Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 3
Systemy dyskretne  transmitancja Z
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
E-mail: [e-mail]
http://maslowski.sd.prz.edu.pl/
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
System liniowy niezmienny w czasie (LTI)
System liniowy niezmienny w czasie (LTI)
x1
y
układ
System liniowy
liniowy
LTI
x3
y=y1+y2+y3
cx=cy
W układach liniowych obowiązuje zasada superpozycji, zgodnie z którą
sygnał na wyjściu można wyznaczyć jako sumę sygnałów wyjściowych
pochodzących od wszystkich sygnałów wejściowych
Zasada superpozycji nie obowiązuje w układach nieliniowych, w których nie
można sygnału wyjściowego rozdzielić na składniki pochodzące od różnych
sygnałów wejściowych.
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Opis matematyczny układów dyskretnych
Opis matematyczny układów dyskretnych
x[n]
y[n]
System
dyskretny
dyskretny
System dyskretny przetwarza wejściowy ciąg próbek w wyjściowy
ciąg próbek, który zależy nie tylko od sygnału wejściowego, ale
również od własności układu dyskretnego.
System dyskretny opisują tzw. równania rekurencyjne, które uzyskuje
się z równań różnicowych, a te z kolei wyprowadza się na podstawie
równań różniczkowych zastępując pochodne ilorazami różnicowymi.
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
Wyprowadzone zostanie równanie rekurencyjne opisujące zależność
pomiędzy dyskretnym sygnałem napięcia panującym na
kondensatorze (sygnał wejściowy) a dyskretnym sygnałem prądu
płynącego przez ten kondensator (sygnał wyjściowy)
du(t)
Model ciągły wykorzystujący operację
i(t) =C
różniczkowania (system liniowy I rzędu)
dt
u(t) -u(t - "t) Równanie różnicowe otrzymuje się, gdy
i(t) =C
pochodną zastąpi się poprzez iloraz różnicowy
"t
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
Jeśli w ilorazie różnicowym przedział czasu "t
"t = const =T
jest równy okresowi próbkowania T sygnału
analogowego to równanie różnicowe opisuje
u(nT) -u((n -1)T)
zależność pomiędzy pomiędzy ciągiem próbek
i(nT) =C
wejściowych i wyjściowych.
T
T
Często pomija się symbol T w argumencie
funkcji i wykorzystuje się wcześniej
u[n]-u[n -1]
i[n] =C
wspominanÄ… notacjÄ™ funkcyjnÄ… (z nawiasami
T
kwadratowymi)
Równanie rekurencyjne dla
dyskretnego modelu kondensatora
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
Przykład 1: dyskretny model kondensatora
u(nT)
u[0] = 0; u[1] =1; u[2] = 2;
u[3] = 3; u[4] = 4
Dla T=1s
u[0] -u[-1] 0 - 0
i[0] =C =C = 0
T 1
u[1] -u[0] 1- 0
i[1] =C =C =C
T 1
i(nT)
u[2] -u[1] 2 -1
i[2] =C =C =C
T 1
C
u[3] -u[2] 3 - 2
i[3] =C =C =C
T 1
u[4] -u[3] 4 - 3
i[4] =C =C =C
T 1
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Równanie rekurencyjne opisujące liniowy
Równanie rekurencyjne opisujące liniowy
system dyskretny m-tego rzędu
system dyskretny m-tego rzędu
y[n]+a1y[n -1]+K+amy[n -m]
=b0x[n]+b1x[n -1]+K+bmx[n -m], n e" 0
y[-1],y[-2],Ky[-m] warunki poczÄ…tkowe dla n=0
sygnał wejściowy przyłożony w
x[-1],x[-2],Kx[-m] = 0
chwili t=0 (n=0)
Rozwiązanie ogólne równania zależy od m parametrów,
które stanowią warunki początkowe.
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
wymuszona i swobodna systemu
Odpowiedz
wymuszona i swobodna systemu
Odpowiedzią wymuszoną nazywamy rozwiązanie równania
rekurencyjnego dla warunków początkowych zerowych (odpowiedz

ta zależy tylko od wymuszenia i nie zależy od stanu początkowego
systemu)
Odpowiedzią swobodna nazywamy rozwiązanie równania
jednorodnego
y[n] +a1y[n -1] +K+amy[n -m] = 0
Odpowiedz
swobodna zależy od stanu początkowego systemu
(warunków początkowych) i nie zależy od wymuszenia
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Wykorzystanie przekształcenia Z do wyznaczania
Wykorzystanie przekształcenia Z do wyznaczania
odpowiedzi systemu na zadane wymuszenie
odpowiedzi systemu na zadane wymuszenie
1) Wyznaczyć transformatę Z równania
rekurencyjnego
2) Rozwiązać uzyskane równanie
algebraiczne względem Y(z)
3) Wyznaczyć transformatę odwrotną
funkcji zespolonej Y(z)
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
System liniowy pierwszego rzędu
System liniowy pierwszego rzędu
y[n] +a1y[n -1] =b0x[n] +b1x[n -1], n e" 0
Y (z) +a1 z Y (z) +y[-1] =b0X(z) +b1z X(z)
Y (z) +a1 z-1Y (z) +y[-1] =b0X(z) +b1z-1X(z)
{ }
{ }
b0 +b1z-1 -a1y[-1]
Y (z) = X(z) + =Yw (z) +Ys (z)
1+a1z-1 1+a1z-1
Transformata
Transformata
odpowiedzi
odpowiedzi
swobodnej
wymuszonej
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
swobodna
Odpowiedz
swobodna
-a1y[-1] z
Ys (z) = = -a1y[-1]
z - (-a1)
1+a1z-1
y [n] = -a y[-1](-a )n =y[-1](-a )n+1
ys[n] = -a1y[-1](-a1)n =y[-1](-a1)n+1
ys[n] =y[-1](-a1)n+1
odpowiedz
swobodna
gdzie
z1 = -a1
jest biegunem transmitancji systemu pierwszego rzędu
(patrz kolejne slajdy)
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Koncepcja transmitancji systemów dyskretnych
Koncepcja transmitancji systemów dyskretnych
y[n]
x[n]
System
dyskretny
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transmitancja systemu dyskretnego pierwszego rzędu
Transmitancja systemu dyskretnego pierwszego rzędu
TransmitancjÄ… systemu dyskretnego nazywa siÄ™ stosunek transformat
sygnału wyjściowego do wejściowego przy warunkach poczatkowych
zerowych
b0 +b1z-1
Y (z) = X(z) =Yw (z)
Y (z) = X(z) =Yw (z)
-1
1+a1z-1
Yw (z) b0 +b1z-1
H(z) = =
X(z)
1+a1z-1
Transmitancją systemu nie zależy od sygnału wejściowego i
wyjściowego lecz wyłącznie od rodzaju tego systemu określonego
poprzez współczynniki b0, b1 i a1.
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 2:
Przykład 2:
Wyznaczyć transmitancję Z modelu dyskretnego kondensatora:
Równanie rekurencyjne dla
u[n]-u[n -1]
i[n] =C
dyskretnego modelu kondensatora
T
Dokonując przekształcenia Z lewej i prawej strony równania otrzymuje się:
U(z) - (U(z)z-1 +u[-1])
I(z) =C
T
Zakładając zerowy warunek początkowy u[-1]=0:
I(z) C C z -1
C
H(z) = = (1-z-1) =
I(z) = U(z)(1-z-1)
U(z) T T z
T
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 3:
Przykład 3:
Wyznaczyć odpowiedz
i transmitancję systemu pierwszego rzędu
opisanego równaniem rekurencyjnym:
y[n]- 3y[n -1] = 2u[n], n e" 0
y[-1] = 5
Dokonując przekształcenia Z lewej i prawej strony równania otrzymuje się:
z
transformata
Y (z) - 3 z-1Y (z) +y[-1] = 2
{ }
odpowiedzi
z -1
wymuszonej
z
Y (z) 1- 3z-1 -15 = 2
( )
transformata
z -1
odpowiedzi
2z2 15z swobodnej
Y(z) = +
z -1 z - 3 z - 3
( )( )
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 3:
Przykład 3:
Yw (z) 2z c1 c2
= = +
z z -1 z - 3 z -1 z - 3
( )( )
2z
2z
c = z -1 = -1
c1 = z -1 = -1
( )
( )
z -1 z - 3
( )( )
z=1
2z 6
c2 = z - 3 = = 3
( )
z -1 z - 3 2
( )( )
z=3
Yw (z) 2z 1 3
= = - +
z z -1 z - 3 z -1 z - 3
( )( )
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 3:
Przykład 3:
z 3z
15z
Yw (z) = - +
Ys (z) =
z -1 z - 3
z - 3
Y (z) =Yw (z) +Ys (z)
y[n] =yw[n]+ys[n]
y[n] = -u[n]+ 3Å"3n +15Å"3n = 18Å"3n -u[n] n e" 0
y[n] = 18Å"3nu[n]-u[n]
lub bez warunku n e" 0
y[n] = 18Å"3n -1 u[n]
( )
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 3:
Przykład 3:
Yw (z) b0 +b1z-1
H(z) = =
X(z)
1+a1z-1
2z2
z
Yw (z) =
Yw (z) =
X(z) = 2
X(z) = 2
z -1 z - 3
z -1 z - 3
( )( )
( )( )
z -1
z -1
2z2 z -1
H(z) =
z -1 z - 3 2z
( )( )
z
H(z) =
Pojedynczy biegun
z1 = 3
z - 3
( )
transmitancji
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
System liniowy drugiego rzędu
System liniowy drugiego rzędu
y[n]+a1y[n -1]+a2y[n - 2]
=b0x[n]+b1x[n -1] +b2x[n - 2], n e" 0
Po dokonaniu transformaty Z obydwu stron i uporzÄ…dkowaniu
wyrazów otrzymuje się ogólną postać
wyrazów otrzymuje się ogólną postać
Lw (z) Ls (z)
Y (z) = X(z) + =Yw (z) +Ys (z)
M(z) M(z)
gdzie
M(z) = 1+a1z-1 +a2z-2
Lw (z) =b0 +b1z-1 +b2z-2
zależy od warunków początkowych
Ls (z)
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transmitancja systemu liniowy drugiego rzędu
Transmitancja systemu liniowy drugiego rzędu
Yw (z) Lw (z)
H(z) = =
X(z) M(z)
b0 +b1z-1 +b2z-2
H(z) =
1+a1z-1 +a2z-2
1+a1z-1 +a2z-2
gdy
Yw (z) = H(z)X(z) Y´ (z) = H(z)
X(z) =Z ´[n] = 1
{ }
Transformata odwrotna transmitancji H(z) jest równa odpowiedzi
impulsowej systemu (odpowiedzi na deltÄ™ Kroneckera)
m
n
Z-1 H(z) =Z-1 Y´ (z) =h[n] =
{ } { }
"c zk (z)
k
k=1
gdzie zk sÄ… biegunami transmitancji H(z)
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Stabilność systemów liniowych
Stabilność systemów liniowych
System jest stabilny gdy odpowiedz
impulsowa h[n] określona
szeregiem
m
n
h[n] =
"c zk (z)
k
k=1
k=1
dąży do zera, gdy n dąży do nieskończoności (czyli gdy czas
obserwacji dąży do nieskończoności).
Zatem wszystkie bieguny transmitancji powinny leżeć na
płaszczyz
nie zespolonej wewnątrz okręgu o promieniu 1.
zk <1
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Schematy blokowe systemów dyskretnych
Schematy blokowe systemów dyskretnych
Często związki pomiędzy dyskretnymi sygnałami wejściowymi i
wyjściowymi opisuje się graficznie za pomocą dyskretnych
schematów z podstawowymi działaniami
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład 4:
Przykład 4:
Wyznaczyć: a) równanie rekurencyjne opisujące system dyskretny
drugiego rzędu, b) transmitancję tego systemu c) oraz odpowiedz

impulsową wykorzystując do tych celów schemat blokowy:
x [n ] = ´[n ]
Zakładamy dodatkowo zerowe warunki początkowe:
y [-1] = y [-2] = 0
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
a) Równanie rekurencyjne
y [n ] = x [n ]+ 4y [n -1]+ 8y [n - 2]
b) Transmitancja układu dyskretnego
b) Transmitancja układu dyskretnego
Y (z) =Yw (z)
Y (z) =X(z) + 4Y(z)z-1 +8Y (z)z-2
Y(z) 1-4z-1 -8z-2 =X(z)
{ }
Y(z) 1 z2
H(z) = = =
X(z)
1-4z-1 -8z-2 z2 -4z -8
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
c) Odpowiedz
impulsowa w postaci operatorowej
gdyż X(z) =Z ´[n] =1
{ }
Y(z) =H(z)X(z) =H(z)
z2
z2
Y(z) =
z2 -4z -8
Aby przedstawić sygnał wyjściowy jako dyskretny ciąg próbek należy
dokonać transformaty odwrotnej Z dla sygnału Y(z).
W tym celu powyższą funkcję zapisujemy w postaci:
Y(z) z
=
z
z2 -4z -8
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
Następnie znajdujemy pierwiastki mianownika,
czyli bieguny transformaty !!!
Y (z) z
=
=
z (z -5, 45)(z +1, 45)
z2 -4z -8 = 0 to " = 16+32 = 6,9
4 + 6,9 4-6,9
z1 = = 5, 45 z2 = = -1, 45
2 2
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
Wyrażenie po prawej stronie równania przedstawiamy w postaci:
Y(z) z c1 c2
= = +
z (z -5, 45)(z +1, 45) (z -5, 45) (z +1,45)
Inny sposób wyznaczania współczynników
Inny sposób wyznaczania współczynników
Y (z) z c1(z +1, 45) +c2(z -5,45)
= =
z (z -5, 45)(z +1, 45) (z -5, 45)(z +1, 45)
z =c1(z +1,45) +c2(z -5,45) =c1z +c2z +1, 45c1 -5, 45c2
Å„Å‚
ôÅ‚
Å„Å‚
c1 +c2 =1
ôÅ‚
ôÅ‚c1 = 0.79
ôÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚c = 0.21
ół
ôÅ‚1, 45c1 -5, 45c2 = 0
ół
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
W ostatnim etapie odwracania transformaty Z sygnału wyjściowego
dokonujemy przekształcenia:
z z
Y(z) = 0.79 + 0.21
(z -5,45) (z +1,45)
(z -5,45) (z +1,45)
A następnie zapisujemy transformatę odwrotną lewej i prawej strony
równania operatorowego:
y[n]= 0.79Å"5,45n +0.21Å"(-1,45)n u[n]
{ }
Równanie to opisuje już sygnał wyjściowy w dyskretnych chwilach
czasowych.
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Zadanie:
Zadanie:
1. Narysować przebieg czasowy sygnału wyjściowy, wiedząc że okres
próbkowania T=1ms dla pierwszych 10 próbek (n=0, 1, 2, ...,10)
2. Czy rozpatrywany system jest stabilny, a jeśli nie to dlaczego?
3. Zaproponować takie zmiany w schemacie blokowym, aby system
był stabilny.