Transformacje Lorentza
Szczególna teoria względności
Transformacje Galileusza:
2
x = x + ut
x ' = x - ut
2
y = y
y'= y
2
z = z
z'= z
Postulaty Einsteina: 2
t = t
t'= t
I. Prawa fizyki sÄ… takie same we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia.
Transformacje Lorentza:
II. Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia. x ' = ł x - ut
( )
2
x = Å‚ x + ut '
( )
1
Å‚ =
2
y'= y z'= z y = y
2
z = z
u2
1-
c2
xu x'u
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚t2 öÅ‚
t ' = Å‚ t - t = Å‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
c2 Å‚Å‚ c2 ÷Å‚
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
 Skrócenie długości
Przykład
" Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje
l0 = x22 - x12
wynik 400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi,
jeśli wiadomo, że prędkość statku u = 0.8c
x ' = Å‚ x - ut
( )
l0 = Å‚ (x2 - ut) - Å‚ (x1 - ut)
l = l0 1- u2 / c2 = 400 1- (0.8c / c)2 = 400 1- 0.64 = 240 m
l0 = Å‚ (x2 - x1)
1
Å‚ =
(x2 - x1)
l0 =
u2
2
1-
u
ëÅ‚ öÅ‚
c2
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
l
l0 =
2
2
u
ëÅ‚ öÅ‚
l = 1- ( )
u / c Å"l0
Ò!
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami
Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu
a) Zdarzenia zachodzÄ… w tym samym punkcie x = a i w
2 2
chwilach względem układu S
t1 oraz t2
x2u x1u
ëÅ‚t2 2 öÅ‚ ëÅ‚t2 2 öÅ‚
t2 - t1 = Å‚ + - Å‚ +
ìÅ‚ 2 ÷Å‚ ìÅ‚ 1 ÷Å‚
c2 Å‚Å‚ íÅ‚ c2 Å‚Å‚
íÅ‚
au au
ëÅ‚t2 öÅ‚
2 2 2
t2 - t1 = Å‚ + - t1 - = Å‚ (t2 - t1)
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
c2 c2 Å‚Å‚
íÅ‚
czas własny
"t0
"t =
2
lĄ" = l'
1- ( )
u / c
Ä„"
Zdarzenia jednoczesne, zachodzÄ…ce w tym samym punkcie w jednym
inercjalnym u.w. są równoczesnymi w każdym innym układzie
inercjalnym.
Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami Czas życia mionów
" Miony powstają w górnych
Przykład
warstwach atmosfery w
wyniku rozpadu pionów
" Statek kosmiczny wysyła impulsy świetlne trwające wg
" PoruszajÄ… siÄ™ z
astronautów na statku 2x10-6s. Jak długo trwają te impulsy wg
prędkościami bliskimi
obserwatora na Ziemi, jeśli statek porusza się względem Ziemi z
prędkości światła
prędkością v=0.6c?
" Ich czas życia w
"t0 2x10-6 s 2x10-6 s
 spoczynku
"t = = = = 2.5x10-6 s
Ä = 2.2x10-6 s
u2 0.6c2 0.8
1- 1-
" W takim czasie powinny
+
c2 c2
Ä„ µ+ +½µ
przebyć odległość nie
większą niż 600m zanim nie
" Tymczasem przebywają one odległość
% ulegnÄ… rozpadowi
µ+ e+ + ve + vµ
rzędu 4.8km
Sim ultaneity
xu
ëÅ‚ öÅ‚
t ' = Å‚ t -
ìÅ‚
c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Transformacja prędkości Transformacja prędkości
Załóżmy, że pewna cząstka porusza
Teraz ta czÄ…stka porusza siÄ™ w
się z prędkością u wzdłuż osi Ox.
kierunku osi Oy, a ruch jej jest
Powiążmy z tą cząstką nowy u.w.
obserwowany przez
2
x = ł x - ut obserwatora w układzie O x
( )
dx'= Å‚ (dx - udt)
dy'= dy
dx
dx
dt'= Å‚ (dt - u )
dt'= Å‚ (dt - u ) = Å‚dt
c2
c2
dx
- u
dx' Å‚ (dx - udt) vx - u
dt
vx' = = = =
dx u dx u
dt' dy' dy u2
Å‚ (dt - u ) 1- 1- vx
vy' = = = vy 1-
dt
c2 c2 c2
dt' Å‚dt
c2
vx' + u vx - u
vx = vx' =
u u
1+ vx' 1- vx
c2 c2
Druga zasady dynamiki
r
r
dp
F =
dt
Relatywistyczny
pędu
r mo r
p = u
u2
1-
c2
Równoważność masy i energii
E = mc2
2
E = c m0c2 + p2
Pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej, m0=0
E
E = c 0 + p2 Ò! p =
c
hv
Pęd fotonu:
p =
c
Energia kinetyczna
Przykład 1. Elektron porusza się z prędkością v=0.9c.
Masa spoczynkowa elektronu m0=0.511 eV
K = mc2 - m0c2
1
2
Å‚ = = 2.2942 T = mc2 - m0c2 = 0.661 eV
v
ëÅ‚ öÅ‚
Ò!
2
Przypadek małych prędkości:
<< 0
ìÅ‚ ÷Å‚
1- ( )
0.9
c
íÅ‚ Å‚Å‚
n(n -1)
n
Przykład 2. Synteza trytu
Skorzystajmy z rozwinięcia :
(1+ x) = 1+ nx + x2 + Å"Å"Å"
2!
2 2 3 1
H + H H + H + energia
1 1 1 1
2
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 v2 3 v2 Å‚Å‚ îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
-1 2 1 v2 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= m0 ïÅ‚1+ + + Å"Å"Å"śł
m = m0(1- v2 c2) E" m0 ìÅ‚ ÷łśł energia = 4.03eV = 6.45×10-13 J
ìÅ‚ ìÅ‚
2 c2 ÷Å‚ 8 c2 ÷Å‚ śł ïÅ‚1+ ìÅ‚ c2 ÷Å‚ûÅ‚
ïÅ‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 m0v2 1
ìÅ‚
K E" + - m0 ÷Å‚c2
ìÅ‚m0 2 c2 ÷Å‚ = m0v2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 3.
Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa o masach
spoczynkowych
m1 i m2. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.
Energia całkowita układu
Mc2 = E1 + E2
2 2
pęd:
p1 + p2 = 0 Ò! p1 = p2
2 2 2
E1 = c m1 c2 + p2 Ò! p2 = E1 - m1 c4
2 2 2 2 2 2 2 2
E1 - m1 c4 = E2 - m2c4 Ò! E1 - E2 = c4(m1 - m2 )
2 2
E1
( - E2 E1 + E2 = c4(m1 - m2 )
)( )
1
2 2
E1 - E2 = Å"c4(m1 - m2 )
Mc2
E1 + E2 = Mc2