Dynamika klasyczna
Zasady dynamiki Newtona
(Isaac Newton, 1687; duże ciała, małe prędkości)
I. Ciała odosobnione pozostają w spoczynku
lub poruszają się ze stałą prędkością po linii prostej,
(zasada bezwładności, za Galileuszem),
II. Szybkość zmiany pędu ciała równa jest
sile zewnętrznej działającej na to ciało,
dp /dt = F (równanie wektorowe!; p = m v)
lub w postaci skalarnej dpx/dt = Fx,
dpy/dt = Fy, (zasada niezależności ruchów)
dpz/dt = Fz,
dla m=const m a = F
III. Każde działanie wywołuje równe przeciwdziałanie;
Siły, którymi ciała działają na siebie, są równe co do wartości
i kierunku, lecz przeciwne co do zwrotu
Czy prawa Newtona są zawsze spełnione?
III. Każde działanie wywołuje równe przeciwdziałanie;
Siły, którymi ciała działają na siebie, są równe co do wartości
i kierunku, lecz przeciwne co do zwrotu
m1* F12*
v
F12
m1 m2
F21
m1m2
Fg = G er
r2
Jednak dla v1,2 << c �! F12*= F12= F21
I.+II. Ciała odosobnione pozostają w spoczynku lub
poruszają się ze stałą prędkością po linii prostej,
Dwa układy odniesienia poruszają się względem siebie
z pewnym przyspieszeniem au;
z
z
au
r (t)
r(t)
y
x
y
x
jeśli zasada bezwładności spełniona jest w jednym z nich,
to nie może być spełniona w drugim.
analogicznie II zasada dynamiki;
Zbiór układów odniesienia Zbiór układów z przyspieszeniem
(II.) o.k.
(II.)
bez przyspieszenia ukł. inercjalne ukł. nieinercjalne
II.Klas. Iloczyn masy i przyspieszenia ciała
równy jest sile zewnętrznej działającej na to ciało
F = m a
?
Brak niezależnych sposobów określenia masy i siły
 ...Jeśli odkryliśmy podstawowe prawo mówiące, że siła jest równa
iloczynowi masy i przyspieszenia, a następnie definiujemy siłę jako
iloczyn masy i przyspieszenia, to niczego właściwie nie
odkryliśmy....Prawdziwą treścią praw Newtona jest to, że siła, poza
tym, że spełnia równanie F = m a, ma jeszcze inne niezależne
cechy, których jednak nie opisał Newton, ani nikt inny, i dlatego
prawo fizyczne F = m a nie jest pełne ....
Richard P. Feynman
Nie-inercjalne układy odniesienia
Oznaczenia:
Oxyz  inercjalny układ odniesienia
Ox y z  porusza się z przyspieszeniem au względem Oxyz
- nieinercjalny
Opis ruchu ciała poruszającego się w przestrzeni:
prędkość v względem Oxyz; v względem Ox y z
przyspieszenie a  a 
Transformacja Galileusza wiąże oba układy:
v(t) = v (t) + vu(t),
d v/dt = d v /dt + dvu /dt
a = a + au
W układzie inercjalnym Oxyz słuszne jest:
m a = F,
W układzie nieinercjalnym Ox y z :
m a = ?
Na podstawie Tr. Galileusza:
a = a  au
m a = m (a  au) = ma  mau
ma = F - mau
Przyjmując - m au = Fb,  siła bezwładności
II prawo dynamiki Newtona uzupełnione o siłę bezwładności Fb
można stosować także w układach nieinercjalnych:
ma = F + Fb ,
{Fb = - (m au )}
Siły [jednostka: 1 niuton = 1 kg* 1 m/s2]
- -rzeczywiste
- -fikcyjne (pozorne, bezwładności)
Siły rzeczywiste =oddziaływania między ciałami (z
ródło materialne):
-grawitacyjne
-elektromagnetyczne (tarcia, sprężystości)
- jądrowe silne (krótkozasięgowe)
-słabe (krótkozasięgowe)
Siły fikcyjne = brak rzeczywistego z
ródła (oddziaływującego ciała);
1. Siła bezwładności nie jest siłą rzeczywistą lecz tzw. fikcyjną,
tj. umowną i występuje wyłącznie w układach nieinercjalnych
2. Podstawową cechą sił bezwładności (jednak niespecyficzną!)
jest ich proporcjonalność do masy m ciał, na które działają
3. Siły fikcyjne są określone własnościami układu odniesienia, a nie
oddziaływaniem wzajemnym ciał.
2-ga. cecha sił bezwładności jest wspólna także dla sił grawitacji
Siły bezwładności
1. Siła bezwładności w układzie Ox y z poruszającym się ruchem
prostoliniowym z przyspieszeniem au
N
N
au
fikcyjnaFb
Fwyp
Fg
Fg
Obserwator Oxyz ( nieruchomy ): Obserwator Ox y z :
kulka porusza się z au; kulka nieruchoma, a =0
Siła wypadkowa : Siła wypadkowa :
Fwyp=N + Fgr + Fb = 0
Fwyp=N + Fgr = m au (`" 0 )
W obu układach  po uwzględnieniu siły bezwładności -
II prawo dynamiki jest spełnione !
2. Siły bezwładności w układzie Ox y z poruszającym się
ruchem obrotowym z prędkością kątową � i
przyspieszeniem dośrodkowym au = - �2 R
2.1. Odśrodkowa siła bezwładności
�
y
Fb N R
v
x
Fb = - m au = -m �2 R
Dla obserwatora w układzie wirującym Ox y z (nieinercjalnym)
ciało (kulka) pozostaje w spoczynku, jeśli Fwyp = N + Fb = 0;
�! II prawo dynamiki (po uwzględnieniu siły bezwł.) jest spełnione.
Odśrodkowa siła bezwładności występuje także
dla kulki poruszającej się w układzie wirującym
Gaspard-Gustave de Coriolis
2.2. Siła Coriolisa
(1792  1843)
francuski fizyk i matematyk.
�
vu
R Wukładzie Ox y z
v
poruszającym się ruchem
Fc
obrotowym ciało porusza się z
vu Fbo
prędkością v po okręgu
Dla obserwatora Oxyz ( nieruchomego ; przypadek kolinearny) :
Prędkość ciała v= v + vu = v + � R
Przyspieszenie normalne (dośrodkowe)an = v2/R = (v + � R)2 /R
an = (v )2/R + 2v � + �2 R
Dla obserwatora Ox y z ( wirującego ) :
Prędkość ciałav
Przyspieszenie a = (v )2/R
Różnica : an  an = 2v � + �2 R
stanowi dodatkowe przyspieszenie (fikcyjne) obserwowane
w układzie nieinercjalnym (wirującym) Ox y z , przy czym:
- przyspieszenie (�2 R) związane jest z odśrodkową siłą bezwładności
Fbo = m �2 R dla ciała o masie m ,
- przyspieszenie ( 2v � ) związane jest z siłą Coriolisa
FC = 2m v �
Ogólnie przyspieszenie i siła Coriolisa
Fc = 2m (v x �)
ac = 2(v x �)
Siła Coriolisa działa w płaszczyz
nie prostopadłej do osi obrotu
wyłącznie na ciała poruszające się (v `"0) w układach wirujących.
Siła Coriolisa w ziemskim układzie odniesienia
�
Fc = 2m (v x �)
Pn
V
Fc
W
Z
Pd
Siła Coriolisa w ziemskim układzie odniesienia
�
Fc = 2m (v x �)
Pn
V
Fc
Fc
W
Z
Pd
Rzeki, tory, pasaty/antypasaty
RITA
Wahadło Foucault a
Jean Bernard Leon FOUCAULT (1819-1868) francuski fizyk, eksperymentator i wynalazca
1850 - dowiódł, że światło porusza się wolniej w wodzie niż w powietrzu,
1851- zademonstrował obrót Ziemi przy pomocy wahadła,
1852 - wynalazł żyroskop,
1855 - odkrył prądy wirowe, znane obecnie jako prądy Foucaulta,
1858 - ulepszył lustra dla teleskopów
ulepszył metodę pomiaru prędkości światła, zbudował pryzmat polaryzacyjny, i fotometr.
Wahadło Foucault a (1851r.)
Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu
wahadła obraca się z prędkością kątową:
�1 = � sinĆ
W Warszawie (Ć=52�): �1 H" 12�/h
Dla startu z położenia równowagi (A)
Start z wychylenia maksymalnego (B)
Pokaz publiczny, głównie dla kolegów naukowców, odbył się
w Obserwatorium Paryskim 3.II.1851 r. z wahadłem o długości 11 m
"Vous ętes invit�s
a venir voir
tourner la terre..."
Pokaz wywołał ogromne wrażenie i książę Louis Napoleon Bonaparte, przyszły
Napoleon III, poprosił Foucaulta o zademonstrowanie eksperymentu szerokiej
publiczności. Miało to miejsce 26.III.1851 r. pod kopułą Pantheonu przy pomocy
wahadła o długości 67 m z podwieszoną kulą armatnią o ciężarze 28 kg.
Pokaz wywołał póz
niej ogromną liczbę podobnych eksperymentów na całym świecie.
Wahadła Foucaulta obecnie
L M
Miejsce (nazwa oryginalna) Miejsce (nazwa polska) Kraj
(m) (kg)
Oregon Convention Center in Portland Centrum Kongresowe w Portland USA 27 408
University of Colorado Uniwersytet Kolorado USA 40 300
Museum of Science and Industry, Chicago Muzeum Techniki i Przemysłu, Chicago USA 20 300
National Museum of American History, Washington, Muzeum Narodowe Historii Amerykańskiej,
USA 21 105
DC Waszyngton
Indiana State Museum Muzeum Stanowe w Indianie USA 26 96
United Nations, New York, N.Y. Siedziba ONZ, Nowy Jork USA 23 91
Zamek Książąt Pomorskich w Szczecinie, Szczecin Zamek Książąt Pomorskich w Szczecinie, Szczecin Polska 28,5 76
Wydział Fizyki Uniwersytetu im. Adama Wydział Fizyki Uniwersytetu im. Adama
Polska 10 52
Mickiewicza, Poznań Mickiewicza, Poznań
Wieża Radziejowskiego- dawna dzwonnica, Frombork Wieża Radziejowskiego- dawna dzwonnica, Frombork Polska 28,5 46
Instytut Fizyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Instytut Fizyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika,
Polska 16 29
Toruń Toruń
Franc
Pantheon, Paris Panteon w Paryżu 67 28
ja
Kościół św. Piotra i Pawła w Krakowie, Kraków Kościół św. Piotra i Pawła w Krakowie, Kraków Polska 46,5 25
Wnioski z analizy praw Newtona
I. Inercjalne układy odniesienia;
Układy, w których I prawo Newtona (zasada bezwładności,
z uwzględnieniem tylko sił rzeczywistych) jest spełnione
nazywamy inercjalnymi.
Twierdzenie
Układem inercjalnym jest każdy układ
poruszający się bez przyspieszenia (ruchem jednostajnym po prostej)
Dowód
Niech Oxyz będzie wybranym Układem Inercjalnym (U.I.) F=ma;
transformacja Galileusza dla dowolnego innego układu Ox y z :
v = v + vu ; jeśli au = 0, to vu = const
d v/dt = d v /dt + d vu/dt
a = a i F=ma
II. Prawa dynamiki klasycznej w inercjalnych układach
odniesienia są niezmiennicze względem transformacji Galileusza
t.zn. pozostają niezmienione we wszystkich układach inercjalnych;
W układach inercjalnych: a = a
m = m
F = F (rzeczywista)
�! (m a= m a ) = inv
co potwierdza zasadę względności Galileusza
(tj. nie można obiektywnie odróżnić układów U.I. �! ruch jest względny)
III. Mechanika klasyczna (Newtona) jest słuszna dla dużych mas
i małych prędkości:
m>>(masa atomu),
m=const, (m1) + (m2) = (m1+ m2),
v <Prawa zachowania
Definicja 1.
Układem mechanicznym zamkniętym (izolowanym)
nazywamy zbiór ciał wydzielonych z otoczenia, na które nie działają siły
pochodzące od ciał nie należących do układu (t.zw. siłyzewnętrzne)
Definicja 2.
Całką ruchu układu mechanicznego jest taka funkcja stanu układu
(t.j. funkcja współrzędnych i prędkości ciał),
która zachowuje stałą wartość podczas ruchów układu
Twierdzenie:
W układzie mechanicznym zamkniętym istnieją 3 addytywne całki ruchu
1. pęd
2. energia
3. moment pędu
Wniosek 1
Oznacza to,
że istnieją 3 prawa zachowania: energii, pędu, i momentu pędu
Prawa zachowania są prawami ścisłymi -
w odróżnieniu np. od praw Newtona są spełnione nawet wtedy,
gdy prawa Newtona są niespełnione.
I. Prawo zachowania pędu
W układzie zamkniętym (t.zn. gdy na układ nie działają
siły zewnętrzne) całkowity pęd układu jest stały
Dowód:
F1 F2
" p1 " p2
Niech będzie zamknięty układ dwóch cząstek:
Na podstawie II+III prawa Newtona:
(F1) dp1/dt = - dp2/dt (-F2),
d(p1 + p2)/dt = 0,
(p1 + p2) = pc = const
pęd układu zamkniętego jest stały
Zasada zachowania energii
Niech układ składa się z 1 ciała, na które działa wypadkowa siła F:
(II prawo dynamiki) m(dv/dt) = F*
(definicja prędkości) v dt = ds
m v (dv) = F ds
d(�mv2) = F ds // +"
"(�m v2) = +" F ds
Definicja 3.
Wielkość (�m v2)
nazywamy energią kinetyczną Ek ciała o masie m i prędkości v
Definicja 4.
Wielkość F ds (+" Fds)
nazywamy pracą dW (W) wykonywaną przez siłę F na drodze ds
" Ek = W
Jeśli układ jest zamknięty, F = 0, i :
"(�m v2) = +" F ds = 0
"Ek = 0 (W=0)
Wniosek (zasada zachowania energii kinetycznej)
W układzie zamkniętym energia kinetyczna Ek jest zachowana
Pole sił
Definicja 5.
Pole sił nazywamy zachowawczym lub potencjalnym,
jeśli praca tych sił nad ciałem nie zależy od drogi, po której ciało się
porusza, a tylko od punktu początkowego i końcowego ruchu;
siły takiego pola nazywamy siłami zachowawczymi.
Definicja 6.
Pole sił, w którym kierunek siły działającej w każdym punkcie
przechodzi przez wspólne nieruchome centrum,
a wartość siły zależy tylko od odległości punktu od tego centrum,
nazywamy polem centralnym: F = f(r) er
Definicja 7.
Pole sił, w którym w każdym punkcie siły są takie same co do
wartości, kierunku i zwrotu (F=const) nazywamy jednorodnym
Twierdzenie
Pole centralne jest polem zachowawczym
Twierdzenie
Pole jednorodne jest polem zachowawczym
Energia potencjalna pola zachowawczego
Definicja:
Funkcja U(x,y,z) taka, że:
U1 - U2 = W12 , (t.zn. - "U = "W,
oraz U(r") = Uo = 0 i podobnie: - dU= dW)
nazywa się energią potencjalną w polu zachowawczym
Zatem U(x,y,z) = U(x,y,z) - Uo = Wr,"
Przy tym dla każdego pojedyńczego ciała:
" Ek = W12 = U1 - U2 = - " U
Wniosek
W polu zachowawczym przyrost energii kinetycznej ciała jest równy
ubytkowi jego energii potencjalnej
" Ek = - "U ("U = U2-U1)
" Ek = W12 = U1 - U2
Ek2 - Ek1 = U1 - U2
Ek2 + U2= Ek1 + U1
Definicja 9.
Wielkość Ec = Ek + U nazywamy energią mechaniczną całkowitą ciała
Ogólnie (dla dowolnego układu ciał - również otwartego):
II. Prawo zachowania mechanicznej energii całkowitej
Całkowita energia mechaniczna układu ciał
w polu zachowawczym jest stała
Energia potencjalna w polu sił
Praca dW przesunięcia na drodze ds w polu sił na podst. definicji 4:
dW = F ds (W = +" F ds )
Podobnie, praca przemieszczenia ciała o dx (dy=0, dz=0),
w potencjalnym polu sił F(x,y,z), w którym określona funkcja
energii potencjalnej U = U(x,y,z):
dW = Fx dx
Na podst. definicji - dU = dW
- dU= Fx dx ,
Wniosek:
Fx = - dU/dx
Każda z funkcji:
analogicznie Fy = - dU/dy, Fz = - dU/dz,
siła F(x,y,z)
i energia potencjalna
ale F = Fxex + Fyey + Fzez
ciała U = U(x,y,z)
F = - (�U/�x ex , �U/�y ey , �U/�z ez)
jednoznacznie
F = - grad U
określa pole sił
Prawo zachowania momentu pędu
Definicja 1.
Momentem siły F względem ustalonego punktu O jest pseudowektor
N = r x F,
r
F
O
Moment siły charakteryzuje zdolność siły do obracania ciała
względem ustalonego punktu (osi)
Definicja 2.
Momentem pędu M ciała* względem ustalonego punktu O
nazywamy pseudowektor
r
M = r x p,
O
v
r- promień względem O
Moment pędu układu ciał :
Mu = Ł Mi
Twierdzenie
Moment pędu układu ciał jest stały
jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru
Dowód:
d p/dt = F
r x/
d(r x p)/dt = r x F
dM/dt = N / Ł
d Mu/dt = Nwyp , (analog II zas. dynamiki w r. obr.)
Nwyp = 0 �! Mu = const
III. Zasada zachowania momentu pędu:
Moment pędu zamkniętego układu cząstek jest stały
Zderzenia
Zderzenie centralne niesprężyste (bez zachowania energii kinetycznej)
jednakowych mas poruszających się z jednakowymi prędkościami
(z reguły symetrii: symetria zagadnienia +
mm
+v -v
pu = 0
symetria warunków = symetria wyniku
v = 0 lub v1 = -v2 ;
m+m = 2m
(pęd układu w każdej chwili jest zerowy,
energia kinetyczna jest tracona)
Zagadnienie odwrotne:
-v; -p(t) +v; +p(t)
pu (t) = 0. p1 = -p2
Dla dowolnych mas i prędkości : m1v1 + m2v2 = (m1 +m2) v
po
przed
Napęd rakietowy
RAKIETA
GAZY
v V
M
m
pu (t) = 0
m(t) v(t) = M(t) V(t)
Zderzenie centralne sprężyste (z zachowaniem energii kinetycznej)
(z reguły symetrii: symetria zagadnienia +
symetria warunków = symetria wyniku
v = 0 lub v1 = -v2 ;
I. równe masy, równe prędkości
+v; -v
-v +v
E1
pu (t) = 0
Eu = 2E1=const
II. równe masy, poruszająca się i spoczywająca
v
v
pu (t) = p1
Eu = E1=const
III. w ogólnym przypadku różnych mas i prędkości
(Ł m v ) = (Ł m v )
(Ł �mv2) = (Ł �mv2)
Przekazywanie pędu
v v
Eksperymentalny dowód na :
1. II prawo dynamiki (F dp/dt)
2. zachowanie pędu i energii układu
Elementy mechaniki bryły sztywnej
Definicja 1
Środek masy układu ciał rc
mi , dm
Ł mi ri = m rc
Środek masy bryły sztywnej
rc
ri , r
rdm = mrc
+"
1
rc = rdm
+"
m
Twierdzenie:
Środek masy rc sztywnego układu ciał (bryły) porusza się
pod wpływem sił zewnętrznych tak, jakby poruszał się
punkt materialny o takiej samej masie pod wpływem tych samych sił
Dowód
z definicji (Ł mi ri = m rc ) /d2/dt2
(Ł Fzew =) (Ł mi ai ) = m ac
Ruch obrotowy bryły wokół nieruchomej osi
Moment bezwładności
z
Moment pędu elementu i wzgl .p. O:
vi
�
Ri
Mi = ri x mivi ; ri Ą"vi
�#Mi �#= Mi = mi ri (vi) = mi ri (� Ri)
Mi ą ri
O
rzut Mi na oś obrotu z :
(Mi)z = Mi cos ą = mi ri cos ą � Ri = mi Ri � Ri = � mi Ri2
rzut Mz momentu pędu całej bryły (tj. moment pędu bryły wzgl.osi z):
Mz = Łi(Mi)z = Łi � mi Ri2 = � Łi miRi2
Definicja 2.
Wielkość Ł miRi2 (+"Ri2dm ) jest momentem bezwładności Iz układu
(bryły) względem ustalonej osi (z)
Mz = Iz � (analog p = m v)
Moment bezwładności
Z definicji: I = Ł mi Ri2 układu ciał
I = +" (Ri2) dm bryły
Ri - odległość elementu mi od osi obrotu,
Wniosek 1
Moment bezwładności jest wielkością addytywną (z definicji)
Wniosek 2
Moment bezwładności zależy od masy bryły i jej rozkładu (Ri2);
przy zmianie rozkładu masy i momentu bezwładności od I1 do I2
w układzie izolowanym ulega zmianie prędkość kątowa:
I1 �1 = I2 �2 (z prawa zachowania M
Mz = Iz � = const)
II prawo dynamiki w ruchu obrotowym bryły
d M/dt = ŁNzew ,
Równania dynamiki bryły sztywnej łącznie
dpc/dt = Fzew wyp (r. postępowy)
dM/dt = Nzew wyp ( r. obrotowy)
Dla rzutu  z  (odpowiednik zasady niezależności ruchów)
Mz = Iz �
ŁNz zew=d(Mz)/dt = d(Iz �)/dt = Iz d(�)/dt
Iz �z = ŁNz zew ,
(�z = d �/dt - przyspieszenie kątowe)
Ruch złożony  ilustracja
postępowy + obrotowy
Dwa ciała o tej samej masie m
ale o różnym jej rozkładzie t.zn różnych momentach bezwładności I1, I2
1. dpc/dt = Fzew wyp
T
r
2. dM/dt = Nzew wyp
1. m ac = mg siną - T
T = (I/r2) ac
2. I � = r xT (= rT)
m ac = mg siną - (I/r2) ac
ac= r � I ac = r2 T
ac[1+ (I/mr2)] = g siną
m
g
s
i
n
ą
+
x
Żyroskopy
�
M
M
Mi �
Mi
Uwaga 1
W ogólności wektor M nie pokrywa się z osią obrotu bryły (tj. z �)
Uwaga 2 wtedy Mz= I �
Jeśli jednak oś obrotu jest osią symetrii to M = I � (reg. symetrii)
Przy obrotach bryły wokół osi symetrii oś obrotu nie doznaje
działania sił i jest stabilna (d Mu/dt = Nwyp =0)
Definicja 1
Oś obrotu, która w układzie izolowanym zachowuje stałe położenie
nazywa się osią swobodną bryły
Definicja 2
Trzy wzajemnie prostopadłe osie swobodne bryły
przechodzące przez jej środek masy są osiami głównymi bryły
Definicja 3
Głównymi momentami bezwładności bryły
nazywamy momenty bezwładności Ią,�,ł względem jej osi głównych
Definicja 4
Bryły, dla których wszystkie trzy główne momenty bezwładności
są równe, nazywają się bąkami (żyroskopami) kulistymi, a dla
których dwa z trzech są równe nazywają się bąkami symetrycznymi
Uwaga 3
Przy obrotach bryły w układzie izolowanym ustalone są tylko te
obroty, które odpowiadają ekstremalnym wartościom
momentów głównych bryły;
w obecności sił zewnętrznych ustalone są obroty wokół osi głównej
o maksymalnym momencie bezwładności
Moment sił żyroskopowych
1. klęska  zdrowego rozsądku
N = d M/dt d M = N dt (N=rxF)
�
Prędkość kątowa obrotu osi żyroskopu:
d� = dM / M = N dt/M,
� = d�/dt = N / M;
�
lub N = � M
ale
(� Ą" N Ą" M)
N = � x M (moment działający na oś żyroskopu)
(z III zas. dynamiki Nż = - N)
moment sił żyroskopowych (wywierany przez oś żyroskopu)
Nż = M x �
Precesja
moment sił N działający
na oś ( pochylonego ) żyroskopu
w polu grawitacyjnym g:
N = Ng (= l x mg)
�p
|Ng| = mg l sin ą
moment Ng wywołuje obrót osi �p :
Ng = �p x M,
Ng = �p M sin ą
mg l sin ą = �p M sin ą
ą
częstość precesji
�p = mg l /M = mg l /(I�)
Nutacje
nutacje
Precesja osi Ziemi
została odkryta przez Hipparcha w 130 roku p.n.e.
Stożek o kącie 47o zakreślany przez oś w ciągu 25 700 lat
(t.zw. rok platoński)
Żyrokompas
Oś wirującego żyroskopu na Ziemi obraca się wraz z nią
z prędkością kątową � = �z = 2Ą/24h
Nż = M x �