7. Szczególna teoria względności.
Wybór i opracowanie zadań 7.1-7.9: Barbara Kościelska
Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.
7.1. Czy można znalez
ć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod
Grunwaldem zaszłyby:
a) w tym samym miejscu,
b) w tym samym czasie?
7.2. W tym samym miejscu korony słonecznej w obrębie 12 s nastąpiły dwa wybuchy.
Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała obydwa te
zdarzenia w odstępie 13 s.
a) Z jaką prędkością porusza się rakieta?
b) Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z
poruszającą się rakietą?
7.3. Dwie cząstki o jednakowych prędkościach v = 0,75 c poruszają się po jednej prostej i
padają na tarczę. Jedna z nich uderzyła w tarczę o "t= 10-8 s póz
niej niż druga. Obliczyć
odległość między tymi cząstkami w locie w układzie odniesienia związanym z nimi.
7.4. Długość nieruchomego pociągu jest dokładnie taka sama jak długość tunelu i wynosi L0.
Pociąg ten jedzie z prędkością v. Jak długo będzie trwał przejazd pociągu przez tunel według
pasażera siedzącego w pociągu oraz według turysty stojącego koło tunelu? Czas przejazdu
określamy jako odstęp czasu pomiędzy momentem, kiedy czoło pociągu mija wlot tunelu i
chwilą gdy koniec ostatniego wagonu znajduje się przy końcowej krawędzi tunelu.
7.5. Mezony �, które powstają w górnych warstwach atmosfery poruszają się w kierunku
Ziemi z prędkością v = 0,9c (c-prędkość światła w próżni). Po przebyciu drogi L (mniejszej
niż grubość atmosfery) mezony rozpadają się. Obliczyć:
(a) czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią oraz w układzie związanym
z mezonem,
(b) grubość warstwy atmosfery, jaką przebędzie mezon, mierzoną w układzie mierzonym z
mezonem.
7.6. Układ K porusza się z prędkością u względem nieruchomego układu odniesienia K. W
układzie K pręt poruszający się względem niego z prędkością v = 2u ma długość L. Jaka jest
długość tego pręta w układzie K ? Długość spoczynkowa pręta w obu układach jest taka
sama.
7.7. Sztywny pręt o długości L2 = 1,5 m znajduje się w spoczynku względem układu K2. Jaka
będzie długość L1 i orientacja pręta �1 w układzie K1, jeżeli w układzie K2 pręt tworzy kąt �2 =
45� z osią x2 i układ ten porusza się z prędkością v = 0,98c.
7.8.* Jaką maksymalną prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna mogła być
napisana w postaci E = 0,5m0v2 z błędem nie przekraczającym 1%.
7.9. Dowieść, że cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o
indukcji B będzie zataczać okrąg o promieniu R = (2E0EK + EK2)1/2/(qcB), gdzie E0 jest
energią spoczynkową, a EK energią kinetyczną cząstki.
Rozwiązania:
7.1.R. Załóżmy, że Gniezno, w którym odbył się w roku 966 (chwila czasu t1) Chrzest Polski,
ma w przestrzeni w układzie współrzędnych związanym z Ziemią położenie x1, natomiast w
chwili czasu t2 (1410 rok) odbyła się w punkcie o współrzędnej x2 Bitwa pod Grunwaldem.
Wiemy, że w układzie współrzędnych związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innych
miejscach i innym czasie. Załóżmy, że istnieje jakiś inny układ odniesienia, poruszający się
względem naszego z prędkością v. Przyjmijmy, że w tym nowym układzie współrzędnych
Chrzest Polski miał miejsce w punkcie x1' w chwili czasu t1', zaś Bitwa pod Grunwaldem w
punkcie x2' w chwili t2'.
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt1 x2 - vt2
' '
(1) x1 = , x2 = .
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym miejscu, czyli:
' '
x1 = x2 .
Wówczas prawe strony równań (1) też będą sobie równe:
x1 - vt1 x2 - vt2
= ,
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
x - vt = x - vt ,
1 1 2 2
skąd:
x - x
2 1
(2) v = .
t - t
2 1
Układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu przestrzeni musiałby
poruszać się względem naszego układu z prędkością v opisaną wzorem (2).
(b) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v v
t1 - x1 t2 - x2
' '
c2 , c2 .
(3) t1 = t2 =
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym czasie, czyli:
' '
t1 = t2 .
Wówczas prawe strony równań (3) też będą sobie równe:
v v
t1 - x1 t2 - x2
c2 c2 ,
=
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
v v
t1 - x1 = t2 - x2 ,
c2 c2
skąd:
t2 - t1
(4) v = c2 .
x2 - x1
Otrzymana prędkość (4) nowego układu współrzędnych jest większa od prędkości światła w
próżni, czyli układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym czasie nie istnieje.
7.2.R. Oznaczmy współrzędną miejsca w którym zaszły na Słońcu dwa wybuchy przez x1, a
przedział czasu między nimi t2 - t1 = "t = 12 s (gdzie t1 i t2 są chwilami czasu, w których
nastąpił odpowiednio pierwszy i drugi wybuch. Przyjmijmy, że w układzie związanym z
rakietą wybuchy na Słońcu nastąpiły w miejscach o współrzędnych x1' oraz x2', w chwilach
czasu odpowiednio t1' oraz t2' (t2' - t1' = "t' =13 s).
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v v
t1 - x1 t2 - x2
' '
c2 , c2 .
t1 = t2 =
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
Wówczas czas między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
v v
t2 - x1 - t1 - x1 t2 - t1
' '
c2 c2
t2 - t1 = = ,
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
czyli:
"t
"t' = ,
2
v
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
skąd prędkość, z jaką porusza się rakieta:
"t2
(1) v = c 1- .
"t'2
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt1 x1 - vt2
' '
x1 = , x2 = .
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
Wówczas odległość między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
x1 - vt1 - x1 + vt2 v(t2 - t1) v "t
' '
x1 - x2 = = = .
2 2 2
v v v
�# ś# �# ś# �# ś#
1- 1- 1-
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
c c c
�# # �# # �# #
gdzie v jest prędkością rakiety opisaną równaniem (1).
7.3.R. Niech x1 i x2 oznaczają współrzędne cząstek w układzie odniesienia związanym z
tarczą, natomiast x1' i x2' współrzędne cząstek u układzie odniesienia związanym z nimi.
Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1 - vt x2 - vt
' '
x1 = , x2 = .
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
Wówczas odległość między cząstkami w układzie odniesienia związanym z nimi:
x2 - vt - x1 + vt x2 - x1
' '
(1) x2 - x1 = = .
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
Odległość między cząstkami w układzie związanym z tarczą:
(2) x2 - x1 = v "t ,
gdzie "t jest czasem zmierzonym pomiędzy uderzeniami cząstek o tarczę w układzie
współrzędnych związanym z tarczą. Wstawiając (2) do (1) otrzymamy:
v "t
' '
x2 - x1 = = 3,4 m .
2
v
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
7.4.R. Odpowiedz
: według obu obserwatorów (pasażera pociągu i turysty stojącego koło
tunelu) czas przejazdu pociągu wynosi:
2
�# ś#
L
0
ś#1+ 1- �# v ś# ź#
t = .
ś# ź#
ś# ź#
v c
�# #
�# #
7.5.R. Odpowiedz
:
(a) Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią:
L
t = .
v
Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z mezonem:
2
L v
�# ś#
t = 1- .
ś# ź#
v c
�# #
(b)
2
v
�# ś#
L = L 1- .
ś# ź#
atm. 0
c
�# #
7.6.R. Długość L' pręta w układzie K' wynosi:
2
v'
�# ś#
(1) L'= L 1- ,
ś# ź#
0
c
�# #
gdzie v' jest prędkością pręta w układzie K', a L0 jego długością spoczynkową. Długość L0
pręta możemy obliczyć znając jego długość L oraz prędkość 2u w układzie K:
L
(2) L = .
0
2
2u
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
Prędkość pręta w układzie K':
2u - u u
(3) v'= = .
2 2
2u 2u
1- 1-
2 2
c c
Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymamy:
2
u
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
L'= L .
2
u
1- 2�# ś#
ś# ź#
c
�# #
7.7.R. Długość L1 pręta rozkładamy na dwie
składowe L1x i L1y, równoległe odpowiednio do
osi x1 i y1 układu K1. Wówczas otrzymamy:
2 2
(1) L1 = L1 + L1 .
x y
Składowa L1y jest prostopadła do kierunku
wektora prędkości v układu K2, i mierzona z
układu K1 nie będzie doznawać skrócenia.
Czyli:
(2) L = L = L sin� ,
1y 2 y 2 2
gdzie L2y jest składową długości pręta L2 równoległą do osi y2 układu K2. Składowa L1x jest
równoległa do kierunku wektora prędkości v układu K2, i mierzona z układu K1 ulegnie
skróceniu:
2 2
v v
�# ś# �# ś#
(3) L = L 1- = L cos� 1- ,
ś# ź# ś# ź#
1x 2 x 2 2
c c
�# # �# #
gdzie L2x jest składową długości pręta L2 równoległą do osi x2 układu K2. Podstawiając (2) i
(3) do (1) otrzymamy:
2
v
�# ś#
2
L = L 1- cos � = 1,08m.
ś# ź#
1 2 2
c
�# #
Orientacja pręta w układzie K1 będzie określona wzorem:
L
tan�
1y
2
tan� = = ,
1
2
L
1x v
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
skąd po podstawieniu wartości liczbowych:
� = 78,7�.
1
7.8.R.* Oznaczmy przez Ekl energię kinetyczną w ujęciu klasycznym, zaś przez Erel energię
kinetyczną w ujęciu relatywistycznym. Wówczas:
1
2
(1) Ekl = m v ,
0
2
2
m c 1
2 2 2 2
0
(2) Erel = mc - m c = - m c = m c ( -1) .
0 0 0
2 2
v v
�# ś# �# ś#
1- 1-
ś# ź# ś# ź#
c c
�# # �# #
Rozwijając pierwszy składnik równania (2) w szereg dwumianowy i biorąc pod uwagę
pierwsze trzy składniki rozwinięcia otrzymamy:
2 4
1 1 v 3 v
�# ś# �# ś#
=1+ + .
ś# ź# ś# ź#
2
2 c 8 c
�# # �# #
v
�# ś#
1-
ś# ź#
c
�# #
Podstawiając powyższe rozwinięcie do równania (2) otrzymamy:
2 4
1 v 3 v m0c2v2 3m0c2v4
�# ś# �# ś#
Erel = m0c2(1+ + -1) = + ,
ś# ź# ś# ź#
2 c 8 c 2c2 8c4
�# # �# #
4 4
1 3m v 3m v
2
0 0
(3) E = m v + = E + .
rel 0 kl
2 2
2 8c 8c
Dzieląc równanie (3) stronami przez Ekl otrzymamy:
2
E 3 v
�# ś#
rel
= 1+ ,
ś# ź#
E 4 c
�# #
kl
czyli aby energia kinetyczna mogła być zapisana klasycznie z błędem nie większym niż 1%:
2
3 v
�# ś#
d" 0,01,
ś# ź#
4 c
�# #
v d" 0,12c .
7.9.R. Cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o indukcji B
będzie poruszać się po okręgu o promieniu R. Mamy więc:
mv2
= qvB ,
R
mv = p = qBR ,
gdzie p jest pędem cząstki. Wówczas:
p
(1) R = .
qB
Energię całkowitą E cząstki można wyrazić poprzez jej pęd:
2
(2) E2 = E0 + p2c2 ,
lub przez sumę energii spoczynkowej E0 i kinetycznej EK:
E = E0 + EK ,
skąd po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymamy:
2 2
(3) E2 = E0 + 2E0EK + EK .
Z równań (2) i (3):
2 2 2
E0 + p2c2 = E0 + 2E0EK + EK ,
1
2
(4) p = 2E0EK + EK .
c
Podstawiając (4) do (1) otrzymamy:
2
2E0EK + EK
R = .
qcB