Mechanika
Mechanika
Zajmuje się badaniem stanu równowagi
lub ruchem ciał materialnych.
y
Skł d i
Składa się:
kinematyki
y
kinetyki (statyka i dynamika)
Kinematyka
Kinematyka
Dział mechaniki zajmujący się
matematycznym opisem ruch układu
y yp
materialnego, bez wnikania w przyczyny,
które ten ruch wywołały lub zakłóciły
które ten ruch wywołały lub zakłóciły.
Przez ruch rozumie się zmiany położenia
rozważanego obiektu materialnego
rozważanego obiektu materialnego
względem przyjętego układu odniesienia.
Dynamika
Dynamika
Zajmuje się opisem metod wyznaczania
Zajmuje się opisem metod wyznaczania
ruchu układu materialnego pod wpływem
przyłożonego obciążenia
przyłożonego obciążenia.
Statyka
Statyka
Dział mechaniki zajmujący się badaniem
Dział mechaniki zajmujący się badaniem
warunków koniecznych i wystarczających
na to aby układ materialny nie zmieniał
na to, aby układ materialny nie zmieniał
swojego położenia w przyjętym układzie
odniesienia.
Ciało materialne
Ciało materialne
Przez ciało materialne rozumie się
jakikolwiek przedmiot fizyczny dostrzegany
jp y y g y
naszymi zmysłami.
W mechanice wykorzystujemy przybliżone
W mechanice wykorzystujemy przybliżone
modele ciał rzeczywistych:
Punkt materialny
Układ punktów materialnych
py
Ciało sztywne
Punkt materialny
Punkt materialny
Przez punkt materialny rozumie się ciało
Przez punkt materialny rozumie się ciało
materialne, którego rozmiary i kształt nie
są istotne w analizowanym problemie
są istotne w analizowanym problemie.
Układ punktów materialnych
Układ punktów materialnych
Ciało materialne możebyć traktowane
Ciało materialne może być traktowane
jako układ punktów materialnych
(cząsteczek) o rozmiarach znikomo
(cząsteczek) o rozmiarach znikomo
małych w stosunku do rozmiaru
rozważanego ciała.
Ciało sztywne
Ciało sztywne
Ciało sztywne jest to ciało materialne
Ciało sztywne jest to ciało materialne,
którym odległości każdych dwóch jego
punktów są stałe w czasie
punktów są stałe w czasie.
Wymiary i kształt ciała nie zmieniają się w
czasie ruchu ciała.
Siła
Siła
Siła jest miarą wzajemnego oddziaływania
ciał przejawiającą się przez zmianę ich
p j ją ą ę p ę
położenia lub utrzymania w położeniu
równowagi
równowagi.
Oddziaływanie to charakteryzuje się:
linią działania
Wartością
ą
Zwrotem
Graficznym obrazem siły jest wektor
Graficznym obrazem siły jest wektor
Masa punktu materialnego
Masa punktu materialnego
Masa punktu materialnego jest wielkością
skalarną, określona przez iloraz miary siły
ą, py y
ciężkości i miary przyspieszenia
ziemskiego
ziemskiego
df
Q
m = > 0
g
Pęd punktu materialnego
Pęd punktu materialnego
Pęd punktu materialnego jest iloczynem
masy i prędkości
y p ę
df
f
p = mv
Aksjomaty mechaniki:
Aksjomaty mechaniki:
" Aksjomat bezwładności
" Aksjomat ruchu (prawo ruchu)
Aksjomat ruchu (prawo ruchu)
" Aksjomat wzajemnego oddziaływania
( k ji i k ji)
(prawo akcji i reakcji)
1 Aksjomat bezwładności
1. Aksjomat bezwładności
Jeśli na punkt materialny nie działa żadna
Jeś apu ae a y ed aa ad a
siła, to pęd punktu jest stały:
Przy stałym pędzie punkt
Przy stałym pędzie punkt
p = mv = p0 = const
porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym
jednostajnym prostoliniowym
p
p0
&
v = r = = const vo `" 0
m
lub jest w spoczynku
r(t) = v0t + r0 vo = 0
( )
Bezwładność ciało bez
udziału innych sił nie może
udziału innych sił nie może
zmienić położenia
2. Aksjomat ruchu (prawo ruchu).
2. Aksjomat ruchu (prawo ruchu).
Jeśli na punkt materialny działa siła, to
zmienia jego pęd według prawa:
d
d
( )
(p)= F
dt
dt
df
f
p = mv
J li ł t t h j j t ć
Jeżeli założymy ze m=const to prawo ruchu przyjmuje postać
ma = F
ma = F
3. Aksjomat wzajemnego oddziaływania
( k ji i k ji)
(prawo akcji i reakcji).
Dwa punkty materialne działają na siebie
zawsze wzajemnie z siłami równymi,
zawsze wzajemnie z siłami równymi,
przeciwnie skierowanymi i leżącymi na
jednej prostej:
jednej prostej:
mB B
F
F
BA
F
AB
A
mA
F + F = 0
AB BA
Konwencja sumacyjna Einsteina
Konwencja sumacyjna Einsteina
Jeżeli w wyrażeniu będącym jednomianem
wskazniki powtarzają się to należy
pją ę y
dokonać sumowania po powtarzających
się wskaznikach do odpowiedniej
się wskaznikach do odpowiedniej
wymiarowości obiektu
n
aixi =
i
a xi = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn
i=1
n
a =
aii =
a = a + a + + a
a = a11 + a22 + ...+ ann
ii
i=1
Konwencja sumacyjna Einsteina
Konwencja sumacyjna Einsteina
k k
k k
amnxmxn =
a xmxn =
mn
m=1 n=1
a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 + ...+ a1k x1xk +
11 1 1 12 1 2 13 1 3 1k 1 k
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3 + ...+ a2k x2xk +
...
ak1xk x1 + ak 2xk x2 + ak 3xk x3 + ...+ akk xk xk
Operacje na wektorach - dodawanie
a + b = c
c
b
ai + bi = ci
b
a
a
c
b
b
a
a
Operacje na wektorach -
odejmowanie
a - b = c
( b)
a +(- b)= c
c
- b
a
a
b
b
Operacje na wektorach
iloczyn skalarny
a o b = c
n
c =
a bi = ai bi
i
i=1
sumacja
j
c = 0 Wektory są do siebie prostopadłe
Operacje na wektorach
iloczyn wektorowy
a b = c
b
[a a a ]
[a1, a2 , a3]
[b1 , b2 , b3]
=[a2b3 -b2a3 , -(a1b3 -b1a3) , a1b2 -b1a2 ]
[a1, a2 , a3]
[ ] [ ]
[a1, a2 , a3] [a1, a2 , a3]
1 2 3 1 2 3
[b1 , b2 , b3]
[b1 , b2 , b3] [b1 , b2 , b3]
Obliczamy wartości podwyznaczników
Dla środkowego wyrazu zmieniamy znak !!!
Operacje na wektorach
iloczyn wektorowy
a b = c
b
p ( , )
( )
a
b
b
b
a
c
c ^ p ( , )
a
b
Wersor wektor jednostkowy
(unormowany)
e = [1,1,1]
Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i
zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor
przypisujemy.
AB
eAB
eAB =
AB
Wersor wektor jednostkowy
(unormowany)
AB = [ 5 4 3]
AB = [- 5,4,-3]
AB [- 5,4,-3] [- 5,4,-3]
eAB
eAB = = =
5 2
AB
52 + 42 + 32
1 4 3
1 4 3
ł
ł
eAB =
ę- 2 , 5 2 ,- 5 2 ś
Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora
odtwarza początkowy wektor
odtwarza początkowy wektor.
1 4 3
ł
AB AB [
AB = eAB AB = 5 2 [- 5 4 3]
ę ś
ę- 2 , 5 2 ,- 5 2 ś5 2 = 5,4,-3]
Miara rzutu wektora na prostą
(na kierunek)
Szukamy miary rzutu wektora F na kierunek a
a
a
d = F o ea = F o
a
F
F
F
F
d<0
d=0
d>0
a
Moment siły względem punktu
Obierzmy dowolny punkt B i siłę zaczepioną w punkcie A.
F
Momentem siły względem punktu B nazywamy wektor
F M
B
równy iloczynowi wektorowemu siły i wektora łączącego
F
punkt zaczepienia siły z punktem, względem którego liczymy
moment:
t
.
F
A
A
r
a
B
B
M ^ F Ł M ^ AB
B B
kierunek
r
df
df
M = F AB sina = F r
B
moduł
M = F AB = BA F
B
zwrot: trójka wektorów
t t ójk kt ó
M , AB, F jest prawoskrętna
B
Moment siły względem punktu jest równy zeru, gdy siła
lub jej ramię jest równe zeru
lub jej ramię jest równe zeru.
Gdy siłę lub jej ramię przesuniemy wzdłuż prostej jej
y ę j j ę py j j j
p
działania to moment liczony względem tego samego
punktu nie ulegnie zmianie
F
F
F
B
A
R
M F AR F (AB + BR) F BR const
M = F AR = F (AB + BR)= F BR = const
R
Moment siły względem prostej
Moment siły względem prostej
Niech zadana będzie siła zaczepiona w punkcie A i p
ę pp prosta l.
F
l
e
l
F
A
A
Moment siły względem prostej
Moment siły względem prostej
Na prostej l obierzmy dowolny punkt 0, przez który prowadzimy
pj yy p , p y p y
p
płaszczyznę prostopadłą do prostej l. Wyznaczmy rzut
prostokątny siły i punktu A na płaszczyznę .
F
l
e
l
F
p
p
A
A
O
A
F
p
Moment siły względem prostej
Momentem siły F zaczepionej w punkcie A względem prostej l
F
Nazywamy iloczyn wektorowy F i A'0 .
p
l
l
e
e
l
F
p
A
A
O
A
F
p
M || l
l
kierunek
df
M = F A'0 sina
l p
moduł
M = 0A' F = F A'0
l p p
zwrot: wektory
Moment siły względem prostej
jest równy zeru, gdy prosta wraz
jy g y p
stanowią trójkę
ą j ę
M , A'0, F
, ,
l p
l p
z kierunkiem działania siły
prawoskrętną
leżą w jednej płaszczyznie.
Przykład 1.
a) Oblicz współrzędne wektorów
a) Oblicz współrzędne wektorów
b) Oblicz sumę
c) Oblicz moment względem bieguna A
) g ę g
Z
B
eCO = [-1,0,0]
_
_
4
4 m
F
2
F
3 F1 = F1 eCO = [- F,0,0]
3F
Y
A
2F O
2F O
_
F
F
1
1 m
B[0 0 4]
B[0,0,4]
X
X
C[1 0 0]
C[1,0,0]
CD
2 m
D[1,2,0]
[ ]
B[0,0,4]
BD = [1,2,-4]
CB = [-1,0,4]
Wyznaczenie wersora kierunku CB
CB = [-1,0,4]
CB [ 1 0 4] [ 1 0 4]
CB [-1,0,4] [-1,0,4]
eCB = = =
17
CB
12 + 02 + 42
1 4 ł
eCB =
ę- 17 ,0,- 17 ś
17 17
Wyznaczenie wektora siły F2
y y
2
1 4 ł
F2 = F2 eCB = 2F , ,
2 2 CB
ę ś
ę- 17 , 0, 17 ś
2F 8F ł
F =
F2 = 0
ę ś
ę- 17 , 0, 17 ś
Wyznaczenie wersora kierunku CB
BD = [1,2,-4]
BD [1 2 4] [1 2 4]
BD [1,2,-4] [1,2,-4]
eBD = = =
21
BD
12 + 22 + 42
1 2 4
ł
eBD = , ,-
ę
21 21 21
21 21 21ś
Wyznaczenie wektora siły F3
y y
3
1 2 - 4
ł
F3 = F3 eBD = 3F , ,
, ,
3 3 BD
ę
ę ś
21 21 21ś
3F 6F -12F
ł
F =
F3 = , ,
ę ś
ę ś
21 21 21
Obliczenie sumy
F1 = [- 2F,0,0]
2F 8F ł
2F 8F ł
F2 =
ę- 17 , 0, 17 ś
3F 6F -12F
ł
F3 = , ,
ę ś
21 21 21
3
S = , , -
i 1 2 3
F =F1 + F2 + F3 = 2F - 2F + 3F , 6F , 8F 12F ł
i
ę
ę- ś
17 21 21 17 21ś
i=1
Wyznaczenie momentu względem punktu A
M = AC F1 + AC F2 + AB F3
AC AC A
A
AC = [ 1 - 2 0 ]
[ ]
F1 = [- 2F 0 0 ]
1
A(0 2 0) C(1 0 0) B(0 0 4)
A(0,2,0) C(1,0,0) B(0,0,4)
Z
= [ 0 0 - 4F]
B
AC = [ 1 - 2 0 ]
- 2F
8F ł
F2 = 0
ę ś
_
17 17
_
4 m
F
F
2
2
F
F
3
-16F -8F - 4F
ł
3F =
Y
ę ś
A
17 17 17
2F O
_
AB = [ 0 - 2 4 ]
F
F
1
1 m
X 3F 6F -12F ł
C D
F =
F3 =
2m
2 m
ę ś
ę ś
21 21 21
-16F - 8F 12F
4F 6F ł 12F 6F ł
= 0
M = , + , - 4F - +
, ,
ę
ę
A
A
ę
ę ś
21 21ś
21 21ś
17 17 21 17 21ś
M = F [- 0.492, 0.678, - 3.661]
A
Twierdzenie o zmianie bieguna
g
Dla układu złożonego z n sił obliczmy moment względem
Dla układu złożonego z n sił obliczmy moment względem
Punktu (bieguna) B i nowego punktu (bieguna) R.
An
F
1
A1
n
A
Ai F i F n
F
2
A2
R
B
n
df
M
M =
B i
F A B
F AiB
i=1
Twierdzenie o zmianie bieguna
g
An
F
1
n
n
A df
A1 df
M =
B i
Ai F i F n
F AiB
F
2
i 1
i=1
A
A2
n
M =
R i
F AiR
i=1
R
AiR = AiB + BR
B
i i
n n
ć
M = ( )
R i B i
F (AiB + BR)= M + ćF BR
i=1 Ł i=1 ł
Twierdzenie o zmianie bieguna
g
n
ć
M = M +
M = M +
R B i
R B i
F BR
F BR
Ł i=1 ł
n
df
Wektor
S =
i
F nazywamy sumą układu. Mamy zatem:
i=1
tw
M = M + S BR
M = M + S BR
R B
R B
Mt kł d ił li l d bi j t
Moment układu sił liczony względem bieguna nowego jest
równy momentowi układu względem bieguna starego
powiększonemu o iloczyn wektorowy sumy układu i wektora
powiększonemu o iloczyn wektorowy sumy układu i wektora
łączącego biegun stary z nowym
Wnioski z twierdzenia o zmianie
bieguna
Jeżeli , to moment układu jest stały (niezależny od
S = 0
wyboru bieguna, względem którego jest liczony).
yg , g ę g j y)
M = M + S BR
M = M + S BR
R B
R B
S = 0
M = M
R B
Jeżeli momenty układu liczone względem trzech
y g ę
niewspółliniowych punktów są równe, to suma układu jest
równa zeru.
Aby wykazać prawdziwość tego wniosku, należy dwukrotnie
y y p g, y
zastosować twierdzenie o zmianie bieguna.
Z: punkty A B C są niewspółliniowe:
Z: punkty A, B, C są niewspółliniowe:
AB AC ą 0 M = M = M
oraz A B C
Suma nie może być
T : S = 0
równoległa do AB i AC
równoległa do ABi AC
S AB = 0
D : M = M + S AB
B A
S = 0
S = 0
S AC = 0
M = M + S AC
C A
Il k l i t li l d
Iloczyn skalarny sumy i momentu liczonego względem
dowolnego punktu jest dla układu sił wielkością stałą
i nazywamy ją parametrem układu:
i nazywamy ją parametrem układu:
df
k = M S = M S = const
0 A
D :
( ) ( )
M S = (M + S OA) S = M S + S(S OA)= M S
A 0 0 0
Przekształcenia elementarne
Przekształcenie elementarne I rodzaju- dodanie (lub odjęcie)
do układu sił dwóch sił przeciwnych leżących na jednej prostej
do układu sił dwóch sił przeciwnych, leżących na jednej prostej.
F
1
z
A1
F
F 1
F
F
i
Ai
y
A
An
x
- F
F
n
n
Przekształcenia elementarne
Przekształcenie elementarne II rodzaju- dodanie (lub odjęcie)
zbieżnego układu sił o sumie równej zeru
zbieżnego układu sił o sumie równej zeru.
F
1
A
A1
F
i
N
i
A
An
A
z
N Ai
1
N
k
F
F
n
y
x
k
k
S =
N = 0
i
i=1
i=1
Równoważność układu sił
Równoważność układu sił
Dwa układy sił nazywamy równoważnymi, jeżeli wykonując
na jednym z nich skończoną ilość przekształceń elementarnych
j d i h k ń il ść k t ł ń lth
I i II rodzaju otrzymamy drugi układ. Z definicji przekształceń
elementarnych wynika że nie zmieniają one sumy i momentu
elementarnych wynika, że nie zmieniają one sumy i momentu
układu.
ć
F , F ,..., F ,..., F
1 2 i n
Zatem równoważne układy sił Ai B
Zatem równoważne układy sił A i B
A
A =
A1 A2 Ai An
to takie, które mają równe sumy Ł ł
i równe momenty liczone względem
ć
ć
R , R ,..., R ,..., R
R , R ,..., R ,..., R
1 2 j k
1 2 j k
B =
dowolnego (każdego) punktu.
B1 B2 Bj Bk
Ł ł
S = S
A B
df
M (A) M (B)
M (A) = M (B)
Q Q
Q- dowolny punkt
Twierdzenia o równoważności
układów sił:
kł dó ił
1 Dwa układy sił Ai Bsą równoważne gdy mają równe sumy
1. Dwa układy sił A i B są równoważne, gdy mają równe sumy
i równe momenty liczone względem jednego (ustalonego) punktu.
Z : S = S
: S S
A B
A B
M (A)= M (B) , O - ustalony punkt
O
O
T : A B
T : A B
dowolny punkt
D : O' -
Należy wykazać że
Należy wykazać, że
M (A) M (B)
M (A)= M (B)
O' O'
M (A) M (A)+ S OO
M (A)= M (A)+ S OO'
O O A
O' O' A
Stąd po odjęciu stronami
Stąd po odjęciu stronami
otrzymujemy
M (B)= M (B)+ S OO'
O' O' B
M (A) M (B) 0 l b M (A) M (B)
M (A)- M (B)= 0 lub M (A)= M (B)
O' O' O' O'
2. Dwa układy sił A i B są równoważne, gdy mają (odpowiednio)
równe momenty liczone względem trzech niewspółliniowych
równe momenty liczone względem trzech niewspółliniowych
punktów.
Z: O O , O punkty niewspółliniowe
Z: O, O O punkty niewspółliniowe
M (A)= M (B)
O O
( ) ( )
M (A)= M (B)
O' O'
M (A)= M (B)
O'' O''
T : S = S czyli A B
A B
D : w dowodzie wykorzystamy twierdzenie o zmianie bieguna :
( ) ( ) ( ) ( )
M (A)= M (A)+ S OO' Ł M (B)= M (B)+ S OO'
O' O A O' O B
M (A)= M (A)+ S OO'' Ł M (B)= M (B)+ S OO''
O'' O A O'' O B
Na postawie założenia można napisać:
(S - S )OO' = 0 Ł(S - S )OO'' = 0
A B A B
Ponieważ wektor OO' nie jest równoległ do OO''
S - S = 0 czyli S = S
A B A B
Zerowy układ sił
y
Układ sił, dla którego suma jest wektorem zerowym i moment
li l d d l kt ó i
liczony względem dowolnego punktu równa się zeru,
nazywamy zerowym układem sił:
F
S = 0 Ł M = 0
O
F
Jako przykład takiego układu można podać układ złożony
z dwusił przeciwnych leżących na jednej prostej lub układ
z dwu sił przeciwnych leżących na jednej prostej lub układ
zbieżnych sił o sumie równej zeru.
Para sił
Parę sił stanowią dwie siły niezerowe, przeciwne,
nie leżące na jednej prostej.
ą jj pj
Z definicji pary sił wynika, że jej suma jest równa zeru,
zaś moment liczony względem dowolnego punktu jest stały:
ś li l d d l k j ł
S = 0 Ł M ą 0
O
M
M
O
A
F
F
a
- F
d ą 0
p
p
B
B
.
Płaszczyznę wyznaczoną przez parę sił nazywamy
płaszczyzną działania pary:
kierunek M ^ P
O
M = F AB sina = F d
O
moduł
M M F AB
M = M = F AB
O B
O B
zwrot wektory M , F, AB stanowią
O
trójkę prawoskrętną
Pary sił leżące w jednej płaszczyznie i mające ten sam moment
stanowią zbiór równoważnych par A zatem parę sił można
stanowią zbiór równoważnych par. A zatem parę sił można
dowolnie przesuwać, obracać w płaszczyznie jej działania.
F F
F F
F F
Redukcja układu sił redukcja w punkcie
Redukcja układu sił - redukcja w punkcie
Przez redukcję rozumieć będziemy przekształcenie
polegające na zastąpieniu danego układu układem
równoważnym
równoważnym.
Redukcja układu sił w punkcie R (biegunie) polega na
Redukcja układu sił w punkcie R (biegunie) polega na
zastąpieniu danego układu układem równoważnym, złożonym
z wektora równego sumie układu (gdy ) zaczepionego
S ą 0
w biegunie redukcji i pary sił o momencie równym momentowi
układu liczonego względem bieguna redukcji (gdy
M ą 0).
R
Mogą tutaj wystąpić następujące przypadki:
(S 0 0)
(S = 0 Ł M = 0),
1) kł d
1) układ zerowy R
(S = 0 Ł M ą 0),
R
2) para sił
3) układ złożony z jednego wektora
3) układ złożony z jednego wektora
b = S (S ą 0 Ł M = 0)
b = S (S ą 0 Ł M = 0)
R
R
4) układ złożony z trzech wektorów
b = S
An A
F
F n
1
1
A1
R
p
M
R
Ai F i F n
F - F
F
2
B
B
A2
A
B
A B
Redukcja układu sił redukcja do
Redukcja układu sił - redukcja do
najprostszej postaci
Przez redukcję rozumieć będziemy przekształcenie
Przez redukcję rozumieć będziemy przekształcenie
polegające na zastąpieniu danego układu równoważnym,
możliwie prostszym (złożonym z mniejszej liczby sił).
Układ sił, którego suma jest równa zeru, redukuje się do
układu zerowego, gdy jego moment jest zerowy, a do pary
kład ero ego gd jego moment jest ero a do par
sił, gdy ma moment niezerowy.
Układ sił równoważny danemu układowi, a złożony
y , y
z najmniejszej liczby sił, nazywamy najprostszym układem
sił. Jest nim:
S = 0 Ł M = 0,
1. Układ zerowy, gdy O
2. para sił, gdy
S = 0 Ł M ą 0,
O
3 wypadkowa układu sił gdy
3. wypadkowa układu sił, gdy
S 0 K 0
S ą 0 Ł K = 0,
4. układ złożony z dwu sił skośnych, gdy
K ą 0.
Układy te wzajemnie się wykluczają.
Wypadkowa układu
yp
Układ równoważny danemu układowi, złożony z jednej
niezerowej siły równej sumie układu.
Ma ściśle określoną prostą działania o tej własności, że
moment układu liczony względem jej punktów jest równy zeru
moment układu liczony względem jej punktów jest równy zeru,
zaś liczony względem punktów nie należących do tej prostej-
różny od zerai prostopadły do sumy układu.
yp p yy
Układ sił o sumie niezerowej i parametrze układu równym
zeru redukuje się do wypadkowej (w punktach leżących na
d k j i ddk j ( kt h l ż h
prostej działania wypadkowej), zaś w punktach poza prostą,
na której leży wypadkowa otrzymujemy układ równoważny
na której leży wypadkowa, otrzymujemy układ równoważny,
złożony z trzech sił leżących w jednej płaszczyznie.
L t d i ł idk j
L- prosta działania wypadkowej
A
An
F
F
1
A1
D
F
n
2
b S
b = S
A
A
A
A
A2 F 2 Ai F i
A
F
B
W = S
A
- F
- F
C
A
B
A B D
Różnica między sumą sił a
wypadkową
Suma jest to wektor swobodny (nie ma ustalonego punktu
zaczepienia), który może być wektorem zerowym.
Wypadkowa, jako układ równoważny danemu, jest wektorem
niezerowym o ściśle określonej prostej działania
niezerowym, o ściśle określonej prostej działania.
Suma nie może być równoważna układowi sił, gdyż nie jest
y g y j
układem.
Zredukować podany układ sił do najprostszej postaci.
10kN / m
2 10kN / m2 g = 25 kN
g = 25
10kN /
10kN / m2
m3
2
P2 G3
P1
2
45
45
P
P3
100 2
3
3
4
R =
p
P4
G1
G2
2
5
y
y
g
g
x
30kN / m2
3 3 6
ć
2 2
P (100,-100,0)
1
100 2 2 ,-100 2 2 ,0 =
Ł ł
Ł ł
2 6
ć10 40 ,-10 40 ,0
P = (20,-60,0)
2
40 40
Ł ł
Ł ł
2 6
ć
P -10 180 ,-10 180 ,0 = (-120,-60,0)
3
180 180
Ł ł
Ł ł
1 12 1 6
ć
P - 20 180 ,- 20 180 ,0 = (-120,-60,0)
4
2 180 2 180
Ł ł
2
ć
0,0,-610 -p ć 4 ł 25 =
G (0,-1100,0)
1
ę ś
p
p
Ł ł
Ł ł
ę ś
ę ś
Ł ł
Ł ł
1
ć0,- 612 25,0
G = (0,-900,0)
2
2
2
Ł ł
Ł ł
1
ć0,- 6 2 25,0
G = (0,-150,0)
3
2
2
Ł ł
Ł ł
S(-120,-2430,0)
P (100, 100,0) A1(0,8,0)
P (100,-100,0) A1(0,8,0)
1
1
( )
P (20,-60,0) A2(3,11,0)
2
A3(9,6,0)
P (-120,-60,0)
3
A4(10,4,0)
P (-120,-60,0)
4
A (3 5 0)
A5(3,5,0)
G (0 1100 0)
G (0,-1100,0)
1
A (8 4 0)
A6(8,4,0)
G (0 900 0)
G (0,-900,0)
2
G (0, 150,0) 2
G (0,-150,0) 2
3
3
ć
A7ć4,10 ,0
3
Ł ł
A1O ( 0, 8, 0)
( )
P1 (100, -100, 0)
A1O F1 ( 0, 0, 800)
A1O F1 = ( 0, 0, - 800)
( )
A2O (3, 11, 0)
P (20, - 60, 0)
2
A2O F = (0, 0, - 400)
2
( )
A3O (9, 6, 0)
( )
P (-120, - 60, 0)
3
A3O F = (0, 0, 180)
3
A4O (10, 4, 0)
( )
P4 (-120, - 60, 0)
A4O F = (0, 0, -120)
4
A O (3 5 0)
A5O (3, 5, 0)
P (0, -1100, 0)
5
2
2
ć
ć4, 10 ,
A7O 0
( )
A5O F = (0, 0, - 3300)
5
3
Ł ł
A O (8 4 0) P (0 150 0)
A6O (8, 4, 0) P (0, -150, 0)
7
P (0, - 900, 0) A7O F = (0, 0, - 600)
6 7
( )
A6O F = (0, 0, - 7200)
6
( )
M = (0 0 -12240)
O
MO = -1008 - 2011- 603- 609 +1206 -
+ 60 10 +120 4 1100 3 900 8 150 4 12240
+ 6010 +120 4 -11003 - 9008 -1504 = -12240
k = M o S = 0 Ł S ą 0 Układ redukuje się po wypadkowej
O
Wyznaczenie prostej działanie wypadkowej (osi środkowej)
Kt t i i bi i k j t ki
Korzystamy z tw. o zmianie bieguna i poszukujemy takiego
punktu X(x,y,0) aby Mx = 0
S(-120,-2430,0)
OX (x , y, 0)
M = MO + S OX
X
0,0, 120y + 2430x
0,0,-120y + 2430x
0 = -12240 -120y + 2430x
0 0 0
0 0 0
ć ć ć 12240
ć ć ć 12240
x = 0 y = = -102
-120
= +
0 0 0
12240
0 12240
y = 0 x = = 5,04
Ł ł Ł-12240ł Ł-120y + 2430x
ł
2430
Oś środkowa układu sił, skrętnik
Jest to miejsce geometryczne punktów o tej własności,
że moment układu liczony względem tych punktów jest
że moment układu liczony względem tych punktów jest
równy zeru (K=0), lub jest równoległy do sumy układu (K ą 0).
Punkty osi środkowej mają jeszcze jedną własność wynikającą
Punkty osi środkowej mają jeszcze jedną własność wynikającą
z parametru układu:
Ł
k = S M = S M cos S M = const
k = S M = S M cosć S , M = const
A A A
A A A
Ł ł
Stąd otrzymujemy:
k = 0 Ł S ą 0
k = 0 Ł S ą 0
k
k
M = = min
A
gdy
Ł
k ą 0 Ł M || S
A
S cosć S , M
A
Ł ł
Ł ł
A zatem mamy:
S k
S k
ć
ć S
M = ą M =
A A
2
S
S Ł ł
S K
ć S
M = ą M =
A A
2
2
S S
S S
Ł ł
Ł ł
Własność tę można ująć następująco:
Moduł momentu (układu sił o S ą 0 ) liczonego względem
punktów osi środkowej jest minimalny.
A
An
F
F
1
A
A1
oś środkowa
Ai Fi Fn
F
2
A2
A
O (stały punkt odniesienia)
S ą 0
A
M = 0 M || S
A A A
Znajdujemy punkty, które należą do osi środkowej, a więc
jej równanie. Do równania osi środkowej możemy również
dojść z definicji. Z twierdzenia o zmianie do bieguna mamy:
0 gdy K = 0
M = M + S OA =
A O
lS gdy K ą 0
Mnożymy wektorowo wektory M i S :
A
M S = M S +(S OA) S = 0
A O
Powyższe wyrażenie zapisujemy następująco:
Powyższe wyrażenie zapisujemy następująco:
2
M S + S OA -(S OA)S = 0
O
Stąd otrzymamy:
l
M S S OA S O
S OA
O ć
O ć
OA S
OA = - + S
l
l =
gdzie
2 2
2
S S
Ł ł
S
k ą 0
M || S
M || S
A
A
An
F
1
A1
Ai F Fn
i
F
F F
2 i
A2
A
A
b = S
F
F
oś środkowa
- F
A
B- skrętnik
ę
k ą 0
W przypadku układu o parametrze wprowadza się
pojęcie skrętnika, to jest układu zredukowanego w dowolnym
punkcie osi środkowej. Układ taki składa się z wektora b = S
l ż i ś dk j i ił i ó l ł
leżącego na osi środkowej i pary sił o momencie równoległym
do sumy układu.
PRZYKAAD
PRZYKAAD
Dla podanego układu sił obliczyć:
Dla podanego układu sił obliczyć:
- sumę układu,
- moment układu sił względem punktu A (z definicji)
moment układu sił względem punktu A (z definicji)
- moment układu sił względem punktu B (z definicji
oraz z twierdzenia o zmianie bieguna)
oraz z twierdzenia o zmianie bieguna).
Zredukować podany układ do najprostszej postaci
Zredukować podany układ do najprostszej postaci.
z
A5
F5
1
10kN
( , , )
A(5,0,9)
B(0,7,5)
3
G
A
A
F4 30 2 kN
F
B
( )
A1(5,0,0)
A4
A (5 5 0)
A2(5,5,0)
5
E A3(0,7,0)
F3
25 2 kN
A4(5,1,8)
A3
y
C
A (0 1 9)
A5(0,1,9)
20kN
5
F = [ 20 0 0]
F1 = [- 20, 0, 0]
F
F1
D
A1 A2
F2 F2 = [ 0, 15, 0]
15kN
x 12
4
F5 = [ 10, 0, 0]
z
1
1
3
3
A
A3(0,7,0)
E
E
5
5
E(5 7 5)
E(5,7,5)
F3
25 2 kN
A3 y
5
5
A E = [5 0 5]
A3E = [5,0,5]
12
4
x
Wyznaczenie wersora kierunku A3E
y
3
A3E = [5, 0, 5]
A3E [5, 0, 5] [5, 0, 5]
e = = =
A3E
2 2 2
5 2
5 2
A E
A3E
52 + 02 + 52
1 1
1 1
ł
ł
e = , 0,
A3E
ę ś
2 2
Wyznaczenie wektora siły F3
1 1 1 1
ł ł
F3 = F3 eA E = 25 2 , 0, =
3 ę ś ę25 2 2 , 0, 25 2 2 ś
2 2
F3 = [25, 0, 25]
z
1
3
A
A
F4 30 2 kN
F
B
A4
A4[5,1,8]
[ ]
F[0,5,5]
5
y
y
5
A4F = [- 5,4,-3]
1 4 2
1 4 2
x
Wyznaczenie wersora kierunku A4F
A4F = [- 5,4,-3]
A F [ 5 4 3] [ 5 4 3]
A4F [- 5,4,-3] [- 5,4,-3]
eA F = = =
4
5 2
A4F
52 + 42 + 32
1 4 3
ł
eA F =
ę- 2 , 5 2 ,- 5 2 ś
4
2 5 2 5 2
Wyznaczenie wektora siły F4
y y
4
1 4 3
ł
F4 = F4 eA F = 30 2 =
ę- 2 , 5 2 , - 5 2 ś
4
1 4 3
ł
ę- 30 2 2 , 30 2 5 2 , - 30 2 5 2 ś
2 5 2 5 2
F4 = [- 30, 24, -18]
Wyznaczenie sumy układu
yy
5
S =
i
F
i=1
F1 = [- 20, 0, 0]
F2 = [ 0, 15, 0]
F [ 25 0 25]
F3 = [ 25, 0, 25]
[ ]
F4 = [- 30, 24, -18]
F5 = [ 10, 0, 0]
S = [-15, 39, 7]
Wyznaczenie momentu względem punktu A
yg ę
5
M = AA Fi =AA F1 + AA F2 + AA F3 + AA F4 + AA F5
i 1 2 3 4 5
A
i=1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A(5,0,9) A1(5,0,0) A2(5,5,0) A3(0,7,0) A4(5,1,8) A5(0,1,9)
AA1 [0; 0; 9]
AA1 = [0; 0;- 9]
AA = [0; 5; 9]
AA2 = [0; 5;- 9]
AA [ 5 7 9]
AA3 = [- 5;7;-9]
F1 = [- 20;0;0]
F2 = [0;15;0]
F3 = [25;0;25]
[ ]
= [0;180;0]
[135;0;0]
= [135;0;0]
[175; 100; 175]
= [175;-100;-175]
AA4 = [0; 1;-1] AA5 = [- 5;1;0]
F4 = [- 30;24;-18] F5 = [10;0;0]
F [ 30 24 18] F [10 0 0]
= [6;30;30]
= [0;0;-10]
M = [316, 110, -155]
A
Wyznaczenie momentu względem punktu B
yg ę
5
M =
2 3 4 5
2 3 4 5
B i i 1 1 2 3 4 5
B BA Fi = BA1 F1 + BA F2 + BA F3 + BA F4 + BA F5
i
i=1
B(0 7 5) A1(5 0 0) A2(5 5 0) A3(0 7 0) A4(5 1 8) A5(0 1 9)
B(0,7,5) A1(5,0,0) A2(5,5,0) A3(0,7,0) A4(5,1,8) A5(0,1,9)
BA3 = [0;0;-5]
BA1 = [5;-7;-5] BA2 = [5;-2;-5]
F [25;0;25]
F3 = [25;0;25]
F1 = [- 20;0;0] F2 = [0;15;0]
F [ 20 0 0] F [0 15 0]
= [0;-125;0]
= [75;0;75]
= [0;100;-140]
BA4 = [5;-6;3] BA5 = [0;-6;4]
F4 = [- 30;24;-18] F5 = [10;0;0]
[36 0 60]
= [36;0;-60]
[0 40 60]
= [0;40;60]
M [111 15 65]
M = [111, 15, - 65]
B
Wyznaczenie momentu względem
punktu B z twierdzenia o zmianie bieguna
tw
tw.
M = M + S AB
B A
[ ]
S [-15, 39, 7]
AB [- 5, 7, - 4]
S AB = [- 205, - 95, 90]
+ M = [316 110 -155]
A
M = [111, 15, - 65]
B
Wyznaczenie parametru układu
yp
k = MA oS =[316; 110; -155]o[-15; 39; 7]=316(-15)+11039+(-155)7 = -1535ą 0
Redukcja do skrętnika
Równanie osi środkowej
j
-MAS
r(l)= +lS+r
r(l)= +lS+rA
2
S
MA =[316; 110; -155]
S =[-15; 39; 7]
[ ]
=[6815; 113; 13974]
2
S =152 + 392 + 72 = 1795
MA S
- = [- 3,797;-0,063;-7,785]
2
2
S
[ ; ; ]
l S = [-15l;39l;7 l]
rA = [5;0;9]
x = -3,797 -15l + 5 =1,203 -15l
l: y = -0,063 + 39l + 0 = -0,063 + 39l
z = -7,785 + 7 l + 9 = 1,215 + 7 l
pkt.R(1,203; - 0,063; 1,215) prostej l (osi środkowej)
M = M + S AR
R A
M = M + S AR
R A
R(1,203; - 0,063; 1,215)
S = [ -15; 39; 7]
A( 5; 0; 9)
AR = [ 3 797; 0 063; 7 785]
AR = [- 3,797; - 0,063; - 7,785]
AR[- 3,797;-0,063;-7,785]
= [- 303,174;-143,354;149,014]
M S AR [316 110 155] [ 303174 143 354 149 014]
M + S AR = [316; 110; -155]+[- 303,174;-143,354;149,014]
A
= [12,826; - 33.354; - 5,972]
?
Sprawdzenie
M ||S
R
?
M S =O
R
[ , ; , ; , ]
M [12,826; - 33,354; - 5,972]
R
R
S [ -15; 39; 7]
[ 0 57; 0 202; 0 096]
[- 0,57; - 0,202; - 0,096]
@ 0 @ 0
@ 0
Odpowiedz:
Podany układ sił redukuje się do skrętnika złożonego z
wektora sumy
[ ; ; ]
S = [-15;39;7]ą O
leżącego na osi środkowej
x = 1,203 -15l
l
l: y = -0,063 + 39l
z = 1,215 + 7 l
MR = [12,826;-33,354;-5,972]
i pary sił o momencie
równoległym do wektora sumy
równoległym do wektora sumy
S
S
Równoległy układ sił,
ś d k ó l ł kł d ił
środek równoległego układu sił
Układ sił, w którym siły są równoległe do stałego kierunku,
nazywamy równoległym układem sił. Parametr takiego układu
jest zawsze równy zeru, co wynika z faktu, że przy S ą 0i M = 0
A
moment jest prostopadły do sumy A zatem równoległy układ sił
moment jest prostopadły do sumy. A zatem równoległy układ sił
redukuje się do:
1. układu zerowego, gdy S 0 Ł M 0,
1. układu zerowego, gdy S = 0 Ł M = 0,
A
A
2. pary sił, gdy S = 0 Ł M ą 0,
A
3. wypadkowej układu, gdy S ą 0.
prosta działania
prosta działania
A A
A1 A2
F
1
wypadkowej
F
2
An
F
F
i
F
F
n
A
Ai r
i
e
L
O
O*
W
( )
F = (F e )e = F e
i i l l i l
n n
B
B
ć
S =
i l
F = ćF e ą 0
i
O
i=1 Ł i=1 ł
O- stały punkt odniesienia
e - wersor osi l
L
n n
ć
M = M + S OO* = AiO + OO* = 0
O* O i i
F F
i=1 Ł i=1 ł
n n
ć
ć
e (- r )+ e OO * = 0
l i l
Fi Fi
i=1 Ł i=1 ł
n n
n n
ł
ł
ć
ć
e r + OO*ś = 0
l i
ę-Fi Fi
i=1 Ł i=1 ł
nn
ł
r + OO*ś
i
i OO
Z tego związku wynika żewektor ę-F r + ćF
Z tego związku wynika, że wektor ę-Fi Fi ś
i=1 Ł i=1 ł
jest równoległy do prostej l, co można zapisać następująco:
n n
n n
ć
ć
(równanie prostej l),
- r + OO* = le
i l
Fi Fi
i=1 Ł i=1 ł
lub jest równy zeru:
lub jest równy zeru:
n n
ć
(nie zależy od kierunku l).
- r + OO* = 0
i
Fi Fi
i=1 Ł i=1 ł
Stąd mamy:
n
r
i
Fi
i=1
OO* =
n
Fi
i=1
Wektor określa położenie punktu zwanego środkiem
OO*
równoległego układu sił. Środek ten ma następujące właściwości:
- układ posiadający środek redukuje się w tym punkcie
układ posiadający środek redukuje się w tym punkcie
do wypadkowej,
- mo e t u adu g ęde ś od a jest ó y e u,
oment układu względem środka jest równy zeru,
- jeżeli w równoległym układzie sił posiadającym środek obrócimy
siły wokół punktów ich zaczepienia o ten sam kąt, to środek
układu nie zmieni swojego położenia.
PRZYKAAD: Wyznaczyć położenie środka zadanego układu
wektorów równoległych
z
kN
20
m
m2
3
y
O 2
2
kN
x
200kN
kN
10
30
30
mb
mb
mb
6
z
P1 20 kN
A1(2,3,3)
2
m2
A2(2,6,0)
A (4 3 0)
A3(4,3,0)
A4(4,2,0)
3
A1
1
y
A2
O 2
2
200kN
200kN2
A4 A3
P2
kN
P1 = (0,0,-20 6 4)= (0,0,-480)
x
10
kN
mb
b
30
30
P
P3
P2 = (0,0,200)
P4
mb
6
P3 = (0,0,10 6)
(30 -10) 6
ć
P4 = 0,0, = (0,0,60)
2
Ł ł
F = P1, P2 , P3 , P4 ,
A1, A2, A3, A4
( , , ) ( , , )
P1 = (0,0,-20 6 4) = (0,0,-480)
A1(2,3,3)
A1(2,3,3)
1
P2 = (0,0,200)
A2(2,6,0)
P (0 0 10 6)
P3 = (0,0,10 6)
A (4 3 0)
A3(4,3,0)
(30 -10) 6
( )
A4(4,2,0)
4
P4 ć 0,0, (0,0,60)
P4 = 0,0, = (0,0,60)
2
Ł ł
4
S = S P = (0 0 160)ą 0
S = S Pi = (0,0,-160)ą 0
i=1
r1 = OA1 = (2,3,3)
ri = OAi :
r2 = OA2 = (2,6,0)
r = OA = (4 3 0)
r3 = OA3 = (4,3,0)
r4 = OA4 = (4,2,0)
Pi "i : e =
(0,0,1)
F F
Fi = Fi o e :
( ) ( )
F1 = (0,0,-480)o(0,0,1)= -480
F2 = (0,0,200)o(0,0,1)= 200
F3 = (0,0,60)o(0,0,1)= 60
( ) ( )
F4 = (0,0,60)o(0,0,1)= 60
4
4
4
S Fi = -160
i=1
Fr :
Firi :
F r 480 (2 3 3) ( 960 1440 1440)
F1r1 = -480(2,3,3)= (- 960,-1440,-1440)
F2r2 = 200(2,6,0)= (400,1200,0)
( ) ( )
F3r3 = 60(4,3,0)= (240,180,0)
F4r4 = 60(4,2,0)= (240,120,0)
4
4
S Firi = (-80,60,-1440)
i=1
4
S Firi 1
S Firi 1
1 3
1 3
ć
ć
i=1
OO* = = (-80,60,-1440)= ,- ,9 = (0,5;-0,375;9)
4
2 8
Ł ł
S Fi -160
i=1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Psychopatologia Kmita w1 12 13SD przykłady do w1 13ZWC w1 13 2014Wykład 1 program wykładów W1 13 wprowadzeniePPS 13 W13WykPNOP 13 zas mt mo zzl niepelny01 mt 13Statyka ID M0 13, 2011 2012 ZIMA (studia dzienne)UAS 13 zaoer4p2 5 13Mechanika Statyka 5 L MurawskiBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwięcej podobnych podstron