0 (2.6)
n n

(A1, A2, . . . , An " C '" Ai )" Aj = " dla i = j) Ò! P [ Ak] = P [Ak] (2.7)

k=1 k=1
(A, B " C '" A Ä…" B) Ò! P [A] P [B] (2.8)

W szczególności P [A] 1 = P [&!]
A"C
(A, B " C '" A Ä…" B) Ò! P [B - A] = P [B] - P [A] (2.9)

W szczególności P [A] = 1 - P [A] = (P [&!] - P [A])
A"C
(A, B " C) Ò! P [A *" B] = P [A] + P [B] - P [A )" B] (2.10)
n n

(A1, A2, . . . , An " C) Ò! P [ Ak] P [Ak] (2.11)
k=1 k=1
1
" " "

(A1, A2, . . . " C '" An " C) Ò! P [ Ak] P [An] (2.12)
n=1 n=1 n=1
" "

(A1, A2, . . . " C '" A1 Ä…" A2 Ä…" . . . '" " C) Ò! P [ An] = lim P [An] (2.13)
x"
n=1 n=1
" "

(B1, B2, . . . " C '" B1 ‡" B2 ‡" . . . '" Bn " C) Ò! P [ Bn] = lim P [Bn] (2.14)
n"
n=1 n=1
Aksjomat ciągłości
Mówimy, że funkcja P : C R spełnia na ciele C aksjomat ciągłości, jeśli dla dowolnego ciągu B1, B2, . . . " C
"

takiego, że B1 ‡" B2 ‡" . . . '" Bn = " zachodzi równość

n=1
lim P [Bn] = 0 (2.15)
n"
Funkcja skończenie addytywna
Funkcję zbiory P : C R określoną na ciele C nazywamy skończenie addytywną, jeśli:
(A, B " C '" A )" B = ") Ò! P [A *" B] = P [A] = P [B] (2.16)

Tw. Fukcja P C R spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa 2.1, 2.5, 2.3 na ciele C <=> P spełnia aksjo-
maty 2.1, 2.3, 2.15 i 2.16.
2