Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Wykład FIZYKA II
10. Szczególna teoria względności
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Mechanika newtonowska (nazywana też mechaniką klasyczną)
dobrze opisywała rzeczywistość dla prędkości niewielkich w
porównaniu z prędkością światła.
W przypadku ruchu z prędkościami porównywalnymi z
prędkością światła poprawną jest natomiast mechanika
relatywistyczna, zwana też szczególną teorią względności.
Mechanika newtonowska jest tylko przybliżeniem mechaniki
relatywistycznej - tym lepszym, im mniejsze są prędkości ciał, których
ruch rozpatruje.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TEORIA WZGLDNOŚCI
Teoria względności zajmuje się pomiarami zdarzeń: ustalenia gdzie
i kiedy one zachodzą; ponadto zajmuje się transformacjami wyników
pomiarów tych wielkości między poruszającymi się względem siebie
układami odniesienia.
Szczególna teoria względności dotyczy tylko inercjalnych układów
odniesienia.
Głównymi postulatami teorii względności (stworzonej przez Einsteina)
są obserwowalne fakty:
1) Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia
prawa fizyki są takie same.
2) Prędkość światła jest taka sama dla dowolnego obserwatora,
również poruszającego się względem zródła, emitującego to światło.
W próżni:
c = 2,998108 m / s
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TEORIA ETERU
Teorie XIX-wieczne zakładały, że światło rozchodzi się w jakimś
hipotetycznym ośrodku, zwanym eterem. W tym przypadku tylko w
układzie, który by spoczywał względem eteru, byłaby spełniona
równość:
vświatla = c
Dla obserwatora, poruszającego się względem eteru z
r rprędkością v ,
c + v
zmierzona prędkość światła byłaby sumą tych prędkości: .
Eter miał być ośrodkiem fizycznym, ale nie posiadającym masy!
Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół
Słońca z prędkością liniową około 30 km/s
a więc muszą być w ciągu roku momenty,
gdy poruszałaby się ona względem eteru o tę
prędkość w jedną lub drugą stronę ->
powinno się zmierzyć prędkość światła różną
o 60km/s!
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA
Próba zmierzenia zmian w prędkości światła, gdy Ziemia porusza się
względem eteru:
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA
Gdy eter porusza się równolegle do kierunku obserwacji (kierunku
biegu światła):
Czas przebiegu impulsu świetlnego tam i z powrotem między
zródłem światła i zwierciadłem:
-1
D D 2D ć v2
t = + =
1-
c - v c + v c c2 ł
Ł
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA
Gdy eter porusza się prostopadle
do kierunku obserwacji (kierunku
biegu światła):
Czas przebiegu impulsu:
-1 2
2D ć v2
t'=
1-
c c2 ł
Ł
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA
Różnica czasu dla przebiegu prostopadłego i równoległego:
Dv2
t - t'
c3
D =1m v = 30km/ s
Dla: i
mamy: (ok.: )
1 40l
t - t' 3,310-17 s
Michelson i Morley: Brak zmian w obrazie interferencyjnym!
Wniosek: Prędkość światła nie dodała się do prędkości Ziemi.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA
Próby wyjaśnienia wyników doświadczenia Michelsona i Morleya:
- eter przypadkowo porusza się względem układu słonecznego z
prędkością równa prędkości Ziemi podczas obiegu Słońca ->
doświadczenie powtórzono pół roku pózniej, z podobnym rezultatem;
- Ziemia pociąga za sobą lokalny obszar eteru -> gwiazdy
musiałyby zmieniać swoje położenia w ciągu roku -> przeczą temu
obserwacje astronomiczne;
- zmiana praw elektryczności taka, aby światło było zawsze
emitowane z prędkością względem zródła fal EM -> przeczą temu
obserwacje astronomiczne gwiazd podwójnych.
Wniosek: prędkość światła jest taka sama względem zródła i
zwierciadeł interferometru -> jest stała.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYLATACJA CZASU
Skonstruujmy zegar świetlny:
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYLATACJA CZASU
Dla obserwatora nieruchomego A droga, którą impuls świetlny
przebywa w zegarze B jest dłuższa:
2 2 2
(cT) = (vT) + (ct )
a stąd:
T = gt
gdzie:
1
g
v2
1-
c2
Dla nieruchomego obserwatora A czas ten jest dłuższy niż czas między
t
tyknięciami zegara spoczywającego , nazywanego czasem własnym
układu czasem między zdarzeniami, które obserwator widzi w tym samym
punkcie przestrzeni.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYLATACJA CZASU
g
Ta zmiana czasu o czynnik nazywana jest dylatacją czasu. Jest
to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji zegara
świetlnego . Tak więc również wszystkie procesy fizyczne (i
chemiczne; i biologiczne!) muszą być spowalniane w ruchu.
Przykład:
Czas połowicznego rozpadu próbki promieniotwórczej musi podlegać
spowolnieniu. (piony o ).
t1 2 =1,810-8 s
Zegar Mssbauera (1960):
Fotony z rozpadu promieniotwórczego izotopu żelaza w krysztale żelaza
10-16 s
dokładności mierzenia czasu rzędu . Przesunięcie czasu ujawnia się
jako wzrost liczby tempa zliczania fotonów.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TRANSFORMACJE LORENTZA
Wyobrazmy sobie dwa układy współrzędnych, poruszające się
v
względem siebie z prędkością :
y
Układ XY
y
Układ
v
primowany
x
v
x
x'= x + vt y'= y z'= z t'= t
W mechanice klasycznej byłoby:
Szukamy takiej transformacji współrzędnych, żeby w obu układach
współrzędnych wiązka światła miała prędkość, czyli:
jeśli: to również:
x = ct
x'= ct'
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TRANSFORMACJE LORENTZA
Otrzymamy ostatecznie transformacje, które spełniają nasze
postulaty, w postaci:
ćt v x
x'= g (x + vt)
t'= g +
1
g
c2
Ł ł
v2
Są to tzw. transformacje Lorentza.
1-
c2
Podobnie wyglądają transformacje przeciwne:
ćt'- v x'
t = g
x = g (x'-vt')
c2
Ł ł
W teorii względności czas bywa nazywany czwartym wymiarem
widać, że wielkości x i mogą zostać ze sobą przemieszane zależnie
ct
od prędkości obserwatora. Matematycznie wielkości te zachowują się
w ten sam sposób!
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYLATACJA DAUGOŚCI
Wyobrazmy sobie teraz pręt o długości , spoczywający w układzie
L'
primowanym , poruszającym się względem układu XY z prędkością .
Zmierzymy długość tego pręta w układzie XY.
y
x1'= gx1 + gvt1
y
x2'= gx2 + gvt2
v x2
x1
x
a stąd:
x
L
x1
x2
x2'-x1'= g (x2 - x1)+ gv(t2 - t1)
t2 = t1 ), więc:
Pomiar powinien być dokonany w tym samym czasie (
L' x2'-x1'= g (x2 - x1) gL
albo:
1
L = L'= 1- v2 c2 L'
g
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
JEDNOCZESNOŚĆ
W opisanym eksperymencie skróceniu uległ pręt poruszający się
(podobnie dla dylatacji czasu: zmienił się czas trwania zjawiska)
ale przecież ruch ze stałą prędkością nie wyróżnia w żaden sposób
żadnego układu jako bezwzględnego , a w obu obserwatorzy
zauważą skrócenie pręta!
Przyczyną fizyczną tego, że pręt wydaje się krótszy dla obu
obserwatorów jest fakt, że zdarzenia jednoczesne dla jednego
obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego (w opisanym
przykładzie założyliśmy, że położenie obu końców zostało zmierzone
równocześnie!).
Jeżeli więc dwa zdarzenia zachodzą w obrębie czasu krótszym
niż potrzebuje światło, aby przebiec między nimi, kolejność
zajścia obu wydarzeń jest nieokreślona zależy od prędkości
obserwatora! Można sprawić, przez wybór odpowiednio
poruszającego się obserwatora, że zdarzenia rzekomo pózniejsze
będą poprzedzały te przeszłe !
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYLATACJA DAUGOŚCI
A' B'
B A
A' B'
A' B'
A = A'
A = A'
B A
B A
A' B' A' B'
A = B' B = A'
B A
B A
A' B' A' B'
B = A' A = B'
B A
B
A
A' B' A' B'
B = B' B = B'
B A
B A
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
INTERWAA CZASOPRZESTRZENNY
Zdefiniujmy interwał czasoprzestrzenny jako:
DS12
2 2
DS12 = c2(Dt12) -(Dl12)
2 2 2
gdzie:
Dl12 = (Dx12) + (Dy12) + (Dz12)
jest klasyczną odległością między dwoma punktami.
Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji
Lorentza:
DS12 = DS12'
(w mechanice klasycznej: zarówno czas między zdarzeniami jak i
odległość przestrzenna są zachowane niezależnie!).
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
INTERWAA CZASOPRZESTRZENNY
Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest większy od zera:
2 2
2
DS12 = c2(Dt12) -(Dl12) > 0
nazywamy interwałem typu czasowego.
Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to zawsze jedno z nich poprzedza drugie
(zachowana jest kolejność ich zachodzenia w czasie), niezależnie od wyboru układu
współrzędnych. Dla takiego interwału nie istnieje układ inercjalny, w którym zdarzenia mogłyby
zajść w tym samym czasie, ale istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejscu.
Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest mniejszy od zera:
2 2
2
DS12 = c2(Dt12) -(Dl12) < 0
nazywamy interwałem typu przestrzennego.
Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to nie istnieje taki układ inercjalny, w którym
zdarzenia mogłyby zajść w tym samym miejscu, ale istnieje układ, w którym zdarzenia te zajdą w tym
samym czasie.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
CZASOPRZESTRZEC
(x, y, z) t
Współrzędne przestrzenne i współrzędna czasowa wszystkich
możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie
odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń o
(ct, x, y, z)
współrzędnych . Inaczej nazywamy ją czasoprzestrzenią
lub przestrzenią Minkowskiego.
Czasoprzestrzeń traktuje się jako czterowymiarową przestrzeń
pseudoeuklidesową odległość między punktami w tej przestrzeni
może być zarówno liczbą rzeczywistą jak, i urojoną!
t
x=ct
x=-ct
absolutna przyszłość
x
absolutne oddalenie
absolutna przeszłość
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
PARADOKS BLIyNIT
Zgodnie z obliczona dylatacją czasu dla obiektów poruszających się z
prędkością przyświetlną, zegary i wszystkie procesy fizyczne (życie!)
na statku kosmicznym, poruszającym się z prędkością v , spowolnione
2 v
są razy.
b =
1- b
c
Można by wyjaśnić ten fakt tym, że obserwator lecący rakietą widzi
skróconą odległość do przebycia, więc zajmuje mu to mniej czasu, niż
wychodziłoby to z obliczeń obserwatora stacjonarnego .
Paradoksalnie jednak obserwator w rakiecie mógłby powiedzieć, ze to
Ziemia oddala się od niego z dużą prędkością, więc on zaobserwuje zegary
ziemskie chodzące wolniej!
Wyjaśnienie paradoksu leży w fakcie, że zagadnienie nie ma pełnej
symetrii : poruszający się rakietą kosmonauta zmienia układ odniesienia
podczas powrotu na Ziemię!
Obserwacje weryfikujące paradoks blizniąt :
ogrzany zegar Mssbauera;
zegar podróżujący na pokładzie samolotu dookoła świata.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
PRDKOŚĆ RELATYWISTYCZNA
Dodawanie prędkości według Einsteina:
ćt v
Transformacje Lorentza:
t'= g + x
x'= g (x + vt)
c2
Ł ł
Różniczkując wyrażenia na te współrzędne czasoprzestrzeni:
ćdt + v dx
dt'= g
dx'= g (dx + vdt)
c2
Ł ł
i dzieląc je przez siebie, otrzymamy:
dx' dx + vdt ux + v
= = ux'
dt' dt +(v c2)dx 1+(v c2)ux
gdzie: ux = dx dt
Jest to wzór Einsteina na dodawanie prędkości.
v
Dla ux = c mamy: ux'= c bez względu na !
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
PD RELATYWISTYCZNY
r r
p = mu
Klasyczna definicja pędu:
Taka definicja pędu, w połączeniu z transformacją Einsteina dla prędkości
r
nie zapewni nam jednak spełnienia zasady zachowania pędu! ( jest
u
prędkością cząstki).
Nowa definicja pędu (która zapewni prawdziwość zasady
zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu
współrzędnych) podana przez Einsteina:
1
g (u)
r r
u2
p = mg (u)u
1-
c2
(uwaga! Podobieństwo oznaczeń, ale TO zależy od prędkości cząstki , a
u
g (u)
v
nie od prędkości poruszania się układu współrzędnych!).
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
PD RELATYWISTYCZNY
Dla tak zdefiniowanego pędu, możemy podać również zasady
transformacji przy zmianie układu współrzędnych:
E E' E
px'= gpx + gb = g + gbpx
c c c
gdzie:
E mg (u)c2 i E' mg (u')c2
px E c
t
Wielkości i transformują się podobnie jak para: i !
x
px
Wielkość oznacza składową pędu w kierunku prędkości
transformującej z jednego układu współrzędnych do drugiego.
E
Einstein utożsamił wielkość z energią cząstki zakładając, że
wielkości pędu i energii powinny się zachowywać względem siebie
jak położenie i czas.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ENERGIA RELATYWISTYCZNA
Podana definicja pędu w przypadku prędkości dużo mniejszych od
prędkości światła przechodzi w definicję klasyczną:
(v << c) (px = mg (u)ux mux)
Energia zdefiniowana przez Einsteina też powinna ulec takiej
transformacji, a więc:
-1 2
ć
ć u2
(v << c) E = mg (u)c2 m 1- c
c2 ł
Ł
Ł ł
Dla małych prędkości możemy jeszcze skorzystać z rozwinięcia w
szereg wyrażenia na energię. Otrzymamy wtedy:
ć u2 mu2
E m 1+
c2 = mc2 +
2c2 ł 2
Ł
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ENERGIA RELATYWISTYCZNA
Przypomnijmy wzór na rozwinięcie nowej definicji energii:
mu2
E = mc2 +
2
Drugi człon jest klasyczną energią kinetyczną energią cząstki
swobodnej o prędkości u . Pierwszy człon jest natomiast pewną stałą,
którą według praw mechaniki klasycznej można dodać jako dowolną
wartość do całkowitej energii ciała (por. pojęcie energii potencjalnej!).
Według Einsteina ten pierwszy człon:
E0 mc2
ma sens energii spoczynkowej ciała wielkości, której istnieniu
zawdzięczamy m.in. bombę atomową...
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
MASA RELATYWISTYCZNA
Można sformułować definicję pędu relatywistycznego cząstki na
sposób klasyczny jako:
r r
p = m(u)u
jeśli wprowadzimy pojęcie masy relatywistycznej:
m
m(u)
1- u2 c2
m
gdzie jest masą spoczynkową cząstki.
Masa relatywistyczna to inaczej energia relatywistyczna podzielona
przez stałą c2 - masa relatywistyczna układu odosobnionego jest
zachowana, podczas gdy masa spoczynkowa, zawarta w
indywidualnych cząstkach, może się zmieniać (zasada zachowania
energii).
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
RÓWNOWAŻNOŚĆ MASY I ENERGII
Według przewidywań Einsteina, spoczywająca masa m zawiera
olbrzymią ilość energii:
E0 = mc2
Nawet zmniejszenie masy spoczynkowej cząstki (np. w wyniku rozpadu
promieniotwórczego tzw. defekt masy) o niewielką ilość spowodowałoby
Dm
wyzwolenie potężnej energii.
Przykład:
Energia węgla:
1g
a) spalonego klasycznie w elektrociepłowni:
Espalania = (10-3kg)(7000cal)(4,18 J cal) = 2,9104 J
b) uzyskana z wyzwolenia z masy spoczynkowej:
2
E0 = (10-3kg)(3108 m s) = 91013 J
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
RELATYWISTYCZNA ENERGIA KINETYCZNA
Definicja energii kinetycznej: część energii całkowitej cząstki,
wynikająca z ruchu cząstki (a więc związana z jego prędkością)
definicja prawdziwa zarówno w mechanice klasycznej, jak i
relatywistycznej.
W mechanice relatywistycznej możemy więc obliczyć energię
kinetyczną jako różnicę między energią całkowitą a energią
spoczynkową:
ć u2 -1 2 ł
Ek = Ec - mc2 = mc2 1- -1
ę ś
ę ś
Ł c2 ł
Dla małych prędkości wykorzystujemy rozwinięcie dwumianu:
n
lim(1- e ) =1- ne
e 0
1
co daje nam ostatecznie znane wyrażenie:
Ek = mu2
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ZWIZKI MIDZY ENERGI A PDEM
Korzystając z wprowadzonych definicji relatywistycznego pędu i
energii (dla przypomnienia):
-1 2 -1 2
ć u2 ć u2
r r
p = m 1- u E = m 1- c2
c2 ł c2 ł
Ł Ł
możemy znalezć związki między pędem i energią w ujęciu relatywistycznym:
E
r r
a) dzieląc stronami:
p = u
c2
E2 - p2c2 = m2c4
u
b) rugując z obu równań prędkość cząstki :
Taka postać równań na pęd i energię implikuje jeszcze jeden ważny fakt,
podstawowy dla mechaniki relatywistycznej: żadna cząstka materialna
(m>0) nie może osiągnąć prędkości światła, gdyż wtedy jej pęd i energia
wzrosłyby do nieskończoności.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
CZSTKI O ZEROWEJ MASIE SPOCZYNKOWEJ
Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej! Należą
do nich np. fotony kwanty promieniowania elektromagnetycznego.
Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak cząstki ze względu
na to, że mają one pęd i energię, choć nie mają masy właśnie masy
spoczynkowej!
Korzystając ze związku:
E2 - p2c2 = m2c4
i podstawiając m=0 otrzymamy: E
p =
c
czyli związek między pędem i energią takiej bezmasowej cząstki,
analogiczny do postulowanego przez de Broglie a!.
E
r r
Korzystając z kolei ze związku:
p = u
c2
stwierdzimy, że prędkość cząstki o masie spoczynkowej równej 0 musi
wynosić c!
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SIAA RELATYWISTYCZNA
Wygodnie jest również w mechanice relatywistycznej zdefiniować siłę
tak, żeby III zasada dynamiki Newtona była słuszna dla dwóch
oddziaływujących cząstek. Z kolei ze względu na zasadę zachowania
r
pędu, pozostawimy definicję siły jako:
r
dp
F
dt
Przy takiej definicji jednak wartość i kierunek siły będą zależeć od
prędkości poruszającego się obserwatora!
Efekty, potwierdzające takie podejście, zostały zaobserwowane
r w
elektrodynamice pokazano, że np. stacjonarne pole elektryczne jest
E
widziane przez poruszającego się obserwatora jako pole magnetyczne o
r
r
r r
indukcji równej:
v
B
( w układzie CGS)
B = E
c2
r r
Fizycznie pola i dla poruszających się obserwatorów przechodzą wzajemnie jedno w
E B
drugie, a więc powinno się o nich myśleć jako o jednym polu elektromagnetycznym w
elektrodynamice współczesnej zwykło się nawet traktować pole magnetyczne jako
relatywistyczną manifestację pola elektrycznego!
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
OGÓLNA TEORIA WZGLDNOŚCI
Podany dotąd przepis na mechanikę relatywistyczną nazywamy
szczególną teorią względności. Została ona całkowicie opracowana przez
Einsteina w 1905 r.
Ogólna teoria względności była opracowana pózniej, poczynając od 1911
r., przez Einsteina. Jest ona nowoczesną, relatywistyczną teorią grawitacji.
Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest
równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie
odróżnić jednej od drugiej).
Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność masy
odkształca otaczającą ją przestrzeń i wobec tego poruszające się w takiej
przestrzeni ciała mają tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie
spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń ( normalne w ruchu
krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitacyjnych!
Inną konsekwencją tej teorii są np.:
powiększenie się długości fali światła emitowanego przez zródło, mające
masę grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni;
zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względnościCzy ogólna teoria względności dopuszcza perpetuum mobile pierwszego rodzajuOgólna teoria względnościWytrzymałość Materiałów II teoriateoria względności 2WZWF teoria wzglednosci7 Szczegolna Teoria WzglednosciWYKŁ08 Szczeg teoria względności9 szczególna teoria wzglednosciF2 W11 Teoria względności wstępF3 teoria wzglednosciTeoria względnościteoria wzglednosciINTYMNA TEORIA WZGLEDNOSCI J L Wisniewskiwięcej podobnych podstron