10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1
10.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10.1. Wprowadzenie
Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w postaci:
M d�t�ąC  �ąKd =Pt (10.1)
t t
Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej chwili. Jest to odwołanie do
zasady d'Lamberta, która mówi, że dla układu będącego w ruchu równowaga musi być spełniona w każdej
chwili konkretnej przestrzeni czasowej.
Pt
Macierz M jest macierzą masową, macierz K - macierzą sztywności. Macierz jest macierzą
określającą przyłożone do układu obciążenia zewnętrzne. Natomiast C jest macierzą określającą tłumienie
układu. Macierz tą przyjmujemy najczęściej w postaci tzw. tłumienia proporcjonalnego (zależnego od
macierzy K i M) w postaci
C=�ą1 M �ą�ą2 K (10.2)
�ą1 �ą2
Współczynniki i wyznaczamy na podstawie udziału poszczególnych postaci drgań własnych.
Jeśli założymy wartość tłumienia i obciążenia zewnętrzne równe zero, otrzymamy równanie
M d�t�ąKd =0 (10.3)
t
czyli problem drgań własnych układu. Idąc dalej, stosując podstawienie
d =d �"sin �ąt (10.4)
t 0
i różniczkując dwukrotnie po czasie t
 =�ą d0 �"cos�ąt
t
(10.5)
d�t=-�ą2 d �"sin �ąt
0
otrzymujemy wartości, które podstawiamy do równania (10.3) i dostajemy
(10.6)
K źą
śą -�ą2 M d =0
0
Czyli równanie, które definiuje nam uogólniony problem własny. Równanie to ma n równań
rzeczywistych w postaci par: wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 2
10.2. Metody całkowania
Jak wiemy równanie ruchu jest równaniem różniczkowym. Zastanówmy się zatem nad sposobami
jego rozwiązywania. Ze względu na pewne własności macierzy K, M i C w analizie ruchu ciała
przedstawionego przy pomocy elementów skończonych zasadniczo stosujemy dwie metody: metodę
całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej.
10.2.1. Metody całkowania bezpośredniego
Metody całkowania bezpośredniego są metodami jawnymi. Polegają ona na tym, że równanie ruchu
jest całkowane krok po kroku. Równanie ma być spełnione tylko w wybranych chwilach  t , a nie w całym
przedziale całkowania.
Zakładamy, że w chwili t=0 znane nam są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia (czyli znamy
d dŁ0, d�0 ). Rozpatrujemy określony przedział czasowy (0,T), który dzielimy na n równych przedziałów, w
0,
których to poszukujemy naszych nieznanych wielkości. Rozważamy zatem chwile:
0, �ąt , 2�ąt , ... , t , t�ą�ąt , ... , T (10.7)
Zadanie polega na zbudowaniu algorytmu, który pozwoli nam na obliczeniu poszukiwanych wartości
w danym kroku przy wykorzystaniu wyliczonych wartości z kroku poprzedniego. W taki sposób otrzymamy
wartości we wszystkich chwilach czasowych z przedziału (0,T)
Pokażemy na przykładzie, tok postępowania przy rozwiązywaniu zadania z dynamiki przy pomocy
jednej z najbardziej efektywnych metod z grona metod całkowania bezpośredniego, a mianowicie metodą
różnic centralnych.
Zakładamy zmienność w czasie wektorów prędkości i przyspieszeń w postaci
d -d
1
t�ą�ąt t-�ąt
 C"
t
2 �ąt
(10.8)
1
d�tC"
śąd -2 d �ąd źą
śą�ąt źą2 t�ą�ąt t t-�ąt
Jeśli podstawimy operatory różnicowe (10.8) do (10.1) otrzymamy
d -d
1
t�ą�ą t t-�ą t
C�ąKd =Pt (10.9)
śąd -2 d �ąd źąM �ą 1
t
śą�ąt źą2 t�ą�ąt t t-�ą t 2 �ąt
dt�ą�ą t
Z równania (10.9) obliczamy poszukiwany stan przemieszczeń w chwili t�ą�ąt czyli .
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 3
Należy zwrócić uwagę, że rozwiązanie to otrzymujemy na podstawie rozwiązania w chwili t. Stąd też
metodę tę zaliczamy do metod jawnych (explicite). Dużą zaletą tego sposobu rozwiązywania równania
(10.9) jest fakt, iż nie musimy odwracać macierzy sztywności.
Należy zwrócić uwagę, że obliczanie wyników w kolejnych chwilach z wykorzystaniem wyników
otrzymanych w chwilach poprzednich wymaga przyjęcia pewnej procedury startowej. Warto zaznaczyć, że
zakładamy tutaj, iż wektory d dŁ0, d�0 są znane w chwili początkowej czyli w chwili t=0. Stąd też
0,
wykorzystując wzory (10.8) możemy wyznaczyć wektor przemieszczenia d w fikcyjnej chwili, która
poprzedzać będzie początek ruchu czyli dla chwili t-�ąt :
�ąt2
(10.10)
d =d -�ąt  �ą d�0,
t-�ąt 0 0
2
Zaznaczmy, że metody jawne są tylko warunkowo stabilne, dlatego też wymagane jest zastosowanie
małych kroków całkowania �ąt przy obliczaniu kolejnych wartości. Krok nie może być dowolnie duży,
lecz musi spełniać poniższą zależność
T
n
�ątąą�ątkr= , (10.11)
Ćą
T
gdzie jest najmniejszym okresem drgań układu
n
Niespełnienie warunku (10.11) powoduje narastanie  akumulację błędów całkowania i zaokrągleń w
trakcie rozwiązywania równań ruchu.
Algorytm obliczeń dla metody całkowania jawnego:
" Obliczamy macierze K, C, M
" Następnie obliczamy d dŁ0, d�0,
0,
" Określamy stałe
1
1 1
a2 =2 a0 a3 =
a0= a1= (10.12)
a2
2�ąt
�ąt2
�ąt2
" Obliczamy
d =d -�ąt dŁ0 �ą d�0
t-�ąt 0
2

ą
" Wyznaczamy
M

ą=a0
M M �ąa1 C (10.13)

ą
" Triangularyzacja macierzy przy pomocy wzoru
M

ą=L
(10.14)
M D LT
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 4
" Obliczenia dla każdego kroku:
ęą
- wektora obciążenia efektywnego
R
ęą
R=Rt-śąK -a2 M źąd -śąa0 M -a1 C źąd (10.15)
t t-�ąt
- rozwiązanie równania (10.9) dla chwili t�ą�ąt
ęą
LT DLd =R (10.16)
t�ą�ąt
-obliczenie wektorów prędkości i przyspieszeń:
 C"a1 t�ą�ą t-d
śąd źą
t t-�ąt
(10.17)
d�tC"a0 t�ą�ąt-2 d �ąd
śąd źą
t t-�ąt
W przypadku braku tłumienia czyli gdy C=0 , równanie (10.9) upraszczamy do postaci
1
ęą
śąM źąd =Rt
(10.18)
�ąt2 t�ą�ąt
gdzie
2 -1
ęą
R=R- K - M d - M d
(10.19)
śą źą śą źą
�ąt2 �ąt2
Jeśli w równaniu (10.18) macierz mas będzie diagonalna, wówczas rozwiązania otrzymujemy poprzez
wykonanie określonego wzorem (10.19) mnożenia
�ąt2
dśąiźą =Ręąśąiźą (10.20)
t�ą�ąt t
mii
ęą
d mii
gdzie dśąiźą oraz będą oznaczać i-te składowe wektorów i Rt , natomiast
Ręąśąi źą t�ą�ąt
t�ą�ąt
t
miią0
odnoszą się do i-tej składowej diagonalnej macierzy mas (należy jednakże spełnić założenie, że .
Zauważmy, że nie musimy znać macierzy globalnych (zarówno macierzy sztywności K jak i macierzy
mas M). Dzieje się tak dlatego, bo nie rozwiązujemy układu równań liniowych. Macierze K i M mogą być
określone na poziomie elementów.
Wśród metod całkowania jawnego możemy wymienić, oprócz metody różnic centralnych, między
innymi metodę Houbolta, Wilsona i Newmarka. Metody te, pod warunkiem przyjęcia pewnych wartości
współczynników charakterystycznych dla danej metody, należą do metod bezwarunkowo stabilnych.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 5
10.2.2. Metody superpozycji modalnej
Równanie ruchu ma postać:
M d�t�ąC  �ąKd =Pt (10.21)
t t
� Ł
M d �ąC d �ąKd =Pt�ą�ąt (10.22)
t�ą�ą t t�ą�ąt t�ą�ą t
Ł �
d = �ą 1 -�ą d�t�ą�ą d (10.23)
śą źą
[ ]�ąt
t�ą�ą t t t�ą�ąt
2 1
� �
d =d �ą �ą �ąt -�ą d �ą�ą d 5! (10.24)
śą źą
t�ą�ą t t t t t�ą�ąt
śą źą
[ ]
2
�ą ,�ą - parametry przyjmowane na podstawie rozwiązań dotyczących dokładności i stabilności
1
otrzymanych rozwiązań �ą=1 �ą=
6 2
�
d
Rozwiązując 5! względem otrzymamy:
t�ą�ąt
2
1 1
� �
d = d -d - �ąt-śą źą -�ą d (10.25)
�ąt
t�ą�ąt t
śą źą
[ ]
2
�ąśą�ątźą2 t�ą�ą t t t
�ą �ą �ą
�
 = (10.26)
śąd -d źą�ą 1- �ą  �ą�ąt 1- 2�ą d
t�ą�ąt t�ą�ą t t t t
śą źą śą źą
�ą�ąt
1 2 1
�
d -d - �ąt-śą źą -�ą d �"M �ą�ą=Pt�ą�ą t (10.27)
�ąt
t
śą źą
[ ]
2
�ąśą�ąt źą2 t�ą�ąt t t
�
d d
Z równania tego obliczamy niewiadomy wektor przemieszczeń i podstawiamy do
t�ą�ą t t�ą�ą t

i
t�ą�ąt
Jeśli liczba kroków i liczba stopni swobody układu jest duża, wówczas efektywność obliczeń
metodami całkowania bezpośredniego jest niesatysfakcjonująca. Należy wtedy posłużyć się innymi
metodami - metodami niejawnymi (implicite), do których można zaliczyć metodę superpozycji modalnej.
Należy tutaj dokonać przekształcenia równania równowagi (10.1) do postaci, która będzie wymagała
od nas mniejszego nakładu pracy.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 6
Dokonajmy takiego przekształcenia wykorzystując rozwiązanie problemu drgań własnych (a więc
pomijamy obciążenie zewnętrzne i tłumienie)
�
(10.28)
M d �ąK d =0
�ą2 , �ąi
Rozwiązaniem równania (10.28) jest n par , czyli macierze i �ą w postaci
śą2
śą źą
i
2
�ą1
�ą2
2
.
śą2 = , �ą2 = �ą1 �ą2 . . . �ąn (10.29)
[ ]
.
.
[ ]
�ą2
n
Spełniony jest tutaj tzw. warunek M-ortogonalności wektorów własnych
(10.30)
�ąT M �ą=1
oraz warunek
(10.31)
�ąT K �ą=śą2
Dokonajmy transformacji równania (10.1) stosując podstawienie
d śąt źą=�ą X śątźą (10.32)
Otrzymujemy w ten sposób równanie ruchu
M �ą Ś �ąC �ą � �ąK �ą X =P (10.33)
Następnie przemnażamy lewostronnie przez i otrzymujemy
�ąT
(10.34)
�ąT M �ą Ś �ą�ąT C �ą � �ą�ąT K �ą X =�ąT P
Jeśli wez
miemy pod uwagę warunki (10.31) i (10.32) dostaniemy ostatecznie
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 7
(10.35)
Ś �ą�ąT C �ą � �ąśą2 X =�ąT P
Uzupełniamy równanie (10.34) warunkami początkowymi
X =�ąT M d
0 0
(10.36)
� =�ąT M 
0 0
Z równania (10.34) wynika, że jeżeli przyjmiemy macierz tłumienia równą zero tzn. pominiemy człon
to otrzymamy układ równań rozprzężony
�ąT C �ą �
(10.37)
Ś �ąśą2 X =�ąT P ,
co możemy zapisać jako n równań skalarnych postaci
2
(10.38)
ćiśąt źą�ą�ąi xiśąt źą=riśąt źą ,
gdzie
(10.39)
riśątźą=�ąT P śąt źą
i
Warunki początkowe otrzymujemy z (10.36)
xi0=�ąT M d ,
i 0
(10.40)
xi0=�ąT M  ,
Ł
i 0
Zaznaczmy, że rozwiązanie równań (10.38) możemy prowadzić przy wykorzystaniu metod
całkowania bezpośredniego lub przy wykorzystaniu tzw. całki Duhamela
t
1
xiśąt źą= riśą�ąźąsin �ąiśąt-�ąźąd �ą�ą�ąi sin �ąi t�ą�ąi cos�ąi t
(10.41)
+"
�ąi o
�ąi �ąi
stałe i wyznaczamy z warunków poczatkowych (10.40)
W naszym zadaniu po rozwiązaniu n równań musimy powrócić do transformacji (10.32). Otrzymamy
wówczas ostateczne rozwiązanie
n
(10.42)
d śąt źą= �ąi xiśąt źą
"
i=1
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 8
10.3. Przykłady
Równanie równowagi dynamicznej każdego punktu w każdej chwili:
[M ] d�t �ą[C ]  �ą[ K ] pt (10.43)
[ ] [ ] [d ]=[ ]
t t
Rozwiązanie tego równania mówi nam, jak dany element przemieścił się w każdej chwili.
Przykłady:
k1
k1
m1
x1
p1
k2
k2
m2
x2
p2
k3
k3
m3
x3
p3
Rys. 10.1. Przykład 1
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 9
x2 x3
x1
k1 k2 k3
p2
p1 p3
c2
c1 c3
tłumik
Rys. 10.2. Przykład 2
Równanie równowagi zapisane macierzowo:
k1�ąk2 -k2 0 x1 c1�ąc2 -c2 0 �1 m1 0 0 ć1 P1
�ą �ą =
-k2 k2�ąk3 -k3 x2 -c2 c2�ąc3 -c3 �2 0 m2 0 ć2 P2
{ } { } { } { } (10.44)
[ ] [ ] [ ]
0 -k3 k3 x3 0 -c3 c3 �3 0 0 m3 ć3 P3
[ K ]{x}�ą[C ]{�}�ą[M ]{ć}={P}
Przykład obliczeniowy:
x2
x1
k1=k k2=2k
Q(t)=0
m1=m m2=2
m
x1 �ą ć1 =
3 k -2 k m 0 0
(10.45)
[ ] [ ] { }
{ } { }
-2 k 2 k 0 2 m 0
x2 ć2
X =A1 sinśą�ąt�ą�ąźą
(10.46)
1
X =A2 sinśą�ąt�ą�ąźą
(10.47)
2
Obliczamy drugą pochodną po czasie wyrażeń 10.46 i 10.47
Ś =-A1�ą2 sinśą�ąt�ą�ąźą (10.48)
1
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10
Ś =-A2�ą2 sinśą�ąt�ą�ąźą (10.49)
2
i podstawiamy do równania 10.45, otrzymując
A1 -m�ą2 A1 =
3 -2 1 0 0
k
(10.50)
[ ] [ ] { }
{ } { }
-2 2 0 2 0
A2 A2
m �ą2
Podstawiamy :
�ą=
k
3-�ą -2 A1 =
0
(10.51)
{ }
[ ]
{ }
0
-2 2-2�ą A2
Przykładowa postać rozwiązania:
�ą1=0,2673 �ą2=3,730
(10.52)
A1=0,732 A2 A1=-2,735 A2
I postać:
0,73 1,0
10.4. Ekstremalna wartość własna
śą[ A]-�ą[ B]źą[ X ]={0} (10.53)
(10.54)
[ A][ X ]=�ą[ B][ X ] /[ B]-1
[ B]-1[ A X ]=�ą[ B]-1[ B X ]
�ą][ �ą][
(10.55)
[C ] [ I ]
Otrzymujemy:
[C ][ X ]=�ą[ X ] (10.56)
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 11
[C ] X X X
(10.57)
[ ]=[ ]=�ą[ ]
i i�ą1 i�ą1
Dokonujemy iteracji:
[C ] X X X
[ ]=[ ]=�ą [ ]
0 1 1 1
[C ] X X X
[ ]=[ ]=�ą [ ]
1 2 2 2
(10.58)
�"
C X X X
[ ]
[ ]=[ ]=�ą [ ]
k-1 k 2 k
Przykład:
30 6 5 l 1 0 0 l
=�ą
6 30 9 m 0 1 0 m (10.59)
[ ][ ] [ ][ ]
5 9 30 n 0 0 0 n
" iteracje
i=0:
30 6 5 0 5 0,166
= =30
6 30 9 0 9 0,300 (10.60)
{} { } { }
[ ]
5 9 30 l 30 1,000
0 i l
i=1:
30 6 5 0,166 11,780 0,352
= =35,59
6 30 9 0,300 18,996 0,566 (10.61)
{ } { } { }
[ ]
5 9 30 l ,000 35,530 1,000
Następne iteracje powtarzamy do momentu, kiedy otrzymane wartości będą zbliżone:
30 6 5 0,766 0,78
=43,49
6 30 9 1,000 1,00 (10.62)
{ } { }
[ ]
5 9 30 0,982 0,97
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 12
10.5. Dynamika konstrukcji
W przypadku dynamiki konstrukcji macierz mas wyrażona za pomocą funkcji kształtu i gęstości jest
postaci:
T
M = �ąe N N dV
"+"
e e e
(10.63)
e
V
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater