METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW
Analiza matematyczna II: szereg Taylora, całkowanie
ROZWIJANIE W SZEREG TAYLORA
Rozwijanie funkcji jednej zmiennej
taylor (wyrażenie, punkt1, n)
Rozwijanie funkcji wielu zmiennych
mtaylor (wyrażenie, punkt2, n)
Oznaczenia:
wyrażenie  wyrażenie algebraiczne oznaczające rozwijaną funkcję.
punkt1  równanie np. x = x0 określające punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.
punkt2  zbiór lub lista równań określających punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.
n  (opcjonalny argument) liczba wyrazów rozwinięcia. Domyślnie program oblicza sześć
wyrazów rozwinięcia funkcji
CAA
KOWANIE
Całka nieoznaczona
int (wyrażenie, symbol)
Całka oznaczona
int (wyrażenie, symbol = a..b)
Oznaczenia:
wyrażenie  całkowane wyrażenie.
symbol  nazwa zmiennej ze względu na którą całkujemy.
a, b  liczby oznaczające granice całkowania. Jeśli liczby te zadane są w formie
zmiennoprzecinkowej do całkowania użyte są metody numeryczne.
1. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f (x) = cos(3x) w punkcie x = 0 dla domyślnej
wartości n określającej liczbę wyrazów rozwinięcia.
b) Następnie w jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szereg.
Uwaga: Przed wykreśleniem szeregu należy, za pomocą komendy convert z
opcją polynom, zamienić go na wyrażenie typu wielomianowego.
ex
2. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f (x) = w punkcie x = 1 dla n = 3 i n = 8 .
2x
b) W jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szeregi.
c) Obliczyć wartość funkcji f (x) oraz wartość każdego rozwinięcia w x = -5.
Odp: f(-5) = 0.2156, (n = 3) 1.1604, (n = 8) 0.2119
3. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję dwóch zmiennych f (x, y) = x2 ln( y) w
Ä„
punkcie x = Ä„, y = dla n = 3 i n = 9 .
2
b) Podać wartość funkcji f (x, y) oraz każdego rozwinięcia w punkcie x = 5, y = 3.
Odp. f(5,3) = 27.4653, (n = 3) 26.8084, (n = 9) 27.4448
4. Obliczyć całki:
1 x2
x
a) ) dx Odp: ln(xx )x - x2 ln(x) -
+"ln(x
2 4
Ä„
2
1
2
b) (x) sin(2x) dx Odp:
+"cos
2
0
x2
ëÅ‚ öÅ‚
3 1-
2 4
ìÅ‚ ÷Å‚
39Ä„
c) (x + y)2 dy dx Odp:
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
2
-2 ìÅ‚ ÷Å‚
x2
ìÅ‚ ÷Å‚
-3 1-
íÅ‚ 4 Å‚Å‚
5. Znalez
ć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
x
y1 = -x4 + 5 i y2 = e2 +1.
Wskazówka: a) Wykreślić obie krzywe. b) Określić granice całkowania rozwiązując
odpowiednie równania. c) Obliczyć odpowiednią całkę oznaczoną.
Odp: 6.1818