Przedmiot: Mechanika
Formy zajęć: wykład - 30 godz./sem.
ćwiczenia - 15 godz./sem.
Prowadzący: dr inż. Radosław Machlarz, p. 110
mgr inż. Wojciech Zieliński, p. 113
Warunki zaliczenia:
wykład: egzamin
ćwiczenia: kolokwium pisemne
1
 Literatura
1. Kozak B.: Mechanika techniczna, WSiP
2. Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN
3. Niezgodziński T.: Mechanika ogólna, PWN
4. Misiak J.: Zadania z mechaniki ogólnej, WNT
5. Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów,
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
6. Ostwald M.: Wytrzymałość materiałów. Zbiór zadań,
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
2
Działy mechaniki
Mechanika
mechanika mechanika mechanika
ogólna ciał odkształcalnych płynów
teoria hydromechanika
statyka
sprężystości
teoria aeromechanika
kinematyka
plastyczności
wytrzymałość
dynamika
materiałów
3
Podstawowe pojęcia mechaniki
Uproszczone modele ciał rzeczywistych:
" Punkt materialny  punkt geometryczny obdarzony masą,
" Układ punktów materialnych  zbiór punktów materialnych
zachowujących odległości,
" Ciało doskonale sztywne  ciało nie podlegające
odkształceniom pod wpływem działania sił.
4
Podstawowe prawa mechaniki 
prawa Newtona
sformułowane w 1687r., odnoszące się do punktu materialnego
5
6
7
Jednostki siły i masy
Masa a ciężar ciała
8
Zasady statyki
9
10
11
Ciało nieswobodne można rozpatrywać jako swobodne
podlegające działaniu sił czynnych oraz sił biernych 
reakcji więzów.
Więzy  ograniczenia ruchu nakładane przez inne ciała.
12
Przykłady więzów i ich reakcje
13
Płaskie układy sił
14
Przestrzenne układy sił
15
Płaski układ sił zbieżnych
16
Warunek równowagi płaskiego zbieżnego układu sił
18
Analityczne wyznaczanie siły wypadkowej
Równania równowagi płaskiego układu sił zbieżnych
w zapisie analitycznym
19
Moment siły względem punktu
reguła śruby prawoskrętnej
20
Analityczne wyznaczanie momentu
21
Płaskie układy sił równoległych
Płaski układ sił równoległych o tych samych zwrotach
22
Płaskie układy sił równoległych
Płaski układ sił równoległych o przeciwnych zwrotach
23
Para sił
24
Moment pary sił
25
Moment sił tworzących parę
względem dowolnego punktu
Suma momentów sił tworzących parę względem
dowolnego punktu równa jest momentowi danej pary sił
26
Warunek równowagi par sił działających w jednej
płaszczyz
nie
Gdy na ciało sztywne działa n par sił leżących w jednej
płaszczyz
nie, to pary te można zastąpić parą wypadkową o
momencie równym sumie momentów poszczególnych par:
n
M =�
��M
i
i=�1
n
��M =� 0
i
i=�1
27
Warunki równowagi płaskich układów sił
n
��
��P =� 0
xi
��
��
i=�1
��
n
��
��P =� 0
yi
��
�� i=�1
28
Warunki równowagi przestrzennych układów sił
29
Warunki równowagi przestrzennych układów sił
30
Środek przestrzennego układu sił równoległych
Siła wypadkowa W dowolnej liczby n sił równoległych do osi
z, przyłożonych w punktach Ai(xi,yi,0) wynosi:
n
W =�
��P
i
i=�1
31
Punkt przyłożenia siły W musi być taki, aby moment tej siły
względem danej osi był równy sumie momentów
poszczególnych sił składowych:
n n
W �� xc =� W �� yc =�
��P �� xi ��P �� yi
i i
i=�1 i=�1
Współrzędne punktu przyłożenia siły W (środek sił
równoległych, środek ciężkości):
n n
��P �� yi
��P �� xi i
i
i=�1
i=�1
yc =�
xc =�
n
n
��P
i
��P
i
i=�1
i=�1
32
Środek ciężkości
33
Środek ciężkości bryły
Jeżeli:
dVi  objętość dostatecznie małego elementu bryły,
g�i  ciężar właściwy danego elementu,
xi, yi, zi  współrzędne danego elementu,
to współrzędne środka ciężkości bryły:
n
n n
��g� zidV
i
��g� yidV
i
��g� xidV
i
i=�1
i=�1
i=�1
zc =�
yc =�
xc =�
n
n
n
��g� dV ��g� dV
i i
��g� dV
i
i=�1 i=�1
i=�1
Po przejściu do granicy:
��g�xdV ��g�ydV ��g�zdV
V V V
xc =� yc =� zc =�
G G G
G =�
��g�dV - całkowity ciężar bryły.
V
34
Przykład 1: Znalez
ć położenie środka ciężkości jednorodnej półkuli o
promieniu r.
z
xc =� yc =� 0
zdV
dV
��
V
dz
zc =�
y
V
z
r
y
r
x
Przykład 2: Znalez
ć położenie środka ciężkości połowy jednorodnej
powierzchni kulistej o promieniu r.
35
Środek ciężkości figury płaskiej
Jeżeli jednorodna figura płaska leży w płaszczyz
nie x-y, to:
xdF ydF
�� ��
F F
xc =� yc =�
F F
F  pole powierzchni figury.
- moment statyczny względem osi y,
Sy =� xdF
��
F
- moment statyczny względem osi x.
Sx =� ydF
��
F
36
Przykład 3: Znalez
ć środek ciężkości danej figury płaskiej.
3
��x Fi
i
i=�1
xc =�
3
��F
i
i=�1
3
yiFi
��
i=�1
yc =�
3
��F
i
i=�1
37
Tarcie i prawa tarcia
38
Prawa tarcia Coulomba
1. Siła tarcia jest niezależna od pola powierzchni
stykających się ze sobą ciał a zależy jedynie od ich
rodzaju, smarowania, wilgotności itp.
2. Siła tarcia jest skierowana przeciwnie do kierunku
możliwego przesuwu ciała. Jej wartość zmienia się od 0
do Tmax. Wartość Tmax siła tarcia osiąga w chwili utraty
równowagi.
3. Maksymalna siła tarcia jest proporcjonalna do reakcji
normalnej.
- dla ciała pozostającego spoczynku
T Ł� m�N
- dla ciała ślizgającego się
ó�
T =� m� N
39
Siła tarcia na równi pochyłej
wypadkowa siła reakcji
y
R
reakcja normalna równi
Ry
0
T
Przypadek graniczny: Px = Tmax
m
siła tarcia
Px
a�
siła nacisku
N
G
a�
x
Px =� Gsina�
G =� mg
Tmax =� m�N
N =� Gcosa�
40
Kinematyka
Kinematyka - dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał,
bez wnikania w związki między ruchem a siłami, które ten
ruch wywołały.
Ruch ciała - zjawisko zmiany w czasie położenia tego ciała
względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome.
Układ odniesienia - układ współrzędnych sztywno
związany z ciałem odniesienia.
Czas jest pojęciem pierwotnym, jest nieodwracalny,
niezależny od wyboru układu odniesienia, taki sam dla
wszystkich punktów układu.
Przestrzeń Euklidesa - trzy współrzędne prostokątne plus
czas
41
Równania ruchu punktu we współrzędnych prostokątnych
x =� fx(�t)�
y =� fy(�t)�
z =� fz(�t)�
Tor ruchu (trajektoria) - miejsce geometryczne kolejnych położeń
ruchomego punktu w przestrzeni.
Promień wodzący - wektor o początku w początku układu
współrzędnych i końcu w rozpatrywanym punkcie.
Równanie trajektorii ruchu - równanie krzywej otrzymanej po
wyrugowaniu czasu z równań ruchu.
42
Inne układy współrzędnych:
biegunowy w przestrzeni (r,j�,Q�):
x =� r sinq� cosj�
y =� r sinq� sinj�
z =� r cosq�
biegunowy na płaszczyz
nie (r,j�):
x =� r cosj�
y =� r sinj�
walcowy (r,j�,z):
ó�
x =� r cosj�
ó�
y =� r sinj�
z �� z
43
Prędkość punktu w ruchu krzywoliniowym
Prędkość średnia punktu - stosunek przyrostu promienia wodzącego
do przyrostu czasu.
r�
r� D�r
v2
vśr =�
D�t
r�
r� dr
v =�
dt
Prędkość chwilowa - granica, do której dąży stosunek przyrostu
promienia wodzącego do przyrostu czasu, jeśli przyrost czasu dąży do
zera (pierwsza pochodna promienia wodzącego względem czasu).
44
W układzie współrzędnych prostokątnych:
r�
r� r�
r�
v =� v i +� v j +� v k - zapis wektorowy
x y z
dx dy dz
vx =� , vy =� , vz =�
- składowe wektora prędkości
dt dt dt
2 2 2
- moduł wektora prędkości
v =� vx +� vy +� vz
45
Przyśpieszenie punktu w ruchu
krzywoliniowym
Przyśpieszenie punktu jest wynikiem zmiany kierunku i
wartości prędkości.
Przyśpieszenie chwilowe - pierwsza pochodna prędkości
względem czasu.
r�
r� D�v
aśr =�
D�t
r� r�
2
r� dv d r
a =� =�
2
dt dt
46
W układzie współrzędnych prostokątnych:
r�
r� r�
r�
a =� a i +� a j +� a k
x y z
2
dvx d x
gdzie ax =� =� ,
dt dt2
2
dvy
d y
ay =� =� ,
dt dt2
2
dvz d z
az =� =� .
dt dt2
47
Szczególne przypadki ruchu
1. Podział ze względu na trajektorię ruchu.
Ruch punktu:
- prostoliniowy,
- po okręgu (harmoniczny prosty),
- dowolny (krzywoliniowy).
Ruch bryły:
- postępowy,
- obrotowy,
- płaski,
- kulisty,
- dowolny.
48
Szczególne przypadki ruchu
2. Podział ze względu wartości prędkości i
przyśpieszenia:
- przyśpieszony jednostajnie (a = const.),
- przyśpieszony niejednostajnie (a�� lub aŻ�),
- jednostajny (v = const),
- opóz
niony jednostajnie (-a = const.),
- opóz
niony niejednostajnie (-a�� lub -aŻ�),
49
Ruch prostoliniowy
Ruch punktu po linii prostej równoległej do osi OX.
Równanie ruchu:
x =� x(�t)�
x0
2
dx
dvx d x
v =� vx =�
a =� ax =� =�
dt
dt dt2
50
Ruch prostoliniowy
Ruch jednostajny: v = const. a = 0
Ruch jednostajnie przyśpieszony: a = const.
51
Ruch krzywoliniowy
52
Ruch krzywoliniowy
r� r�
Równanie ruchu:
s =� s(�t)�
v =� vt�
D�s ds
D�s
v
v =� lim =�
vśr =�
at
v1
D�t��0
D�t dt
D�s
D�t
t�
a
an
r� r�
D�Q�
r� D�v dv
a =� lim =�
D�t��0
D�t dt
v2
dv
an =�
at =�
r�
dt
56
Ruch punktu po okręgu
Ruch punktu po okręgu jest przypadkiem szczególnym
ruchu krzywoliniowego, w którym r� = r = const.
Równanie ruchu po okręgu:
s =� s(�t)�=� rj�(�t)�
dj�
Prędkość kątowa:
w� =�
dt
Prędkość liniowa: v =� rw�
dw�
Przyśpieszenie kątowe:
e� =�
dt
Przyśpieszenie styczne:
at =� re�
v2
2
Przyśpieszenie normalne:
an =� =� w� r
r
57
Ruch harmoniczny
dj�
x =� r cosj�
w� =� =� const �� j� =� w�t +�j�0
dt
A
Równanie ruchu harmonicznego prostego: r
x
j�
x
0
A
x =� r cos(�w�t +�j�0)�
dx
Prędkość:
v =� =� -�rw� sin(�w�t +�j�0)�
dt
dv
Przyśpieszenie:
a =� =� -�rw�2 cos(�w�t +�j�0)�=� -�w�2x
dt
58
Ruch drgający - ruch, w którym występuje okresowa
zmiana współrzędnej.
Okres drgań - przedział czasu T, w którym punkt,
wychodząc z pewnego położenia ekstremalnego, wraca
ponownie do niego.
Amplituda drgań - największa odległość punktu od środka
drgań.
Faza drgań - wartość argumentu funkcji okresowej.
W ruchu harmonicznym:
j� =� w�t +�j�
0
2p�
j�0
- pulsacja
- faza początkowa
w� =�
T
59
Ruch złożony punktu materialnego
Ruch złożony  wtedy, gdy porusza się układ odniesienia.
Ruch względny  ruch punktu względem układu
ruchomego (prędkość względna vw).
Ruch bezwzględny  ruch punktu względem nieruchomego
układu odniesienia (prędkość bezwzględna v).
r� r� r�
v =� vu +� vw
r� r� r� r� r�ó�
vu - prędkość unoszenia vu =� v0 +�w� ��r
r�ó� - promień wodzący punktu w ruchomym układzie
r
odniesienia
r�
- prędkość ruchu postępowego układu odniesienia
v0
r�
- prędkość kątowa ruchu obrotowego układu odniesienia
w�
61
Przyśpieszenie w ruchu złożonym
r� r� r� r�
a =� au +� aw +� aC - przyśpieszenie bezwzględne
r� r� r� r�
au =� a0 +� aut +� aun
- przyśpieszenie unoszenia
r�
r� dv0 - przyśpieszenie ruchu postępowego układu
a0 =�
dt
odniesienia
r�
r� dw� r�ó� - przyśpieszenie styczne związane z ruchem
aut =� �� r
dt
obrotowym układu odniesienia
r� r� r� r�ó�
- przyśpieszenie normalne związane z
aun =� w� ��(�w� ��r )�
ruchem obrotowym układu odniesienia
r�
aw
- przyśpieszenie względem ruchomego układu odniesienia
r� r� r�
aC =� 2w� ��vw - przyśpieszenie Coriolisa
62
Przykład: Punkt materialny porusza się z przyśpieszeniem
aw = const. po cięciwie koła wirującego z prędkością
kątową w� = const. W chwili t = 0 ma prędkość względną
vw = 0 i zajmuje położenie A0. Wyznaczyć przyśpieszenie
punktu.
a0 =� 0 aut =� 0
y y
aun =� w�2r
aw
aC
aC =� 2w�vw
r
x
aun y
d
A0
r� r� r� r�
w�
a =� aun +� aw +� aC
x
63
Kinematyka ciała sztywnego
Ciało sztywne w przestrzeni ma 6 stopni swobody.
Rodzaje ruchu ciała sztywnego:
- postępowy,
- obrotowy,
- płaski,
- kulisty,
- śrubowy,
- dowolny.
64
Ruch postępowy
W ruchu postępowym wszystkie punkty
ciała poruszają się po identycznych
torach, w każdej chwili mają takie same
prędkości i przyspieszenia.
Dla analizy ruchu postępowego ciała
sztywnego wystarczy określenie ruchu
jednego punktu tego ciała.
Przykłady ruchu postępowego:
- ruch tłoka w cylindrze,
- ruch kabiny windy,
- ruch suwnicy.
65
Ruch obrotowy
W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno związane z ciałem
pozostają nieruchome. Punkty te wyznaczają nieruchomą oś
obrotu ciała.
66
Prędkość dowolnego punktu ciała jest równa iloczynowi
prędkości kątowej i odległości od osi obrotu:
v =� rw�
dv dw�
Przyśpieszenie styczne:
at =� =� r =� re�
dt dt
v2 r2w�2
Przyśpieszenie dośrodkowe:
an =� =� =� rw�2
r r
Przypadki szczególne ruchu obrotowego:
- ruch obrotowy jednostajny,
- ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony.
67
Ruch płaski
W ruchu płaskim wszystkie punkty ciała poruszają się w
płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej
płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą.
Ruch płaski jest złożeniem chwilowego ruchu postępowego
oraz chwilowego ruchu obrotowego.
r� r� r� r�
t n
a =� a +� a +� a
A 0 A0 A0
r� r� r�
v =� v +� v
A 0 A0
68
Przykłady ruchu płaskiego
69
Ruch kulisty
W ruchu kulistym jeden punkt ciała jest unieruchomiony.
Ruch ten można traktować jako ruch obrotowy wokół
chwilowej osi przechodzącej przez ten unieruchomiony
punkt.
Ruch ogólny ciała sztywnego
Ruch ogólny ciała sztywnego można traktować jako ruch
złożony z ruchu postępowego dowolnie wybranego punktu
(bieguna) i ruchu obrotowego wokół chwilowej osi
przechodzącej przez ten punkt.
70
Dynamika
Dynamika - dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu
ciał materialnych oraz w związków pomiędzy ruchem a
siłami, które ten ruch wywołały.
Podstawowe pojęcie dynamiki  siła.
Siła - wynik wzajemnego, mechanicznego oddziaływania na
siebie co najmniej dwóch ciał. Skutkiem tego oddziaływania
jest wyprowadzenie ciała ze stanu spoczynku lub zmiana
parametrów ruchu ciała już poruszającego się.
Podstawą dynamiki są trzy prawa Newtona (1643-1727)
zwane zasadami dynamiki.
71
Druga zasada dynamiki Newtona
(prawo zmienności ruchu)
Przyśpieszenie punktu materialnego jest wprost
proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek
tej siły.
Równanie dynamiki ruchu punktu materialnego:
v�
r�
ma =� P
v�
- wypadkowa siła działająca na punkt materialny,
P
v�
a - przyśpieszenie wywołane siłą P,
m - masa (miara bezwładności punktu materialnego).
73
Równanie dynamiki ruchu prostoliniowego
punktu materialnego
2
d x
m =� Px
dt2
Zagadnienie proste dynamiki - znane jest równanie ruchu
x = x(t) a szukany jest przebieg czasowy siły P(t).
Zagadnienie odwrotne dynamiki  dana jest siła P, która
może być funkcją czasu, położenia i prędkości:
r� r�
&�
P =� P(�t, x, x)�
a szukane jest równanie ruchu x = x(t).
76
Ruch punktu materialnego pod wpływem
siły ciężkości (spadek pionowy)
r�
r�
Siła ciężkości:
G =� mg =� const
2
d x
=� g
Równanie dynamiki ruchu:
dt2
vx =� v0 +� gt,
ruch jednostajnie
gt2 przyśpieszony
x =� x0 +� v0t +�
2
77
Spadek pionowy w ośrodku stawiającym opór
2
Siła oporu aerodynamicznego w powietrzu:
R =� kvx
2
Px =� G -� R =� mg -� kvx
Wypadkowa siła:
2
2
d x k dx
ć� ��
Równanie dynamiki:
=� g -�
�� ��
dt2 m dt
Ł� ł�
Gdy x0=0 i v0=0, to
�� ł�
ć� ��
m gk
��ś�
x(�t)�=� lnę�cosh�� ��t
równanie ruchu ma postać:
�� ��ś�
k m
ę�
Ł� ł�
�� ��
Przebieg czasowy ć� ��
mg gk
��
vx(�t)�=� tgh�� ��t
prędkości:
�� ��
k m
Ł� ł�
78
Ruch prostoliniowy nieswobodnego
punktu materialnego
Punkt swobodny porusza się zawsze w kierunku działania
wypadkowej siły P.
Jeśli na punkt materialny działają więzy, kierunek ruchu nie
pokrywa się z kierunkiem działania siły.
Występuje wtedy siła reakcji więzów R.
79
Przykład 1: Siła czynna P działa na punkt materialny pod kątem a�
względem toru, po którym porusza się punkt, w obecności siły tarcia T.
wypadkowa siła reakcji więzów
siła reakcji toru w osi y
y
Ry =� Py
R
Ry
tor ruchu = kierunek ruchu
m
0 a�
T Px x
Py
P
siła tarcia
kierunek działania siły
2
Px =� Pcosa�
d x
m =� Px -�T
Py =� Psina�
dt2
80
Przykład 2: Ciało o masie m porusza się pod wpływem siły ciężkości
po równi pochyłej o kącie a� i współczynniku tarcia m�.
wypadkowa siła reakcji
y
R
reakcja normalna równi
Ry
0
T
2
d x
m
m =� Gx -�T
siła tarcia
dt2
Gx
N a�
Ry =� Gy
siła nacisku
Gy
N =� Ry
G
a�
x
Gx =� Gsina�
G =� mg T =� m�N =� m�mg cosa�
Gy =� G cosa�
81
Przykład 3: Znalez
ć przyśpieszenie ciała o masie m, do którego
przyłożono siłę P pod kątem a� względem płaszczyzny ruchu.
Px =� Pcosa�
max =� Px -�T
y
Py +� Ry =� G
Py =� Psina�
Ry
P
Py
m
a�
T Px
x
0
N
(�
T =� m�N =� m� G -� Py )�
N =� Ry
G
82
Ruch krzywoliniowy nieswobodnego
punktu materialnego
Jeśli więzy nałożone na punkt
n
materialny są idealne, siła reakcji
v
at
więzów działa wzdłuż normalnej
t�
do toru.
an
P
R Jeśli więzy są rzeczywiste, siła
reakcji więzów R ma dwie
składowe: normalną Rn
i styczną Rt.
Rt =� m�Rn
Rn =� N Rt =� T =� m�N =� m�Rn
83
Ruch punktu materialnego po okręgu
Pt
Rn
Rt
mv2
Rn =�
Rn  siła dośrodkowa
r
84
Zasada d Alemberta
Podczas ruchu punktu materialnego, w każdej chwili
wszystkie siły rzeczywiste działające na punkt oraz siła
bezwładności pozostają w równowadze.
r�
r�
A =� -�ma - siła bezwładności (siła d Alemberta)
Siła bezwładności jest zawsze skierowana przeciwnie
do przyśpieszenia.
Zasada d Alemberta umożliwia stosowanie równań
równowagi sił w analizie dynamiki ruchu punktu
materialnego:
r� r� r�
A+� P +� R =� 0
85
Drgania liniowe
Ruch punktu materialnego pod wpływem siły Px
proporcjonalnej do wychylenia od stanu równowagi.
Px =� -�cx
2
d x
Równanie dynamiki ruchu:
m =� -�cx
dt2
x =� C1 sinw�0t +� C2 cosw�0t
Rozwiązanie ogólne:
c
- pulsacja drgań własnych
w�0 =�
m
86
Drgania liniowe z tłumieniem
Oprócz siły Px proporcjonalnej do wychylenia działa siła
oporu ruchu Rx proporcjonalna do prędkości:
Rx =� -�a�x
2
d x
Równanie dynamiki ruchu:
m =� -�cx -�a�x
dt2
a�
c
2n =�
Podstawiając: w�0 =� , otrzymuje się:
m
m
2
d x dx
2
- równanie różniczkowe 2-go
+� 2n +�w�0 x =� 0
dt2 dt
rzędu o stałych współczynnikach
87
Rozwiązanie:
1. Jeżeli n < w�0 (tłumienie podkrytyczne) - drgania tłumione:
2 2
x =� e-�nt(�C1 sin w�0 -� n2t +� C2 cos w�0 -� n2t)�
2. Jeżeli n > w�0 (tłumienie nadkrytyczne) - przebieg
aperiodyczny:
2 2
-�ć� n-� n2 -�w�0 ��t -�ć� n+� n2 -�w�0 ��t
�� �� �� ��
Ł� ł� Ł� ł�
x =� C1e +� C2e
3. Jeżeli n = w�0 - przebieg aperiodyczny krytyczny:
x =� C1e-�nt +� C2te-�nt
88
Drgania wymuszone nietłumione
Ruch punktu materialnego pod wpływem siły Px
proporcjonalnej do wychylenia:
Px =� -�cx
oraz siły Fx będącej okresową funkcją czasu:
Fx =� Fmax cosw�t
2
d x
m =� -�cx +� Fmax cosw�t
Równanie dynamiki ruchu:
dt2
Rozwiązanie:
Fmax 1
x =� C1 sinw�0t +� C2 cosw�0t +� cosw�t
2
m w�0 -�w�2
89
Drgania wymuszone tłumione
Oprócz siły Px proporcjonalnej do wychylenia działa siła
oporu ruchu Rx proporcjonalna do prędkości oraz siła Fx
będąca okresową funkcją czasu.
Równanie dynamiki ruchu:
2
d x
m =� -�cx -�a�vx +� Fmax cosw�t
dt2
Po podstawieniach i przekształceniu:
2
d x dx Fmax
2
+� 2n +�w�0 x =� cosw�t
dt2 dt m
90
Pęd punktu materialnego
r�
Wektor:
mv - pęd punktu materialnego.
v�
r�
ma =� P
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
r�
r� dv
a =�
i wzoru definicyjnego przyśpieszenia
dt
r�
wynika, że:
d r�
(�mv)�=� P
dt
Zasada zachowania pędu:
Gdy na punkt materialny nie działa żadna siła lub
działające siły się równoważą to pęd tego punktu
pozostaje stały.
r�
r�
P =� 0 �� mv =� const
91
Impuls siły
Wielkość wektorowa charakteryzująca dynamiczne
skutki działania siły w skończonym przedziale czasu to
impuls siły:
t2
r� r�
S =� Pdt
��
t1
mv2
r�
r� r� r� r�
S =�
��d(mv) =� mv2 -� mv1 =� D�(mv)
mv1
Zmiana pędu punktu materialnego w skończonym
przedziale czasu jest równa impulsowi siły działającej
na ten punkt w tym samym czasie.
Zasada zachowania pędu dla punktu materialnego ma
również zastosowanie dla środka ciężkości bryły sztywnej.
92
Moment pędu (kręt) punktu materialnego
r�
r� r�
Ko =� r ��mv - moment pędu względem bieguna 0.
r�
(� )�
Kox =� m vz y -� vyz
r� r�
i j k
r�
Koy =� m(�vxz -� vzx)�
Ko =� x y z
mvx mvy mvz
(� )�
Koz =� m vyx -� vx y
Moment pędu względem danej osi jest równy składowej
na tę oś momentu pędu względem bieguna 0.
r� r�
Jeśli ,to:
r ^� v
Ko =� rmv
93
Zasada zachowania momentu pędu
r�
r�
dKo d r� r�
Pochodna momentu pędu: =� (�r �� mv)�=� Mo
dt dt
r� r�
r�
Mo =� r �� P - moment siły P względem bieguna 0.
Pochodna momentu pędu względem bieguna równa jest
momentowi wypadkowej siły względem tego bieguna.
Zasada zachowania momentu pędu:
Jeżeli moment wypadkowej siły zewnętrznej względem
bieguna jest równy zeru, to moment pędu względem tego
bieguna pozostaje stały.
Moment pędu bryły sztywnej względem bieguna w ruchu
postępowym jest równy momentowi pędu środka ciężkości
bryły względem tego bieguna.
94
Moment pędu bryły sztywnej w ruchu postępowym
z
Wypadkowy moment pędu bryły
względem bieguna 0:
m2
n n n
r�
v
r� r� r� r� r�
m1
v
K0 =� �� ��
��v
r2
��r �� miv =���m ri ��v =���m ri �� r�
i i i
v
M
i=�1 i=�1 Ł� i=�1 ł�
v
rc mi
Z definicji środka masy:
r1
n
r� r�
ri
��m ri =�Mrc
i
0 y
i=�1
x r� r�
r� r� r� r�
Stąd:
K0 =� Mrc ��v K0 =� rc �� Mv
Wniosek: moment pędu bryły względem bieguna w ruchu
postępowym jest równy momentowi pędu środka masy bryły
względem tego bieguna.
95
Moment pędu bryły sztywnej w ruchu obrotowym
w�
Prędkość liniowa elementu dm:
v =� w�h
M
v
Moment pędu elementu dm
h
względem osi z:
dm
dKz =� h��dm��v =� w�h2dm
z
Całkowity moment pędu bryły
względem osi z:
2 2
Kz =�
��w�h dm =� w���h dm =� Jzw�
M M
2
Jz =�
��h dm - moment bezwładności bryły
względem osi z
M
96
Przykład 1: Obliczyć moment bezwładności jednorodnego pręta o masie m
i długości l względem osi przechodzącej przez jego: a) środek, b) koniec.
a)
m
z
dm =� dx
dx x
l
0
l / 2
x
m ml2
Jz =� x2dm =� x2dx =�
l
�� ��
b)
l 12
m -�l / 2
z
dx x
0 x
l
m ml2
Jz =� x2dm =� x2dx =�
l
�� ��
l 3
m 0
Przykład 2: Obliczyć moment bezwładności jednorodnego walca o masie
m i promieniu R względem jego osi symetrii.
Twierdzenie Steinera: moment bezwładności bryły względem dowolnej osi
jest równy sumie momentu bezwładności bryły względem osi równoległej
przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu
odległości między tymi osiami.
97
Równanie dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym
dKz
=� M
Pochodna momentu pędu względem osi z:
z
dt
n
M =�
- suma wszystkich momentów względem osi z.
��M
z iz
i=�1
- moment pędu bryły względem osi z.
Kz =� Jzw�
d dw�
(�Jzw�)�=� Jz
- dla bryły sztywnej Jz = const.
dt dt
dw�
- równanie dynamiki bryły
Jz =� M
z
dt
98
Energia kinetyczna
1
E =� mv2 - energia kinetyczna punktu materialnego
2
n
mivi2 - energia kinetyczna układu n punktów
E =�
��
2
materialnych
i=�1
- energia kinetyczna ciała sztywnego
mv2
E =�
poruszającego się ruchem postępowym
2
99
Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym
w�
Energia kinetyczna elementu dm:
1
dE =� dm��v2
2
Całkowita energia kinetyczna bryły:
v
h
2
1
E =�
dm
2
��dE =� ��v dm
Prędkość liniowa elementu dm:
v =� w�h , w� =� const
z
2 2
1 1
Stąd:
E =�
2 2
��w� h2dm =� w�2��h dm
1
E =� w�2Jz
2
2
Jz =�
��h dm - moment bezwładności bryły
względem osi z
100
Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu złożonym
Ruch złożony bryły sztywnej  złożenie:
- ruchu krzywoliniowego środka masy bryły z prędkością
chwilową vc
- ruchu obrotowego z prędkością kątową w� wokół chwilowej
osi, przechodzącej przez środek masy bryły.
2
mvc Jzw�2
E =� +�
2 2
vc  prędkość chwilowa środka masy bryły sztywnej,
Jz  moment bezwładności bryły względem osi
chwilowego obrotu, przechodzącej przez środek masy,
w� - chwilowa prędkość kątowa wokół osi chwilowego
obrotu.
101
Praca siły
Pracą siły stałej na prostoliniowym przesunięciu punktu
przyłożenia tej siły nazywa się iloczyn bezwzględnej wartości
przesunięcia i miary rzutu siły na kierunek przesunięcia.
L =� s�� Pcosa�
L =� Ps cosa�
Wartość liczbowa pracy jest równa iloczynowi skalarnemu
wektora siły i wektora przesunięcia.
r�
L =� P�� A1A2 =� P�� s ��cosa�
102
W układzie współrzędnych prostokątnych:
r�
r�
s =� [sx, sy, sz ]
P =�[�Px, Py, Pz]�
r�
r�
L =� P�� s =� Pxsx +� Pysy +� Pzsz
Praca wypadkowej sił przyłożonych do jednego punktu jest
równa sumie prac poszczególnych sił:
n
r� r� r� r� r�
r� ć� r� r� r� r�
L =� P �� s =� �� ��
��
��P �� s =� P1 �� s +� P2 �� s +�...+� Pn �� s
i
Ł� i=�1 ł�
103
Jeśli punkt przyłożenia siły opisuje odcinek toru
krzywoliniowego, to:
r�
r�
L =� (� )�
Pxdx +� Pydy +� Pzdz
��P��dr =� ��
A1A2 A1A2
Składowe Px, Py, Pz mogą zależeć od czasu i każdej ze
współrzędnych położenia.
Praca w ruchu obrotowym
Praca siły w ruchu obrotowym równa jest iloczynowi momentu
siły względem osi obrotu i kąta obrotu ciała.
L =� Mlj�
104
Siły zachowawcze
Praca wykonana nad punktem materialnym przez siły
zachowawcze nie zależy od kształtu toru a tylko od położenia
punktu początkowego i końcowego.
Praca wykonana przez te siły po dowolnej drodze zamkniętej
jest równa zeru.
Pole zachowawcze sił  przestrzeń, w której działają siły
zachowawcze.
Przykład siły zachowawczej  siła ciężkości.
Przykłady sił niezachowawczych  siła tarcia, siła oporu
aerodynamicznego.
105
Energia potencjalna
Praca wykonana przez siły ciężkości nie zależy od kształtu
toru a jedynie od różnicy wysokości nad umownym poziomem
odniesienia.
Pz =� -�m��g
Py =� Px =� 0
106
Energia potencjalna punktu materialnego jest to praca,
jaką może wykonać nad punktem materialnym siła ciężkości
w jednorodnym polu zachowawczym sił ciężkości.
V =� mg(z1 -� z2) =� mgh
h  różnica poziomów między punktem początkowym a
końcowym.
107
Energia mechaniczna
Energia mechaniczna punktu materialnego jest sumą jego
energii kinetycznej i energii potencjalnej.
Zasada zachowania energii mechanicznej:
Podczas ruchu punktu materialnego w zachowawczym polu
sił, suma jego energii kinetycznej i potencjalnej, zwana
energią mechaniczną, jest wielkością stałą:
E +�V =� const
Równoważność pracy i energii kinetycznej:
Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w
skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które
wykonały w tym czasie wszystkie siły zewnętrzne działające
na ten punkt:
E2 -� E1 =� L
108
Przykład 1: Punkt materialny o masie m porusza się w polu zachowawczym
sił ciężkości. Wyznaczyć prędkość tego punktu na wysokości z, jeśli jego
prędkość na wysokości z0 wynosi v0.
2
Odp. v =� v0 +� 2g(�z0 -� z)�
Przykład 2: Wahadło matematyczne (punkt materialny zawieszony na nici)
wychylono z położenia równowagi o kąt j� = p�/2 i puszczono swobodnie.
Wyznaczyć prędkość liniową punktu oraz siłę naciągu nici w funkcji kąta j�.
Odp. v =� 2gl cosj�
S =� 3mg cosj�
Przykład 3: Jednorodny krążek o promieniu R i masie m toczy się po
poziomej prostej bez poślizgu, z prędkością liniową środka masy równą v0.
Obliczyć energię kinetyczną krążka.
2
3
Odp. E =� mv0
4
109
Wytrzymałość materiałów
 Wytrzymałość materiału  właściwość ciała stałego
polegająca na przeciwstawianiu się niszczącemu
działaniu sił zewnętrznych.
W materiale poddanym działaniu sił zewnętrznych
(obciążeń) powstają siły wewnętrzne, będące
wynikiem oddziaływania pomiędzy poszczególnymi
cząstkami ciała jednorodnego.
110
Uproszczenia i uogólnienia
Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem
ciała jednorodnego, izotropowego i idealnie
sprężystego.
Ciało jednorodne  ciało, w którym materia wypełnia
jego objętość w sposób ciągły.
Materiał izotropowy  materiał, którego właściwości są
takie same we wszystkich kierunkach.
Odkształcenia sprężyste  odkształcenia, które
ustępują po usunięciu obciążeń.
111
Modele nominalne w wytrzymałości materiałów:
- pręt
- wał
- belka
112
Obciążenia i siły wewnętrzne
Dla ujawnienia sił wewnętrznych korzysta się z zasady
myślowych przekrojów.
Siły wewnętrzne są wynikiem oddziaływania jednej części
ciała oddzielonej myślowym przekrojem na drugą.
113
Siły wewnętrzne w myślowo podzielonym ciele
114
115
Układy sił równoważne z punktu widzenia statyki mogą się
charakteryzować różną wytrzymałością.
Do oceny wytrzymałości danej konstrukcji na zniszczenie
wprowadza się pojęcie naprężenia.
116
D�P dP
D�P
r�
s� =� s� i +�t� j+�t� k
x xy xz
1 N
1 Pa
1 m2
117
Związki między siłami wewnętrznymi i naprężeniami
N
zdA
118
Przykład: Określić związki między siłami wewnętrznymi a naprężeniami,
jeśli naprężenia w przekroju prostokątnym rozłożone są jak na rysunku.
Dane: a, b, s�0.
s�0 2z
ć�1-� ��
t� =�t� =� 0
s� =�
xy xz �� ��
x
2 a
Ł� ł�
N
zdA
119
Odkształcenia i przemieszczenia
Y
X
120
Wykres rozciągania próbki
(statyczna próba rozciągania)
P [kN]
Pm
Pe
121
Dla naprężeń nie przekraczających granicy
proporcjonalności obowiązuje prawo Hooke a
s� =� Ee�
= P/A0
123
Naprężenia dopuszczalne
n = 1,5 �� 2,5
Jeśli konstrukcja ma bezpośredni związek z
bezpieczeństwem ludzi, to n = 5 �� 10
124
Warunek wytrzymałościowy
s�max Ł� s�dop
Warunek sztywności
D�l Ł� D�ldop
Warunek sztywności jest wykorzystywany do określenia wymiarów
konstrukcji ze względu na dopuszczalne odkształcenia
125
Siły zewnętrzne i wewnętrzne w prętach
Pręt rozciągany Pręt ściskany
Siły zewnętrzne działają tylko wzdłuż osi pręta.
Siły rozciągające: znak  + , siły ściskające: znak  -
Suma sił zewnętrznych działających wzdłuż osi pręta
jest równa zeru.
126
Siły wewnętrzne wyznacza się metodą myślowych przekrojów.
Myślowych przekrojów dokonuje się w dowolnych miejscach
odcinków, których granicami są punkty:
- przyłożenia obciążenia,
- zmiany kształtu poprzecznego pręta.
P1 -� P2 +� P3 -� R =� 0
c
A3 d
b
P2 a
R P3 P1
x
b
a
A2
d
c
d c b a
127
Skręcanie wałów o przekroju okrągłym
Sposoby zaznaczania momentów skręcających
128
Rozkład naprężeń stycznych
r�
��t� r�dA =� Ms
A
t�max r�
t� =�
r�
r
t�max
2
��r� dA =� Ms
r
A
t�max
J0 =� Ms
r
J0
wał pełny wał wydrążony
=� W0
r
J0  biegunowy moment bezwładności
Ms
t�max =�
W0  wskaz
nik wytrzymałości przekroju na skręcanie
W0
129
4 3
p�d p�d
Dla pełnego wału okrągłego:
J0 =� W0 =�
32 16
4 4
J0
p�(�dz -� dw)�
W0 =�
Dla wału wydrążonego:
J0 =�
1
dz
32
2
Warunek wytrzymałościowy na skręcanie:
Ms
t�max =� Ł�t�dop, t�dop =� 0,5s�dop
W0
MsL
j� =�
Kąt skręcania wału o długości L:
GJ0
G  moduł odkształcenia postaciowego (moduł Kirchhoffa)
130
Przykład: Wyznaczyć momenty wewnętrzne i naprężenia styczne w
wale jak na rysunku.
J01 MS1
p�(�d14z -� d14 )�
w
W01 =� t� =�
J01 =�
AB
1
d1z W01
32
2
4 3
MS 2
p�d2 p�d2
t� =�
J02 =� W02 =�
BC
W02
32 16
131
Zginanie belek prostych
132
Umowne określenie znaków sił wewnętrznych
133
Zależności między obciążeniami a siłami wewnętrznymi
a) belka obciążona siłami ciągłymi o intensywności q (x)
b) belka obciążona siłami skupionymi
134
Sposoby podparcia belek
135
Przykład
136
Zadanie
137