4. Działania Weila
fp(DQ)
e(P,Q) = gdzie _ Dq = (Q) - (� ) ~ (Q + R2) - (R2)
fq(DP)
fp: (fp)~ n(P)-n(Ł)~ n{(P+R1)-( R1)}~ n(P+R1)-n(R1)~
n(P+R1)- n(R1)- (nP)+(Ł):= An:= (fn)
Po obliczeniu fp wystarczy policzyć fn
D
spełnia równanie nie-rekurencyjne
n
g1 = (bP) + (cP) + (b + c(P)) - 3(� )
D = D + D + (g1) + (g2)
, gdzie
b+c b c
g2 = (b + c)P + ((b + c)P) - 2(� )
g1
fb+c (D ) = fb(Da) * fc(Da) = (Da)
Stąd a
g2
Krzywa E11: y2-(x3+1)=0(mod 11)
Zad.1
Znalez
ć 4 punkty na
E11:={Ł,(0,1),(0,10),(2,3),(2,8),(5,4),(5,7),(7,5),(7,6),(9,2),(9,9),(10,0)}
x x3+1 y y2
3 6 0 0
4 10 1 1
5 5 2 4
6 8 3 9
7 3 4 5
8 7 5 3
9 4 6 3
10 0 7 5
8 9
9 4
10 1
Zad.2
f3(D )
Obliczyć dla Q- podst. rzędu, 3 czyli 3Q=Ł
a
a) znajdz
Q: 3Q=Ł
f1(Da)
b)
f3(Da)
c)
Dla 2P
Ad. A
3x2 + 2a2x + a4 - a1y 3x12
(2P) =  =
2y + a1x + a3 czyli dla E11: 2y1
P=(x1,y1)
x3 = 2 + a1 - a2 - 2x1 (czyli x3 = 2 - 2x1 )
y3 = (x1 - x3) - y1 - a1x3 - a3 (czyli y3 = (x1 - x3) - y1 )
(10,0)  rzędu 2
 = 0
2*(0,1) x3=, 0 y3= 10 2*(0,1)=(10,0)
(0,10+ (0,10)=Ł 3*(0,1)=Ł
Ad. B
f1(Da)
(f1)~ (P+R1)-( R1)-(P)+Ł
Ustalamy P rzędu 3(inny)
12*(9,2)= Ł 3*(0,1)= Ł 3*(0,10)= Ł
4*(5,4)= Ł 6*(2,3)= Ł
P=(0,1) R1=(0,1) Q=(0,-1)
(f1)~ ((0,-1))- (0,1)- (0,1)+ Ł
Da = D(0,1) = (Q + R2) - R2
Dq = Q - (� ) = (0,-1) - (� )
f1(Da) = f (P)ap = f 1(0,-1)1
"
D =
Def.
"ap(P)
Trzeba znalez
ć f1) przy zadanym dywizorze
1
( ) ~ (P) + (R1) + (P + R1) - 3�
(f1)~ (P+R1)-( R1)-(P)+ Ł
f1
szukamy stycznej w punkcie (0,1)
ax + by + c = 0
ńł �ł
�ł żł
P=(0,1)
2
óły = x3 +1 �ł