Mechanika ogólna
Wykład nr 4
Kratownice
Tarcie
Środki ciężkości
Momenty bezwładności
Kratownice
" Kratownicą nazywamy układ złożony z prętów prostych,
połączonych między sobąw węzłach przegubowo
(przegubami bez tarcia), obciążony siłami skupionymi w
przegubach; siły przekrojowe w prętach kratownicy redukują
się do stałej siły podłużnej.
2
Sprawdzenie stopnia statycznej
niewyznaczalności kratownicy
ns = r + p - 2�" w
Gdzie
ns  stopień statycznej niewyznaczalności,
r  liczba reakcji podporowych,
p  liczba prętów prostych kratownicy,
w  liczba węzłów kratownicy.
" Warunek statycznej (wewnętrznej) wyznaczalności:
p = 2w - 3
3
Pręty zerowe
" jeśli w węz
le schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem ą i węzeł jest
nieobciążony siłą zewnętrzną, to siły przekrojowe w obu prętach są równe
zeru (rys.a),
" jeśli w węz
le schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciążony siłą zewnętrzną,
równoległa do jednego z nich, to w drugim pręcie siła przekrojowa jest
równa zero (rys.b),
" jeśli w węz
le schodzą się trzy pręty, z których dwa są równoległe i węzeł
jest nieobciążony siłą zewnętrzną, to siła przekrojowa w pręcie trzecim jest
równa zero (rys.c).
4
Metody rozwiązywania kratownic
5
Metoda równoważenia węzłów(1)
Metoda ta polega na wypisywaniu równań równowagi dla
każdego myślowo wyciętego węzła kratownicy.
1. Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji
podporowych,
2. W poszczególnych myślowo wyciętych węzłach kratownicy
zapisuje się dwa równania równowagi: X = 0, Y = 0. W
tym celu w węz
le zakłada się odpowiednie zwroty sił w
poszczególnych prętach,
3. Z zapisanych równań równowagi wyznacza się siły we
wszystkich prętach kratownicy. Rozwiązywanie najlepiej
zacząć od węzła, w którym zbiegają się tylko dwa pręty o
nieznanych siłach, a następnie rozpatrywać kolejne węzły
spełniające ten warunek.
6
Metoda równoważenia węzłów (2)
1.2[m] 1.5[m]
A C
1.0[m]
B D
E
P
P
7
Metoda równoważenia węzłów (3)
1.2[m] 1.5[m]
A C
FEC
y
x
ą
1.0[m]
FED
E
B D
E
P=10[kN]
P
P
= 0 - FED - FEC cos = 0
"Pix
= 0 - P + FEC sin = 0
"Piy
P 10�" 3.25
FEC = = =18[kN]
sin 1
18�"1.5
FED = -FEC cos = - = -15[kN]
3.25
8
Metoda równoważenia węzłów (4)
1.2[m] 1.5[m]
A C
FDC
1.0[m]
FDB
D FDE = -15[kN]
B D
E
P=10[kN]
P
P
"P = 0 FDE - FDB = 0
ix
"P = 0 - P + FDC = 0
iy
FDB = FDB = -15[kN]
FCD = P =10[kN]
9
Metoda równoważenia węzłów (5)
1.2[m] 1.5[m]
FCA C
A C
� ą
1.0[m]
FCB
FCE = 18 [kN]
B D
E
FCD = 10[kN]
ŁPix = 0 - FCA - FCB cos + FCE cos = 0
P
P
ŁPiy = 0 FCB sin + FCD + FCE sin = 0
1,2 1,5
FCA + FCB = 18�" FCA = 38.9[kN]
2,44 3,25
1 1
FCB +10 +18�" = 0 FCB = -31,2[kN]
2,44 3,25
10
Metoda Rittera
(metoda przekrojów)
" Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych,
" Przeprowadza się przekrój przez trzy pręty kratownicy nie zbiegające
się w jednym punkcie, w tym przez pręt (lub pręty), w których siłę chcemy
wyznaczyć. Część kratownicy oddzielona przekrojem znajduje się w
równowadze pod działaniem sił zewnętrznych, składowych reakcji podpór
oraz sił w prętach, przez które poprowadzono przekrój,
" W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania
sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów, w których
przecinają się parami kierunki poszukiwanych sił w prętach. Punkty te są
nazywane punktami Rittera. Jeśli dwa z prętów, przez które poprowadzono
przekrój, są do siebie równoległe, to zapisuje się dwa równania sumy
momentów wszystkich sił działających na daną część kratownicy względem
punktów, w których trzeci pręt przecina się z prętami równoległymi, oraz
trzecie równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów
równoległych.
11
Metoda Rittera
(metoda przekrojów)
12
TARCIE
TARCIEM nazywamy całokształt zjawisk występujących pomiędzy stykającymi
się ciałami stałymi, spowodowanych działaniemsiły normalnej dociskającej te
ciała oraz siły stycznej przemieszczającej je względem siebie, bądz
też
usiłującej jeprzemieścić.
Tarcie występujące w wyniku przemieszczania się ciał nazywamy
tarciem kinetycznym.
Tarcie występujące w wyniku próby przemieszczania ciał nazywamy
tarciem statycznym.
W zależności od charakteru ruchu pomiędzy trącymi się ciałami tarcie
możemypodzielić też na:
tarcie ślizgowe(suwne);
tarcietoczenia(toczne);
tarciewiercenia(wiertne).
13
TARCIE STATYCZNE
Tarcie statyczne powstaje w trakcie próby przesunięcia dwóch ciał chropowatych
względem siebie. Tarcie liczbowo określa się poprzez siłę tarcia Tst.
Q
P
Tst
N ź
Własności siły tarcia:
�!kierunek przeciwny do działania siły P;
�!brak wpływu wielkości powierzchni trących, a jedynie chropowatości tych
powierzchni i sił docisku.
Siła tarcia statycznego Tst jest to reakcja styczna (styczna składowa
całkowitej reakcji) przeciwstawiającasię przesunięciuciał względemsiebie.
Największa wartość siły przesuwającej P, która przy danym ciężarze Q
jeszcze nie naruszy stanu spoczynku jest równa wartości rozwiniętej siły
tarciastatycznego Tst max:
P Tst max N
14
Ciała pozostaną w stanie równowagi gdy siła P nie przekroczy rozwiniętego
tarcia statycznego Tst max:
P Tst max N
Całkowita i maksymalna wartość reakcji podłoża Rmax wystąpi w przypadku
Tst =Tst max i określonamożebyć zeschematu:
N
Rmax
P
Tst max
ź
Kąt pomiędzy reakcją Rmax i normalną N nazywamy kątem tarcia i wyznaczamy
z równania:
Tst max
tg
N
15
TARCIE TOCZNE
Tarcie toczne (toczenia) powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o
ciężarze G po poziomej płaszczyz
nie za pomocą siły P.
r
O P
R
N
G
T
B
A
f
Wartość siły P zdolnej do wprawienia w ruch walca oblicza się z
równania równowagi:
MA N f P r 0
f
P G
Po przekształceniu otrzymujemy:
r
gdzie: f - współczynnik tarcia tocznego, [m],
r - promień walca, [m].
16
TARCIE CI
GIEN
Tarciem cięgna o krążek nazywamy siły tarcia występujące między
powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami na nienawiniętymi.
Związek między napięciami S1 i S2 (S1< S2) w cięgnie opasującym krążek
wyraża się wzorem:
S2 = S1 �" e �"
gdzie: - współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) między cięgnem
a powierzchnią krążka,
- kąt opasania, na którym cięgno przylega do krążka.
17
UKA
AD SIA
RÓWNOLEGA
YCH
Układ sił równoległych jest to taki układ wktórymlinie działania wszystkich sił
są dosiebierównoległe.
P1 P2 P4 P5
P3
P
Układ sił równoległych można zastąpić siłą wypadkową P w której linia
działania jest równoległa do linii działania danych sił a jej wartość równa się
sumiealgebraicznej rzutówsił naośskierowaną zgodniez układemsił.
Współrzędne środka sił równoległych wyznaczamy obracając wszystkie siły o kąt
prosty, po wcześniejszym określeniu wypadkowej P.
n
P = Pi
"
i=1
Środek sił równoległych obliczamy ze wzoru:
n n
yi �" Pi
"x �" Pi "
i
i=1 i=1
xc = yc =
n n
"P "P
i i
i=1 i=1
ŚRODKI CI
ŻKOŚCI
Środkiem ciężkości bryły materialnej nazywamy graniczne położenie środka
sił równoległych, które są środkiem ciężkości poszczególnych cząstek bryły
przy założeniu, że każdy wymiar cząstki bryły dąży do zera.
y
Q
yi
Qi = Q  elementarny ciężar
xi
x
Dla takiego układu środki ciężkości wyznaczamy ze wzorów:
n
n n
"x �"Qi
i
yi �"Qi
" "z �"Qi
i
i=1
i=1 i=1
xc =
yc = zc =
n
n n
"Q
i
"Q "Q
i i
i=1
i=1 i=1
Jeżeli analizowana bryła jest jednorodna, tzn. ciężar właściwy jest stały w
każdymelementarnymciężarze Qi, przy objętości elementarnej Vi to dzieląc
przez ciężar właściwy otrzymamy:
n n n
yi �" "Vi zi �" "Vi
"x �" "Vi " "
i
i=1 i=1 i=1
xc = yc = zc =
n n n
"V "V "1V
i i i
i=1 i=1 i=
Przechodząc do granicy, zależności na środki ciężkości przybierają postać:
x �" "V y �" "V z �" "V
+"
+" +"
V
V V
zc =
yc =
xc =
V
V
V
V =
gdzie:
+""V
V
Zależności na środki ciężkości brył są słuszne również dla figur płaskich
opowierzchni całkowitej S:
y �" "S
x �" "S
z �" "S
+"
+"
+"
S
S
S
yc =
xc =
zc =
S
S
S
S =
gdzie:
+""S
S
podobnie jak dla linii o długości L:
z �" "L
y �" "L
x �" "L
+"
+"
+"
L
L
L
zc =
yc =
xc =
L
L
L
L =
+""L
gdzie:
L
Twierdzenia wynikające ze wzorów na środki ciężkości:
1 Środek ciężkości bryły, figury płaskiej lub linii (układu) mającej
środeksymetrii leżywtym środku;
2 Jeżeli układ ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży
natej płaszczyz
nie;
3 Jeżeli układmaośsymetrii, to środek ciężkości leży natej osi;
4 Jeżeli układ ma dwie lub więcej osi symetrii, to środek
ciężkości leżywpunkcie przecięcia się tychosi,
5 Rzut środka ciężkości figury płaskiej na płaszczyznę jest
środkiemciężkości rzututej figurynadaną płaszczyznę.
23
PIERWSZE TWIERDZENIE GULDINA
Pole powierzchni S powstałej wskutek obrotu płaskiej linii dookoła płaskiej osi
leżącej w płaszczyz
nie tej linii jest równe długości tej linii L pomnożonej przez
długość okręgu2 xc:
S = L �" 2 xc
gdzie: xc  środek ciężkości linii L
DRUGIE TWIERDZENIE GULDINA
Objętość bryły V powstałej wskutek obrotu figury płaskiej S dookoła osi
leżącej w tej płaszczyz
nie i nie przecinającej jej równa się iloczynowi jej
powierzchni S przez długość jej obrotu2 xc:
V = S �" 2 xc
24
Środki ciężkości wybranych figur płaskich:
y
r
r sin
L
- dla linii łuku koła:
xc =
x
ą
ą
r
2r
xc =
- dla linii półkola:
y
r
2
r sin
x
ą
- dla wycinka koła:
3
xc =
ą
4 r
xc = �"
- dla półkola:
3
y
r
x
ą
4 r sin3
ą
xc = �"
- dla linii łuku koła:
3 2 -sin2
r
25
MOMENT BEZWA
ADNOŚCI WZGL
DEM OSI
Momentem bezwładności Ix figury płaskiej względem osi x nazywamy sumę
iloczynów elementarnych pól dS tego pola i kwadratów odległości tych pól
od osi x.
y
dS S
I = y2 dS
x
+"
S
y
x
26
TWIERDZENIE STEINERA
Moment bezwładności względem dowolnej osi x równoległej do osi xc
przechodzącej przez środek ciężkości, równy jest sumie: momentu
bezwładności względem osi xc oraz iloczynu pola powierzchni figury S i
kwadratuodległości a pomiędzyosiami.
yc
y
xc
S
I = Ix + Sa2
x
c
a
x
27
PRZYKA
ADOWE WARTOŚCI OSIOWYCH MOMENTÓW BEZWA
ADNOŚCI
xc
4
r4 d
I = =
x
4 64
2r
I = 0,11r4
r xc
x
xc
h
b �" h3
I =
x
12
b
(R4 - r4)
xc
I =
2r
x
4
2
R
xc
b �" h3
h
I =
x
36
b
28
BIEGUNOWY MOMENT BEZWA
ADNOŚCI
Odśrodkowym momentem bezwładności nazywamy sumę iloczynów pól dS i
kwadratu odległości środków ciężkości tych pól od środka przyjętego układu
współrzędnych. Biegunowymoment bezwładności określamywzorem:
y
dS
2
S
I = dS
x
o
+"
S
lub
I = Ix + Iy
o
29
ODŚRODKOWY MOMENT BEZWA
ADNOŚCI
Odśrodkowym (dewiacyjnym) momentem bezwładności nazywamy sumę
iloczynówpól dSi odległości środkówciężkości tych pól od osi współrzędnych
yi x.
y
dS
S
y x
I = yx dS
yx
+"
x
S
Odśrodkowy moment bezwładności może przyjmować wartości
dodatnie lub ujemne.
30