ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII
WZGL
DNOŚCI
Wstęp
- mechanika klasyczna (oparta na zasadach dynamiki
Newtona) poprawnie opisuje zjawiska dla v<- w zjawiskach atomowych, jądrowych i w astrofizyce vH"c
i zamiast mechaniki klasycznej musimy stosować me-
chanikę relatywistyczną opartą na szczególnej teorii
względności opracowanej przez Einsteina.
Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechaniką re-
latywistyczną, a stanowi jej szczególny przypadek (dla
małych prędkości).
Zasada względności (sformułowana za czasów Galileusza:
- Niemożliwe jest odróżnienie dwóch układów będących w
ruchu jednostajnym prostoliniowym - czyli inercjalnych.
- Nie istnieją układy wyróżnione.
- Spoczynek i ruch są względne.
- Prawa przyrody (w szczególności fizyki) w układach in-
ercjalnych przebiegają dokładnie jednakowo.
801
TRANSFORMACJA GALILEUSZA
(Obowiązująca dla v << c)
Rozpatrzmy dwa układy XYZ oraz X'Y'Z' poruszające się
w stosunku do siebie ze stałą prędkościa V=Vx (V<kierunku osi X. Spróbujemy teraz opisać zjawiska widzia-
ne z dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia.
Przykład - ruchome schody
transformacja Galileusza
Y Y'
x = x'+Vt' x'= x - Vt
V=vx
y = y' y'= y
,
z = z' z'= z
t = t' t'= t
X X'
"t = "
" "
" "t ,
" "
oraz L = L'.
Z Z'
OBL. prędkość i przyspie-
szenie w obydwu układach.
dx dx d(x'+Vt')
vx = f(vx'): vx = = = = v'x +V
dt dt' dt'
r
r r
v = v'+V
lub ogólnie (*)
802
r
r r r
r dv dv' dV dv' r
a = = + , = a ,
dt dt dt dt
r
r r
dV
a = a'
= 0 bo V=Const,
dt
r
r
F = ma ,
r
r
F'= ma',
r r
r r
dp dp'
F = F' oraz =
dt dt
Wszystkie prawa Fizyki są jednakowe w inercjalnych
układach odniesienia.
803
PR
DKOŚĆ ŚWIATA
A W UKA
ADACH INERCJALNYCH
Jaka będzie prędkość rozchodzenia światła w układzie
nieruchomego obserwatora gdy człowiek porusza się z
pr. V z latarką w ręku.
Y Y'
c' - pr światła w ukł.
poruszającym się
(c'=3�108 ms-1),
c'
c - pr światła w ukła-
V=vx
dzie nieruchomym.
X X'
Zastosujmy TG:
c = c' + V,
a zatem c > c' ??
Z Z'
- Dotychczas nie zaobserwowano v>c!!
- Prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i po-
winna być taka sama we wszystkich układach odnie-
sienia = 2.988�"108 m/s.
U podstaw szczególnej teorii względności leżą następu-
jące fakty doświadczalne:
- c jest niezmienne w układach inercjalnych,
- c jest maksymalną prędkością przesyłania sygna-
łów,
- zasada względności Galileusza dla dużych v nie
jest spełniona,
- wielkości takie jak L, t, m nie są niezmienne.
804
TRANSFORMACJA LORENTZA
Transformacja  wzory przekładające spostrzeżenia
jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy
znalez
ć transformację współrzędnych, ale taką, w której
obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie
nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t')
poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie po-
ruszać się z prędkością c.
Transformacja Lorentza.
x'+Vt' x - Vt
x = , x'= ,
2
V2
V
1-
1-
c2
c2
y'= y,
y = y',
z = z', z'= z,
V V
podstawmy
t'+ x' t - x
c2 c2
t'= .
t = .
2
V2
V
1-
1-
c2
c2
1
ł = ,
�ł V2 �ł
�ł1 - �ł
�ł
c2 �ł
�ł łł
x = ł(x'+Vt'), x'= ł(x - Vt),
y = y', y'= y,
z = z', z'= z,
V V
�ł
805
t = ł�ł t'+ x'�ł. t'= ł�ł t - x
�ł �ł �ł �ł
c2 c2
�ł łł �ł łł
V
podstawmy � =
c
x = ł(x'+�ct'), x'= ł(x - � ct),
y = y', y'= y,
z = z', z'= z,
�x' �x
�ł. �ł
t = ł�ł t'+ t'= ł�ł t -
�ł �ł �ł �ł
c c
�ł łł �ł łł
dla małych V (V<x = ł(x'+Vt'),
x =1(x'+Vt'),
y = y',
z = z',
V
t = ł�ł t'+ x'�ł,
�ł �ł
c2
�ł łł
0
t =1�ł t'+ x'�ł.
�ł �ł
c2 łł
�ł
x = x'+Vt'
y = y'
z = z'
t = t'
Czyli dla V< 806
NAST
PSTWA TRANSFORMACJI LORENTZA
(A). DODAWANIE PR
DKOŚCI
x = ł(x'+�ct') / d( ) zróżniczkujmy obustronnie
�x'
�ł
t = ł�ł t'+ / d( ) zróżniczkujmy obustronnie
�ł �ł
c
�ł łł
dx = łdx'+ł�cdt'
:
�
dt = łdt'+ł dx'
c
dx łdx'+ł�cdt' / : dt'
vx = =
ł�
dt / : dt'
łdt'+ dx'
c
dx' V
+ �c v'x + c
v'x +�c
dt' c
vx = = =
� dx' v'x�"� v'x �"V
1 + �" 1 + 1 +
c dt' c c2
v'x +V
vx =
v'x �"V
1 +
c2
807
Pozostałe składowe:
dy dy'
vy = = /:dt'
ł�
dt
łdt'+ dx'
c
dy'
v'y
dt'
vy = = ,
ł� dx' ł�
ł + �" ł + �" v'x
c dt' c
v'y
v'z
vy = , podobnie vz =
V �" v'x V �" v'x
�ł �ł
ł�ł1 + ł�ł1 +
�ł �ł �ł �ł
c2 łł c2 łł
�ł �ł
ostatecznie:
v'x +V vx + V
vx = v'x =
v'x �"V vx �" V
1 + 1 +
c2 c2
v'y vy
vy = v'y =
V �" v'x V �" vx
�ł �ł
ł�ł1 + ł�ł1 +
�ł �ł �ł �ł
c2 łł c2 łł
�ł �ł
v'z vz
vz = v'z =
V �" v'x V �" vx
�ł �ł
ł�ł1 + ł�ł1 +
�ł �ł �ł �ł
c2 łł c2 łł
�ł �ł
808
Przykład C
Jaka będzie prędkość vx (w ukł. laboratoryjnym) fotonu
powstałego w wyniku rozpadu mezonów Ą0 rozpędzonych
do prędkości �=v/c=0,99975 w ośrodku CERN (pod Ge-
newą)?
klasycznie
Y Y'
vx=V+c czyli vx>c?
c + V c + V
c'
vx = = = c
Vc c + V
1 +
kier x
V
c2 c
X X'
zwróćmy uwagę, że dla
V<1+Vc/c21, vxH"v'x+V jak
Z Z'
w TG.
c jest niezmienne w układach inercjalnych,
c jest maksymalną prędkością przesyłania sygnałów.
v(t) dla stałej siły działającej na ciało o masie m
809
Prędkość klasyczna
1
Prędkość relatywistyczna
v/c
Przedział mechaniki klasycznej
0
t
810
V/c
(B). DYLATACJA CZASU - WYDA
UŻENIE CZASU
Wez
my zegar Z0' spoczywający w układzie układzie po-
ruszającym się w kierunku x' z prędkością V, dla którego
odstęp czasu pomiędzy dwoma np. uderzeniami wynosi
"t' = t2' - t1'.
Obl. czas (odstęp czasu) mierzony w układzie labora-
toryjnym (nieporuszającym się) "t=?.
DANE: "t',
�x
�ł
Z TL: t'= ł�ł t - ,
�ł �ł
c
�ł łł
Y'
�x'
�ł.
V
lub t = ł�ł t'+
�ł �ł
Y
c
�ł łł
ukł.
��" "x
�ł
porusz.
"t'= ł�ł"t - lub
�ł �ł
c
�ł łł
X' ��" "x'
�ł
ukł.
"t = ł�ł"t'+
�ł �ł
c
X
�ł łł
x1
lab.
x
Z'
Z treści wynika, że
Z
zegar spoczywa w
ukł poruszającym się tzn. "x'=0 ("x`"0 - nie musi być w
tym samym miejscu)
"t = ł �""t'
dla "x'=0
811
dla Vc, ł" a zatem "t" lub inaczej
"t>"t' (np. gdy "t'=14 lat to "t= 50 lat).
To jest - dylatacja czasu!!
Wnioski:
- czas mierzony w ukł. poruszającym "płynie wolniej",
- poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar
w spoczynku.
812
Przykład P PARADOKS BLIy
NI
T (W-T 105)(WW
W swoje 21 urodziny Piotr zostawia swego brata bliz
-
niaka Pawła na Ziemi i udaje się w podróż kosmiczną z
prędkością V=24/25c w kierunku X na 7 lat swego czasu
własnego.
Następnie zmienia kierunek ruchu i wraca przez na-
stępne 7 lat czasu własnego z tą samą prędkością.
a). Ile lat ma Piotr w chwili powrotu?
b). Ile lat ma Paweł w chwili spotkania?
24
Dane: V = c, "t'= 2 �" 7lat , "x'= 0 , "t0 = "t'0 = 21lat
25
Y'
Y
kier x
V
X X'
Paweł
Piotr
Z
Z'
813
V"x'
�ł
"t = ł�ł"t'+
wz.: �ł �ł, nadaje się, bo z treści zadania
c2 łł
�ł
wynika, że "x'= 0 .
"t = ł"t'
Zatem:
"t' 14lat 14
"t = = H" lat H" 50 lat podróży
2
28
V2
24
�ł �ł
1-
1-
�ł �ł
c2
25
�ł łł
Paweł Piotr
lot: 50 lat, 14 lat
wiek: (21+50) lat=71 lat, (21+14) lat = 35 lat
Wniosek:
Piotr po powrocie z wyprawy jest jeszcze wystarczająco
młody, aby studiować Teorię Względności.
814
Przykład C Czas życia mezonów (Kitel s.392)
Dodatni pion Ą+ rozpada się na mezon �+ i neutrino �0.
Ą �
Ą �
Ą �
Ą+ �ł� + �0
�ł�+
Zatem pion jest cz. nietrwałą o masie 273m0 i spoczyn-
kowym czasie życia �0 H" 2,5�10-8s.
�
�
�
W laboratorium Lawrence'a w Berkeley, przy pomocy
bavetatronu rozpędzano piony do prędkości 0,99995c
(ł
łH"100).
ł
ł
Obl. czas życia �=? pionów po rozpędzeniu obserwowa-
�
�
�
ny w układzie laboratoryjnym.
czas własny = czasowi życia:
�0 = �'= "t'= 2,5�"10-8s , "t = ł �" "t'
� = ł �" �'H" 100�" 2,5�"10-8s H" 2,5�"10-6s,
� H" 100 �" �'
Odp: czas życia mezonów Ą+ po rozpędzeniu jest 100 ra-
Ą
Ą
Ą
zy dłuższy.
W rzeczywistym eksperymencie nie mierzy się czasu, a
drogę "swobodną" (ślad) pionów, która dla układu rozpę-
dzonego jest dłuższa.
815
(C). SKRÓCENIE DA
UGOŚCI
KONTRAKCJA DA
UGOŚCI
Obl. dł. pręta obserwowaną w układzie laboratoryjnym
(nieruchomym) wiedząc, że pręt o długości L'="x'=1m
spoczywa w kierunku X/X' w układzie poruszającym się z
prędkością V=0,99995c (ł
łH"100) w kierunku osi X/X',
ł
ł
obl.: L="x=?
Y'
Y
ukł. porusz.
V
"x'=1 m
X'
x'
x'
2
1
ukł. lab.
x1 "x=? x2 X
Z'
"t=0
Z
z TL: x'= ł(x - Vt) lub x = ł(x'+Vt')
"x'= x'2 -x'1, a "x = x2 - x1.
"x'= ł("x - V �" "t) lub "x = ł("x'+V �" "t') ???
Jeżeli interesuje nas wynik pomiaru w układzie Lab. (nie-
ruchomym) to należałoby przeprowadzić pomiar położe-
816
nia obu końców poruszającego się metrowego pręta w
tym samym czasie w układzie Lab. Tzn. obydwa zdarze-
nia pomiaru obydwu końców pręta powinny być jedno-
czesne:
Zdarzenie A - koniec 1 pręta przelatuje w pobliżu pewnego zegara
dokładnie w południe,
Zdarzenie B - koniec 2 pręta przelatuje w pobliżu innego zegara,
ale też dokładnie w południe.
Zatem: "t=0 ("t'`"0) i wybieramy r-nie:
"x'= ł("x - V �" "t)
"x'= x'2 -x'1 = ł(x2 - x1) = ł �" "x ,
x'2 -x'1
lub inaczej "x = x2 - x1 =
ł
L'
"x'
L =
"x = ,
ł
ł
dla V c , ł " to L 0
L < L' "x < "x'
L = L'/ł = 1m/100 = 0,01m, czyli
Długość L mierzona w układzie laboratoryjnym jest krót-
sza od 1m (maleje - kontrakcja długości -skrócenie Lo-
rentza).
A jak wygląda skrócenie w kierunkach Y i Z?
Wg TEORII WZGL
DNOŚCI : ruch wpływa na wyniki pomiaru.
Zamieniając układy XYZ i X'Y'Z' otrzymamy rezultaty odwrotne do
ww., tzn.: "x'<"x oraz "t'>"t.
817
(D). NIEZMIENNICZOŚĆ INTERWAA
U
CZASOPRZESTRZENNEGO
Jeśli zgodnie z TWzględności wszystkie wielkości są
względne, to CO JEST STAA
E?
Podstawowym pojęciem w miernictwie jest miejsce
(współrzędna w przestrzeni), natomiast w fizyce relatywi-
stycznej - zdarzenie.
Zdarzenie jest określone nie tylko przez podanie miej-
sca, ale i czasu, w którym wystąpiło.
Zdarzenie jest opisane interwałem czasoprzestrzen-
nym:
2 2 2
("S) = (c �" "t) - ("r) ,
2 2 2
("S') = (c �" "t') - ("r') ,
2 2 2
gdzie "r2 = ("x) + ("y) + ("z) ,
2 2 2
"r'2 = ("x') + ("y') + ("z') .
okazuje się, że:
2 2
("S) = ("S')
kuliste czoło fali.
818
Jeżeli zał. ruch w kierunku osi X, tzn: "y="y', "z="z'
2 2 2 2
(c �" "t) - ("x) = (c �" "t') - ("x')
.
Interwał czasoprzestrzenny jest niezmienniczy.
Kolokalność - "x=0,
Koczasowość - "t=0.
- Równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna
- W układzie nieruchomym dwa zdarzenia nie muszą
być jednoczesne.
819
TRANSFORMACJA MASY (Mas.606)
Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy
transformacji z jednego układu odniesienia do innego jest
uwzględnienie zależności masy ciała m od jego prędkości
V, danej następującym wyrażeniem
m0
m(V) =
m0 - masa spoczynkowa (masa nie-
V2 ruchomego ciała).
1-
c2
Dla dużych V, gdy V c, to ł" , a zatem m".
r
r r m0 �" v
p = m �" v =
V2
1-
c2
820
RÓWNOWAŻNOŚĆ MASY I ENERGII
Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest
spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem,
że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi
związek
En = mc2
Równanie Einsteina opisujące równoważność masy
i energii.
Związek łączy ZZEnergii z ZZMasy.
Jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie zmniejszona o
"m, to nastąpi wyzwolenie energii " "mc2.
" " "
" "En = "
" " "
m0c2
En = mc2 =
V2
1-
c2
1
-
1
�ł
1 �ł V2 2
-
2
= �ł1- �ł jest wyrażeniem typu (1 - x)
V2 �ł c2 �ł
�ł łł
1-
c2
Szereg potęgowy - rozwinięcie:
821
n(n +1) n(n +1)(n + 2)
-n
(1- x) =1+ nx + x2 + x3 + ...
2! 3!
1
1 1�" 3 1�" 3 �" 5
-
2
dla n=1/2 (1 - x) =1+ x + x2 + x3 + ...
2 2 �" 4 2 �" 4 �" 6
1 V2 3 V4
En = m0c2 + m0c2 + m0c2 + ... + wyrazy...wyż
2 c2 8 c4
składniki > od 2 są zaniedbywalnie małe
1
En = m �" c2 H" m0c2 + m0V2 = E0 + Ek
2
Jeśli uwzględnić energię potencjalną:
En H" E0 + Ek + U
1
En H" m0c2 + m0V2 + U
2
En H" E0 + Ek + U
Energia całkowita En ciał jest sumą:
- energii spoczynkowej E0 = m0c2 , związanej z jego
masa spoczynkową,
- energii kinetycznej Ek, ciała poruszającego się z
prędkością V,
822
- energii potencjalnej U, zależnej od wyboru układu
odniesienia (poziomu odniesienia).
En
En = mc2
Jeśli , to m =
c2
1
En H" m0c2 + m0V2 + U / :c2
2
m = m0 + mk + mp
masa = m. spoczynk. + m. kinet. + m. potencjalna
PRZEKSZTAA
CENIE LORENTZA DLA POLA
ELEKTROMAGNETYCZNEGO
Wszystkie wielkości fizyczne podlegają transformacji.
Tym samym również właściwości pola elektro-
magnetycznego są różne w różnych inercjalnych ukła-
dach odniesienia.
Zostanie to omówione po wprowadzeniu równań Maxwel-
la dla pól E-M, w 2 semestrze.
823
1
ł =
�ł �ł
V2 ,
�ł - �ł
�ł1 c2 �ł
�ł łł
x = ł(x'+Vt'), x'= ł(x - Vt),
y = y', y'= y,
z = z', z'= z,
V V
t = ł�ł t'+ x'�ł. t'= ł�ł t - x�ł
�ł �ł �ł �ł
c2 c2
�ł łł �ł łł
(V< (VH"c, �=V/c 1, to ł"), TL!
824