PODSTAWY ANALIZY
materiały pomocnicze do wykładu
semestr II 2008/09
1 Całka oznaczona
Niech B( a, b ) oznacza zbiór funkcji ograniczonych na przedziale domkniętym i
ograniczonym a, b .
Będziemy rozpatrywać funkcje f " B( a, b ).
Definicja 1.1 Podziałem  odcinka a, b nazwiemy zbiór punktów {xi}m
i=0
takich, że a = x0 < x1 < x2 < .... < xm = b . ÅšrednicÄ… podziaÅ‚u Ã( ) nazywamy
liczbÄ™
Ã( ) = max (xi - xi-1)
i=1,...,m
Dla danego podziału  wybieramy zbiór punktów pośrednich
X = {¾i , i = 1, 2..., m , xi-1 ¾i xi}
Definicja 1.2 (Suma całkowa Riemanna)
Każdemu podziałowi  i związanemu z nim zbiorowi punktów pośrednich X
przyporządkowujemy wartość
m

R(f, , X) = f(¾i) (xi - xi-1)
i=1
zwaną sumą całkową Riemanna.
Dzieląc przedział a, b na coraz większą liczbę przedziałów tworzymy ciąg
podziałów.
Do każdego z tych podziałów dobieramy zbiór punktów pośrednich.
Definicja 1.3 Ciąg podziałów { (p)}" nazywamy normalnym, jeśli
p=1
lim Ã( (p)) = 0
p"
Uwaga 1.1 Każdemu ciągowi podziałów { (p)}" i ciągowi punktów pośrednich
p=1
{X(p)}" odpowiada ciąg sum całkowych
p=1
{R(f, (p), X(p))}"
p=1
1
Definicja 1.4 (Całka Riemanna)
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału a, b i dowolnego
ciągu punktów pośrednich ciąg sum całkowych {R(f, (p), X(p))}" jest zbieżny
p=1
do tej samej granicy właściwej, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na a, b a
granicę ciągu sum całkowych {R(f, (p), X(p))}" nazywamy całką Riemanna
p=1
funkcji f i oznaczamy

b
f(x) dx
a
To znaczy

b
f(x) dx = lim R(f, (p), X(p))
p"
a
Uwaga 1.2 Jeżeli funkcja f : a, b R jest całkowalna, to

p
b

b - a b - a
f(x) dx = lim f a + k
p"
a p p
k=1
Przykład 1.1 Korzystając z całkowalności funkcji f(x) = x oraz z powyższego

2
faktu obliczyć x dx
0
1.1 Zastosowania
1. Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcja f, a, b R będzie ciągła i nieujemna.
Wez
my normalny ciąg podziałów (p) = {a = x0 < x1 < .... < xm(p) = b}
i ciÄ…g punktów poÅ›rednich X(p) = {¾i , i = 1, 2..., m(p) , xi-1 ¾i xi}.
Rozpatrzmy trapez krzywoliniowy
D = {(x, y) " R2 : a x b , 0 y f(x)}
Pole |D| trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów
Dk = {(x, y) " R2 : xk-1 x xk, 0 y f(¾k)}, gdy lim Ã( (p)) = 0.
p"
Zatem
m(p)
b

|D| = lim f(¾i) (xi - xi-1) = f(x) dx
p"
a
i=1
2. Objętość bryły obrotowej
Wez
my normalny ciąg podziałów (p) = {a = x0 < x1 < .... < xm(p) = b}
i ciÄ…g punktów poÅ›rednich X(p) = {¾i , i = 1, 2..., m(p) , xi-1 ¾i xi}.
Niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą z obrotu wykresu
nieujemnej funkcji y = f(x), gdzie a x b wokół osi Ox oraz płaszczyznami
x = a i x = b. Niech "Vk oznacza objętość walca o wysokośći hk = xk - xk-1
i promieniu podstawy f(¾k). Wtedy
m(p) m(p)
b

|V | = lim |"Vk| = lim Ä„ f2(¾i) (xi - xi-1) = Ä„ f2(x) dx
p" p"
a
i=1 i=1
2
3. Uzasadnić, że długość |L| wykresu funkcji f " C1 a, b wyraża się wzorem:


b
|L| = 1 + (f (x))2 dx
a
4. Wyprowadzić wzór na pole powierzchni powstałej z obrotu wokół osi Ox
wykresu nieujemnej funkcji f " C1 a, b :


b
|S| = 2Ä„ f(x) 1 + (f (x))2 dx
a
.
1.2 Funkcje całkowalne
Przykład 1.2 Funkcja Dirichleta f :< 0, 1 > R określona następująco

0 dla x " Q)" < 0, 1 >
f(x) =
1 dla x "< 0, 1 > \Q
nie jest całkowalna na < 0, 1 >.
Rzeczywiście. Rozpatrzmy dowolny normalny ciąg podziałów i dwa różne ciągi
punktów pośrednich:
X1(p) = {¾i "< xi-1, xi > \Q}p , X(p) = {Ä…i "< xi-1, xi > )"Q}p
i=1 i=1
Wtedy
"  R(f, , X1) = 1 , R(f, , X) = 0
Zatem granica ciągu sum całkowych nie istnieje.
Przykład 1.3 Funkcja stała f(x) a" C , x " a, b jest całkowalna oraz

b
C dx = C (b - a)
a
Twierdzenie 1.1 Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale a, b i ma na tym
przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to jest na nim
całkowalna.
Zbiór funkcji całkowalnych (według Riemanna) na przedziale a, b będziemy
oznaczać R( a, b ). Zatem na mocy definicji

b
f " R a, b Ô! " f(x) dx
a
3
1.3 Własności całki Riemanna.
Własność 1.1
(" f, g " R a, b ) , ("C " R) : (f + g " R a, b '" C f " R a, b )
oraz

b b b
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx
a a a

b b
C f(x) dx = C f(x) dx
a a
Dowód wynika z własności granic ciągów.
Własność 1.2
("f " R a, b ) , ("c " a, b ) : ( f " R < a, c > '" f " R < c, b >)
oraz

b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a a c
Dowód:
Niech { (p)}" będzie normalnym ciągiem podziałów, gdzie
p=1
(" p " N ) (c = tk(p) " (p))
Wtedy
m(p) k(p) m(p)

R(f, (p), X(p)) = f(¾i) (xi-xi-1) = f(¾i) (xi-xi-1) + f(¾i) (xi-xi-1)
i=1 i=1
k(p)+1
Przy przejściu do granicy przy p " otrzymamy żądaną równość.
e&
Własność 1.3

b
f " R( a, b =Ò! m(b - a) f(x) dx M(b - a)
a
gdzie m = infx" f(x) i M = supx" f(x).
Twierdzenie 1.2 (o wartości średniej)

b
f " R a, b =Ò! (" µ "< m, M >) : f(x) dx = µ (b - a)
a
Wniosek 1.1

b
f " C( a, b ) =Ò! (" c " a, b ) f(x) dx = f(c) (b - a)
a
Dowód tego twierdzenia wynika z własności Darboux i poprzedniego twierdzenia o
wartości średniej.
4
1.4 Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Twierdzenie 1.3 (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego)

Niech f " R( a, b ) i (" F " D1(a, b) )" C < a, b >) (" x " (a, b)) (f(x) = F (x)) .
Wtedy

b
f(x) dx = F (b) - F (a)
a
Dowód: Dla dowolnego podziału  = {a = x0 < x1 < ... < xp = b} mamy
p

F (b) - F (a) = [F (xk) - F (xk-1]
k=1
Na każdym przedziale < xk-1, xk > spełnione są warunki twierdzenia Lagrange a.
StÄ…d
(" k = 1, 2, ..., p) (" ¾k "< xk-1, xk >) F (xk) - F (xk-1) = f(¾k) (xk - xk-1)
Zatem
p

F (a) - F (b) = f(¾k) (xk - xk-1) = R(f, , X)
k=1
Skoro istnieje granica sum całkowych funkcji f " R( a, b ) to

b
f(x) dx = F (b) - F (a)
a
e&
Przykład 1.4 1. Znalez
ć pole figury ograniczonej krzywymi:
"
a) y = 2x , y = x + 1 b) y = sin x , y = 3 cos x , x " 0, Ä„
2. Znalez
ć objętość oraz pole powierzchni kuli o promieniu R.
3. Znalez
ć objętość oraz pole powierzchni stożka o promieniu podstawy R i
wysokości H.
1.5 Funkcja górnej granicy całkowania
Z własności 1.2 wynika, że

x
f " R( a, b ) =Ò! ("x " a, b ) (" f(t) dt)
a
Oznaczmy

x
Åš(x) = f(t) dt
a
Twierdzenie 1.4
1. f " R( a, b ) =Ò! Åš " C( a, b )
2. f " C( a, b ) =Ò! Åš " D1( a, b ) '" ("x " (a, b) Åš (x) = f(x))
5
Dowód:
ad.1 Na mocy własności 1.2 dla każdego punktu x " a, b i dowolnej liczby
rzeczywistej h = 0 takiej, że x + h " a, b otrzymujemy


x+h x x x+h x x+h
Åš(x+h)-Åš(x) = f(t) dt - f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt - f(t) dt = f(t) dt
a a a x a x
Oznaczmy przez m(h) i M(h) odpowiednio kres dolny i kres górny funkcji f na
przedziale o końcach w punktach x + h i x.
Z twierdzenia o wartości średniej 1.2 wynika
("µ : m(h) < µ < M(h)) (Åš(x + h) - Åš(x)) = µ h
Wtedy
lim Åš(x + h) = Åš(x)
h0
co oznacza ciągłość funkcji Ś w każdym punkcie przedziału.
ad.2 Wiemy już z pierwszej części dowodu, że
("x " a, b (" h " R) ("µ "< m(h), M(h) >)
Åš(x + h) - Åš(x)
= µ
h
Funkcja jest ciągła, więc z własności Darboux wynika, że
(" ¸ " (0, 1)) (µ = f(x + ¸ h))
DziÄ™ki ciÄ…gÅ‚oÅ›ci f istnieje lim f(x + ¸ h) = f(x) i stÄ…d
h 0
Åš(x + h) - Åš(x)
Åš (x) = lim = lim f(x + ¸ h) = f(x)
h 0 h 0
h

x
Uwaga 1.3 Udowodniliśmy, że Ś(x) = f(t) dt jest jedną z funkcji pierwotnych
a
funkcji ciągłej f.
Wniosek 1.2

f " C a, b =Ò! " f(x) dx na a, b
2 Długość łuku krzywej
Będziemy rozpatrywali krzywe na płaszczyz
nie i w przestrzeni trójwymiarowej
zadane równaniami parametrycznymi
1.Krzywa płaska

x = x(t)
t "< Ä…, ² > (1)
y = y(t)
6
2.Krzywa w przestrzeni trójwymiarowej.
Å„Å‚
ôÅ‚ x = x(t)
òÅ‚
y = y(t) t "< Ä…, ² > (2)
ôÅ‚
ół
z = z(t)
Niech punkt A = (x(Ä…), y(Ä…)) bÄ™dzie poczÄ…tkiem krzywej a punkt B = (x(²), y(²))
jej końcem.

Krzywą łączącą punkty A i B będziemy oznaczali AB.
Rozpatrzmy podziaÅ‚  przedziaÅ‚u < Ä…, ² >.
 = {Ä… = t0 < t1 < t2 < ... < tp = ²}

Każdemu punktowi tk "  odpowiada punkt Ak na krzywej AB. łącząc punkty
{Ak}p otrzymujemy łamaną " o długości
k=1
p

R(") = |Ak-1Ak|
k=1
Niech ´(") = maxk=1,2,3,...p |Ak-1Ak|. Rozpatrzmy teraz normalny ciÄ…g podziałów
{ (p)}" . CiÄ…gowi temu odpowiada ciÄ…g Å‚amanych {"(p)}" .
p=1 p=1
Definicja 2.1 (krzywa prostowalna)
JeÅ›li dla dowolnego ciÄ…gu Å‚amanych {"(p)}" takich, że lim ´("(p)) = 0 istnieje
p=1
p"
granica l = lim R("(p)) i nie zależy ona od wyboru ciągu {"(p)}" to mówimy,
p=1
p"

że krzywa AB jest prostowalna, a liczbę l nazywamy jej długością.
Definicja 2.2 (Å‚uk regularny)
A
ukiem regularnym będziemy nazywali krzywą zadaną parametrycznie (1), jeśli
spełnione są warunki
1. t1 = t2 =Ò! (x(t1), y(t1)) = (x(t2), y(t2))

2. x, y " C1(< Ä…, ² >) '" [("t "< Ä…, ² > (x (t))2 + (y (t))2 > 0)]
Analogicznie łukiem regularnym w R3 będziemy nazywali krzywą zadaną
parametrycznie (2), jeśli spełnione są warunki
1. t1 = t2 =Ò! (x(t1), y(t1), z(t1)) = (x(t2), y(t2), z(t2))

2. x, y, z " C1(< Ä…, ² >) '" [("t "< Ä…, ² > (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 > 0)]
Definicja 2.3 (krzywa regularna)
Krzywą L nazywamy krzywą regularną, jeśli daje się podzielić na skończoną ilość
łuków regularnych.
7
Twierdzenie 2.1
A
uk regularny (1) jest krzywą prostowalną i jego długość |L| wyraża się wzorem


²
|L| = (x (t))2 + (y (t))2 dt
Ä…
Wniosek 2.1
Krzywa regularna jest prostowalna.
Wniosek 2.2 Jeśli krzywa jest wykresem funkcji f " C1 a, b to jest prostowalna i
jej długość wyraża się wzorem


b
|L| = 1 + (f (x))2 dx
a
Przykład 2.1 Okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu a
zadajemy parametrycznie:

x(t) = a cos t
t "< 0, 2  >
y(t) = a sin t

2 
|L| = a2 sin2 t + a2 cos2 t dt = 2  a
0
Wszystkie rozważania dotyczące łuku regularnego płaskiego można łatwo uogólnić
w przypadku krzywej w przestrzeni.
Twierdzenie 2.2
A
uk regularny ( 2) jest prostowalny i jego długość wyraża się wzorem


²
|L| = (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt
Ä…
2.1 Całka krzywoliniowa nieskierowana.

Rozpatrujemy Å‚uk regularny AB (1) lub (2) oraz funkcjÄ™ f : Rn R ( n = 2 lub

n = 3) określoną w otoczeniu łuku AB .
Niech { (p)}" bÄ™dzie normalnym ciÄ…giem podziałów odcinka < Ä…, ² > a
p=1
{"(p)}" odpowiadajÄ…cym mu ciÄ…giem Å‚amanych .
p=1

Wybieramy ciÄ…g punktów poÅ›rednich X(p) = {¾k " Ak-1Ak} , gdzie Ak sÄ… punktami
na Å‚uku odpowiadajÄ…cymi parametrom tk " (p).
Tworzymy sumy całkowe:
p

R(f, "(p), X(p) = f(¾k) |Ak-1Ak|
k=1
8
Definicja 2.4 (całka krzywoliniowa nieskierowana)
JeÅ›li dla dowolnego ciÄ…gu Å‚amanych {"}" takich, że lim ´("(p)) = 0 i dowolnego
p=1
p"
ciągu punktów pośrednich {X(p)}" istnieje granica
p=1
lim R(f, "(p), X(p))
p"
oraz nie zależy ona od wyboru ciągów {"(p)}" i {X(p)}" , to nazywamy ją całką
p=1 p=1

krzywoliniowÄ… nieskierowanÄ… z funkcji f po Å‚uku AB i oznaczamy

f dl

AB
Przykłady całek krzywoliniowych nieskierowanych:
1. Długość łuku krzywej

|L| = dl

AB
2. Masa łuku o gęstości

m = dl

AB

3. Moment bezwładności łuku AB względem osi Ox

Ix = y2 dl

AB
Twierdzenie 2.3

Jeśli funkcja f : R3 R jest ciągła na krzywej AB ( 2), to istnieje całka krzywo-

liniowa f(x, y, z) dl oraz

AB


²
f(x, y, z) dl = f(x(t), y(t), z(t)) (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt

AB Ä…
3 Całka niewłaściwa
Przy konstrukcji całki Riemanna korzystaliśmy z założenia, że funkcja podcałkowa
f : a, b R jest ograniczona na przedziale domkniętym i ograniczonym.
Spróbujmy osłabić te założenia. Rozpatrzmy funkcję:
f : a, b) R ("² < b ) (f " R < a, ² >)
9
Niech
1. b = " lub
2. b " R i lim f(x) = " (punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f)
xb-

²
Definicja 3.1 Jeśli istnieje lim f(x) dx to tę granicę nazywamy całką
a
²b-
niewłaściwą funkcji f w przedziale < a, b) i oznaczamy

b ²
f(x) dx = lim f(x) dx (")
²b- a
a
Przykłady:

+"
dx Ä„
= lim arctg² =
²"
0 1 + x2 2

1 ²
"
dx dx
" "
= lim = - lim 2 1 - x |² = 2
0
²1- 0 1 - x
²1-
0 1 - x
Podobnie określamy całkę niewłaściwą , gdy
1. a = -" lub
2. a " R i lim f(x) = "
xa+

b
Definicja 3.2 Jeśli istnieje lim f(x) dx to tę granicę nazywamy całką
Ä…
Ä…a+
niewłaściwą funkcji f w przedziale (a, b > i oznaczamy

b b
f(x) dx = lim f(x) dx ("")
Ä…a+ Ä…
a
Jeżeli funkcja f : (a, b) R ma w przedziale (a, b) więcej punktów osobliwych
(lecz skończoną liczbę), to dzielimy przedział na części mające po jednym punkcie
osobliwym na początku lub na końcu przedziału. Wtedy całka niewłaściwa na
przedziale (a, b) jest sumą całek określonych wzorami (*) i (**).
Przykład 3.1

+" 0 +"
|x| -x x
1. dx = dx + dx = 1
-" (1 + x2)2 -" (1 + x2)2 0 (1 + x2)2
1
1 1
dx 2 dx dx
" " "
2. = + = Ä„
1
0 - x2 x x - x2
0 - x2
x
2
10
4 Szeregi liczbowe
Niech {xn}" będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Określamy ciąg {Sn}"
n=1
n=1
następującym wzorem
n

Sn = x1 + x2 + . . . + xn = xi
i=1
Definicja 4.1 (Szereg) Parę ciągów ({xn}" , {Sn}" ) nazywamy szeregiem,
n=1 n=1
ciąg {Sn}" ciągiem jego sum częściowych, a ciąg {xn}" ciągiem wyrazów
n=1 n=1
tego szeregu.
Definicja 4.2 (Zbieżność i rozbieżność szeregu) Jeśli ciąg sum częściowych
szeregu jest zbieżny, to mówimy, że szereg jest zbieżny, albo sumowalny, a granicę
ciągu sum częściowych nazywamy sumą szeregu.
Jeżeli ciąg sum częściowych nie jest zbieżny, to szereg nazywamy rozbieżnym.
"

W praktyce zamiast zapisywać szereg jako parę ciągów używa się symbolu xn
n=1
"

lub nawet xn . Tak samo oznacza siÄ™ sumÄ™ szeregu  xn zamiast lim Sn lub
n"
n=1
n

pełnego lim xi . Ten zapis nie jest konsekwentny. Istnieją, na przykład, szeregi
n"
i=1
" "

xn rozbieżne, a więc dla których nie istnieje suma xn . Ze względu na tradycję
n=1 n=1
i wygodę używa się jednak tej formy.
Przykład 4.1 (Szereg geometryczny)
a " R , q " R , xn = aqn-1

a(1-qn)
q = 1

1-q
Sn = a + aq1 + aq2 + . . . + aqn-1 =
n · a q = 1
Dla q = 1 szereg geometryczny można więc zapisać tak

"
"
a (1 - qn)
aqn-1 ,
n=1
1 - q
n=1
a
Jest on zbieżny dla |q| < 1 i wtedy S = lim Sn = .
1-q
n"
"

1
Przykład 4.2
n2+n
n=1
1
Wyrazy xn = tego szeregu możemy przekształcić następująco
n2+n
1 1 1 1
xn = = = -
n2 + n n(n + 1) n n + 1
11
Wtedy sumy częściowe
1 1 1 1 1 1 1 1
Sn = 1 - + - + . . . + - + - = 1 -
2 2 3 n - 1 n n n + 1 n + 1
"

1
lim Sn = 1 , a więc = 1 .
n2+n
n"
n=1

"

1
Przykład 4.3 ln 1 +
n
n=1
xn = ln(n + 1) - ln n , więc Sn = ln(n + 1)

"

1
lim Sn = " , a więc szereg ln 1 + jest rozbieżny.
n
n"
n=1
Uwaga 4.1 Niech p będzie dowolną liczbą naturalną. Jeśli n > p , to możemy
napisać
p
n n

Sn = xi = xi + xi
i=1 i=1 i=p+1
Pierwsza suma po prawej stronie jest elementem niezależnym od n . Ciąg sum
częściowych Sn jest więc zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest ciąg sum
n

Tn = xi .
i=p+1
Powyższą własność oznacza, że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby
początkowych wyrazów. Sama wartość sumy (o ile szereg jest zbieżny) jednak zależy
od wszystkich wyrazów.
Twierdzenie 4.1 (Warunek konieczny zbieżności szeregów)
"

Jeśli szereg xn jest zbieżny, to lim xn = 0 .
n"
n=1
Dowód: Ciąg sum częściowych {Sn} naszego szeregu jest zbieżny do granicy S , a
więc również lim Sn-1 = S (dla ciągu Sn-1 jest n 2 ). Ponieważ xn = Sn - Sn-1 ,
n"
zatem
lim xn = lim (Sn - Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S - S = 0
n" n" n" n"
Uwaga 4.2 Warunek lim xn = 0 nie jest wystarczający dla zbieżności szeregu.
n"
Twierdzenia 4.1 możemy używać do uzasadnienia, że jakiś szereg jest rozbieżny 
kiedy warunek nie jest spełniony (przykład 4.4). Jeśli natomiast lim xn = 0 , to
n"
nie wynika stąd zbieżność szeregu  może on być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny
(przykłady: 4.2, 4.3)
2

1
Przykład 4.4 Szeregi (-1)n , n3 , 1 + nie spełniają warunku
n
koniecznego zbieżności szeregów, a więc są rozbieżne.
12
4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich
Ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosnącym, a więc
do wykazania zbieżności szeregu wystarczy wykazać ograniczoność jego ciągu sum
częściowych (twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego).
Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów)

1. Jeśli (" n " N ) 0 xn an i szereg liczbowy an jest zbieżny, to szereg xn
jest zbieżny.

2. Jeśli (" n " N ) 0 bn xn i szereg liczbowy bn jest rozbieżny, to szereg

xn jest rozbieżny.
Dowód:
n

1. Ciąg Tn = xi jest niemalejący. Dla każdego n zachodzą nierówności
i=1
n n "

Tn = xi ai ai
i=1 i=1 i=1
"

Ciąg Tn jako niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny, czyli szereg xi
i=1
jest zbieżny.
n n

2. Dla każdego n mamy nierówność bi xi . Jeśli zbieżny byłby szereg
i=1 i=1

xi , to na podstawie pierwszej części twierdzenia (już udowodnionej) byłby

zbieżny również szereg bi wbrew naszemu założeniu.
e&
Przykład 4.5 (rozbieżność szeregu harmonicznego)
"

1
Szereg postaci nazywamy szeregiem harmonicznym.
n
n=1
Wiadomo, że
n
1 1 1
(" n " N ) 1 + < e Ô! (" n " N ) ln 1 + <
n n n

"

1
Szereg ln 1 + jest rozbieżny (przykład 4.3), więc na mocy kryterium
n
n=1
"

1
porównawczego szereg harmoniczny też jest rozbieżny.
n
n=1
Przykład 4.6
"

1
1. Szereg jest zbieżny.
n2
n=1
13
"

1
"
2. Szereg jest rozbieżny.
n
n=1
Dowód:
"

1
1. W przykładzie 4.2 wykazaliśmy, że szereg jest zbieżny. Ze względu
n2+n
n=1
1 1
na to, że (" n " N ) możemy stwierdzić, dzięki kryterium
(n+1)2 n2+n
" "

1 1
porównawczemu, że szereg jest zbieżny. Rożni się on od szeregu
(n+1)2 n2
n=1 n=1
tylko jednym wyrazem, a więc ten ostatni jest w świetle uwagi 4.1 również
zbieżny.

1 1 1 1
" "
2. Mamy (" n " N ) . Szereg jest rozbieżny, a więc szereg jest
n n n n
też rozbieżny.
e&
Twierdzenie 4.3 (Kryterium całkowe zbieżności (rozbieżności) szeregów)
Nich funkcja f będzie nieujemna oraz nierosnąca na przedziale < n0, "), gdzie
"


"
n0 " N . Wówczas szereg f(n) i całka niewłaściwa f(x) dx są jednocześnie
n0
n=n0
zbieżne lub rozbieżne do ".
"

Uwaga 4.3 Reszta szeregu, tj. wyrażenie Rn = f(k) , spełnia oszacowanie:
k=n+1

" "
f(x) dx Rn f(x) dx
n+1 n
Przykład 4.7 Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych
szeregów:
" " "

1 n 1
a) b) c)
2
n ln n en n ln2 n
n=1 n=1 n=2
"

1
Zajmiemy się teraz szeregiem zależnym od parametru s .
ns
n=1
"

1
Twierdzenie 4.4 Szereg jest:
ns
n=1
a) zbieżny, jeśli s > 1 ;
b) rozbieżny, jeśli s 1 .
14
Dowód:
Niech s > 0 . Zastosujemy kryterium całkowe.
1
Funkcja f(x) = , x " 1, ") spełnia założenia tego kryterium.
xs

"
1
Szereg będzie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka dx
1
xs


" N
1 1 1 1
dx = lim dx = lim - +
N" N" - 1)Ns-1 s - 1
1 xs 1 xs (s
Zatem szereg jest zbieżny dla s > 1 i rozbieżny dla s " (0, 1 >.
Jeśli s 0 , to szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, więc jest rozbieżny.
Zauważmy jeszcze, że dla s " (0 , 1 > ten szereg choć jest rozbieżny, spełnia jednak
warunek konieczny zbieżności szeregów.
e&
Twierdzenie 4.5 (uogólnione kryterium porównawcze)
Rozpatrujemy dwa ciÄ…gi un 0 , vn > 0 , gdzie n " N . Wtedy


un
1. Jeśli ciąg jest ograniczony z góry, to ze zbieżności szeregu vn wynika
vn

zbieżność szeregu un.

un
2. Jeśli ciąg jest ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią, to z rozbieżności
vn

szeregu vn wynika rozbieżność szeregu un.
Wniosek 4.1

un
Jeśli istnieje granica lim różna od zera, to szereg un jest zbieżny wtedy i tylko
vn
n"

wtedy, gdy zbieżny jest szereg vn.
Przykład 4.8

1 1
1. Szereg jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg .
2n-n 2n

1 1
" "
2. Szereg jest rozbieżny, bo rozbieżny jest szereg .
n+5 n
4.2 Szeregi o wyrazach dowolnych
Definicja 4.3 (Szeregi bezwzględnie zbieżne)
" "

Szereg xn nazywa się bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg |xn| jest zbieżny.
n=1 n=1
"

(-1)n " (-1)n "
sin
"n
Przykład 4.9 Szeregi , , są bezwględnie zbieżne.
2n n2+n n n
n=1 n=1 n=1
15
Twierdzenie 4.6
Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
"

Dowód: Niech szereg |xn| będzie zbieżny.
n=1
|xn|+xn |xn|-xn
Przedstawmy xn jako różnicę xn = an - bn, gdzie an = , bn = .
2 2

Wówczas 0 an |xn| i 0 bn |xn| . Szeregi an , bn są zbieżne na mocy
n n

kryterium porównawczego. Ciąg sum sum częściowych Sn = ak - bk jest
k=1 k=1
zbieżny jako różnica dwóch ciągów zbieżnych.
e&
Zajmiemy się teraz innymi kryteriami pozwalającymi stwierdzić zbieżność lub
rozbieżność szeregu.
Twierdzenie 4.7 (Kryterium d Alemberta )
"

Rozważamy szereg xn , gdzie (" n " N ) xn = 0 .

n=1
|xn+1|
Przypuśćmy, że lim = ą .
|xn|
n"
Wtedy
1. jeśli ą < 1, to szereg jest bezwzględnie zbieżny;
2. jeśli ą > 1 lub ą = +" , to szereg jest rozbieżny.
(Jeśli ą = 1 , to szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny  kryterium
d Alemberta tego nie rozstrzyga.)
Dowód:
1-Ä…
1. Ustalmy liczbę r taką, że ą < r < 1 (na przykład r = ą + ).
2
|xn+1|
Istnieje liczba n taka, że " n n) r .
Å» Å»
|xn|
Dzięki temu prawdziwe są nierówności
|xn+1| r|xn|
Å» Å»
|xn+2| r|xn+1| r2|xn|
Å» Å» Å»
.
.
.
|xn+k| r|xn+k-1| · · · rk|xn|
Å» Å» Å»
itd.
czyli (" k " N ) |xn+k| rk|xn| .
Å» Å»
"

Z kryterium porównawczego wynika, że szereg |xn+k| jest zbieżny, a więc
Å»
k=1
" "

również szereg |xk| jest zbieżny. Stąd szereg xk jest bezwzględnie
k=1 k=1
zbieżny.
2. Ustalmy liczbę s taką, że 1 < s < ą oraz, podobnie jak w pierwszym punkcie

n takie, że " p " N ) |xn+p| sp|xn| |xn| , a więc xn nie spełnia warunku
Å»
Å» Å» Å»
koniecznego zbieżności.
16
Przykład 4.10 (Na stosowanie kryterium d Alemberta)

1000n (n!)2
1. Szeregi , są zbieżne.
n! (2n)!
2

3nn! 2n
2. Szeregi , są rozbieżne.
nn (n!)2

1 1
(Kryterium d Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregów , ).
n n2
"

Twierdzenie 4.8 (Kryterium Cauchy ego) Rozważamy szereg xn.
n=1

n
Przypuśćmy, że lim |xn| = ² . Wtedy
n"
1. jeÅ›li ² < 1 , to szereg jest bezwzglÄ™dnie zbieżny;
2. jeÅ›li ² > 1 lub ² = +" , to szereg jest rozbieżny.
(JeÅ›li ² = 1 , to szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny  kryterium
Cauchy ego tego nie rozstrzyga.)
Dowód:
1. Ustalmy dowolnÄ… liczbÄ™ r takÄ…, że ² < r < 1 . DziÄ™ki zaÅ‚ożeniu istnieje n ,
Å»

n
że (" n > n) |xn| r , a więc (" n > n) |xn| rn . Na mocy kryterium
Å» Å»

porównawczego możemy więc stwierdzić, że szereg |xn| jest zbieżny, czyli

szereg xn jest bezwzględnie zbieżny.

n
2. Dzięki założeniu istnieje n takie, że (" n > n) |xn| > 1 , czyli
Å» Å»
(" n n) |xn| > 1 . Nie jest więc spełniony warunek konieczny zbieżności
Å»

szeregu xn .
e&
Przykład 4.11 (Na stosowanie kryterium Cauchy ego)
n(n-1)

n4 n-1
1. Szeregi , są zbieżne.
4n n+1
n
2

2n 3n+1
2. Szeregi , są rozbieżne.
n2n 2n+1000
n
1
1+
( )
1 n
(Kryterium Cauchy ego nie rozstrzyga o zbieżnosći szeregów , ).
ln n n
Uwaga 4.4 Dowodzi się, że kryterium Cauchy ego jest silniejsze niż kryterium
d Alemberta, to znaczy, że jeśli dla jakiegoś szeregu o jego zbieżności lub rozbieżności
rozstrzyga kryterium d Alemberta, to rozstrzyga też kryterium Cauchy ego. Mimo
tego używa się również kryterium d Alemberta, bo dla niektórych szeregów jest ono
dużo wygodniejsze.
17
"

n
Przykład 4.12 2(-1) -n
n=1
Następne kryterium dotyczy szczególnego rodzaju szeregów o wyrazach
rzeczywistych, tak zwanych szeregów naprzemiennych. Jest ono ważne
z tego względu, że przy jego pomocy można stwierdzić zbieżność niektórych
szeregów, które nie są bezwzględnie zbieżne. Takie szeregi nazywa się warunkowo
zbieżnymi.
Definicja 4.4 (Szeregi naprzemienne)
Niech (" n " N ) an 0 . Szeregi postaci
" "

a1 - a2 + a3 - . . . = (-1)n+1an , -a1 + a2 - a3 + . . . = (-1)nan (3)
n=1 n=1
nazywa siÄ™ szeregami naprzemiennymi (lub przemiennymi).
Twierdzenie 4.9 (Kryterium Leibnitza) Niech ciÄ…g {an}" o wyrazach
n=1
nieujemnych będzie nierosnący oraz zbieżny do 0 . Wtedy szeregi (3) są zbieżne.
Ponadto zachodzi nierówność: (" n " N ) |S -Sn| an+1 , gdzie S oznacza sumę
szeregu, a Sn jego sumę częściową.
Dowód: Wez
my pod uwagÄ™ szereg naprzemienny postaci
"

a1 - a2 + a3 - a4 . . . = (-1)n+1an
n=1
Ciąg sum częściowych Sn rozbijamy na dwa podciągi  S2k o wskaz
nikach parzystych
i S2k-1 o wskaz
nikach nieparzystych. Mamy
S2(k+1)-S2k = a2k+1-a2k+2 0 , S2k = a1+(-a2 + a3) + . . .+(-a2k-2 + a2k-1) -a2k a1

0 0
S2k+1-S2k-1 = a2k+1-a2k 0 , S2k-1 = (a1 - a2) + . . .+(a2k-3 - a2k-2) +a2k-1 0

0 0
Ciąg S2k jest więc niemalejący i ograniczony z góry, ciąg S2k-1 nierosnący i
ograniczony z dołu, a więc obydwa są zbieżne. Ze względu na równość |S2k -S2k-1| =
a2k ich granice są takie same. Na mocy podanego niżej lematu dostajemy, że ciąg
sum częściowych naszego szeregu jest zbieżny.
W celu wykazania nierówności zauważmy, że
|S - Sn| = an+1 + (-an+2 + an+3) + . . . an+1

0
Znak wyrażenia S - Sn jest zawsze taki, jak wyrazu (-1)n+1an+1 , więc wartość
bezwzględną można zapisać jak wyżej, niezależnie od tego, czy n jest parzyste, czy
nieparzyste.
18
Drugi rodzaj szeregu naprzemiennego, to znaczy -a1 + a2 - a3 + a4 - . . . =
"

(-1)nan , może być sprowadzony do pierwszego przez pomnożenie wszystkich
n=1
wyrazów przez -1 .
e&
Przykład 4.13 (Na stosowanie kryterium Leibnitza) Szeregi

(-1)n (-1)n (-1)n 1
, " , , (-1)ntg
n n ln n n
są warunkowo zbieżne (żaden z nich nie jest bezwzględnie zbieżny) .
5 Szeregi funkcyjne
5.1 CiÄ…gi funkcyjne
Definicja 5.1 (CiÄ…g funkcyjny)
Ciągiem funkcyjnym nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór
funkcji rzeczywistych okreÅ›lonych na wspólnej dziedzinie A ‚" R.
CiÄ…g funkcyjny oznaczamy {fn}, a funkcjÄ™ fn : A R nazywamy n-tym wyrazem
ciÄ…gu.
Definicja 5.2 (Zbieżność ciągu funkcyjnego)
Niech dane będą: ciąg funkcyjny {fn} oraz funkcja f określone na wspólnym zbiorze
A ‚" R.
Ciąg {fn} nazywamy zbieżnym do funkcji f jeśli dla każdego x0 " A ciąg liczbowy
{fn(x0)} jest zbieżny do f(x0). Funkcję f : A R nazywamy granicą ciągu
funkcyjnego {fn} i zapisujemy
lim fn = f
n"
Przykład 5.1 Rozważmy ciąg funkcyjny fn(x) = xn , x " 0, 1 . Dla każdego
konkretnego x0 " 0, 1) granicÄ… ciÄ…gu liczb x0, x02, x03, ..., x0n, ... jest liczba 0. Dla
x0 = 1 otrzymujemy ciąg liczbowy stały zbieżny do 1. Zatem ciąg funkcyjny jest

0 dla x " 0, 1)
zbieżny do funkcji f(x) =
1 dla x = 1
Przykład 5.2 Znalez
ć granice ciągów funkcyjnych:
Å„Å‚

1
òÅ‚
0 dla x " 0,
x
n

a) fn(x) = n sin , x " 0, Ä„ b) fn(x) =
1
ół
n
1 dla x " , 1
n
19
5.2 Szeregi funkcyjne
Niech {fn} bÄ™dzie ciÄ…giem funkcyjnym okreÅ›lonym na zbiorze A ‚" R. OkreÅ›lamy
ciąg funkcyjny {Sn} następującym wzorem:
Sn(x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)
Definicja 5.3 (Szereg funkcyjny)
Parę ciągów ({fn}, {Sn}) nazywamy szeregiem funkcyjnym, ciąg {Sn} ciągiem jego
sum częściowych, a ciąg {fn} ciągiem wyrazów tego szeregu.
Definicja 5.4 (Obszar zbieżności szeregu)
Zbiór punktów, dla których istnieje granica ciągu {Sn}, nazywamy obszarem
zbieżności szeregu ({fn}, {Sn}).
Definicja 5.5 (Zbieżność szeregu funkcyjnego)
Szereg funkcyjny ({fn}, {Sn}) nazywamy zbieżnym jeżeli ciąg funkcyjny {Sn} jest
zbieżny. Funkcję S = lim Sn nazywamy sumą szeregu funkcyjnego.
n"
"

Uwaga 5.1 Szereg ({fn}, {Sn}) będziemy zapisywać symbolem fn(x).
n=0
Przykład 5.3 Znalez
ć obszar zbieżności oraz sumę szeregu:
" "

a) xn b) e-nx
n=0 n=0
Przykład 5.4 Znalez
ć obszary zbieżności następujących szeregów:
n " n
" " "

n n x 4
a) b) sin2n x c) d) (arctg x)n
xn n + 1 2x + 1 Ä„
n=1 n=0 n=1 n=1
5.3 Szeregi potęgowe
Definicja 5.6 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 " R i współczynni-
kach an " R, gdzie n " (N *" {0}), nazywamy szereg funkcyjny postaci:
"

an (x - x0)n
n=0
Uwaga 5.2 W zapisie szeregu przyjmujemy, że (x - x0)0 = 1 dla x = x0
Twierdzenie 5.1
"

Dla szeregu potęgowego an (x - x0)n zachodzi jedna z trzech możliwości:
n=0
1. jest zbieżny jedynie w punkcie x = x0
2. jest zbieżny na całym zbiorze liczb rzeczywistych
20
3. istnieje taka liczba r " R+, że szereg jest zbieżny dla x " (x0 - r, x0 + r) i
rozbieżny dla x " (-", x0 - r) *" (x0 + r, ").
Definicja 5.7 (promień zbieżności, przedział zbieżności)
"

Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego an (x-x0)n nazywamy największy
n=0
przedział (x0 - r, x0 + r) na którym szereg jest zbieżny.
Liczbę r nazywamy promieniem zbieżności szeregu.
Uwaga 5.3
Jeśli szereg jest zbieżny na zbiorze liczb rzeczywistych R, to przyjmujemy r = ".
Jeśli szereg jest zbieżny tylko w punkcie x = x0, to przyjmujemy r = 0.
Twierdzenie 5.2 (promień zbieżności)
"

Promień zbieżności szeregu an (x - x0)n obliczamy ze wzorów:
n=0
1 |an|

r = lim , r = lim ,
n" n"
n
|an+1|
|an|
o ile granice w tych wzorach istniejÄ….
Przykład 5.5 Znalez
ć promienie zbieżności następujących szeregów:
2

" " " "

n - 1 n
a) xn b) shn xn c) (arcctg n)n xn d) (arctg n)n xn
n + 1
n=1 n=1 n=1 n=1
Uwaga 5.4
Zgodnie z definicją 5.4 obszar zbieżności szeregu jest zbiorem wszystkich wartości
x " R dla których szereg funkcyjny (potęgowy) jest zbieżny. Zatem obszar zbieżności
zawiera przedział zbieżności szeregu potęgowego. Krańce przedziału zbieżności
(tzn. punkty x0 - r , x0 + r) mogą również należeć do obszaru zbieżności.
Przykład 5.6 Wyznaczyć środki, promienie zbieżności oraz obszary zbieżności
podanych szeregów potęgowych:
" " " " "

xn x2n x3n (-x)n n!
a) b) " c) " d) e) xn
n n n n n! (2n)!
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1

" " " "

(6 - 3x)n 1
f) 4n (x+1)2n g) h) sin ·(x-2)n i) (3 · 2n + 2 · 3n) x2n
3n + 2n n
n=1 n=1 n=1 n=1
Uwaga 5.5 Szereg potęgowy o środku w punkcie x0 " R można sprowadzić do
szeregu potęgowego o środku w x0 = 0 podstawiając nową zmienną t = x - x0.
21
Twierdzenie 5.3
"

Niech 0 < r " będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego cn xn.
n=0
Wtedy:

" "

1. cn xn = n cn xn-1 dla każdego x " (-r, r)
n=0 n=1
x
" "
cn
2. cn tn dt = xn+1 dla każdego x " (-r, r)
n + 1
n=0 n=0
0
Przykład 5.7 Sprawdzić, że:
" "

x xn
a) n xn = dla każdego |x| < 1 b) = - ln(1-x) dla każdego |x| < 1
(1 - x)2 n
n=1 n=1
Przykład 5.8 Obliczyć sumy szeregów liczbowych:
" "

n 1
a) b)
2n n 3n
n=1 n=1
5.4 Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja 5.8 Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg
potegowy
"

f(n)(x0)
· (x - x0)n
n!
n=0
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0. Jeżeli x0 = 0, to
szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.
Uwaga 5.6 Ze zbieżności szeregu Taylora funkcji nie wynika, że jego suma jest
równa tej funkcji. Np. dla funkcji

1
x2
e- dla x = 0

f(x) =
0 dla x = 0
"

f(n)(0)
f(x) = xn a" 0

n!
n=0
Przykład 5.9 Wyznaczyć szeregi Maclaurina funkcji:
a) f(x) = ex b) f(x) = ln(1 + x) c) f(x) = sin x d) f(x) = cosh x
Twierdzenie 5.4
Rozpatrujemy funkcjÄ™ f " D"(a, b) i punkt x0 " (a, b).
Jeżeli dla każdego x " (a, b) spełniony jest warunek lim Rn(x) = 0 , gdzie Rn(x)
n"
oznacza n-tÄ… resztÄ™ we wzorze Taylora dla funkcji f, to
"

f(n)(x0)
f(x) = · (x - x0)n dla każdego x " (a, b)
n!
n=0
22
Dowód:
Przypomnijmy wniosek z twierdzenie Taylora (sem.1.):
Jeżeli funkcja f " Cn(a, b) )" Dn+1(a, b), to dla dowolnych dwóch różnych punktów
x, x0 " (a, b)
n

f(k)(x0)
f(x) = · (x - x0)k + Rn(x) , gdzie
k!
k=0
f(n+1)(x0 + ¸ (x - x0))
Rn(x) = (x - x0)n+1 , ¸ " (0, 1)
(n + 1)!
Zatem ze zbieżności lim Rn(x) = 0 wynika zbieżność ciągu sum częściowych
n"
n "

f(k)(x0) f(n)(x0)
· (x - x0)k szeregu potÄ™gowego · (x - x0)n. e&
k! n!
k=0 n=0
Przykład 5.10 Pokazać, że dla każdego x " R mamy:
x x2 x3 x5
a) ex = 1 + + + · · · b) sinh x = x + + + · · ·
1! 2! 3! 5!
Twierdzenie 5.5 (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli na pewnym przedziale (a, b) funkcja f jest sumą pewnego szeregu potęgowego
"

(tzn: f(x) = an (x - x0)n dla każdego x " (a, b) ), to jest to jej szereg Taylora.
n=0
Czyli:
f(n)(x0)
("n " N *" {O}) an =
n!
Przykład 5.11 Dla podanych funkcji obliczyć wskazane pochodne:
1 2
a) f(x) = , f(15)(0) b) f(x) = e-2x , f(33)(0)
4 + x2
5.5 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych
wraz z obszarami ich zbieżności
"

1
= xn dla |x| < 1
1 - x
n=0
"

xn
ex = dla x " R
n!
n=0
"

(-1)n
sin x = x2n+1 dla x " R
(2n + 1)!
n=0
"

(-1)n
cos x = x2n dla x " R
(2n)!
n=0
"

(-1)n-1
ln(1 + x) = xn dla - 1 < x 1
n
n=1
23
"

x2n+1
sinh x = dla x " R
(2n + 1)!
n=0
"

x2n
cosh x = dla x " R
(2n)!
n=0
Przykład 5.12 Wykorzystując rozwinięcia Maclaurina funkcji elementarnych
wyznaczyć szeregi Maclaurina podanych funkcji. Określić obszary zbieżności
otrzymanych szeregów.
a) sin2 x b) sinh2 x c) ln(4 + 9x2) d) f(x) = cos x2
Przykład 5.13 Obliczyć sumę szeregu liczbowego:
1 1 1 Ä„ Ä„3 Ä„5 Ä„7
a) 1 - + - + . . . b) - + - + . . .
2 3 4 2 23 · 3! 25 · 5! 27 · 7!
5.6 Szeregi Fouriera
Definicja 5.9 (Szereg trygonometryczny)
Szeregiem trygonometrycznym na przedziale -Ä„, Ä„ nazywamy szereg postaci:
"
a0
+ (an cos nx + bn sin nx) (4)
2
n=1
Definicja 5.10 (Szereg Fouriera)
Niech funkcja f : -Ą, Ą R będzie całkowalna.
Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny postaci (4) gdzie

Ä„
1
an = f(x) cos nx dx dla n = 0, 1, 2, . . .
Ä„ -Ä„
oraz

Ä„
1
bn = f(x) sin nx dx dla n = 1, 2, . . .
Ä„ -Ä„
Przykład 5.14 Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji zadanych na przedziale -Ą, Ą
a) f(x) = sign x b) f(x) = |x|
Twierdzenie 5.6
1. Jeżeli funkcja f jest parzysta, to

Ä„
2
an = f(x) cos nx dx dla n = 0, 1, 2, . . .
Ä„ 0
oraz bn = 0 dla n " N
24
2. Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to
an = 0 dla n = 0, 1, 2, . . . oraz

Ä„
2
bn = f(x) sin nx dx dla n " N
Ä„ 0
Dowód:
Jeżeli funkcja f jest parzysta, to funkcja g(x) = f(x) cos nx jest parzysta a funkcja
h(x) = f(x) sin nx nieparzysta. Wtedy

Ä„ Ä„ Ä„
g(x) dx = 2 g(x) dx , h(x) dx = 0
-Ä„ 0 -Ä„
Twierdzenie 5.7 (Kryterium Dirichleta)
Jeżeli funkcja f : -Ą, Ą R jest przedziałami monotoniczna i ma co najwyżej
skończoną ilość punktów nieciągłości, to jej szereg Fouriera ma sumę f(x0) w każdym
punkcie ciągłości i sumę

1
lim f(x) + lim f(x)
2
xx+ xx-
0 0
w każdym punkcie nieciągłości.
Wniosek 5.1 Jeżeli funkcja f jest określona na R, przedziałami monotoniczna,
ciągła i okresowa o okresie 2Ą to jest sumą swojego szeregu Fouriera na całej prostej.
Wniosek 5.2 Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale -l, l , to funkcja
g(y) = f(l·y ) jest caÅ‚kowalna na przedziale -Ä„, Ä„ i ma szereg Fouriera:
Ä„
"
a0
+ (an cos ny + bn sin ny)
2
n=1
gdzie

Ä„
1
an = g(y) cos ny dy dla n = 0, 1, 2, . . .
Ä„ -Ä„
oraz

Ä„
1
bn = g(y) sin ny dy dla n = 1, 2, . . .
Ä„ -Ä„
Ä„ x
WracajÄ…c do zmiennej x podstawiamy y = i otrzymujemy szereg Fouriera
l
funkcji f całkowalnej na przedziale -l, l :
"
a0 Ä„ n x Ä„ n x
+ an cos + bn sin
2 l l
n=1
gdzie

l
1 Ä„ n x
an = f(x) cos dx dla n = 0, 1, 2, . . .
l -l l
oraz

l
1 Ä„ n x
bn = f(x) sin dx dla n = 1, 2, . . .
l -l l
25
Przykład 5.15
Wyznaczyć szeregi Fouriera następujących funkcji:
a) f(x) = Ä„2-x2, x " -Ä„, Ä„ b) f(x) = | sin x|, x " -Ä„, Ä„ c) f(x) = sin x, x " -Ä„, Ä„
Przykład 5.16 Rozwinąć w szereg Fouriera następujące funkcje:

1 dla x " -3, 0)
a) f(x) = b) f(x) = x - 1 , x " -2, 2
-1 dla x " 0, 3
Przykład 5.17
Korzystając z otrzymanych szeregów Fouriera dla funkcji f(x) = sign x
i f(x) = Ą2 - x2 uzasadnić równość:
" "

(-1)n+1 Ä„ (-1)n+1 Ä„2
a) = b) =
2n - 1 4 n2 12
n=1 n=1
Przykład 5.18 Rozwinąć w szereg według sinusów i kosinusów funkcje:

1 dla x " 0, 1)
a) f(x) = Ä„ , x " (0, Ä„) b) f(x) = sin x , x " 0, Ä„ c) f(x) =
2 dla x " 1, 2
6 Całki wielokrotne
6.1 Pojęcia geometryczne
Definicja 6.1 (przedział domknięty w Rn)
Przedziałem domkniętym w Rn nazywamy zbiór
P =< a1, b1 > × < a2, b2 > × . . . × < an, bn >
gdzie ("k = 1, 2, ..., n) ak, bk " R oraz bk ak.
Jeśli dla pewnego k, ak = bk , to przedział nazywamy zdegenerowanym.
Przyjmujemy, że objętością (miarą) przedziału domkniętego jest liczba:
n

m(P ) = (bk - ak)
k=1
Wniosek 6.1 Miara przedziału zdegenerowanego jest równa zero.
Definicja 6.2 (Kula w przestrzeni Rn)
KulÄ… o Å›rodku w punkcie x0 i promieniu Á nazywamy zbiór:
K(x, Á) = {x " Rn : d(x, x0) < Á}
gdzie d(x, x0) jest metrykÄ… euklidesowÄ… w przestrzeni Rn.
Definicja 6.3 Punkt x0 " Rn jest punktem wewnÄ™trznym zbioru A ‚" Rn wtedy
i tylko wtedy, gdy
("r > 0) : K(x0, r) ‚" A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy intA i nazywamy wnętrzem tego
zbioru.
26
6.2 Całka wielokrotna na przedziale domkniętym
Niech B(P ) oznacza zbiór funkcji ograniczonych na przedziale domkniÄ™tym P ‚" Rn.
Będziemy rozpatrywać funkcje f " B(P ).
Definicja 6.4 (Podział przedziału domkniętego)
Podziałem przedziału P " Rn nazywamy zbiór przedziałów domkniętych
 = {P1, P2, . . . , Pm} takich, że
m
1. P = Pi
i=1

2. intPi intPj = " , dla i = j

Definicja 6.5 (Åšrednica zbioru ograniczonego)
ÅšrednicÄ… zbioru ograniczonego A nazywamy liczbÄ™ ´(A) = supR,Q"A d(R, Q)
Definicja 6.6 (Średnica podziału )
LiczbÄ™ Ã( ) = maxi=1,2,...,m ´(Pi) nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u .
Definicja 6.7 Ciąg podziałów { (p)}" nazywamy normalnym, jeśli
p=1
lim Ã( (p)) = 0
p"
Dla danego podziału  wybieramy zbiór punktów pośrednich
X = {śi ; i = 1, 2..., m : śi " Pi}
Definicja 6.8 (Suma całkowa Riemanna)
Każdemu podziałowi  i związanemu z nim zbiorowi punktów pośrednich X
przyporządkowujemy wartość
p

R(f, , X) = f(śi) m(Pi)
i=1
zwaną sumą całkową Riemanna.
Uwaga 6.1 Każdemu ciągowi podziałów { (p)}" i ciągowi punktów pośrednich
p=1
{X(p)}" odpowiada ciąg sum całkowych
p=1
{R(f, (p), X(p))}"
p=1
Definicja 6.9 (Całka Riemanna)
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału P i dowolnego ciągu
punktów pośrednich ciąg sum całkowych {R(f, (p), X(p))}" jest zbieżny do tej
p=1
samej granicy właściwej, to mówimy , że funkcja f jest całkowalna na przedziale
domkniętym P , a granicę ciągu sum całkowych {R(f, (p), X(p))}" nazywamy
p=1
całką Riemanna funkcji f i oznaczamy

f dm
P
27
6.3 Własności całki
Twierdzenie 6.1 (O liniowości całki) Jeżeli funkcje f, g są całkowalne na
przedziale domkniętym P , to funkcje f + g, cf (gdzie c " R) są całkowalne na P
oraz:

1. (f + g)dm = f dm + g dm
P P P

2. c · f dm = c · f dm
P P
Dowód wynika bezpośrednio z definicji i twierdzeń o granicach ciągów.
Twierdzenie 6.2 (O addytywności całki względem obszaru całkowania)
Niech funkcja f : P R będzie całkowalna na przedziale P . Wtedy
dla dowolnego podziału P na przedziały P1, P2 o rozłącznych wnętrzach

(P = P1 *" P2, intP1 intP2 = ") mamy:

f dm = f dm + f dm
P P1 P2
Uwaga 6.2 Zauważmy, że konstrukcja całki wielokrotnej funkcji n zmiennych
okreÅ›lonej na przedziale domkniÄ™tym P ‚" Rn jest taka sama jak konstrukcja caÅ‚ki

b
oznaczonej Riemanna f(x)dx funkcji jednej zmiennej. Dlatego też podstawowe
a
własności, twierdzenia i ich dowody są analogiczne do odpowiednich twierdzeń i

b
własności całki oznaczonej f(x)dx .
a
6.4 Całka podwójna
Całkę podwójną oznaczamy symbolem:

f(x, y) dx dy
P
Przedziałem domkniętym P jest prostokąt
P = a, b × c, d

d
Definicja 6.10 JeÅ›li funkcja Õ(x) = f(x, y) dy jest caÅ‚kowalna na przedziale
c
< a, b >, to całkę


b d
f(x, y) dy dx ( )
a c
nazywamy całką iterowaną funkcji f : P R .
Analogicznie określamy całkę iterowaną


d b
f(x, y) dx dy ( )
c a
Twierdzenie 6.3 Jeśli funkcja f : P R jest całkowalna na prostokącie P , to
istnieją całki iterowane tej funkcji na P oraz


b d d b
f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy
P a c c a
28
6.5 Całki podwójne po obszarach normalnych
Definicja 6.11 (Całka podwójna po obszarze)
Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… ograniczonÄ… i okreÅ›lonÄ… na obszarze ograniczonym D ‚" R2
oraz niech P będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Ponadto niech
funkcja f0 będzie rozszerzeniem funkcji f na prostokąt P określonym wzorem:

f(x, y) dla (x, y) " D
f0(x, y) =
0 dla (x, y) " P \ D
Jeśli istnieje całka z funkcji f0 po prostokącie P, to całkę podwójną funkcji f po
obszarze D definiujemy następująco:

def
f(x, y) dx dy = f0(x, y) dx dy
D P
Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na D.
Definicja 6.12 (obszary normalne względem osi układu)
1. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox, jeżeli
można zapisać go w postaci:

D = (x, y) " R2 : a x b, g(x) y h(x)
gdzie funkcje g i h są ciągłe na a, b oraz g(x) < h(x) dla każdego x " (a, b).
2. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy, jeżeli
można zapisać go w postaci:

D = (x, y) " R2 : c y d, p(y) x q(y)
gdzie funkcje p i q są ciągłe na c, d oraz p(y) < q(y) dla każdego y " (c, d).
Twierdzenie 6.4 (O całkowalności funkcji ciągłej na obszarze normalnym)
Funkcja ciągła na obszarze normalnym jest całkowalna po tym obszarze.
Twierdzenie 6.5 (Całka po obszarze normalnym)
1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

D = (x, y) " R2 : a x b, g(x) y h(x)
normalnym względem osi Ox, to


b h(x)
f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx
D a g(x)
29
2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

D = (x, y) " R2 : c y d, p(y) x q(y)
normalnym względem osi Oy, to


d q(y)
f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy
D c p(y)
Dowód:
Niech D będzie zbiorem normalnym względem osi Ox. Zbiór D jest zbiorem
ograniczonym. Istnieje wiÄ™c przedziaÅ‚ domkniÄ™ty P taki, że D ‚" P .
Niech f będzie funkcją ciągłą. Określimy funkcję f0 : P R w następujący sposób:

f(x, y) dla (x, y) " D
f0(x, y) =
0 dla (x, y) " P \ D
Dla każdego ustalonego x " a, b funkcja Ć(y) = f(x, y) jest ciągła
na przedziałach c, g(x) , g(x), h(x) , h(x), d , więc jest całkowalna na tych
przedziałach. Korzystamy z własności całki oznaczonej (własność 1.3, semestr 1.)


b d
f(x, y) dx dy = f0(x, y) dy dx =
D a c


b g(x) h(x) d
= f0(x, y) dy + f0(x, y) dy + f0(x, y) dy dx =
a c g(x) h(x)


b h(x)
= f0(x, y) dy dx
a g(x)
W ten sam sposób otrzymamy wzór na obliczanie całki po obszarze normalnym
względem osi Oy.


d q(y)
f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy
D c p(y)
Przykład 6.1 Całkę podwójną zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D
ograniczony jest krzywymi:
a) y = |x|, x = 1, x = -1, y = 0 b) x2 - 4x + y2 + 6y - 51 = 0
Definicja 6.13 (Obszar regularny na płaszczyz
nie)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub Oy) o parami
rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyz
nie.
Twierdzenie 6.6 (Całka po obszarze regularnym na płaszczyz
nie)
Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych D1, D2, . . . , Dk o parami
rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na tym obszarze.
Wtedy

f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy + . . . + f(x, y) dx dy
D D1 D2 Dn
30
 x
y
Przykład 6.2 Obliczyć całkę e dx dy , gdzie S jest obszarem ograniczonym
S
krzywymi y2 = x , x = 0 , y = 1.


1 1 1 y2 1
x x x
1
y y y
e dx dy = e dy dx = e dx dy = (y ey - y) dy =
"
S 0 x 0 0 0 2

Przykład 6.3 Obliczyć całkę x2 y dx dy , gdzie S jest trójkątem o wierzchołkach
S
A(0, 0) , B(1, 1) , C(-1, 1).



1 y 1 1
2
x2 y dx dy = x2 y dx dy = x2 y dy dx =
S 0 -y -1 |x| 15
6.6 Zastosowania całki podwójnej w geometrii
" Pole obszaru w R2
Pole obszaru D ‚" R2 wyraża siÄ™ wzorem:

m(D) = dx dy
D

Uwaga 6.3 Całka dx dy nie zawsze istnieje. To oznacza, że nie każdy
D
zbiór na płaszczyz
nie ma pole (jest mierzalny).
Wniosek 6.2 (Pole powierzchni obszaru normalnego)
Przypomnijmy, że pole m(D) obszaru normalnego

D = (x, y) " R2 : a x b, g(x) y h(x)
obliczaliśmy według wzoru:

b
m(D) = (h(x) - g(x)) dx = dx dy
a D
" Pole powierzchni płata S, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), (x, y) " D
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze
regularnym D. Wtedy pole płata S wyraża się wzorem:

2 2



"f "f

m(S) = 1 + + dx dy
D "x "y
Przykład 6.4
a) Obliczyć pole części płaszczyzny 2x + 2y + z = 8 odciętej płaszczyznami układu
współrzędnych.
"
b) Znalez
ć pole części powierzchni bocznej stożka z = x2 + y2 odciętej
płaszczyznami z = 1 i z = 2.
31
6.7 Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Rozpatrzmy obszar " ‚" R2 i jego wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie

x = Õ(u, v)
y = È(u, v)
na obszar D ‚" R2, przy czym Õ , È " C1(")
Wyznacznik

"Õ(u,v) "Õ(u,v)


"u "v
J(u, v) =
"È(u,v) "È(u,v)

"u "v
nazywamy jakobianem tego przekształcenia.
Przykład 6.5 1. Współrzędne biegunowe.
PrzyporzÄ…dkowanie

x = r cos t
y = r sin t
określa związek współrzędnych biegunowych r "< 0, +") , t "< 0, 2 ) ze
współrzędnymi kartezjańskimi.


cos t - r sin t

J(r, t) = = r

sin t r cos t
2. Uogólnione współrzędne biegunowe:

x = ar cos t
y = br sin t
J(r, t) = abr
Twierdzenie 6.7 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Jeśli przyporządkowanie

x = Õ(u, v)
y = È(u, v)
jest wzajemnie jednoznacznym klasy C1 (tzn: Õ, È " C1(") ) odwzorowaniem
obszaru " na obszar D oraz
(" (u, v) " " J(u, v) = 0)

to
f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| du dv
D "
32
Przykład 6.6 1. Obliczyć całkę po obszarze D ograniczonym krzywymi:
"
y = 1 - x2, y = 0, y = x



1
4 
x2 + y2 dx dy = r2 dr dt =
D 0 0 12
2. Znalez
ć pole elipsy.


2  1
dx dy = abr dr dt =  ab
D 0 0
3. Obliczyć całkę:

(x + y) dx dy
D
gdzie obszar D jest ograniczony prostymi:
2x + y = 2, 2x + y = 3, x - y = 1, x - y = -1
.
RozwiÄ…zanie:
Wprowadzamy nowe zmienne: u = 2x+y, v = x-y . Jakobian przekształcenia
J(u, v) = -1.
3


3 1 3
1 2u - v 1 10
(x + y) dx dy = · dv du = 4u du =
D 2 -1 3 3 9 2 9
6.8 Całka potrójna
Całkę potrójną oznaczamy symbolem:

f(x, y, z) dx dy dz
P
Przedziałem domkniętym P jest prostopadłościan
P = a, b × c, d × k, l
Twierdzenie 6.8 (O zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie P, to


b d l
f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dx
P a c k
Uwaga 6.4 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie
równości napiszemy dowolną z sześciu możliwych całek iterowanych.

Przykład 6.7 Obliczyć całkę (x + 2y + 3z) dx dy dz, gdzie P jest
P
prostopadÅ‚oÅ›cianem P = 0, 1 × -1, 1 × 2, 3 .
33
Definicja 6.14 (Całka potrójna po obszarze w R3)
Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… ograniczonÄ… i okreÅ›lonÄ… na obszarze ograniczonym V ‚" R3
oraz niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Ponadto
niech funkcja f0 będzie rozszerzeniem funkcji f na prostopadłościan P określonym
wzorem:

f(x, y, z) dla (x, y, z) " V
f0(x, y, z) =
0 dla (x, y, z) " P \ V
Jeśli istnieje całka z funkcji f0 po prostopadłościanie P, to całkę potrójną funkcji f
po obszarze V definiujemy następująco:

def
f(x, y, z) dx dy dz = f0(x, y, z) dx dy dz
V P
Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na V.
Definicja 6.15 (Obszar normalny w R3)
Niech V będzie obszarem domkniętym w przestrzeni R3
Zbiór Dxy = {(x, y) " R2 (x, y, z) " V } nazwiemy rzutem V na płaszczyznę Oxy.
Obszar domkniÄ™ty V ‚" R3 jest obszarem normalnym wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny
Oxy, jeśli Dxy- rzut V na płaszczyznę Oxy jest zbiorem regularnym i istnieją funkcje
(Õ , È ) " C(D) takie, że
V = {(x, y, z) " R3 : (x, y) " Dxz , Õ(x, y) z È(x, y)}
Analogicznie definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn Oxz i Oyz:
Obszar domknięty V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz ,
jeżeli można go zapisać w postaci:
V = {(x, y, z) " R3 : (y, z) " Dyz , r(y, z) y s(y, z)}
gdzie funkcje r, s " C(Dyz).
Obszar domknięty V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxz ,
jeżeli można go zapisać w postaci:
V = {(x, y, z) " R3 : (x, z) " Dxz , p(x, z) y q(x, z)}
gdzie funkcje p, q " C(Dxz).
Twierdzenie 6.9 (Całka iterowana po obszarze normalnym)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym
V = {(x, y, z) " R3 : (x, y) " Dxz , Õ(x, y) z È(x, y)}
to


È(x,y)
f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dx dy
V Dxy Õ(x,y)
Uwaga 6.5 Prawdziwe są także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po
obszarach normalnych względem płaszczyzn Oxz i Oyz.
34
Uwaga 6.6 JeÅ›li V = < a, b > × < c, d > × < e, g > to


b d g
f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dx
V a c e
przy czym kolejność całkowania jest dowolna.
JeÅ›li ponadto f(x, y, z) = u(x) · v(y) · É(z) to



b d g
f(x, y, z) dx dy dz = u(x) dx · v(y) dy · É(z) dz
V a c e
Definicja 6.16 (Obszar regularny w R3)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach
nazywamy obszarem regularnym.
Twierdzenie 6.10 (Całka po obszarze regularnym w przestrzeni)
Niech obszar regularny V będzie sumą obszarów normalnych V1, V2, . . . , Vk o parami
rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na tym obszarze.
Wtedy

f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dx dy dz + . . . + f(x, y, z) dx dy dz
V V1 Vn
6.9 Przykłady zastosowań całek potrójnych
" Objętość obszaru
Objętość obszaru V wyraża się wzorem

m(V ) = dx dy dz
V
" Masa obszaru
Masa obszaru V o gÄ™stoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej masy Á wyraża siÄ™ wzorem

M = Á(x, y, z) dx dy dz
V
" Momenty statyczne
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się
wzorami:
Mxy = z Á(x, y, z) dx dy dz
V

Mxz = y Á(x, y, z) dx dy dz
V

Myz = x Á(x, y, z) dx dy dz
V
35
" Współrzędne środka ciężkości
WspółrzÄ™dne Å›rodka ciężkoÅ›ci obszaru V o gÄ™stoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej Á obliczamy
według wzorów:
Myz
xc =
M
Mxz
yc =
M
Mxy
zc =
M
Przykład 6.8 1. Obliczyć objętość stożka o podstawie elipsy ( osie: a,b) i
wysokości h.
W odpowiednim układzie współrzędnych powierzchnia stożkowa ma następujace
równanie:
z2 x2 y2
= +
h2 a2 b2
Zatem bryłę stożka można zapisać jako obszar normalny:

x2 y2
V = {(x, y, z) " R3 , (x, y) " D , h · + z h}
a2 b2
ëÅ‚ öÅ‚

h
íÅ‚
m(V ) = dx dy dz = dzłł dx dy =
x2 y2
D +
a2 b2
ëÅ‚ öÅ‚


x2 y2
íÅ‚ Å‚Å‚
= h - h + dx dy
x2 y2
+ 1 a2 b2
a2 b2
i po zamianie zmiennych na uogólnione współrzędne biegunowe otrzymujemy


1 2 
abh
m(V ) = h abr(1 - r) dt dr =
0 0 3
2. Obliczyć

dx dy dz
&! (1 + x + y + z)3
gdzie &! jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami układu wspolrzędnych
i płaszczyzną x + y + z = 1.


1-x-y
dx dy dz dz
= dx dy =
&! (1 + x + y + z)3 D 0 (1 + x + y + z)3


1 1-x
1 1 1 1 1
= - + dx dy = - dy dx
D 8 2(1 + x + y)2 2 0 0 (1 + x + y)2 4
36
6.10 Zamiana zmiennych w całce potrójnej
Rozpatrzmy obszar V ‚" R3 i wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie
Å„Å‚
ôÅ‚ x = Õ(u, v, É)
òÅ‚
y = È(u, v, É)
ôÅ‚
ół
z = ·(u, v, É)
obszaru V na obszar &! ‚" R3 takie, że Õ , È , · " C1(V ) Wyznacznik

"Õ(u,v,É) "Õ(u,v,É) "Õ(u,v,É)

"u "v "É

"È(u,v,É) "È(u,v,É) "È(u,v,É)

J(v, u, É) =

"u "v "É

"·(u,v,É) "·(u,v,É) "·(u,v,É)

"u "v "É
nazywamy jakobianem tego przekształcenia.
ZakÅ‚adamy, że (" (u, v, É) " V ) J(u, v, É) = 0.

Przy powyższych założeniach prawdziwe jest twierdzenie:
Twierdzenie 6.11 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej)

f(x, y, z) dx dy dz = f (Õ(u, v, É), È(u, v, É), ·(u, v, É)) |J(u, v, É)| du dv dÉ
&! V
1. Współrzędne walcowe:
(r, t, z) "< 0, +")× < 0, 2 ) × (-", +")
Å„Å‚
ôÅ‚ x = r cos t
òÅ‚
y = r sin t
ôÅ‚
ół
z = z


cos t -r sin t 0


J(r, t, z) = sin t r cos t 0 = r


0 0 1
Przykład 6.9 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
x2 + y2 = z2 , x2 + y2 = 6 - z
We współrzędnych walcowych bryłę można opisać następująco
V = {t "< 0, 2 ) , r "< 0, 2 > , r z 6 - r2}


2  2
32
dx dy dz = (6r - r3 - r2) dr dt = 
&! 0 0 3
2. Współrzędne sferyczne:
(r, t, ¸) "< 0, +")× < 0, 2 )× < 0,  >
Å„Å‚
ôÅ‚ x = r cos t sin ¸
òÅ‚
y = r sin t sin ¸
ôÅ‚
ół
z = r cos ¸
|J(r, t, ¸)| = r2 sin ¸
37
Przykład 6.10 Znalez
ć współrzędne środka ciężkości jednorodnej bryły
ograniczonej sferą x2 + y2 + z2 = 1 i częścią stożka x2 + y2 = z2, z 0.
Środek ciężkości bryły będzie leżał na osi Oz, więc xc = 0 i yc = 0. Należy
jedynie obliczyć masę bryły i jej moment statyczny względem płaszczyzny Oxy.
We współrzędnych sferycznych bryłę opisuje się nierównościami:

V = {(r, t, ¸) 0 r 1 , 0 ¸ , 0 t < 2 }
4
Znajdujemy masę i moment statyczny względem płaszcyzny Oxy:


2  1 "
4 
M = dx dy dz = r2 sin ¸ dr d¸ dt = (2 - 2)
V 0 0 0 3


2  1
4 
Mxy = z dx dy dz = r3 cos ¸ sin ¸ dr d¸ dt =
V 0 0 0 8
Zatem współrzędne środka ciężkości bryły wynoszą:
"
3
xc = 0 , yc = 0 , zc = (2 + 2)
16
7 Całka krzywoliniowa skierowana
7.1 A
uki regularne na płaszczyz
nie i w przestrzeni
W paragrafie 2 rozpatrywaliśmy długość łuku krzywej oraz całkę krzywoliniową
nieskierowaną po krzywych na płaszczyz
nie i w przestrzeni trójwymiarowej
zadanych równaniami parametrycznymi- krzywe (1) i (2).
Zdefiniowaliśmy łuk regularny oraz krzywą regularną (definicje 2.2 i 2.3).
Niech punkt A = (x(Ä…), y(Ä…)) bÄ™dzie poczÄ…tkiem krzywej a punkt B = (x(²), y(²))
jej końcem.

Krzywą łączącą punkty A i B będziemy oznaczali AB.
Definicja 7.1 (Å‚uk skierowany)
A
uk regularny, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem
skierowanym.
Definicja 7.2 (krzywa regularna)
Krzywą L nazywamy krzywą regularną, jeśli daje się podzielić na skończoną ilość
łuków regularnych.
38
7.2 Definicja całki krzywoliniowej skierowanej na
płaszczyz
nie

Rozpatrujemy Å‚uk skierowany AB zadany parametrycznie, przy czym dla parametru
t "< Ä…, ² > zmieniajÄ…cego siÄ™ od Ä… do ² otrzymujemy punkty na Å‚uku w kierunku
od A do B.

Niech AB będzie łukiem regularnym płaskim skierowanym od A do B, a
funkcja f " C(D) , gdzie D jest obszarem na płaszczyz
nie Oxy zawierajÄ…cym punkty

krzywej AB.

PodziaÅ‚  = {Ä… = t0 < t1 < ... < tp = ²} zadaje na Å‚uku AB
punkty Ak = (x(tk), y(tk)) .

Wybieramy punkty pośrednie Mk " Ak-1Ak i tworzymy sumę całkową:
p

f(Mi) (x(ti) - x(ti-1))
i=1
Definicja 7.3
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów { (p)}" istnieje granica
p=1
p

lim f(Mi) (x(ti) - x(ti-1)) = I oraz I nie zależy od wyboru ciągu podziałów i
p"
i=1

punktów pośrednich Mk " Ak-1Ak , to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową

skierowanÄ… po krzywej AB funkcji f po dx i oznaczamy:

I = f(x, y) dx

AB
Analogicznie określamy całkę
p

lim f(Mi) (y(ti) - y(ti-1)) = f(x, y) dy
p"

AB
i=1
Definicja 7.4

Jeżeli wzdłuż krzywej AB zadane są dwie funkcje ciągłe P, Q " C(D) oraz istnieją
całki
P (x, y) dx , Q(x, y) dy

AB AB
to sumę tych całek nazywamy całką krzywoliniową skierowaną i oznaczamy

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
Ć

AB AB AB
Uwaga 7.1 W całce krzywoliniowej skierowanej ważny jest kierunek przejścia po

krzywej AB . Jeżeli zmienimy kierunek na przeciwny, to:

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = - P (x, y) dx + Q(x, y) dy

AB BA
Twierdzenie 7.1

Niech łuk regularny AB będzie zadany parametrycznie:

x = x(t)
t "< Ä…, ² >
y = y(t)
39
i przy zmianie parametru t od Ä… do ² otrzymujemy punkty na krzywej od
A = (x(Ä…), y(Ä…)) do B = (x(²), y(²)). Wtedy:

²
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ( P (x(t), y(t)) x (t) + Q(x(t), y(t)) y (t)) dt
Ć
AB Ä…
Dla dowodu twierdzenia wystarczy porównać odpowiednie sumy całkowe.
7.3 Definicja całki krzywoliniowej skierowanej w przestrzeni

Rozpatrujemy w przestrzeni trójwymiarowej łuk regularny AB zadany
parametrycznie:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = x(t)
òÅ‚
y = y(t) t "< Ä…, ² >
ôÅ‚
ół
z = z(t)
ZakÅ‚adamy, że funkcje P, Q, R : &! R sÄ… ciÄ…gÅ‚e na zbiorze &! ‚" Rn zawierajÄ…cym

Å‚uk AB .
Tak jak w przypadku krzywej pÅ‚askiej podziaÅ‚  przedziaÅ‚u < Ä…, ² > wyznacza

na łuku punkty Ak . Wybieramy punkty pośrednie Mk " Ak-1Ak i tworzymy sumy
całkowe:
p

P (Mk) (x(tk) - x(tk-1)
k=1
p

Q(Mk) (y(tk) - y(tk-1)
k=1
p

R(Mk) (z(tk) - z(tk-1)
k=1
Definicja 7.5
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów { (p)}" istnieją granice:
p=1
p

lim P (Mi) (x(ti) - x(ti-1)) = I1
p"
i=1
p

lim Q(Mi) (y(ti) - y(ti-1)) = I2
p"
i=1
p

lim R(Mi) (z(ti) - z(ti-1)) = I3
p"
i=1
oraz I1 , I2 , I3 nie zależą od wyboru ciągu podziałów i punktów pośrednich

Mk " Ak-1Ak , to sumę tych granic nazywamy całką krzywoliniową skierowaną po
Ć
krzywej AB funkcji P,Q,R i oznaczamy:

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
Ć

AB AB AB
40
Twierdzenie 7.2 (zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)

Niech łuk regularny skierowany AB będzie zadany parametrycznie:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = x(t)
òÅ‚
y = y(t) t "< Ä…, ² >
ôÅ‚
ół
z = z(t)
Wtedy

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

AB

²
= ( P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + R(x(t), y(t), z(t)) z (t)) dt
Ä…
Z definicji całki krzywoliniowej (granica sum całkowych) wynika, że całka po
krzywej regularnej jest sumą całek po łukach regularnych, z których składa
siÄ™ ta krzywa.
7.4 Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej
Praca pola sił.
Niech w każdym punkcie M(x,y) płaszczyzny, na jednostkę masy m działa siła

F = [P, Q], której wielkość i kierunek zależą tylko od położenia punktu M. Wtedy

mówimy, że na płaszczyz
nie zadane jest pole sił, a siłę F działającą na jednostkę
masy nazywamy natężeniem tego pola. Załóżmy, że punkt M o masie jednostkowej

porusza się w polu sił i opisuje krzywą AB w kierunku od punktu A do punktu B.
Obliczymy pracę L wykonaną przy tym ruchu przez siły pola. Dzielimy krzywą
punktami Ak = (x(tk), y(tk)) odpowiadajÄ…cymi podziaÅ‚owi  odcinka < Ä…, ² > .

ZakÅ‚adamy, że ´(") = maxk=1,..,p |Ak-1Ak| jest tak maÅ‚e, że siÅ‚Ä™ F można uznać za

stałą na łuku Ak-1Ak .

Jeśli zamiast łuku Ak-1Ak wez
miemy odcinek Ak-1Ak , to pracę siły F na Ak-1Ak
można przybliżyć wartością

lk = F (Mk) · Ak-1Ak = P (¾k, ·k) (x(tk) - x(tk-1) + Q(¾k, ·k) (y(tk) - y(tk-1)
p

Natomiast wartość pracy L jest równa w przybliżeniu sumie lk , więc:
k=1
p

L = lim lk = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
p"

AB
k=1
Definicja 7.6

Krzywą regularną K = AB nazywamy krzywą zamkniętą, jeśli A = B .
Krzywa zamknięta K ograniczająca obszar D jest skierowana dodatnio względem
D, jeżeli w czasie obiegu K w danym kierunku obszar D pozostaje po lewej stronie.
Twierdzenie 7.3 (Green a) Załóżmy, że:
41
1. Obszar D normalny względem obu osi jest ograniczony krzywą regularną
zamkniętą K skierowaną dodatnio.
2. Funkcje P , Q " C1(D).
Wtedy:


"Q "P
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = - dx dy
K D "x "y
Dowód:
Skoro obszar D jest obszarem normalnym względem osi Ox, to istnieją funkcje
Ć, È " C(< a, b >) takie, że
D = {(x, y) " R2 , a x b , Ć(x) y È(x)}
Niech L1 i L2 oznaczają części krzywej K = L1 *" L2 określone parametrycznie:

x = t
L1 = parametr t zmienia siÄ™ od a do b
y = Ć(t)

x = t
L2 = parametr t zmienia siÄ™ od b do a
y = È(t)
Wtedy


b È(x)
"P "P
dx dy = dy dx
D "y a Ć(x) "y

b
= (P (t, È(t)) - P (t, Ć(t))) dt = - P (x, y) dx- P (x, y) dx = - P (x, y) dx
a L2 L1 K
Analogicznie (korzystając z założenia, że D jest normalny względem osi Oy)
udawadnia się równość:

"Q
dx dy = Q(x, y) dy
D "x K
Uwaga 7.2
Twierdzenie Green a stosuje się także do zbioru D, który nie jest obszarem
normalnym względem obu osi, jeśli tylko D można rozłożyć na skończoną liczbę
obszarów normalnych.
Wniosek 7.1 Pole obszaru ograniczonego krzywą regularną zamkniętą K wyraża się
wzorem

1
P = x dy - y dx
2 K
Przykład 7.1 Obliczyć pole obszaru ograniczonego asteroidą

x = a cos3t
K = 0 t 2 
y = a sin3t


2 
1 3a2 2  3a2 
P = acos3t(asin3t) + asin3t(acos3t) dt = sin2t cos2t dt =
2 0 2 0 8
42
7.5 Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania
Jeżeli w obszarze D spełnione są warunki twierdzenia Green a oraz A,B są punktami
wewnętrznymi zbioru D, to następujące warunki są równoważne:
"P "Q
1. ("(x, y) " D) =
"y "x

2. Całka P (x, y) dx + Q(x, y) dy zależy jedynie od położenia punktów

AB
A i B ( nie zależy od drogi całkowania)
"Åš "Åš
3. "Åš " C2(D) = P '" = Q
"x "y

Taką funkcję Ś nazywamy potencjałem pola F = [P, Q].
4. Dla każdej krzywej regularnej zamkniętej K

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
K
Dowód:
(1) Ò! (2)
Rozpatrzmy dwa dowolne Å‚uki regularne L1 i L2 Å‚Ä…czÄ…ce punkty A i B.
Przez L- oznaczymy Å‚uk L2 z kierunkiem przeciwnym. Krzywa K = L1 *" L- jest
2 2
krzywą zamkniętą ograniczającą obszar D1.
Z twierdzenia Green a otrzymujemy


"Q "P
0 = - dx dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy - P (x, y) dx + Q(x, y) dy
D1 "x "y L1 L2
a więc

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
L1 L2
(2) Ò! (3)
Wez
my punkty A = (a1, a2) i B = (x, y) w obszarze D.
Zakładamy, że całka po dowolnym łuku łączącym te punkty ma tę samą wartość.
Oznaczmy

Åš(x, y) = P (x, y) dx + Q(x, y) dy

AB

Jeżeli łuk AB jest łamaną łączącą punkty A = (a1, a2) C = (x, a2) B = (x, y) to

x y
Åš(x, y) = P (x, a2) dx + Q(x, y) dy
a1 a2
Wtedy
"Åš(x, y)
= Q(x, y)
"y
Ć
a jeśli AB jest łamaną łączącą punkty A = (a1, a2) D = (a1, y) B(x, y) , to

y x
Åš(x, y) = Q(a1, y)dy + P (x, y) dx
a2 a1
43
i
"Åš(x, y)
= P (x, y)
"x
(3) Ò! (1)
Funkcja potencjalna Åš jest klasy C2(D) . Na mocy twierdzenia Schwarza pochodne
mieszane drugiego rzędu funkcji Ś są sobie równe.
StÄ…d
"Q "2Åš
= =
"y "x "y
"2Åš "P
=
"y "x "x
W ten sposób wykazaliśmy równoważność warunków 1,2 i 3.
Z warunku (1) i twierdzenia Green a wynika (4), a z (4) wynika warunek (2). Zatem
wszystkie cztery warunki są równoważne.

Uwaga 7.3 Jeżeli istnieje potencjał Ś pola sił F = [P, Q], to pole sił nazywamy
potencjalnym. Wtedy warunek (2) można sformułować nastepująco: Praca w polu
potencjalnym nie zależy od drogi a jedynie od położenia punktu początkowego A
i końcowego B.
Ponadto:
Praca w polu potencjalnym jest równa różnicy potencjałów. Rzeczywiście:

"Åš(x, y) "Åš(x, y)
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = dx + dy =

AB AB "x "y


² ²
"Åš(x(t), y(t)) "Åš(x(t), y(t)) d
= x (t) + y (t) dt = Åš (x(t), y(t)) dt =
Ä… "x "y Ä… dt
= Åš ((x(²), y(²)) - Åš ((x(Ä…), y(Ä…)) = Åš(B) - Åš(A)
8 Całka powierzchniowa niezorientowana
Definicja 8.1 Płatem powierzchniowym S nazywamy taki zbiór punktów
przestrzeni R3 , dla którego istniejÄ™ obszar D ‚" R2 i wzajemnie jednoznaczne
ciągłe odwzorowanie z D na S posiadające ciągłe odwzorowanie odwrotne.
Każda funkcja f " C(D) , gdzie D jest sumą obszarów normalnych w R2 określa
płat powierzchniowy:
S = {(x, y, z) " R3 , (x, y) " D , z = f(x, y)} (")
Å»
Jeśli f " C1(D) to płat powierzchniowy nazywamy regularnym.
W dalszych rozważaniach będziemy rozpatrywać powierzchnie S, które są płatami
44
powierzchniowymi regularnymi postaci (*).
Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S w punkcie P0(x0, y0, z0) (algebra
sem.1) ma postać:
"f "f
- (x0, y0) (x - x0) - (x0, y0) (y - y0) + z - z0 = 0
"x "y
a wektor
"f "f
n(P0) = [- (x0, y0), - (x0, y0), 1 ]
Å»
"x "y
jest wektorem normalnym do tej powierzchni w punkcie P0.
Uwaga:
Zwrot wektora normalnego określa stronę powierzchni. Płat powierzchniowy jest
powierzchniÄ… dwustronnÄ….
PrzykÅ‚adem powierzchni jednostronnej jest wstÄ™ga Möbiusa.
8.1 Pole płata powierzchniowego.
Zamknijmy obszar D w prostokącie P, podzielmy P na skończoną liczbę prostokątów
i oznaczmy "1, ..."p części wspólne z D tych prostokątów podziału, dla których te
przekroje sÄ… niepuste.
(Pola obszarów "k będziemy oznaczać tym samym symbolem.)
Dla każdego k = 1, 2, .., p wybieramy punkty (xk, yk) " "k i oznaczamy
Pk = (xk, yk, f(xk, yk)) .
Niech "Sk oznacza czworokąt (i jego pole) leżący na płaszczyz
nie stycznej do
powierzchni S w punkcie Pk , którego rzutem na Oxy jest "k , a łk kąt między osią
Oz i wektorem normalnym do płaszczyzny stycznej do S w punkcie Pk .
Skoro n(Pk) = [-"f (xk, yk), -"f (xk, yk), 1 ] to
Å»
"x "y
1

cos Å‚k =
2 2
"f "f
1 + (xk, yk) + (xk, yk)
"x "y
oraz

2 2

"k "f "f

"Sk = = 1 + (xk, yk) + (xk, yk) "k
cos Å‚k "x "y
Pole płata S jest w przybliżeniu równe sumie

2 2

p p


"f "f

"Sk = 1 + (xk, yk) + (xk, yk) "k
"x "y
k=1 k=1

2 2
"f "f
Zauważmy, że 1 + + " R(D) .
"x "y
StÄ…d prawdziwe jest
Twierdzenie 8.1
Pole płata powierzchniowego regularnego (*) wyraża się wzorem



|S| = 1 + (fx)2 + (fy)2 dx dy
D
45
Przykład:
Znalez
ć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem x2 + y2 = a2 ze sfery
x2 + y2 + z2 = R2, a < R .


x2 y2
|S| = 2 1 + + dx dy
D R2 - x2 - y2 R2 - x2 - y2


2  a "
r
"
= 2R dr dt = 4 (R2 - R R2 - a2)
0 0
R2 - r2
8.2 Całka powierzchniowa niezorientowana
Niech funkcja Ś : R3 R będzie określona w otoczeniu płata powierzchniowego
regularnego postaci (*).
Po podzieleniu obszaru D (jak w poprzednim rozdziale) otrzymujemy podział  =
{"1, "2, ..."p} , wybieramy punkty pośrednie X = {Pk} i tworzymy sumy całkowe:
p

R(Åš, , X) = Åš(Pk) "Sk
k=1
Dla każdego normalnego ciągu podziałów { (p)}" otrzymujemy ciąg sum
p=1
całkowych {R(Ś, (p), X(p)}" .
p=1
Definicja 8.2 Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów istnieje
lim R(Åš, (p), X(p))
p"
i nie zależy od wyboru ciągów { (p)}" , {X(p)}" , to granicę tę oznaczamy
p=1 p=1

Ś(x, y, z) ds i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji Ś po
S
powierzchni S.
Przy powyższych założeniach prawdziwe jest
Twierdzenie 8.2



Åš(x, y, z) ds = Åš(x, y, f(x, y)) 1 + (fx)2 + (fy)2 dx dy
S D
9 Całka powierzchniowa zorientowana
Będziemy rozpatrywać płat powierzchniowy regularny S. Płat powierzchniowy
S jest powierzchniÄ… dwustronnÄ….
Definicja 9.1
Płat powierzchniowy gładki nazywamy płatem zorientowanym, jeżeli jedną z jego
stron wyróżnimy nazywając dodatnią, a drugą - ujemną.
46
Stronę powierzchni określa zwrot wektora normalnego.
Niech n(P ) = [-"f (x, y), -"f (x, y), 1 ] wyznacza stronÄ™ dodatniÄ… (oznaczymy S+ )
Å»
"x "y
,a -Å» stronÄ™ ujemnÄ… (S- ).
n
Niech funkcje P,Q,R będą ciągłe na płacie powierzchniowym S z zadaną orientacją,
a cos Ä… , cos ² , cos Å‚ to kosinusy kÄ…tów jakie tworzy wektor normalny (zadajÄ…cy
stronę powierzchni) z osiami układu współrzędnych.
Definicja 9.2 (całka powierzchniowa zorientowana) Całkę

(P cos Ä… + Q cos ² + R cos Å‚ ) dS
S

oznaczamy inaczej przez P dydz + Q dzdx + R dxdy i nazywamy całką
S
powierzchniowÄ… zorientowanÄ… z funkcji [P,Q,R] po powierzchni zorientowanej S.
Własności:

1. P dydz + Qdzdx + Rdxdy = - P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S-
S+

2. R dxdy = R cos Å‚ dS = R(x, y, f(x, y))dxdy
S S D
Definicja 9.3 Sumę płatów powierzchniowych regularnych zorientowanych
nazywamy powierzchniÄ… regularnÄ… zorientowanÄ….
Całkę powierzchniową zorientowaną po dowolnej powierzchni zorientowanej
określamy jako sumę całek po poszczególnych płatach tej powierzchni.
Przykłady:
Å»
1. Niech wektor V (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] określa prędkość
przepływu cieczy przez powierzchnię S od strony ujemnej do dodatniej. Wtedy
wartość całki

n
Å»
Å»
P dydz + Qdzdx + Rdxdy = V (x, y, z) · · dS
S+ S |n|
równa jest ilości cieczy jaka przepływa przez powierzchnię S (w jednostce
czasu) od strony ujemnej do dodatniej .

2. Obliczyć całkę x2 dydz+xy dzdx+zx dxdy , gdzie S+ jest dodatnią stroną
S+
powierzchni x + y + z = 1 leżącej w pierwszym oktancie przestrzeni.
Wektor normalny do płata powierzchniowego z = 1 - x - y ma stałe
1
"
współrzÄ™dne n = [1, 1, 1] , stÄ…d cos Ä… = cos ² = cos Å‚ = i
Å»
3
"


3
x2 dydz + xy dzdy + zx dxdy = x2 + xy + zx dS
S+ 3 S


1 1-x
1
= x dy dx =
0 0 6
47
Twierdzenie 9.1 (Gaussa-Ostrogradskiego)
Niech V będzie obszarem normalnym względem każdej z płaszczyzn układu
współrzędnych, a S powierzchnią regularną ograniczającą obszar V i zorientowaną
na zewnÄ…trz V.
Niech funkcje P,Q,R " C1(V ) .
Wtedy:


"P "Q "R
(x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) dx dy dz =
V "x "y "z

= P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy
S
Dowód (porównaj z dowodem twierdzenia Green a):
Obszrar V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy (def.6.1),więc
istnieje obszar normalny D " R2 i funkcje f1, f2 " C(D) takie, że V można zapisać
w postaci:
V = {(x, y, z) " R3 (x, y) " D f1(x, y) z f2(x, y)}
Powierzchnia zamknięta ograniczająca bryłę V jest sumą dwóch płatów
powierzchniowych
S1 = {(x, y, z) " R3 (x, y) " D z = f1(x, y)}
S2 = {(x, y, z) " R3 (x, y) " D z = f1(x, y)}
gdie S1 jest zorientowana ujemnie, a S2 dodatnio.
Wtedy:


f2(x,y)
"R "R
(x, y, z) dx dy dz = (x, y, z) dx dy =
V "z D f1(x,y) "z

= R(x, y, f1(x, y)) dx dy - R(x, y, f2(x, y)) dx dy =
D D

R(x, y, z) dx dy - R(x, y, z) dx dy = R(x, y, z) dx dy
S2 S1 S
Analogicznie (korzystając z tego, że V jest normalny względem Ozx)
udawadniamy

"Q
(x, y, z) dx dy dz = Q(x, y, z) dz dx
V "y S
Również ( V normalny względem Oyz)

"P
(x, y, z) dx dy dz = P (x, y, z) dy dz
V "x S
Przykłady:
48
1. Obliczyć całkę po zewnętrznej stronie sześcianu S o boku a:

x dy dz + y dz dx + z dx dy = 3 a3
S
2. Obliczyć całkę po zewnętrznej stronie sfery
S = {(x, y, z) " R3 x2 + y2 + z2 = a2}


12  a5
x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy = x2 + y2 + z2 dx dy dz =
S V 5
9.1 Twierdzenie Stokes a
Definicja 9.4 Niech krzywa zamknięta L będzie brzegiem powierzchni
zorientowanej S. Krzywa L jest zgodnie zorientowana z orientacjÄ… powierzchni
S, jeśli obserwator poruszający się wzdłuż L, zwrócony w kierunku wektora
normalnego ma S po lewej stronie.
Założenia twierdzenia Stokes a:
1. S jest powierzchniÄ… regularnÄ… zorientowanÄ….
2. Krzywa L jest brzegiem powierzchni S i jest zgodnie zorientowana z orientacjÄ…
powierzchni S.
3. V ‚" R3 , S ‚" V , L ‚" V .
4. Funkcje P, Q, R " C1(V )
Teza:
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
L


"R "Q "P "R
(x, y, z) - (x, y, z) dy dz + (x, y, z) - (x, y, z) dz dx +
S "y "z "z "x

"Q "P
+ (x, y, z) - (x, y, z) dx dy
"x "y
Przykład:

Obliczyć całkę (y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz wzdłuż elipsy L powstałej
L
z przecięcia walca x2 + y2 = 1 i płaszczyzny x + z = 1, zorientowanej zgodnie z
ruchem wskazówek zegara patrząc z początku układu współrzędnych.

(y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz = -2 dy dz + dz dx + dx dy = -4 
L S
49