7.1.1. Przedmiot dynamiki
Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych.
Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także - po ich
odpowiednim przekształceniu - do układu punktów materialnych, ciała sztywnego
i bryły sztywnej.
Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a, na który
działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:
m a = F . (7.1)
Powyższe równanie jest dynamicznym
z
m
równaniem ruchu punktu materialnego.
Jeżeli wektor wodzący
r
F
rozpatrywanego punktu materialnego
poprowadzony z początku O
nieruchomego układu współrzędnych x,
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to,
O
jak wiadomo z kinematyki,
przyśpieszenie a jest drugą pochodną y
względem czasu wektora wodzącego.
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:
x
d2 r
Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod
m = F . (7.2)
2
działaniem siły
dt
Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.
d2x d2y d2z
m = Fx , m = Fy , m = Fz . (7.3)
dt2 dt2 dt2
W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego r, czyli
współrzędnymi punktu materialnego, a Fx, Fy, Fz współrzędnymi siły F w
przyjętym układzie współrzędnych.
Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym
przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które
omówimy w następnych punktach.
7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki
Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również
znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy
równanie ruchu punktu materialnego w postaci:
r = r(t),
to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy
przyśpieszenie tego punktu:
d2 r
a =
dt
i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:
d2 r
F = m . (7.4)
2
dt
Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyz
nie xy
zgodnie z równaniami ruchu: x = 3cos2Ąt,y = 4sinĄt , gdzie t jest czasem.
Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych
punktu x, y.
Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny,
które wyrażają wzory:
d2x d2y
Fx = m , Fy = m . (a)
dt2 dt2
Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy:
d2x
= -12Ą2cos2Ąt = -4Ą2x,
2
dt
d2 y
= -4Ą2sinĄt = -Ą2 y.
2
dt
Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:
Fx = -4mĄ2x, Fy = -mĄ2y.
7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki
Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu
materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest
odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod
nazwą - zagadnienie odwrotne dynamiki.
Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć
równanie ruchu punktu r = r(t) przy znanej sile F, należy scałkować równanie
różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań
różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest
jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe
całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane
warunkami początkowymi) w pewnej chwili t0 (w chwili początkowej):
d r(t0 )
r(t0 ) = r0 , = v0 . (7.5)
dt
Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu
materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na
punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości v
punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci:
d2 r
m = F(t,r,v). (7.6)
dt2
Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu
układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne
i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie
znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub
numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych
przykładów, w których siła F będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej
zmiennej - czasu, położenia lub prędkości.
Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły
F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); jeżeli
czas t = 0, to r(0) = r0 i v(0) = v0.
Rozwiązanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) możemy
przedstawić w postaci:
d2 r F d v F
= lub = .
dt2 m dt m
Po scałkowaniu otrzymamy:
F F
v = = t + C1 . (a)
+"dt
m m
Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym całkowaniu mamy:
F F
�#
r = t + C1 ś#dt = t2 + C1 t + C2 . (b)
+"ś# m ź# 2m
�# #
Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z podanych warunków początkowych przez
podstawienie do równań (a) i (b) r(0) = r0 oraz v(0) = v0 dla t = 0
C1 = v0, C2 = r0.
Ostatecznie prędkość punktu oraz równanie ruchu mają postać:
F
�#
v = v0 + t,
�#
m
(c)
Ź#
F
2
r = r0 + v0 t + t .�#
2m �#
Z otrzymanych rezultatów wynika, że gdy siła F będzie równa zeru, to punkt
będzie się poruszał zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem
jednostajnym po linii prostej.
Przykład 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza się po linii prostej
wzdłuż osi Ox (rys. 7.2) pod wpływem siły F = 10 1 - t N , gdzie t jest czasem
( )
[ ]
liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma się i jaką drogę
przebędzie w tym czasie, jeżeli w chwili początkowej t = 0 jego prędkość
v0 = 20 cm/s.
Rozwiązanie. Ponieważ punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox,
dynamiczne równanie jego ruchu możemy zapisać w postaci skalarnego równania
różniczkowego
.
F
m
x
0
d2x
m = F,
x
2
dt
s
d2x
m = 10(1- t)
2
Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu
dt
materialnego
lub
d2x 10
= (1 - t). (a)
2
dt m
Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy prędkość punktu:
2
�# ś#
dx 10 t
ś#
v = = t - ź#
+ C1 . (b)
ś# ź#
dt m 2
�# #
Po podstawieniu do równania (b) warunku początkowego v = v0 dla t = 0
wyznaczamy stałą całkowania C1 = v0. Zatem prędkość punktu wyraża wzór:
�# ś# �# ś#Ą#
dx 10 t2 t2
ś#
. (c)
v = = v0 + t - ź# ś#
= 0,2 +10ś# t - ź#ó#mń#
ś# ź# ź#Ł# Ą#
dt m 2 2 s
Ś#
�# # �# #
Czas, po którym punkt się zatrzyma, obliczymy, podstawiając we wzorze (c) v = 0.
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na czas t:
t2 - 2t - 0,04 = 0 . (d)
Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego
otrzymujemy czas, po którym punkt się zatrzyma: t1 = 2,02 s. Drogę przebytą przez
punkt materialny obliczymy, całkując równanie (b) w granicach od 0 do t1.
t1
2
Ą# ń#
�# ś# t1
10 t 5 �# ś#
s = + t - ź#Ą#
0
+"ó#v m ś# 2 #Ś#dt = v0t1 + m t1ś#1- ź# = 10,74m.
ś# ź#
3
�# #
�#
0 Ł#
Przykład 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyciągany do środka O z siłą
o wartości P = ąm/x4 (rys. 7.3), gdzie ą jest wartością stałą. Wyznaczyć prędkość
punktu w chwili, gdy jego odległość x = OM od punktu O będzie równa x0/2,
jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x = x0, v = v0 = 0.
 Rozwiązanie. Na rozpatrywany punkt
m
P x
0
działa tylko siła P, wobec tego jego
M M
x o
równanie różniczkowe ma postać:
x
o
d2x ąm
m = - ,
2 4
dt x
Rys. 7.3. Wyznaczenie prędkości
punktu materialnego
czyli
d2x ą
= - . (a)
2 4
dt x
Po podstawieniu w powyższym równaniu:
d2x dv dv dx dv
= = = v
dt2 dt dx dt dx
otrzymamy:
dv ą
v = - ,
4
dx x
a po rozdzieleniu zmiennych
dx
vdv = -ą . (b)
4
x
Po scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x0 do x0/2
otrzymamy:
1
x0
v
2
dx
,
+"vdv = -ą +" 4
x
0 x0
v2 7ą
= .
2 3x3
0
Stąd prędkość punktu
14ą
v = . (c)
3x3
0
Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.
Przykład 7.5. Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością
początkową v0 = 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przy
prędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnie
najwyższe położenie H. Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s2.
Rozwiązanie. Na ciało działają siły ciężkości
x
i oporu powietrza i obie są skierowane
v=0
w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys.
v
7.4). Zatem równanie różniczkowe ruchu ma
m
postać:
G
H
R
d2z
m = -mg - 0,4v,
2
dt
V
0
a po podstawieniu danych liczbowych możemy O
napisać:
Rys. 7.4. Rzut pionowy z
dv
uwzględnieniem oporu powietrza
= -(10 + 0,2v). (a)
dt
Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:
dv
= -dt . (b)
10 + 0,2v
Po scałkowaniu tego równania w granicach od v0 do 0 oraz od 0 do t,
uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu
otrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie:
0 t
1 0,2dv
= -
+"10 +"dt,
0,2 + 0,2v
v0 0
10 + 0,2v0
t = 5ln = 5ln1,6 = 2,35s.
10
7.1.4. Zasada d Alemberta
Po przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchu
punktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy:
F- m a = 0.
Po wprowadzeniu do tego równania zamiast -ma fikcyjnej siły zwanej siłą
bezwładności lub siłą d Alemberta, Pb = -ma , otrzymamy zasadę d Alemberta
dla punktu materialnego:
F+ Pb = 0 , (7.7)
którą słownie wyrażamy następująco:
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny
jest w każdej chwili równa zeru.
Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładności
zagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagi
sił.
Przedstawioną wyżej zasadę d Alemberta dotyczącą swobodnego punktu
materialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych. W tym celu
rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk i przyśpieszeniach ak. Na
poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siły
zewnętrzne i wewnętrzne.
Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2)
siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłami
zewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących do
naszego układu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono siły działające na dwa
punkty o masach mk i ml. Siły zewnętrzne zastąpiono tutaj siłami wypadkowymi Pk
i Pl, a siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez Fkl i
Flk. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły te są równe co do wartości, ale mają
przeciwne zwroty: Fkl =- Flk .
-mkak
z
mk
Pk
Fkl
Pl
Flk
rk
ml
rl
-mlal
O
y
x
Rys. 7.5. Siły zewnętrzne, wewnętrzne i bezwładności działające na punkty układu
materialnego
Siłę Fk działającą na k-ty punkt możemy przedstawić w postaci sumy siły
zewnętrznej Pk i wypadkowej wszystkich sił wewnętrznych Pwk:
Fk = Pk + Pwk , (7.8)
gdzie
n
Pwk = . (7.9)
kl
"F
l=1
l`"k
Po oznaczeniu siły bezwładności działającej na rozważany punkt przez
Pbk = -mk ak
zasadę d Alemberta dla dowolnego punktu układu materialnego możemy
przedstawić w postaci równania:
Pk + Pwk + Pbk = 0 (k = 1,2,...,n). (7.10)
Suma sił zewnętrznych, wewnętrznych oraz siły bezwładności działających na
dowolny punkt układu materialnego jest w każdej chwili równa zeru.
Jeżeli równanie (7.10) napiszemy dla każdego punktu materialnego i dodamy
stronami, to otrzymamy:
n n n
(a)
"P + "P + "P = 0 .
k wk bk
k=1 k=1 k=1
Występująca w tym równaniu suma wszystkich sił wewnętrznych dowolnego
układu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:
n
(7.11)
"P = 0 .
wk
k=1
Zatem równanie (a) przyjmie postać:
n n
+ = 0 . (7.12)
"Pk "Pbk
k=1 k=1
Pomnóżmy teraz wektorowo każde z n równań (7.10) przez wektor wodzący rk
i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy
równanie momentów:
n n n
� Pk + � Pwk + � Pbk = 0 . (b)
"rk "rk "rk
k=1 k=1 k=1
Ponieważ siły wewnętrzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, działają parami
Fkl =- Flk , i wzdłuż jednej prostej, to suma momentów tych sił dla całego układu
materialnego względem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru:
n
� Pwk = 0 (7.13)
"rk
k=1
i równanie (b) przyjmuje postać:
n n
� Pk + � Pbk = 0 . (7.14)
"rk "rk
k=1 k=1
Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiają zasadę d Alemberta dla
układów materialnych, którą można sformułować następująco:
Suma sił zewnętrznych i sił bezwładności dla danego układu materialnego oraz
sumy momentów tych sił względem nieruchomego bieguna redukcji w każdej chwili
są równe zeru.
Przykład 7.6. Punkt materialny M o ciężarze G = 10 N, zawieszony w
nieruchomym punkcie O na lince o długości OM = s = 30 cm, tworzy wahadło
stożkowe, tzn. zatacza okrąg w płaszczyz
nie poziomej, przy czym linka tworzy z
pionem kąt ą= 60o (rys. 7.6a). Wyznaczyć siłę F w lince oraz prędkość v punktu
M.
a) b) y
O
O
ą
ą
F
B
a
v
A x
A
G
M
Rys. 7.6. Wyznaczenie siły w lince i prędkości punktu
Rozwiązanie. Na punkt materialny działa siła ciężkości G, siła w lince F oraz
siła bezwładności (odśrodkowa) B = -m a , gdzie a jest przyśpieszeniem
dośrodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasadą d Alemberta (7.10) suma tych sił musi
być równa zeru:
G+ F+ B = 0 .
Z rzutu tych sił na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:
�#
= -Fsiną + ma = 0,�#
"Pkx
(a)
Ź#
= Fcosą - G = 0.
�#
"Pky
�#
Z drugiego równania otrzymujemy siłę w lince:
G 10
F = = = 20 N .
cosą cos60o
Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przyśpieszenie
dośrodkowe:
v2 v2
a = =
AM ssiną
otrzymamy równanie:
G v2
- Fsiną + = 0 .
g ssiną
Stąd prędkość punktu M
F gs 9,81�" 0,3
v = gssiną = siną = sin60o = 2,1m / s .
G cosą cos60o
7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu sił. Energia potencjalna
Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą
układu sił do rozpatrywanego układu
z A1
materialnego w czasie jego ruchu.
A P
Celem ogólnego zdefiniowania
ą
pracy rozpatrzymy ruch punktu
dr
r
materialnego po torze
krzywoliniowym pod wpływem siły A2
P. Punkt przyłożenia A siły P jest
O
opisany wektorem wodzącym r
y
(rys. 7.7).
Pracą elementarną siły P na
x
przesunięciu elementarnym ds,
równym przyrostowi promienia Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy
wodzącego dr, nazywamy iloczyn
skalarny siły P i przemieszczenia dr:
dL = P�" d r (7.15)
lub korzystając z definicji iloczynu skalarnego
dL = Pdrcosą = (Pcosą)dr . (7.16)
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul równy pracy 1 niutona na przesunięciu
1 metra:
J = N�" m = kg �" m2 �" s 2,
a w układzie technicznym kilogram siły razy metr:
1 kG �"m = 9,81 J.
Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie używanym na
oznaczenie różniczki zupełnej należy pamiętać, że praca elementarna nie jest na
ogół różniczką zupełną żadnej funkcji.
Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) można sformułować poniższe wnioski.
a) Pracę wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, a praca składowej
normalnej jest równa zeru.
b) Wartość pracy może być zarówno dodatnia, jak i ujemna: dla /2 jest
dodatnia, a dla ą> Ą/2 ujemna.
c) Jeżeli na punkt materialny działa układ sił Pk, których suma jest równa
n
wypadkowej W = , to praca tej siły na przesunięciu elementarnym dr jest
k
"P
k=1
równa sumie prac elementarnych poszczególnych sił na tym przesunięciu:
dL = W�" d r = P1�" d r+ P2 �" d r+ �" �" �" �" + Pn �" d r .
n
d) Praca elementarna siły P na przesunięciu wypadkowym d r = rk jest
"d
k=1
równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych:
dL = W�" d r = P�" d r1 + P�" d r2 + �" �" �" �" + P�" d rn .
Jeżeli wektory występujące po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za
pomocą współrzędnych:
P = Px i+ Py j+ Pz j, d r = dx i+ dy j+ dzk,
to pracę elementarną możemy przedstawić w postaci:
dL = Pxdx + Pydy + Pzdz . (7.17)
Jeżeli punkt przyłożenia A siły P przemieści się po krzywej od punktu A1 do
A2, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez siłę P będzie całką
krzywoliniową:
L12 = P�" d r = (Pxdx + Pydy + Pzdz). (7.18)
+"+"
A1A2 A1 A2
Występująca w powyższym wzorze siła może w ogólnym przypadku być
funkcją czasu t, położenia w przestrzeni punktu A oraz prędkości tego punktu.
Współrzędne siły P będą zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich
pochodnych względem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) możemy podstawić:
dx dy dz
dx = dt,dy = dt,dz = dt
dt dt dt
i zamiast całki krzywoliniowej otrzymamy całkę oznaczoną w granicach
całkowania od t1 do t2
t2
dx dy dz
�# ś#dt
L = (7.19)
x
+"ś#P dt + Py dt + Pz dt ź# .
�# #
t1
Ze względu na zastosowania bardzo ważny jest przypadek, gdy siła P jest
jedynie funkcją położenia (miejsca):
P = P(r),
a jej współrzędne są wziętymi ze znakiem minus pochodnymi cząstkowymi funkcji
U względem współrzędnych x, y, z:
"U "U "U
Px = - , Py = - , Pz = - . (7.20)
"x "y "z
Wykażemy, że funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca
elementarna siły o współrzędnych (7.20)
�# "U "U "U ś# �# "U "U "U ś#
ź# ź#
dL = P�" d r = -ś# i+ j+ k �" d r = -ś# dx + dy + dzź# .
ś# ź# ś#
"x "y "z "x "y "z
�# # �# #
Wyrażenie występujące w nawiasie po prawej stronie powyższego równania jest
różniczką zupełną funkcji U:
"U "U "U
dU = dx + dy + dz . (7.21)
"x "y "z
Z matematyki wiadomo, że całka krzywoliniowa z różniczki zupełnej jest równa
różnicy wartości końcowej i początkowej zróżniczkowanej funkcji. Zatem pracę
wykonaną przez siłę P na jej przemieszczeniu z punktu A1 do A2 wyraża wzór:
L12 = - = -(U2 - U1) = U1 - U2. (7.22)
+"dU
A1A2
Widzimy, że praca wykonana przez siłę opisaną wzorem (7.20) na
przemieszczeniu jej z położenia początkowego do końcowego jest równa ubytkowi
funkcji U. Funkcję tę nazywamy potencjałem albo energią potencjalną, siłę P
spełniającą warunek (7.20) siłą potencjalną lub zachowawczą, a pole sił polem
potencjalnym lub zachowawczym.
Potencjał w określonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, którą wykonują
siły potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do
punktu, w którym potencjał jest równy zeru. Ponieważ punkt ten może być obrany
dowolnie, potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C. Wnika to z
tego, że funkcja:
2
U = U + C
również spełnia zależności (7.20) i (7.22).
Ze wzoru (7.22) wynikają dwie ważne własności sił potencjalnych.
a) Praca siły potencjalnej nie zależy od toru jej punktu przyłożenia, lecz jedynie
od położenia tego punktu w chwilach początkowej i końcowej.
b) Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa ubytkowi energii
potencjalnej wynikającemu z przemieszczania się punktu przyłożenia siły. Wynika
stąd również, że praca po torze zamkniętym jest równa zeru.
7.1.6. Przykłady sił potencjalnych
Siły sprężystości
Wykażemy obecnie, że siły odkształcenia sprężystego są siłami potencjalnymi.
W tym celu rozpatrzymy sprężynę śrubową, której koniec A jest unieruchomiony,
a koniec B może się przemieszczać wzdłuż osi Ox (rys. 7.8). Założymy, że w
chwili, gdy sprężyna nie jest napięta, koniec B pokrywa się z punktem O.
x
P
B x
A O
Rys. 7.8. Przykład siły sprężystej wykonującej pracę
Jeżeli wydłużymy sprężynę o wartość x, to zgodnie z prawem Hooke a będzie
ona działać na punkt B siłą P proporcjonalną do wydłużenia:
P = -kx i ,
gdzie współczynnik proporcjonalności k jest nazywany stałą sprężyny, a znak
minus oznacza, że siła P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia
sprężyny.
Z powyższego wzoru wynika, że współrzędna siły P jest funkcją tylko
współrzędnej x:
P = -kx ,
zatem potencjał U musi spełniać równanie:
"U dU
= = -P = kx .
"x dx
Po scałkowaniu tego równania w granicach od O do x1 otrzymujemy wzór na
potencjał siły sprężystej:
x1
1
2
U = = kx1 . (7.23)
+"kx 2
0
Pracę siły sprężystej na skończonym przesunięciu, np. od 0 do x, można
obliczyć ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U1 = 0. Zatem
1
2
L12 = -U2 = - kx1 . (7.24)
2
Siły ciężkości
Jeżeli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobliżu powierzchni
Ziemi o małych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to można przyjąć,
że na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się w tej przestrzeni działa
stała siła ciężkości:
G = mg,
gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim. Przy takim założeniu pole sił jest
jednorodnym polem sił ciężkości. Gdy w takim polu sił przyjmiemy układ
współrzędnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w górę, to zgodnie z rys. 7.9
współrzędne siły ciężkości G opisują zależności:
Gx = Gy = 0,Gz = -mg. (7.25)
Ze wzoru (7.20) wiadomo, że współrzędne sił potencjalnych są równe
pochodnym cząstkowym potencjału U względem współrzędnych wziętych ze
znakiem minus:
"U "U "U
G = - = 0, G = - = 0, G = - = -mg . (7.26)
x y z
"x "y "z
Z powyższych równań wynika, że potencjał U jest jedynie funkcją zmiennej z. Po
podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy różniczkę
potencjału pola sił ciężkości:
dU = mgdz,
a po scałkowaniu tego równania potencjał sił ciężkości
U = mgz + C , (7.27)
gdzie C jest dowolną stałą.
Ze wzoru (7.27) wynika, że dla z = const potencjał U jest również stały. Zatem
w przypadku sił ciężkości wszystkie punkty każdej płaszczyzny poziomej mają
taką samą wartość potencjału. Powierzchnie, których punkty mają te same wartości
potencjału, nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi.
Praca siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jest - zgodnie ze
wzorem (7.22) - równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i
końcowym:
L12 = U1 - U2 = mg(z1 - z2 ) = mgh , (7.28)
gdzie h jest różnicą wysokości (rys. 7.9).
z
A
A1
z
r
A
m
h
G
P
A2
O
y M
O y
x
x
Rys. 7.9. Praca siły ciężkości Rys. 7.10. Siła wzajemnego przyciągania
Siły wzajemnego przyciągania
Wykażemy, że siła, z jaką nieruchomy punkt materialny o masie M działa na
dowolny punkt materialny o masie m, jest siłą potencjalną. Zgodnie z prawem
powszechnego ciążenia (1.2) punkt M działa na punkt m i odwrotnie z siłą P o
wartości
Mm
P = k , (7.29)
r2
gdzie k jest stałą grawitacji, a r jest odległością masy m od nieruchomej masy M.
Jeżeli masę M umieścimy w początku układu współrzędnych x, y, z, a masę m
w punkcie A o wektorze wodzącym r (rys. 7.10), to siłę P można opisać wzorem:
Mm
P = -k 1r , (7.30)
r2
gdzie 1r jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r.
Gdy współrzędne wektora wodzącego r oznaczymy przez x, y, z, to
współrzędne siły P będą następujące:
Mm x Mm y Mm z
Px = -k , Py = -k , Pz = -k . (7.31)
r2 r r2 r r2 r
A
atwo wykazać, że potencjałem omawianego pola sił jest funkcja
Mm Mm
U x,y, z =-k + C =-k + C . (7.32)
( )
r
x2 + y2 + z2
przy czym C jest dowolną stałą. Aby siła P była potencjalna, jej współrzędne
(7.31) muszą spełniać wzory (7.20). Po zróżniczkowaniu funkcji (7.32) względem
x otrzymamy:
"U 1 2x kMmx Mm x
ś#
= -kMm�#- ź#
= = k = -Px .
ś#
3
2
"x 2 r2 r
2 r3
�# #
(x + y2 + z2)
Postępując podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:
"U Mm y "U Mm z
= k = -Py , = k = -Pz .
"y r2 r "z r2 r
Pracę wykonaną przez siłę P na przemieszczenie masy m z położenia 1 do 2
zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzględnieniu równania (7.32) zapiszemy w
następującej postaci:
�# ś#
1 1
ś#
. (7.33)
L12 = U1 - U2 = kMmś# - ź#
r2 r1 ź#
�# #
7.1.7. Moc i sprawność
Z technicznego punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy,
ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono
pojęcie mocy.
Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.
dL
N = . (7.34)
dt
Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem
(7.15) otrzymujemy wzór na moc siły P.
P�" d r
N = = P�" v . (7.35)
dt
Zatem moc siły jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu
przyłożenia.
Ze wzoru (7.34) widzimy, że między pracą elementarną dL i mocą N istnieje
prosty związek:
dL = Ndt.
Jeżeli siła P w chwili t1 znajduje się w punkcie A1, a w chwili t2 w punkcie A2
(rys. 7.6), to praca L12 wykonana przez tę siłę przy przemieszczeniu się po torze od
A1 do A2 będzie równa całce z mocy w granicach od t1 do t2:
t2
L12 = Ndt . (7.36)
+"
t1
Gdy na układ materialny działa układ n sił, to moc tego układu jest równa sumie
mocy poszczególnych sił:
n
N = (7.37)
"N .
k
k=1
Podstawową jednostką mocy w układzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc
siły, która pracę jednego dżula wykonuje w ciągu jednej sekundy:
1 W = J �" s 1.
W praktyce na określenie mocy silników i maszyn są używane większe
jednostki - kilowaty (kW) i megawaty (MW):�"
1 kW = 1000 W,
 1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W.
W technicznym układzie jednostek podstawową jednostką mocy jest kilogram
siły razy metr na sekundę:
1 kG �" m �" s 1.
Praktyczną jednostką mocy w tym układzie jest koń mechaniczny KM:
1 KM = 75 kG �" m �" s 1.
Między jednostkami mocy w układzie technicznym i w układzie SI istnieją
zależności:
1 kG �" m �" s 1 = 9,81 W,
1 KM = 75 �" 9,81 W = 0,736 kW,
1 W = 0,102 kG �" m �" s 1,
1 kW = 102 kG �" m �" s 1 = 1,36 KM.
Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje się pojęcie sprawności
mechanicznej. Wiadomo, że część mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest
tracona na pokonanie oporów istniejących w samym silniku (maszynie), a tylko
część jest zamieniana na moc użyteczną.
Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek mocy użytecznej Nu (lub pracy
Lu) do mocy włożonej Nw (lub pracy Lw):
Nu Lu
� = = . (7.38)
Nw Lw
Sprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność: 0 d" � d" 1.
7.1.8. Moc układu sił działających na bryłę sztywną
W poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły P działającej na punkt
materialny. Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych Pk, gdzie
k = 1, 2, .... , n, przyłożonych odpowiednio w punktach A1, A2, .... , An bryły
sztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układu
współrzędnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji) O2
umieścimy ruchomy układ współrzędnych x2 , y2 , z2 poruszający się razem z bryłą.
Układ sił Pk reprezentują wektor główny W i moment główny MO2 umieszczone
w biegunie redukcji O2 , a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości vO2
bieguna O2 i prędkości kątowej �.
z2 �
MO
y2
z
Pk
vO2
r 2
k
O2
Ak
W
vk
O
y
x2
x
Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywną
Zgodnie z definicją moc Nk siły Pk
Nk = Pk �" vk .
Prędkość dowolnego punktu Ak zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisać
w następujący sposób:
2
vk = vO2 + �� rk .
Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc Nk siły Pk oraz wykorzystaniu
własności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:
2 2 2
Nk = Pk �"(vO2 + �� rk ) = Pk �" vO2 + Pk �"(�� r ) = Pk �" vO2 + ��"(rk� Pk ).
Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu -
zgodnie ze wzorem (7.37) - mocy poszczególnych sił:
n n n n
2 2
N = = �" vO2 + ��"(rk � Pk )]= vO2 �" + ��" �Pk .
"Nk "[Pk "Pk "rk
k=1 k=1 k=1 k=1
Ostatecznie
N = W�" vO2 + MO2 �" � . (7.39)
Zgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze W jest wektorem
głównym, a MO2 momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanych
do bieguna redukcji O2 .
Wzór (7.39) można wyrazić słownie:
Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie
iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji
oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna
i prędkości kątowej.
7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy
punktu i jego prędkości:
mn
vn
vk
z
p = mv. (7.40)
m1 mk
Z powyższej definicji
vC
rCk
wynika, że pęd jest wektorem o
m2
rk
kierunku prędkości, a więc jest
v1
wektorem stycznym do toru
C
rC
punktu materialnego.
v2
Dla układu n punktów
O
materialnych o masach mk i
y
prędkości vk (rys. 7.12) pęd
będzie równy sumie pędów
x
poszczególnych punktów
Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego
materialnych:
n
p = vk . (7.41)
"mk
k=1
Wzór (7.41) można przedstawić w postaci:
n
d
p = (a)
"m rk .
k
dt
k=1
Widzimy, że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem
(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego
względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z :
n
S = rk = m rC . (b)
"m
k
k=1
Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)
możemy zapisać w postaci:
n
d S
p = vk = m vC = , (7.42)
"m
k
dt
k=1
gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego.
Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy
iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości vC środka masy C.
Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu.
Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu
materialnego względem nieruchomego punktu:
d S
p = . (7.43)
dt
Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p.
4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru.
Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach "mk i
traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu
otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty
materialne.
Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy
liczba elementów dąży do nieskończoności
n
d r d
p = lim vk = v dm = m = dm .
"mk
+" +" +"r
k"
dt dt
k=1
m m m
Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:
+"r dm = m rC .
m
Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:
d d rC
p = (m rC ) = m = m vC . (7.44)
dt dt
Widzimy zatem, że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest
równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.
7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu
Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach
mk i prędkości vk. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego
działają siły zewnętrzne i
z
vk
wewnętrzne. Na rysunku 7.13
mk
vc
zaznaczono siły działające na dwa
Pk
Fkl
punkty o masach mk i ml. Siły
Pl
zewnętrzne działające na te
C Flk
rk
punkty zastąpiono siłami
rC
ml
wypadkowymi Pk i Pl, siły
rl
v2
wzajemnego oddziaływania
O
między tymi punktami oznaczono
przez Fkl i Flk. y
Wypadkowa sił wewnętrznych
x
działających na punkt o masie mk
n
Rys. 7.13. Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające
Pwk = , (7.45) na punkty układu materialnego
"Fkl
l=1
l`"k
a wypadkowa wszystkich sił działających na ten punkt
Fk = Pk + Pwk. (7.46)
Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu
rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci:
d2 rk
mk = Pk + Pwk (k = 1,2,...,n). (7.47)
dt2
Po założeniu, że masa mk jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemy
przedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu mkvk punktu:
d2 rk d vk d(mk vk )
mk = mk = .
dt2 dt dt
Równanie (7.47) można obecnie zapisać następująco:
d(mk vk )
= Pk + Pwk (k = 1,2,...,n). (c)
dt
Jeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy:
n n n
d(mk vk )
= +
" "P "P ,
k wk
dt
k=1 k=1 k=1
a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to
n n n
d
vk = + . (d)
"mk "Pk "Pkz
dt
k=1 k=1 k=1
Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu
materialnego:
n
d
"m vk = d p .
k
dt dt
k=1
Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił
zewnętrznych:
n
W = ,
"Pk
k=1
a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układzie
materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:
n n n
= =0.
"Pwk ""Fkl
k=1 k=1 l=1
l`"k
Ostatecznie równanie (d) można zapisać w postaci:
d p
= W . (7.48)
dt
Równanie to przedstawia zasadę pędu układu punktów materialnych, którą
można wypowiedzieć następująco:
Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa
wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ.
W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten
układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:
t
p(t)- p(0)= W dt . (7.49)
+"
0
Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu.
Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy
popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.
Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównego
lub impulsem wektora głównego. Ta druga nazwa ma swoje uzasadnienie
zwłaszcza w przypadku sił krótkotrwałych, np. sił zderzeniowych. A
atwo
zauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:
W = 0,
popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż
pęd końcowy jest równy początkowemu:
p(t) = p(0),
czyli pęd układu materialnego jest stały:
p = const . (7.50)
Jest to zasada zachowania pędu:
Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny
jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.
Gdy pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m
i prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu:
m vC = const
wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie
nachylenia ą= 30o pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t)
(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P1 = 250 N zgodnie z
wykresem podanym na rys. 7.14b. Współczynnik tarcia między klockiem i równią
= 01. Obliczyć prędkość v1, jaką osiągnie ciało w chwili t1 = 3 s, jeżeli w chwili
,
t = 0 prędkość początkowa v0 = 10 m / s .
a) b)
N P
P(t) x
P1
T
G
ą
0
t
t1
Rys. 7.14. Wyznaczenie prędkości klocka
Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pędu i popędu (7.49).
W myśl tej zasady przyrost pędu klocka w czasie od t = 0 do t = t1 będzie równy
popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na niego:
t1
p(t1)- p(0) = dt .
+"W
0
Wektory z tego równania zrzutujemy na oś x równoległą do równi. Po
uwzględnieniu zależności (7.44) mamy:
t1
mv1 - mv0 = Wxdt . (a)
+"
0
Zgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich sił działających na klocek na oś x
Wx = P(t) - mgsiną - T = P(t) - mgsiną - �mgcosą , (b)
gdzie T = �N = �mgcosą . Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy:
t1 t1
mv1 - mv0 =
+"P(t)dt - mg+"(siną + �cosą)dt =
0 0
(c)
t1
=
+"P(t)dt - mg(siną + �cosą)t1.
0
Całka występująca w powyższym wzorze jest równa polu wykresu
przedstawionego na rys. 7.14b, czyli
t1
1
+"P(t)dt = P1t1 .
2
0
Po podstawieniu tej równości do (c) otrzymujemy wzór na prędkość v1:
P1t1
v1 = v0 + - g(siną + �cosą)t1 .
2m
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
250 �" 3
v1 =10 + - 9,81(sin30o + 0,1cos30o)3 = 2,1 m / s .
2 �" 40
7.2.3. Twierdzenie o ruchu środka masy
Pęd p w wyprowadzonym w poprzednim punkcie równaniu (7.48),
wyrażającym zasadę pędu, możemy przedstawić za pomocą iloczynu całkowitej
masy m układu materialnego i prędkości vC środka jego masy C. Otrzymamy
wówczas:
d p d(m vC ) d vC
= = m = W . (e)
dt dt dt
Występująca w tym równaniu pochodna prędkości środka masy względem czasu
jest przyśpieszeniem środka masy. Mamy więc:
maC = W . (7.51)
Po zapisaniu wektorów aC i W w układzie współrzędnych x, y, z:
aC = a i+ a j+ a k,
�#
Cx Cy Cz
(f)
Ź#
W = Wx i+ Wy j+ Wy k
�#
wektorowe równanie (7.51) możemy przedstawić w postaci trzech równań
skalarnych:
maCx = Wx ,maCy = Wy ,maCz = Wz . (7.52)
Wektorowe równania (7.51) i równoważne mu trzy równania skalarne (7.52) są
dynamicznymi równaniami ruchu środka masy. Pozwalają one na wyznaczenie
ruchu środka masy pod wpływem znanych sił zewnętrznych. Otrzymane równania
(7.51) lub (7.52) pozwalają na sformułowanie twierdzenia, znanego pod nazwą
twierdzenia o ruchu środka masy.
Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny o masie
równej całkowitej masie układu, na który działa siła równa wektorowi głównemu
sił zewnętrznych działających na ten układ.
Twierdzenie o ruchu środka masy wynika również z pierwszej całki zasady
pędu, czyli z zasady pędu i popędu przedstawionej w postaci:
t
m vC(t)- m vC(0) = W dt . (7.53)
+"
0
Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania ruchu środka masy, ale nie
pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków co do ruchu punktów należących do
układu względem środka masy.
 Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że siły wewnętrzne nie mogą
zmienić ruchu środka masy ani jego położenia.
Twierdzenie to odnosi się nie tylko do układu punktów materialnych, ale
również do ciała sztywnego i bryły. Nałożywszy bowiem na układ punktów
materialnych warunek, aby odległość dowolnych punktów układu była niezmienna,
otrzymujemy model ciała sztywnego.
7.2.4. Ruch układu o zmiennej masie
Do tej pory w rozważaniach dotyczących pędu układu materialnego
zakładaliśmy, że całkowita masa układu nie ulega zmianie w czasie ruchu. Obecnie
zajmiemy się ruchem układu materialnego, którego masa będzie się zmieniać z
upływem czasu poprzez odłączanie lub dołączanie elementów masy. Taka zmiana
masy układu będzie miała wpływ na jego ruch.
Typowym przykładem ruchu układu o zmiennej masie są rakiety, z których
w czasie pracy silnika następuje wypływ gazów spalinowych, a tym samym
zmniejsza się masa rakiety. Innym przykładem mogą być urządzenia do transportu
ciągłego ze zmieniającą się w czasie ilością przenoszonego materiału.
W dalszych rozważaniach ze zrozumiałych względów ograniczymy się
jedynie do wyprowadzenia równania ruchu ciała o zmiennej masie. Do ułożenia
równania ruchu wykorzystamy zasadę pędu (7.48) zapisaną w postaci:
d(m vC )
= W .
dt
(g)
Przyjmijmy, ze środek układu materialnego o masie m porusza się
względem układu odniesienia z prędkością vC i w pewnej chwili masa układu
zaczyna się zmieniać w sposób ciągły. Zakładając, że w czasie dt od układu
odrywa się (lub przyłącza do niego) masa elementarna dm z prędkością
bezwzględną vb, określimy elementarną zmianę pędu. W chwili początkowej t pęd
układu wynosi
m vC ,
(h)
a w chwili t + dt
(m - dm)(vC - d v)+ dm vb .
(i)
Elementarną zmianę pędu otrzymamy przez odjęcie zależności (i) od (h).
d(m vC )= m vC -[(m - dm)(vC - d v)+ dm vb]=
= m vC - m vC + md v+ dm vC - dmd v- dm vb =
= md v- dm(vb - vC )- dmd v.
Po pominięciu iloczynu różniczek dmdv jako małej wartości drugiego rzędu
elementarna zmiana pędu
d(m vC )= md v- dm vw ,
(j)
gdzie
vw = vb  vC
i jest prędkością masy dm względem masy m, czyli prędkością względną. Po
uwzględnieniu wyrażenia (h) w równaniu (e) otrzymamy równanie ruchu układu
o zmiennej masie nazywane równaniem Mieszczerskiego:
d vC
dm
m = v + W
w
dt dt
lub w postaci
d vC
m = R+ W ,
dt
(7.54)
gdzie
dm
R = vw
dt
(7.55)
i jest reakcją cząstki elementarnej.
Jeżeli występująca we wzorze (7.55) pochodna dm / dt > 0, czyli masa
układu wzrasta z upływem czasu, to wektor R ma zwrot prędkości względnej vw i
jest siłą hamującą. Gdy masa układu materialnego będzie maleć z upływem czasu,
czyli dm/dt < 0, to wektor R będzie miał zwrot przeciwny do prędkości względnej
vw,
a więc będzie siłą napędową.
Jeżeli równanie (7.54) zastosujemy do badania ruchu rakiety i założymy,
że wektor prędkości względnej vw wypływających z rakiety gazów jest styczny do
trajektorii lotu, to wektor R będzie siłą ciągu rakiety (rys. 7.15).
vw
R vC
W
Rys. 7.15. Ruch układu o zmiennej masie
Przykład 7.8. Rakieta o masie początkowej m0 porusza się w przestrzeni
międzyplanetarnej z prędkością początkową vC0. Po włączeniu silnika prędkość
względna vw wypływających z rakiety produktów spalania paliwa jest stała, a jej
wektor jest styczny do trajektorii lotu. Wyznaczyć prędkość rakiety po
zmniejszeniu się jej masy do m oraz równanie jej ruchu s = s(t).
Rozwiązanie. Ponieważ rakieta porusza się w przestrzeni
międzyplanetarnej, siły zewnętrzne na nią działające można pominąć, zatem W =
0, a dynamiczne równanie ruchu rakiety na podstawie (7.54) po uwzględnieniu
(7.55) można zapisać w postaci:
d vC dm d vC dm dm
m = vw lub = , lub d vC = vw . (a)
dt dt vw m m
Po scałkowaniu tego równania w granicach wyznaczonych przez warunki
początkowe, czyli dla t = 0 vC(0) = vC0 i m(0) = m0, otrzymujemy:
v m
dm
,
+"d vC = vw +"
m
vco mo
a po obliczeniu całek
m
vC = vC0 + vw ln .
m0
(b)
Ponieważ wektory prędkości vC i vw działają wzdłuż jednej prostej i mają
zwroty przeciwne (rys. 7.13), wektorowy wzór (b) można zapisać jednym wzorem
skalarnym:
m
vC = vC0 - vwln .
m0
(c)
Powyższy wzór został po raz pierwszy wyprowadzony przez rosyjskiego
uczonego polskiego pochodzenia K. Ciołkowskiego.
Wektorowy wzór (b) lub równoważny mu (c) przedstawia prawo zmiany
prędkości rakiety. Ze wzorów tych wynika, że prędkość rakiety zależy od stosunku
masy końcowej rakiety m do jej masy początkowej m0.
Teraz wyznaczymy równanie drogi rakiety w funkcji czasu. Podstawiwszy do
wzoru (c)
ds
vC = ,
dt
otrzymujemy równanie różniczkowe o postaci:
m
ds = vC0dt - vwln dt .
m0
Po scałkowaniu tego równania w granicach od s0 do s i od 0 do t otrzymujemy
równanie ruchu rakiety:
t
m
s = s0 + vC0t - vw
+"ln mC dt .
0
(d)
Aby obliczyć występującą w tym równaniu całkę, należy znać funkcję
zmiany masy w czasie. Załóżmy, że w czasie pracy silnika rakiety jej masa maleje
wykładniczo według wzoru:
m = m0e-ąt ,
gdzie jest stałym współczynnikiem. W tym przypadku
t t t
m 1
 ąt 2
tdt = - ąt .
+"ln m0 dt = +"lne = -+"
2
0 0 0
Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (d) otrzymujemy równanie ruchu
rakiety w funkcji czasu:
1
2
s = s0 + vC0t + vwąt .
2
(e)
7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego
Krętem kO punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy
moment pędu p = m v tego punktu materialnego względem punktu O:
k = r� p = r� m v . (7.56)
O
Z powyższej definicji wynika, że kręt - zdefiniowany podobnie jak moment siły
względem punktu - jest wektorem
prostopadłym do płaszczyzny
mv
wyznaczonej przez punkt O i wektor ko
prędkości v (rys. 7.16).
Kręt punktu będzie równy zeru,
m
poza przypadkami trywialnymi (r = 0 i
r
v = 0), gdy wektory r i v będą
O
współliniowe.
Jeżeli będziemy mieli układ n
Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu
punktów materialnych o masach mk
materialnego
opisanych wektorami wodzącymi rk i
poruszających się z prędkością vk (rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego
względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów)
n n
k = � pk = � mk vk . (7.57)
O "rk "rk
k=1 k=1
7.3.2. Redukcja krętu do środka masy
Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego
nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego
układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku
masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach x2 , y2 , z2
równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z
(rys. 7.17). W tej sytuacji układ x2 , y2 , z2 będzie się poruszał ruchem postępowym
względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy vC.
mn vn
z2
vk vC
z
mk
m1
vC
vCk
y2
rCk
rk
C
m2
v1
rC
v2
x2
O
y
x
Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych
Przy takim założeniu prędkość bezwzględna vk każdego punktu materialnego
względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej
prędkości środka masy vC i prędkości względnej vCk wzgędem układu ruchomego
x2 , y2 , z2 , nazywanej dalej prędkością względem środka masy:
vk = vC + vCk . (a)
Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi
wzór:
n
k = � mk vk , (7.58)
C "rCk
k=1
gdzie rCk jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie mk w układzie
x2 , y2 , z2 . Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący rk jest równy sumie
promienia wodzącego środka masy rC i promienia rCk:
rk = rC + rCk .
Po wyznaczeniu z tej zależności
rCk = rk - rC
i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:
n n n
k = - rC )� mk vk = � mk vk -rC� vk . (b)
C "(rk "rk "mk
k=1 k=1 k=1
Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest
krętem kO względem nieruchomego punktu O, druga zaś jest pędem omawianego
układu materialnego. Na podstawie wzoru (7.42) możemy zapisać:
n
p = vk = m vC ,
"mk
k=1
gdzie m jest masą całego układu. Zatem równanie (b) przyjmie postać:
k = k - rC� mvC
C O
lub
k = k + rC� mvC . (7.59)
O C
Kręt kO układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego
punktu O jest równy krętowi kC tego układu względem środka masy
powiększonemu o kręt rC� mvC masy całkowitej skupionej w środku masy.
Wzór (7.58) przedstawia kręt układu materialnego względem środka masy
obliczony dla ruchu bezwzględnego, ponieważ występująca w tym wzorze
prędkość vk jest prędkością względem nieruchomego układu odniesienia.
Zastanówmy się, czemu będzie równy kręt tego układu materialnego względem
środka masy wyznaczony dla ruchu względnego. W tym celu podstawmy do wzoru
(7.58) zależność (a).
n n n n
k = � mk vk = � mk (vC + vCk ) = � mk vC + � mk vCk =
C "rCk "rCk "rCk "rCk
k=1 k=1 k=1 k=1
n n n n
�# ś#
= ś# mk ź# � vC + � mk vCk = - vC� mk + � mk vCk .
"rCk "rCk "rCk "rCk
ś# ź#
�# k=1 # k=1 k=1 k=1
Ale suma
n
mk = 0 ,
"rCk
k=1
ponieważ moment statyczny układu względem środka masy jest równy zeru.
Ostatecznie mamy:
n n
k = � mk vk = � mk vCk . (7.60)
C "rCk "rCk
k=1 k=1
Z otrzymanej zależności wynika stwierdzenie:
Kręt układu punktów materialnych względem środka masy wyznaczony dla
ruchu bezwzględnego jest równy krętowi względem środka masy wyznaczonemu
dla ruchu względnego.
7.3.3. Kręt bryły
Wyznaczmy kręt bryły o masie m poruszającej się ruchem dowolnym, a więc
bryły swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bryły (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa
układy współrzędnych - jeden nieruchomy o początku w nieruchomym punkcie
O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno związany z bryłą o osiach x2 , y2 , z2
(rys. 7.18) i początku nie w dowolnym punkcie O2 , lecz w środku masy C. W
bryle wydzielmy myślowo element masy dm o wektorze wodzącym
2
r = rC + r , (c)
gdzie
rC = xC i+ yC j+ zC k,
2 2 2 2 2 2 2
r = x i + y j + z k .
Znając prędkość vC środka masy C i prędkość kątową �, możemy obliczyć
prędkość v dowolnego punktu bryły (wzór 5.32). Zatem prędkość elementarnej
masy dm
2
v = vC + �� r . (d)
Zgodnie z definicją kręt elementu
z z2
masy dm względem nieruchomego
punktu O
y2
C
d kO = r� v dm .
r2
dm
rC
v
Kręt bryły będzie równy całce z
r
powyższej zależności rozciągniętej
na całą masę m bryły: O
y
k = v dm .
O
+"r�
x2
m
x
Po podstawieniu do tego wzoru
Rys. 7.18. Opis położenia dowolnego elementu
zależności (c) i (d) otrzymamy:
bryły sztywnej
2 2
k = + r )� (vC + �� r )dm = � vC dm + � (�� r )dm +
O C C C
+"(r 2 +"r +"r
mm m
+ vC dm + (�� r )dm.
+"r2 � +"r2 � 2
m m
Występujące pod całkami wielkości rC, vC i � nie podlegają całkowaniu i mogą
być wyciągnięte przed znaki całek:
�# ś#
k = rC� vC + rC�
O
+"dm ś#�� +"r2 dmź# - vC� +"r2 dm + +"r2 �(�� r2 )dm.
ś# ź#
m �# m # m m
Dwie środkowe całki są momentami statycznymi bryły względem środka masy,
a więc są równe zeru:
+"r2 dm = 0,
m
a pierwsza całka jest masą całkowitą bryły:
m =
+"dm.
m
Ostatecznie kręt bryły możemy zapisać w postaci:
k = (7.61)
O
+"r2 �(�� r2 )dm + rC� m vC .
m
Całka występująca w tym wzorze jest krętem kC bryły w jej ruchu względem
środka masy C z prędkością kątową �.
k = (7.62)
C
+"r2 �(�� r2 )dm .
m
Zatem wzór (7.61) możemy zapisać w postaci:
k = k + rC� m vC . (7.63)
O C
Kręt kO bryły względem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy krętowi
kC bryły względem środka masy C (w jej ruchu względem środka masy z
prędkością kątową �) powiększonemu o kręt rC � mvC masy m bryły
poruszającej się z prędkością vC środka masy.
Obecnie obliczymy współrzędne wektora kC w ruchomym układzie
współrzędnych x2 , y2 , z2 o początku w środku masy C (rys. 7.18). W tym układzie
współrzędnych wektory występujące we wzorze (7.62) mają następujące
współrzędne:
2 2 2
k = kCx2 i + kCy2 j + kCz2 k ,
C
2 2 2 2 2 2 2
r = x i + y j + z k ,
2 2 2
� = �x2 i + �y2 j + �z2 k .
Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze
wzorem (2.34) otrzymamy:
2
k = � �" r dm - �" �)dm = � dm - �" �)r dm.
C
+"r2 2 +"r2 (r2 +"(r2 ) +"(r2 2
m m m m
Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest
biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C:
2
IC = dm ,
+"(r2 )
m
a więc
k = � IC - �" �)r dm . (7.64)
C
+"(r2 2
m
Współrzędne krętu kC otrzymamy po zrzutowaniu tego wektora na osie x2 , y2 , z2 :
2
kCx2 = k �" i = �x2 IC - �" �)x dm,
C
+"(r2 2
m
2
kCy2 = k �" j = �y2 IC - �" �)y dm,
C
+"(r2 2
m
2
kCz2 = k �" k = �z2 IC - �" �)z dm.
C
+"(r2 2
m
Po podstawieniu do tych wzorów iloczynu skalarnego:
2 2 2 2
r �" � = x �x2 + y �y2 + z �z2
oraz wyłączeniu przed całki współrzędnych prędkości kątowej otrzymujemy:
2 2
kCx2 = �x2 IC - �x2 2 dm -�y2 x y dm - �z2
+"(x2 ) +" +"z2 x2 dm,
m m m
2 2 2 2
kCy2 = �y2 IC - �x2 x y dm - �y2 2 dm -�z2 y z dm,
+" +"(y2 ) +"
m m m
2 2
kCz2 = �z2 IC - �x2 y z dm - �z2 2 dm.
+"z2 x2 dm -�y2 +" +"(z2 )
m m
Całki występujące w powyższych wzorach są zdefiniowanymi w p. 6.1.2
momentami bezwładności bryły względem odpowiednich płaszczyzn i momentami
dewiacyjnymi. Po wykorzystaniu zależności (6.7) i (6.9) między momentami
bezwładności względem bieguna, płaszczyzn i osi oraz odpowiednim
uporządkowaniu wyrazów współrzędne krętu kC bryły opisują wzory:
kCx2 = �x2 Ix2 - �y2 Dx2 y2 - �z2 Dz2 x2 , �#
kCy2 = -�x2 Dx2 y2 + �y2 Iy2 - �z2 Dy2 z2 ,�# (7.65)
Ź#
�#
kCz2 = -�x2 Dz2 x2 - �y2 Dy2 z2 + �z2 Iz2 .
�#
Z powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu kC bryły swobodnej
względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności
i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie
się upraszczają, gdy osie x2 , y2 , z2 są głównymi centralnymi osiami bezwładności.
W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe
zeru i kręt
2 2 2
k = �x2 Ix2 i + �y2 Iy2 j + �z2 Iz2 k . (7.66)
C
2
Jeżeli założymy, że osią obrotu bryły jest np. oś z , to prędkość kątowa � pokryje
się z osią obrotu:
2 2
� = �z2 k = �k .
Wówczas kręt wyznaczony ze wzorów (7.65) ma postać:
2 -
2 2
k = -�Dz2 x2 i �Dy2 z2 j + �Iz2 k , (7.67)
C
a na podstawie wzoru (7.66)
2
kC = �zIz2 k . (7.68)
Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, że jeżeli oś obrotu jest główną
centralną osią bezwładności, to wektor krętu leży na tej osi; gdy tak nie jest,
kierunek wektora krętu nie pokrywa się z osią obrotu.
Przykład 7.9. Korba OA o masie m1 = m obraca się z prędkością kątową �0
wokół osi z przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rys. 7.19.
Na końcu A korby jest osadzona cienka
vA jednorodna tarcza o masie m2 = 2m i
�0
�2
promieniu r, która toczy się bez poślizgu
r
po nieruchomym kole o promieniu R.
O
Wyznaczyć kręt układu względem osi z.
A
C
R
Korbę OA uważać za pręt jednorodny.
Rys. 7.19. Wyznaczenie krętu układu
Rozwiązanie. Kręt układu względem osi z składa się z krętu k1z korby OA
poruszającej się ruchem obrotowym wokół osi z oraz krętu k2z tarczy poruszającej
się ruchem postępowym środka ciężkości A tarczy z prędkością vA oraz ruchem
obrotowym z prędkością �2 względem osi z2 równoległej do osi z i
przechodzącej przez środek tarczy:
kz = k1z + k2z . (a)
Kręt korby OA względem osi z
k1z = Iz�0 . (b)
Kręt tarczy względem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) możemy wyrazić
zależnością:
k = Iz2 �2 + (R + r)m2vA . (c)
2z
We wzorach (b) i (c) Iz i Iz2 są odpowiednio momentami bezwładności korby
względem osi z przechodzącej przez punkt O i tarczy względem osi z2
przechodzącej przez jej środek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przykładu 6.2:
1 1 1
2 2
Iz = m1(R + r) = m(R + r) ,Iz2 = m2r2 = mr2 . (d)
3 3 2
Prędkość środka tarczy
vA = (R + r)�0 . (e)
Ponieważ punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym kołem jest chwilowym
środkiem obrotu tarczy, mamy również:
vA (R + r)� .
vA = �2r, stąd �2 = = (f)
0
r r
Po uwzględnieniu w związkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich
podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kręt układu względem osi z.
1 (R + r)� + 2m(R + r)(R + r)�0 =
2
k = m(R + r) �0 + mr2
z 0
3 r
1
= m(R + r)(7R +10r)�0.
3
7.3.4. Zasada krętu i pokrętu. Zasada zachowania krętu
Załóżmy, że mamy układ materialny składający się z n punktów materialnych
o masach mk poruszających się z prędkością vk (rys. 7.17). Na każdy punkt niech
działa siła zewnętrzna Pk oraz siły wewnętrzne Fkl. Zgodnie z drugim prawem
Newtona możemy dla dowolnego punktu rozważanego układu materialnego
napisać dynamiczne równanie ruchu:
d2 rk
mk = Pk + Pwk
dt2
lub
d vk
mk = Pk + Pwk (k = 1, 2, . . . , n)
dt
W powyższym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) Pwk jest wypadkową sił
wewnętrznych działających na punkt o masie mk. Pomnóżmy wektorowo każde z n
równań obustronnie przez wektor wodzący rk i dodajmy wszystkie równania
stronami. Otrzymamy:
n n n
d vk n
� mk = �(Pk + Pwk ) = � Pk + � Pwk . (e)
"rk "rk "rk "rk
dt
k=1 k=1 k=1 k=1
Druga suma po prawej stronie tego równania jest sumą momentów sił
wewnętrznych względem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest
równa zeru. Z kolei suma momentów sił zewnętrznych względem punktu O jest
równa momentowi głównemu (3.26):
n
Mo = � Pk .
"rk
k=1
Sumę występującą po lewej stronie równania (e) możemy przekształcić:
n
d vk n d vk n d
�# ś#
� mk = vk� vk + rk� = (rk � vk )=
ś# ź#
"rk "mk "mk
dt dt dt
k=1 k=1 �# # k=1
n n
d d dk
O
= (rk� mk vk )= � mk vk = .
""rk
dt dt dt
k=1 k=1
Wynika z tego, że lewa strona równania (e) jest pochodną krętu całego układu
materialnego względem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy:
d k
O
= MO . (7.69)
dt
Otrzymana zależność różniczkowa jest zasadą krętu.
Pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem
dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił
zewnętrznych względem tego samego punktu.
Po obustronnym scałkowaniu równania (7.69) w granicach od 0 do t
otrzymamy:
t
k (t)- k (0) = dt . (7.70)
O O O
+"M
0
Całka występująca w tym równaniu nosi nazwę pokrętu momentu głównego, a
samo równanie jest zasadą krętu i pokrętu.
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu
jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego
punktu.
Równania (7.69) i (7.70) są słuszne nie tylko dla układu punktów materialnych,
ale i dla bryły.
Często się zdarza, że moment główny układu sił zewnętrznych względem
obranego nieruchomego bieguna redukcji O jest stale równy zeru bądz
jest
pomijalnie mały, MO a" 0 . Wtedy całka po prawej stronie równania (7.70) jest
równa zeru i zasada krętu i pokrętu przechodzi w zasadę zachowania krętu:
k (t)- k (0)= 0, czyli k (t)= k (0)= const
O O O O
lub
jeżeli MO = 0, to k = const . (7.71)
O
Otrzymaną zasadę zachowania krętu można wyrazić słownie:
Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu
redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego
punktu jest wielkością stałą.
7.3.5. Redukcja zasady krętu i pokrętu do środka masy
Zastanówmy się, jaką postać przyjmie zasada krętu i pokrętu (7.70), jeżeli za
biegun redukcji przyjmiemy nie dowolny punkt O, lecz środek masy układu
materialnego C. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie podstawmy
do równania (7.69) wzór (7.59):
k = k + rC� mvC
O C
oraz twierdzenie o momencie głównym (3.29):
MO = MC + rC� W
i dokonajmy różniczkowania:
d k d(rC� m vC )
C
+ = MC + rC� W ,
dt dt
d k d rC d(m vC )
C
+ � m vC + rC� = MC + rC� W . (f)
dt dt dt
Drugi wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest
to iloczyn wektorowy wektorów równoległych:
d rC
� m vC = vC� m vC = 0 ,
dt
a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu
układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48):
d(m vC ) d p
= = W .
dt dt
Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu
otrzymamy zasadę krętu przy redukcji do środka masy:
d k
C
= MC . (7.72)
dt
Z kolei po scałkowaniu tego równania od zera do t otrzymamy zasadę krętu
i pokrętu zredukowaną do środka masy układu:
t
k (t)- k (0) = dt . (7.73)
C C C
+"M
0
Widzimy, że formalna postać otrzymanych równań (7.72) i (7.73) jest taka
sama jak równań (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisują ruchu
środka masy C. Do opisu ruchu środka masy C należałoby zastosować zasadę pędu
(7.48).
Jeżeli założymy teraz, że moment sił zewnętrznych względem środka masy C
układu materialnego będzie stale równy zeru, MC a" 0 , to zasada krętu i pokrętu
(7.73) zredukowana do środka masy przejdzie w zasadę zachowania krętu
względem środka masy, co można zapisać w następujący sposób:
jeżeli MC = 0, to k = const (7.74)
C
lub ująć słownie:
Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem środka masy układu
materialnego jest równy zeru, to kręt tego układu materialnego względem środka
masy jest wielkością stałą.
Przykład 7.10. Punkt materialny A o masie m1 zaczął się poruszać wzdłuż
cięciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R i
masie m według równania:
x = bsinkt ,
gdzie x oznacza współrzędną odmierzoną jak na rys. 7.20, k pewną stałą, a
2b d" BC . Tarcza może się obracać bez tarcia wokół osi pionowej z przechodzącej
przez środek tarczy O. Wyznaczyć prędkość kątową � tarczy w funkcji czasu t,
jeżeli odległość cięciwy od środka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili początkowej
t = 0 była nieruchoma.
a) b)
ą
vw
C
A
R
R
A
r
x x
ą
O A0 O
A0
vu
�
b b
B
Rys. 7.20. Wyznaczenie prędkości kątowej tarczy
Rozwiązanie. Na układ działają siły zewnętrzne ciężkości tarczy i punktu
materialnego oraz reakcje w łożyskach osi obrotu tarczy. Siły ciężkości są
równoległe do osi obrotu, więc ich momenty względem osi obrotu są zawsze
równe zeru. Nie dają momentu względem tej osi również reakcje w łożyskach.
Zatem zgodnie z zasadą zachowania krętu (7.71) kręt układu względem osi nie
ulega zmianie. Ponieważ w chwili początkowej t = 0 , gdy punkt A był jeszcze
nieruchomy, kręt układu był równy zeru, zatem w dowolnej chwili t kręt tego
układu również będzie równy zeru. Po rozpoczęciu ruchu punktu A tarcza zacznie
się poruszać ruchem obrotowym z prędkością kątową w kierunku przeciwnym
do ruchu punktu (rys. 7.20b). Prędkość punktu tarczy, w którym w chwili t
znajduje się punkt A, czyli prędkość unoszenia punktu A
2 2
vu = �r = � b2 + x = �b 1+ sin kt .
Prędkość punktu A względem tarczy (prędkość względna)
dx
vw = = bkcoskt .
dt
Z kolei prędkość bezwzględna punktu A jest równa sumie wektorowej prędkości
unoszenia i prędkości względnej:
vA = vu + vw .
Rzut wektora prędkości bezwzględnej punktu A na kierunek prostopadły do
promienia OA = r jest równy
vwcosą - vu .
Kręt układu w chwili t względem osi obrotu z składa się z krętu k1z punktu A
i krętu k2z tarczy względem tej osi. Kręt punktu A
k1z = m1r(vwcosą - vu ) = m1(vw rcosą - vu r) =
2 2 2
= m1(vw b - �b 1 + sin kt r)= m1(b2kcoskt - �b 1 + sin kt b2 + x )=
2
= m1[b2kcoskt - �b2(1 + sin kt)],
a kręt tarczy względem osi obrotu
1
2
k = Iz� = mR �.
2z
2
Ponieważ kręt całkowity układu jest w każdej chwili równy zeru, otrzymujemy:
1
2 2
m1[b2kcoskt - �b2(1+ sin kt)]- mR � = 0.
2
Z powyższego równania znajdujemy prędkość kątową tarczy:
m1b2kcoskt
� = .
1
2
m1b2(1+ sin2kt)+ mR
2
7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych
Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z
prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:
mv2
E = .
2
Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się
z prędkością vk energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych
poszczególnych punktów materialnych:
n
mk v2 n
1
k
E = = v2 . (7.75)
" "mk k
2 2
k=1 k=1
Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),
prędkość bezwzględną vk każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość
unoszenia vC, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych
x2 , y2 , z2 o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,
i prędkość względną vCk względem układu ruchomego (rys. 7.17):
vk = vC + vCk .
Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu
prędkości w postaci iloczynu skalarnego
v2 = vk �" vk
k
otrzymamy:
n n
1 1
E = vk �" vk = (vC + vCk )�"(vC + vCk ) =
"mk "mk
2 2
k=1 k=1
n
1
2 2
= (vC + 2 vC�" vCk + vCk )=
"mk
2
k=1
n n n
1 1
2 2
= vC + vC�" vCk + vCk . (a)
"mk "mk "mk
2 2
k=1 k=1 k=1
Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ
występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu współrzędnych x2 , y2 , z2 . Wiadomo jednakże, że
pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w
stosunku do ruchomego układu odniesienia x2 , y2 , z2 jest równa zeru. Zatem
n
vCk = 0 .
"mk
k=1
Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu odniesienia x2 , y2 , z2 :
n
1
2
Ec = vCk . (7.76)
"mk
2
k=1
Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez
n
m =
"m
k
k=1
równanie (a) przyjmuje postać:
1
2
E = EC + mvC . (7.77)
2
Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż
układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
7.4.2. Energia kinetyczna bryły
W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się
ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3).
W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z
prędkością zgodną ze wzorem (5.32):
2
v = vC + �� r . (b)
Energia kinetyczna tego elementu
1
dE = v�" v dm ,
2
a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:
1
E = v�" v dm . (c)
+"
2
m
Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:
1
E =
C
+"(v + �� r2 )�"(vC + �� r2 )dm =
2
m
1 1
2
2
= dm + vC�"(�� r )dm +
C
+"v +" +"(�� r2 )�"(�� r2 )dm . (d)
2 2
m m m
Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:
2 2
vC�"(�� r ) = (vC� �)�" r ,
2 2 2 2
(�� r )�"(�� r ) = ��"[r �(�� r )]
oraz wyłączeniu przed całki vC i �, jako wielkości niezależnych od zmiennych
całkowania x2 , y2 , z2 , wzór (d) możemy zapisać:
1 1
2
E = vC + (vC� �)�" (e)
+"dm +"r2 dm + 2 ��" +"r2 �(�� r2 )dm .
2
m m m
Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka
masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli
m =
C
+"dm, +"r2 dm = 0 oraz k = +"r2 �(�� r2 )dm .
m m m
Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:
1 1
2
E = ��" k + mvC . (7.78)
C
2 2
Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej
chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:
1
EC = ��" k . (7.79)
C
2
Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze
wzorem (7.77):
1
E = EC + mv2 . (7.80)
C
2
Jest to twierdzenie Koeniga dla bryły.
Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w
jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
Aby obliczyć energię EC we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za
pomocą współrzędnych wektorów � i kC danych w układzie ruchomym x2 , y2 , z2 :
1 1
EC = ��" k = (�x2 kCx2 + �y2 kCy2 + �z2 kCz2 ).
C
2 2
Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65)
i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka
masy możemy przedstawić w postaci:
1
EC = (Ix2 �2 + Iy2 �2 + Iz2 �2 )-
2 2 2
x y z
2
- (Dx2 y2 �x2 �y2 + Dy2 z2 �y2 �z2 + Dz2 x2 �z2 �x2 ) (7.81)
Zatem, podobnie jak w przypadku krętu kC, do obliczenia energii kinetycznej
bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i
dewiacyjne momenty bezwładności.
Gdy osie x2 , y2 , z2 są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty
dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:
1
EC = (Ix2 �2 + Iy2 �2 + Iz2 �2 ). (7.82)
2 2 2
x y z
2
Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z
prędkością kątową �, to energia ruchu obrotowego
A vA
1
�
E = Il�2 , (7.83)
R
2
r
gdzie Il jest momentem bezwładności
vC
względem osi obrotu l.
C
S
Przykład 7.11. Kołowrót o masie
m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r
toczy się bez poślizgu małym obwodem
vC
m2
po poziomej listwie (rys. 7.17). Środek
masy C tego kołowrotu znajduje się na
vA
osi symetrii obrotowej i ma stałą
v2
prędkość vC. Na duży obwód nawinięto
linkę, na której końcu zawieszono
Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej
kołowrotu ciężarek o masie m2 = m. Promień
bezwładności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny
rysunku jest równy iC . Obliczyć energię kinetyczną tego układu.
Rozwiązanie. Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej
kołowrotu E1 poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E2
poruszającego się ruchem postępowym:
E = E1 + E2 .
Wzór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym
z twierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:
1 1
E1 = IC�2 + m1vC , (a)
2 2
gdzie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej
2 2
IC = m1iC = 5miC . (b)
Energia kinetyczna ciężarka
1 1
E2 = m2v2 = mv2 . (c)
2 2
2 2
Ponieważ kołowrót toczy się bez poślizgu, chwilowy środek obrotu znajduje się w
punkcie S styku kołowrotu z listwą. Korzystając z własności chwilowego środka
obrotu, możemy napisać:
vC R + r 5
� = ,vA = �(R + r) = vC = vC . (d)
r r 2
Zgodnie z rysunkiem prędkość ciężarka v2 jest równa sumie geometrycznej
prędkości vC i vA. Stąd kwadrat prędkości v2
29
2 2
v2 = v2 + vC = vC . (e)
2 A
4
Po dodaniu wzoru (c) do (a) i uwzględnieniu zależności (b), (d) i (e) otrzymujemy
całkowitą energię kinetyczną układu:
2
Ą#5 �# iC ś#2 49ń# 2
vC
5 �# ś# 5 29
2 2
E = miC ś# ź# + mvC + mv2 = + mvC .
ó# ś# ź# Ą#
2 r 2 8
�# # �# #
ó#2 r 8 Ą#
Ł# Ś#
7.4.3. Zasada pracy i energii kinetycznej
Dla każdego z n punktów materialnych układu omówionego w p. 7.2.2 i
przedstawionego na rys. 7.12 napiszemy, tak jak poprzednio, dynamiczne równanie
ruchu (7.47):
d2 rk
mk 2 = Pk + Pwk
dt
albo
d vk
mk = Pk + Pwk (k = 1,2,...,n).
dt
Pomnóżmy skalarnie każde z tych równań przez prędkość vk i dodajmy je
stronami:
n n n n
d vk
�" vk = + Pwk )�" vk = �" vk + �" vk . (e)
"mk "(Pk "Pk "Pwk
dt
k=1 k=1 k=1 k=1
Zgodnie z definicją podaną w p. 7.1.7 pierwsza suma w równaniu (e) jest mocą
układu sił zewnętrznych:
n
Nz = �" vk , (7.84)
"Pk
k=1
a druga podwójna suma mocą wszystkich sił wewnętrznych:
n
Nw = �" vk . (7.85)
"Pwk
k=1
Wykażemy, że lewa strona równania (e) jest pochodną względem czasu energii
całkowitej układu punktów materialnych:
n n
d vk 1 �#m �" vk + mk vk �" ś#
d vk d vk
�" vk = ś# ź# =
"mk " k
dt 2 dt dt
k=1 k=1 �# #
n n
1 d(mk vk �" vk )mk vk �" vk = .
d 1 dE
= =
" "
2 dt dt 2 dt
k=1 k=1
Ostatecznie równanie (e) przyjmuje postać:
dE
= Nz + Nw . (7.86)
dt
 Zatem pochodna względem czasu energii kinetycznej układu materialnego jest
równa sumie mocy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych. Po scałkowaniu
obustronnie równania (7.86) od 0 do t otrzymamy:
t t
E(t)- E(0) = Nzdt + Nwdt . (f)
+" +"
0 0
Całki występujące w powyższym równaniu, zgodnie ze wzorem (7.36),
przedstawiają odpowiednio pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych:
t t
Lz = Nzdt, Lw = Nwdt . (g)
+" +"
0 0
Po wprowadzeniu oznaczeń (g) do równania (f) otrzymujemy zasadę pracy
i energii kinetycznej dla układu punktów materialnych:
E(t)- E(0)= Lz + Lw
lub po wprowadzeniu oznaczeń E(t) = E2, E(0) = E1
E2 - E1 = Lz + Lw . (7.87)
Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie
siły zewnętrzne i wewnętrzne.
Bez przeprowadzania dowodu metodą analityczną można zauważyć, że praca sił
wewnętrznych jest ściśle związana ze zmianą odległości między punktami układu
materialnego. Gdy odległości między punktami układu materialnego nie ulegają
zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub
ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, Lw = 0. W tej sytuacji
zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:
E2 - E1 = Lz . (7.88)
Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest
równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne
działające na tę bryłę.
Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m1 jest przyłożony
stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben
przymocowano ciężar o masie m2, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie
nachylenia ą(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m2 a równią wynosi �.
Jaką prędkość kątową � osiągnie bęben po obróceniu się o � radianów, jeżeli w
chwili początkowej układ był w spoczynku? Masę liny pominąć, a bęben uważać
za jednorodny walec.
�,�
r
N
O
v2
r�
M
T
G2
ą
Rys. 7.22. Wyznaczenie prędkości kątowej bębna
Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pracy i energii
kinetycznej (7.88):
E2 - E1 = L .
Z uwagi na to, że układ w chwili początkowej znajdował się w spoczynku, jego
energia kinetyczna była równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy więc:
E2 = L . (a)
Energia kinetyczna układu składa się z energii kinetycznej ruchu postępowego
masy m2 oraz ruchu obrotowego bębna:
1 1
E2 = m2v2 + IO�2 .
2
2 2
Ponieważ moment bezwładności bębna IO względem osi obrotu i prędkość v2 są
równe:
1
IO = m1r2 , v2 = �r ,
2
mamy:
1 1 1
E2 = m2�2r2 + m1r2�2 = (m1 + 2m2 )r2�2 . (b)
2 4 4
Pracę L wykonują: moment obrotowy M, składowa siły ciężkości G2 równoległa
do równi oraz siła tarcia T. Jeżeli zauważymy, że przy obrocie bębna o kąt � ciężar
o masie m2 przesunie się w górę równi o r�, możemy napisać:
L = M� - m2 gsiną + T r� .
( )
Po podstawieniu do tego wzoru T = �N = �m2 gcosą wykonana praca
M
Ą#
L = - m2 g(siną + �cosą)ń#r� . (c)
ó# Ą#
r
Ł# Ś#
Po podstawieniu zależności (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie:
1 M
Ą#
(m1 + 2m2 )r2�2 = - m2 g(siną + �cosą)ń#r� ,
ó# Ą#
4 r
Ł# Ś#
skąd
M
2 - m2 gr(siną + �cosą)� .
� =
r m1 + 2m2
7.4.4. Zasada zachowania energii
Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły
potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5
udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca
wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej. Przyjmiemy bez
dowodu, że zależność ta jest słuszna nie tylko dla każdego punktu, ale i dla całego
układu materialnego. Zatem pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych możemy
zapisać w postaci:
Lz = Uz1 - Uz2 ,
�#
(h)
Ź#
Lw = Uw1 - Uw 2 ,�#
gdzie Uz1 i Uz2 oznaczają energię potencjalną sił zewnętrznych w położeniu
początkowym i końcowym, a Uw1 i Uw2 energię potencjalną sił wewnętrznych
w położeniu początkowym i końcowym. Po podstawieniu wzorów (h) do równania
zasady pracy i energii kinetycznej (7.87) otrzymamy:
E2  E1 = Uz1  Uz2 + Uw1  Uw2
lub
E2 + Uz2 + Uw2 = E1 + Uz1 + Uw1. (i)
Z równania (i) wynika, że suma energii kinetycznej i energii potencjalnej sił
zewnętrznych i wewnętrznych jest w każdym położeniu układu wielkością stałą.
Po wprowadzeniu do równania (i) oznaczeń:
U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1
otrzymamy:
E2 + U2 = E1 + U1
albo ogólnie
E + U = const. (7.89)
Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku,
gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są
potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni.
Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii
mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami
zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami
rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania
w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy
pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione
odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu.
Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się
obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej
przez jego koniec O (rys. 7.23). Jaką
O
prędkość należy nadać końcowi A w
chwili, gdy pręt jest w spoczynku w
L/2
�
położeniu równowagi stałej, aby wykonał
on ćwierć obrotu?
U = 0
L
C
Rozwiązanie. Na pręt działa siła
mg
ciężkości, która jest siłą potencjalną.
Zatem do rozwiązania zadania możemy
zastosować zasadę zachowania energii
A
vA
mechanicznej (7.89):
Rys. 7.23. Wyznaczenie prędkości
E1 + U1 = E2 + U2 . (a)
początkowej końca pręta
Jeżeli poziom zerowej energii potencjalnej przyjmiemy na wysokości środka
ciężkości C, jak na rysunku, to U1 = 0 . Po wykonaniu ćwierć obrotu pręt zajmie
położenie poziome i zatrzyma się. Jego energia kinetyczna będzie równa zeru,
E2 = 0 . Równanie (a) będzie miało więc postać:
E1 = U2 . (b)
W chwili początkowej energia kinetyczna
1
E1 = IO�2 .
2
Moment bezwładności pręta jednorodnego względem jego końca (patrz przy-
kład 6.2)
mL2
IO = .
3
Z kolei prędkość kątowa pręta
vA
� = .
L
Energia kinetyczna pręta ma więc postać:
2
vA mv2
1 mL2 �# ś#
A
E1 = ś# ź# = . (c)
2 3 L 6
�# #
Energia potencjalna pręta w położeniu końcowym
L
U2 = mg . (d)
2
Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równości (b) otrzymujemy równanie:
mv2 mgL
A
= .
6 2
Stąd prędkość początkowa końca A pręta
vA = 3gL .
Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie prędkości, jaką należy nadać
końcowi A pręta, aby wykonał on pełen obrót.
7.5.1. Ruch bryły swobodnej
Swobodna bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody i do określenia
jej ruchu potrzeba sześciu równań ruchu. Ruch bryły możemy rozbić na ruch
środka masy, wywołany przez działanie wektora głównego sił zewnętrznych, i
obrót bryły względem środka masy, wywołany przez moment główny sił
zewnętrznych zredukowany do środka masy.
Do ułożenia równań ruchu bryły wykorzystamy wyprowadzone poprzednio
zasady pędu i krętu. W punkcie 7.2.3 wykazano, że pochodna pędu względem
czasu równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych opisuje ruch środka masy, a w
punkcie 7.3.5, że pochodna krętu zredukowanego do środka masy względem czasu
równa momentowi głównemu sił zewnętrznych opisuje obrót bryły względem
środka masy. Mamy więc dwa równania wektorowe opisujące ruch bryły
swobodnej:
d p d k
C
= W, = MC . (7.90)
dt dt
Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym.
Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów występujących w powyższych
równaniach na osie prostokątnego
z
z2
układu współrzędnych. Podobnie jak
MC
przy obliczaniu krętu bryły
y2
przyjmiemy dwa układy
C
współrzędnych: jeden nieruchomy x,
W
y, z o początku w dowolnym punkcie
rC
O i drugi ruchomy x2 , y2 , z2 sztywno
związany z bryłą o początku w
O
środku masy C (rys. 7.24). Ponadto
x2
dla uproszczenia obliczeń założymy,
y
2 2 2
że osie x ,y ,z układu ruchomego są
x
głównymi centralnymi osiami
Rys. 7.24. Ruch swobodny bryły sztywnej
bezwładności. Przy takim założeniu
zgodnie ze wzorem (7.66) kręt bryły
2 2 2
k = �x2 Ix2 i + �y2 Iy2 j + �z2 Iz2 k , (a)
C
gdzie Ix2 ,Iy2 ,Iz2 są głównymi centralnymi momentami bezwładności,
a �x2 , �y2 , �z2 współrzędnymi wektora prędkości kątowej � w układzie
ruchomym.
 W pierwszej kolejności obliczymy pochodną krętu kC względem czasu z
wykorzystaniem podanych w kinematyce bryły wzorów na pochodne względem
czasu wersorów układu ruchomego (5.31).
2 2 2
d i d j d k
2 2 2
= �� i , = �� j , = �� k .
dt dt dt
d k d�x2 d�y2 d�z2
C
2 2 2
= Ix2 i + Iy2 j + Iz2 k +
dt dt dt dt
2 2 2
d i d j d k
+ Ix2 �x2 + Iy2 �y2 + Iz2 �z2 =
dt dt dt
d�x2 d�y2 d�z2
2 2 2
= Ix2 i + Iy2 j + Iz2 k +
dt dt dt
2 2 2
+��(Ix2 �x2 i + Iy2 �y2 j + Iz2 �z2 k ).
Wyrażenie w nawiasie w powyższym wzorze jest krętem bryły względem
środka masy. Zatem pochodna krętu kC względem czasu
d k d�x2 d�y2 d�z2
C
2 2 2
= Ix2 i + Iy2 j + Iz2 k + �� k . (7.91)
C
dt dt dt dt
Po obliczeniu iloczynu wektorowego występującego w tym wzorze oraz
odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:
d k d�x2
Ą#I
C
2
= + (Iz2 - Iy2 )�y2 �z2 ń# i +
2
x
ó# Ą#
dt dt
Ł# Ś#
d�y2
Ą# ń#
2
+ + (Ix2 - Iz2 )�x2 �z2 Ą# j + (7.92)
ó#I 2
y
dt
Ł# Ś#
d�z2
Ą# ń#
2
+ (Iy2 k .
z
ó#I 2 dt + - Ix2 )�x2 �y2 Ą#
Ł# Ś#
Po zapisaniu występującego w równaniach (7.90) wektora głównego W i
momentu głównego MO w ruchomym układzie współrzędnych:
2 2 2
W = Wx2 i + Wy2 j + Wz2 k ,
2 2 2
MC = MCx2 i + MCy2 j + MCz2 k
oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu
wyrażeń przy wersorach otrzymamy sześć skalarnych równań ruchu bryły:
maCy2 = Wy2 ,
�#
�#
maCx2 = Wx2 ,
�#
�#
maCz2 = Wz2 ,
�#
(7.93)
Ix2 �x2 + (Iz2 - Iy2 )�y2 �z2 = MCx2 ,Ź#
�#
Iy2 �y2 + (Ix2 - Iz2 )�x2 �z2 = MCy2 ,�#
�#
Iz2 �z2 + (Iy2 - Ix2 )�x2 �y2 = MCz2 ,�#
�#
w których zamiast pochodnych względem czasu współrzędnych prędkości kątowej
� wprowadzono odpowiednie współrzędne przyśpieszenia kątowego �:
d�x2 d�y2 d�z2
�x2 = ,�y2 = ,�z2 = ,
dt dt dt
a aCx2 , aCy2 , aCz2 są współrzędnymi przyśpieszenia aC środka masy C.
Powyższe równania różniczkowe wraz z warunkami początkowymi
jednoznacznie opisują ruch bryły pod wpływem przyłożonego do niej układu sił.
Przy wyprowadzaniu równań ruchu bryły (7.93) za biegun redukcji przyjęto
środek masy C bryły. Początek ruchomego układu współrzędnych można przyjąć
poza środkiem masy, pod warunkiem że punkt ten jest nieruchomy. Jeżeli w
poruszającej się bryle istnieje nieruchomy punkt, np. O, to obierając go za biegun
redukcji, otrzymamy równania o postaci (7.93), ale wtedy zamiast współrzędnych
MCx2 MCy2 ,MCz2 momentu głównego MC zredukowanego do środka masy C
należy podstawić współrzędne MOx2 MOy2 , MOz2 momentu MO zredukowanego do
tego nieruchomego punktu. Występujące w tych równaniach momenty
bezwładności muszą być głównymi momentami bezwładności.
7.5.2. Obrót bryły wokół stałej osi obrotu
Obrót dowolny bryły wokół głównej osi bezwładności
Ważnym zagadnieniem w dynamice maszyn jest ruch obrotowy bryły wokół
stałej osi obrotu. Z tym zagadnieniem mamy do czynienia we wszystkich
maszynach wirnikowych. Aby taki ruch można było zrealizować, bryła (wirnik)
musi być ograniczona więzami. Są nimi najczęściej łożyska, w których w czasie
ruchu bryły powstają odpowiednie reakcje.
Z kinematyki wiadomo, że obracająca się bryła wokół stałej osi obrotu ma jeden
stopień swobody. Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniem
ruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu � = �(t).
l
z = z2
�
� W
y2
Mo
�
O
y
rc
�
C
x
x2
Rys. 7.25. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładności
Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryła
obraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokół
osi z = z2 będącej główną osią bezwładności (rys. 7.25). Ponadto przyjmujemy, że
początki nieruchomego układu współrzędnych x, y, z i ruchomego znajdują się w
nieruchomym punkcie O znajdującym się na osi obrotu l. Poza tym dla
uproszczenia wzorów założymy, że środek masy C bryły leży na osi x2 .
Ponieważ dla takiego ruchu prędkość kątowa � i przyśpieszenie kątowe � leżą
na osi obrotu, zatem
�x2 = �y2 = 0 i �x2 = �y2 = 0 , (b)
a wektory � i � można zapisać wzorami:
d�
2 2 2
� = �z k = �z2 k = �k = k ,
dt
d� d2�
2 2 2 2
� = �z k = �z2 k = � k = k = k .
dt dt2
Przyśpieszenie aC środka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p.
5.3.4 dotyczącym kinematyki ruchu obrotowego:
aC = �� rC + ��(�� rC ).
2
Po podstawieniu do tego wzoru zależności rC = rC i , wynikającej wprost z
rys. 7.25, otrzymamy:
2 2 2 2 2 2 - 2
aC = � k � rC i + �k �(�k � rC i ) = �rC j �2rC i ,
czyli współrzędne przyśpieszenia środka masy wynoszą:
aCx2 = -�2rC , aCy2 = �rC , aCz2 = 0 . (c)
Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu
zależności (b) oraz wzorów (c) redukują się do postaci (7.94):
- m�2rC = Wx2 ,
m�rC = Wy2 , (7.94)
Iz2 �z2 = MOz2 .
Stąd
MOx2 = 0, MOy2 = 0 oraz Wz2 = 0 . (d)
Z zależności (d) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryły
wokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu
głównego MO leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego w
płaszczyz
nie x2 y2 i prostopadłego do tej osi.
Trzecie z równań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryły
i przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jej
ruchu � = �(t). Z dwóch pierwszych równań możemy wyznaczyć siły wywołane
tym, że środek masy leży poza osią obrotu, czyli oś obrotu nie jest główną
centralną osią bezwładności, albo - używając terminologii z dynamiki maszyn -
bryła jest niewyważona statycznie. Równania te pozwalają na wyznaczenie reakcji
więzów (reakcji łożysk).
Jeżeli oś obrotu l będzie główną centralną osią bezwładności, czyli środek masy
C będzie leżał na osi obrotu (rC = 0), co będzie oznaczało idealne wyważenie
bryły, równania (7.94) redukują się do jednego równania:
Iz2 �z2 = MOz2 , (7.95)
a po uwzględnieniu (d) widzimy, że wszystkie współrzędne wektora głównego
oraz dwie współrzędne momentu głównego są równe zeru:
Wx2 = Wy2 = Wz2 = 0 oraz MOx2 = MOy2 = 0 . (e)
Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bryły (7.95) wynika, że jeżeli
suma momentów wszystkich sił zewnętrznych (sił czynnych i reakcji łożysk osi
obrotu) względem osi obrotu będzie równa zeru, MOz2 = 0 , to również
� = d�/ dt = 0 , zatem prędkość kątowa będzie stała, � = const, czyli bryła będzie
się poruszać ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem będziemy
mieli do czynienia, gdy bryła będzie się obracać wokół pionowej osi obrotu
osadzonej w idealnie gładkich łożyskach. Siłami zewnętrznymi są wówczas siły
ciężkości i reakcje gładkich łożysk, których momenty względem osi obrotu są
równe zeru.
Przykład 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i
M
promieniu r obraca się wokół nieruchomej osi
przechodzącej przez środek O tej tarczy (rys.
r
7.26) pod wpływem przyłożonego
O
momentu o stałej wartości, M = const. Na tarczę
działa moment oporu MO proporcjonalny do
�
prędkości kątowej � ( MO = k�, gdzie k jest
MO
znanym współczynnikiem). Wyznaczyć prędkość
kątową tarczy w funkcji czasu, � = �(t), oraz jej
Rys. 7.26. Wyznaczenie prędkości
wartość maksymalną, � = �max . kątowej tarczy
Rozwiązanie. Po podstawieniu do dynamicznego równania ruchu obrotowego
bryły (7.95), zgodnie z treścią zadania,
d�
Iz2 = IO , �z2 = � = oraz MOz2 = M - MO
dt
otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w postaci:
d� d�
IO = M - MO lub IO = M - k� .
dt dt
Moment bezwładności tarczy względem osi obrotu IO = mr2 / 2 . Zatem
1 d�
mr2 = M - k� .
2 dt
Po rozdzieleniu zmiennych powyższe równanie różniczkowe możemy zapisać
w postaci:
mr2 d�
= dt
2 M - k�
albo
mr2 - kd�
- = dt .
2k M - k�
Scałkujemy to równanie w granicach od 0 do � oraz od 0 do t:
t
mr2 � - kd�
- = .
+" +"dt
2k M - k�
0 0
Po wykonaniu całkowania i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu
otrzymamy:
mr2 M - k�
- ln = t
2k M
lub
M - k� 2kt
ln = - .
M mr2
Stąd prędkość kątowa
2kt
�# - ś#
M
ś#1- e mr2 ź#
� = .
ś# ź#
k
�# #
Z otrzymanego wzoru widzimy, że z upływem czasu t do nieskończoności drugi
wyraz w nawiasie będzie dążył do zera, czyli prędkość kątowa � będzie dążyć do
wartości maksymalnej równej:
M
�max = .
k
Obrót jednostajny bryły wokół osi dowolnej. Reakcje dynamiczne
Obecnie rozpatrzymy ruch bryły obracającej się ze stałą prędkością kątową �
wokół dowolnej osi podpartej w łożyskach, jak na rys. 7.27. Wskutek działania sił
czynnych na rozpatrywaną bryłę w łożyskach powstaną reakcje statyczne, które
można wyznaczyć z poznanych w statyce warunków równowagi. Zagadnienia tego
nie będziemy tutaj rozpatrywać, zajmiemy się natomiast siłami i momentami
wywołanymi przez zadany ruch. Innymi słowy, rozpatrzymy ruch bezwładny bryły
poruszającej się ze stałą prędkością kątową bez udziału sił zewnętrznych.
Na osi obrotu w punkcie O przyjmiemy początek nieruchomego układu
współrzędnych x, y, z oraz początek układu ruchomego x2 , y2 , z2 sztywno
związanego z bryłą. Założymy przy tym, że osie układu ruchomego są głównymi
osiami bezwładności, a środek masy nie leży na osi obrotu, czyli bryła jest
niewyważona zarówno dynamicznie, jak i statycznie.
Ponieważ prędkość kątowa � jest stała i jej rzuty �x2 , �y2 , �z2 na osie
ruchomego układu współrzędnych również są stałe, więc współrzędne
przyśpieszenia kątowego są równe zeru:
�x2 = � = �z2 = 0 . (f)
2
y
y
y2
z2
C
z rc
�
O
x2
x
Rys. 7.27. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi dowolnej
Zatem przyśpieszenie aC środka masy bryły wyrazi wzór:
aC = ��(�� rC ) = �(��" rC )- rC �2 . (g)
Jeżeli wektor wodzący rC środka masy zapiszemy za pomocą współrzędnych
w układzie ruchomym:
2 2 2 2 2 2
rC = xC i + yC j + zC k ,
to po zrzutowaniu wektora (g) na osie x2 , y2 , z2 i odpowiednim pogrupowaniu
wyrazów otrzymamy wzory na współrzędne przyśpieszenia aC środka masy:
2 2 2 2 �#
aCx2 = �y2 (�x2 yC - �y2 xC ) - �z2 (�z2 xC - �x2 zC ),
2 2 2 2
aCy2 = �z2 (�y2 zC - �z2 yC ) - �x2 (�x2 yC - �y2 xC ),�# (h)
Ź#
�#
2 2 2 2
aCz2 = �x2 (�z2 xC - �x2 zC ) - �y2 (�y2 zC - �z2 yC ).
�#
Po podstawieniu zależności (f) oraz wzorów (h) do równań (7.93) i zmianie
bieguna redukcji z C na O otrzymamy sześć równań opisujących omawiany ruch
bryły:
2 2 2 2
m[�y2 (�x2 yC - �y2 xC ) - �z2 (�z2 xC - �x2 zC )] = Wx2 ,
�#
2 2 2 2
m[�z2 (�y2 zC - �z2 yC ) - �x2 (�x2 yC - �y2 xC )] = Wy2 ,�#
�#
2 2 2 2 �#
m[�x2 (�z2 xC - �x2 zC ) - �y2 (�y2 zC - �z2 yC )] = Wz2 ,
�#
(7.96)
Ź#
(Iz2 - Iy2 )�y2 �z2 = MOx2 ,
�#
�#
(Ix2 - Iz2 )�x2 �z2 = MOy2 ,
�#
(Iy2 - Ix2 )�x2 �y2 = MOz2 .
�#
�#
Po uwzględnieniu we wzorze (7.91) zależności (f) oraz przyjęciu za biegun
redukcji zamiast punktu C nieruchomego punktu O pochodna krętu kO względem
czasu
d k
O
= �� k , (i)
O
dt
a po uwzględnieniu zasady krętu możemy napisać:
MO = �� k . (j)
O
Po pomnożeniu skalarnie obu stron powyższego wzoru przez prędkość kątową
otrzymamy:
MO�" � = (�� k )�" � = ��"(�� k ) = k �"(�� �) = 0 . (k)
O O O
Warunek ten można przedstawić w postaci:
MO�" � = MOx2 �x2 + MOy2 �y2 + MOz2 �z2 = 0. (l)
Z powyższego równania wynika, że moment główny MO wywołany przez siły
bezwładności jest w czasie obrotu bryły zawsze prostopadły do prędkości kątowej
�, czyli do osi obrotu. Gdy tak nie jest, obrót jednostajny bryły nie jest możliwy.
Ponadto z warunku (l) wynika, iż tylko dwa z trzech ostatnich równań (7.96) są
niezależne, czyli z równań (7.96) możemy w układzie x2 , y2 , z2 wyznaczyć pięć
składowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bryły. Ponieważ układ
x2 , y2 , z2 wiruje razem z bryłą wokół osi obrotu z prędkością kątową �, z tą samą
prędkością wirują reakcje w łożyskach względem układu nieruchomego x, y, z.
Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi.
Gdy środek masy bryły będzie się znajdował na osi obrotu, czyli bryła będzie
2 2 2
wyważona statycznie, wtedy xC = yC = zC = 0 i lewe strony trzech pierwszych
równań (7.96) będą równe zeru, a tym samym znikną siły wywołane przez
niewyważenie statyczne Wx2 = Wy2 = Wz2 = 0 . W tym przypadku z trzech
ostatnich równań (7.96) wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą
spowodowane przez moment MO związany z działaniem sił bezwładności.
Ponieważ na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopadły do osi obrotu,
zatem reakcje dynamiczne w łożyskach będą tworzyć parę sił wirującą z
prędkością równą prędkości kątowej �. Mówimy wtedy, że bryła jest niewyważona
dynamicznie.
Jeżeli oś obrotu będzie główną centralną osią bezwładności, np. oś z2 pokryje
się z osią z, to pozostałe osie x2 i y2 układu ruchomego będą do niej prostopadłe,
czyli �x2 = �y2 = 0 . Wynika z tego, że trzy pozostałe równania (7.96) znikają, a
tym samym znikają reakcje dynamiczne w łożyskach. Na podstawie powyższych
rozważań możemy sformułować następujący wniosek:
Jeżeli oś obrotu bryły jest główną centralną osią bezwładności, czyli bryła jest
wyważona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne są równe zeru.
Z przeprowadzonych w tym punkcie rozważań wynika, że ruch wirującej bryły
wywołuje okresowo zmienne siły działające na łożyska, które przenosząc się na
korpus maszyny, a dalej na fundament wywołują drgania. Drgania te powodują
przyśpieszone zużycie elementów maszyny, a także niekorzystnie wpływają na
otoczenie. Aby temu zapobiec, wirujące części maszyn projektuje się tak, aby oś
obrotu była główną centralną osią bezwładności. Jednak np. ze względu na błędy
wykonawcze spełnienie tego warunku nie zawsze jest możliwe. Dlatego wirujące
części maszyn są sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wyważane przez
odpowiednią korektę masy.
Przykład 7.15. Cienka jednorodna płyta prostokątna o masie m i bokach h oraz
b obraca się wokół przekątnej ze stałą prędkością kątową �. Obliczyć reakcje
dynamiczne łożysk A i B, jeżeli odległość między nimi wynosi L (rys. 7.28).
h
b
z2
RB
C
ą
�
z
A B
RB
x2
x
L
Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych łożysk
Rozwiązanie. Ponieważ środek ciężkości C płyty leży na osi obrotu, która nie
jest główną centralną osią bezwładnóści, reakcje w łożyskach A i B będą
spowodowane niewyważeniem dynamicznym. W środku ciężkości przyjmiemy
ruchomy układ współrzędnych sztywno związany z płytą w ten sposób, że osie
x2 i z2 są osiami symetrii płyty, a oś y2 jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.
W tym układzie współrzędnych prędkość kątowa � ma współrzędne:
�x2 = �siną, �y2 = 0, �z2 = �cosą .
Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równań (7.96) i po zastąpieniu
punktu O punktem C otrzymujemy: MCx2 = 0,MCz2 = 0 oraz
MCy2 = (Ix2 - Iz2 )�x2 �z2 = (Ix2 - Iz2 )�2sinącosą . (a)
Momenty bezwładności prostokątnej płyty względem osi symetrii otrzymamy ze
wzorów (d) wyprowadzonych w przykładzie 6.3:
mh2 mb2
Ix2 = , Iz2 = . (b)
12 12
Z rysunku wynika, że
b h
siną = , cosą = . (c)
2
h + b2 h2 + b2
Po podstawieniu oznaczeń (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy:
2
m (h - b2)bh
MCy2 = MC = �2 . (d)
12 h2 + b2
Z zależności (d) wynika, że wektor momentu MC leży na osi y2 , czyli jest
prostopadły do płaszczyzny płyty i wiruje razem z nią. Moment ten jest wywołany
przez parę sił (reakcji) RA i RB prostopadłych do osi obrotu. Wartoci momentu i
reakcji są równe:
MC m (h2 - b2)bh
MC = R L = R L, R = R = = �2 . (e)
A B A B
L 12 (h2 + b2)L
W czasie obrotu reakcje RA i RB wirują razem z płytą. Ponadto są one
proporcjonalne do kwadratu prędkości kątowej i w przypadku zbyt szybko
obracającej się bryły mogą osiągać duże wartości.
7.5.3. Ruch płaski bryły
W kinematyce ruchu bryły sztywnej ruchem płaskim nazwaliśmy ruch, w czasie
którego wszystkie punkty bryły zakreślają tory równoległe do pewnej płaszczyzny
nazywanej płaszczyzną ruchu lub płaszczyzną kierującą.
z2
z
�
MC
y2
C
W
rC
O
y
�
x2
x
Rys. 7.29. Ruch płaski bryły sztywnej
Na rysunku 7.29 przedstawiono przekrój bryły płaszczyzną ruchu przechodzącą
przez środek masy C. W dowolnym punkcie O przyjęto nieruchomy układ
współrzędnych x, y, z tak, że osie x, y leżą w płaszczyz
nie ruchu, a oś z jest do niej
2 2 2
prostopadła. Ruchomy układ współrzędnych x ,y ,z o początku w środku masy C
2 2
przyjęto w ten sam sposób, czyli osie x ,y poruszają się w płaszczyz
nie ruchu, a
oś z2 jest do niej prostopadła. Wynika z tego, że osie zi z2 są do siebie
równoległe.
W dalszych rozważaniach dynamiki ruchu płaskiego bryły przyjmiemy
następujące założenia:
a) oś z2 jest główną centralną osią bezwładności,
b) ruch bryły odbywa się pod wpływem sił działających w płaszczyz
nie ruchu.
Bryła poruszająca się ruchem płaskim ma trzy stopnie swobody, a więc do jego
opisu wystarczy podać trzy równania ruchu - dwóch współrzędnych środka masy
xC i yC oraz kąta obrotu � układu ruchomego względem nieruchomego.
Kinematyczne równania ruchu płaskiego (5.51) i (5.52) możemy zapisać w postaci:
xC = xC(t), yC = yC(t) oraz � = �(t). (7.97)
Zatem do opisu dynamiki ruchu płaskiego bryły niezbędne są trzy dynamiczne
równania ruchu. Do ich wyznaczenia wykorzystamy równania (7.93) opisujące
ruch bryły swobodnej.
Z założenia b) na podstawie własności płaskiego układu sił (3.8) wynika, że
wektor główny W będzie leżał w płaszczyz
nie sił, a moment główny MC będzie
prostopadły do tej płaszczyzny. Możemy w tej sytuacji zapisać:
Wz2 = 0 oraz MCx2 = MCy2 = 0 . (m)
Ponadto w ruchu płaskim bryły (p. 5.3.8) prędkość kątowa � jest prostopadła do
płaszczyzny ruchu, czyli
� = � = 0 . (n)
2 2
x y
Po uwzględnieniu zależności (m) i (n) równania (7.93) redukują się do trzech
dynamicznych równań ruchu płaskiego bryły.
maCx2 = Wx2 ,maCy2 = Wy2 ,Iz2 �z2 = MCz2 . (7.98)
Po wyrażeniu przyśpieszenia aC środka masy oraz wektora głównego W
w nieruchomym układzie współrzędnych x, y oraz uwzględnieniu, że �z2 = �
(wzór 5.63), równania (7.98) można zapisać następująco:
maCx = Wx , maCy = Wy , Iz2 � = MCz2 . (7.99)
Ponieważ współrzędne przyśpieszenia środka masy C w nieruchomym układzie
współrzędnych są równe drugim pochodnym względem czasu współrzędnych xC i
yC, powyższym równaniom można nadać postać
równań różniczkowych po uwzględnieniu drugiego wzoru (5.64):
d2xC d2yC d2�
m = Wx , m = Wy , Iz2 = MCz2 . (7.100)
dt2 dt dt2
Przykład 7.16. Na poziomym szorstkim stole znajduje się szpula, której środek
masy C leży na osi symetrii obrotu. Szpula ma masę m oraz dwa promienie R i r.
Rysunek 7.30 przedstawia szpulę w rzucie na płaszczyznę prostopadłą do osi
symetrii. Moment bezwładności względem tej osi wynosi IC. Z obwodu
o promieniu r odwija się nić, do której końca przyłożono stałą siłę poziomą P.
Wyznaczyć maksymalną wartość siły P = Pmax, pod wpływem której szpula będzie
się toczyć bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia statycznego między szpulą a
stołem jest równy �, a współczynnik tarcia tocznego f.
Dla tego przypadku wyznaczyć przyśpieszenie osi szpuli aC.
 Rozwiązanie. Na szpulę
y
działają dwie siły obciążające:
siła ciężaru szpuli G oraz siła P
powodująca ruch szpuli. Reakcję
stołu rozłożono na siłę tarcia T
r
�
aC
skierowaną w kierunku
przeciwnym do kierunku ruchu
C
oraz reakcję normalną N
R
G
P
przesuniętą w kierunku toczenia
szpuli o wartość współczynnika
tarcia tocznego f (rys. 3.11b).
N
T
Rozważany ruch szpuli jest
O
ruchem płaskim, zatem na x
f
podstawie wzoru (7.99)
dynamiczne równania ruchu
Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzględnieniem oporu
szpuli będą następujące :
toczenia
ma = P - T,
�#
C
�#
0 = N - G, (a)
Ź#
IC � = TR - Pr - Nf.�#
�#
Jeżeli szpula toczy się bez poślizgu, to między przyśpieszeniem środka szpuli i
przyśpieszeniem kątowym musi być spełniona następująca C zależność
kinematyczna:
aC = R� . (b)
Z drugiego z równań (a) wynika, że reakcja normalna jest równa ciężarowi szpuli:
N = G = mg , (c)
gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim.
Maksymalną wartość siły P otrzymamy, założywszy, że siła tarcia T jest
graniczną siłą tarcia o wartości (wzór 3.5):
T = �N = �mg . (d)
Jeżeli do pierwszego i trzeciego równania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w
trzecim uwzględnimy zależność (b), otrzymamy dwa równania:
maC = P - �mg,
�#
�#
aC (e)
IC = �mgR - Pr - f mg.Ź#
�#
R �#
W równaniach tych mamy dwie niewiadome: aCiP = Pmax . W celu
wyeliminowania przyśpieszenia aC podzielimy równania stronami i otrzymamy:
mR P - �mg
= .
IC �mgR - Pr - f mg
Stąd
2
(�mR - f mR + �IC)mg
P = Pmax = . (f)
IC + mRr
Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy
przyśpieszenie osi szpuli.
[�(R - r)- f]mgR
aC = . (g)
IC + mRr
Z otrzymanego wzoru wynika, że oś szpuli porusza się ze stałym przyśpiesze-
niem, czyli ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy
wyznaczenie równania ruchu xC = xC(t) = ? dla warunków początkowych, np.
dla t = 0, xC = 0 i vC = 0 .