Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Zbiory liczbowe
2 Oznaczenia zbiorów liczbowych
3 Przedziały. Kresy
4 Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny
5 Liczby wymierne
6 Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe
7 Liczby zespolone
8 Dwumian Newtona
9 Funkcje różnowartościowe. Równoliczność

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Zbiory liczbowe
Rozpoczynamy od przeglądu najważniejszych pojęć i twierdzeń,
które są omawiane w szkole średniej lub w ramach innych
przedmiotów objętych programem studiów (logika i teoria mnogości,
algebra liniowa z geometrią analityczną, matematyka dyskretna).

[Edytuj]Oznaczenia zbiorów liczbowych
Przypomnijmy powszechnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych.
Zbiór nazywamy zbiorem liczb
naturalnych lub zbiorem liczb całkowitych dodatnich.
Zbiór nazywamy
zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wielu nazywa ten
zbiór także zbiorem liczb naturalnych. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień.
Z kolei zbiór
nazywamy zbiorem liczb całkowitych.
Zbiór , czyli zbiór
ułamków o całkowitym liczniku i naturalnym mianowniku, nazywamy zbiorem liczb wymiernych.
Literą będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a
literą - zbiór liczb zespolonych.

[Edytuj]Przedziały. Kresy
Definicja 1.1.


Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych
nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność oraz
minus nieskończoność tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest
naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie
rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.


Definicja 1.2.


Niech , będą dowolnymi elementami zbioru .
Jeśli to każdy ze zbiorów:


nazywamy przedziałem o końcach , , przedziałem -
odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym,
prawostronnie domkniętym.


Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru .
Definicja 1.3.


Ograniczeniem górnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru .


Definicja 1.4.


Ograniczeniem dolnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie większy od dowolnego elementu zbioru .


Definicja 1.5.


Najmniejsze ograniczenie górne zbioru nazywamy
kresem górnym zbioru (lub: supremum zbioru ) i oznaczamy symbolem
.


Definicja 1.6.


Największe ograniczenie dolne zbioru nazywamy
kresem dolnym zbioru (lub: infimum zbioru )
i oznaczamy symbolem .


[Edytuj]Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny
Definicja 1.7.


Ciąg o wyrazach gdzie
nazywamy ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy


Definicja 1.8.


Niech i Ciąg o wyrazach , gdzie nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie i ilorazie .
Przypomnijmy, że

Uwaga 1.9.

Jeśli jest ciągiem arytmetycznym o początkowym
wyrazie i różnicy , to



Uwaga 1.10.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej i dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość


(Jeśli , mamy oczywistą równość )


Wniosek 1.11.


Jeśli jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie i ilorazie , to



Przykład 1.12.


Rozważmy zbiór skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
o pierwszym wyrazie i nieujemnym ilorazie . Zauważmy, że jeśli , to


gdyż . Stąd zarówno liczba jak i
każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru .
Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru jest liczba
, gdyż wartość ułamka może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych . Jeśli natomiast iloraz , to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum jest plus nieskończoność.


Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.
Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 1.13.

Jeśli , to suma nieskończenie wielu składników , jest równa
, co zapisujemy:


[Edytuj]Liczby wymierne
Przykład 1.14.


Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że


Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne wyraża nieskończoną sumę
składników



Przykład 1.15.


Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na
przykład liczbę


która wyraża sumę nieskończonej liczby składników


Zauważmy też, że różnica


jest liczbą całkowitą. Stąd jest liczbą wymierną.


Rozumując, podobnie jak w powyższym przykładzie, można wykazać ogólnie, że

Uwaga 1.16.

Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy,
gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.


Przykład 1.17.


Liczba


w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest
wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.


[Edytuj]Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe
Niech i będą dowolnymi niepustymi zbiorami.
Definicja 1.18.


Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór
par uporządkowanych takich, że i , tj.





Rysunek do rozdziału "Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe"

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą
pary liczb rzeczywistych .
Niech będzie odległością punktu od
początku układu współrzędnych. Jeśli , niech będzie
kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi ) z promieniem
wodzącym punktu . Równość jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych,
można przyjąć w tym przypadku, że jest dowolną liczbą.
Zauważmy, że oraz .
Definicja 1.19.


Parę liczb , gdzie oraz , nazywamy
współrzędnymi biegunowymi punktu .


Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste oraz .
Układ równań

z niewiadomymi , spełnia dokładnie jeden promień
oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci
gdzie jest kątem między dodatnią półosią odciętych a
promieniem wodzącym punktu , zaś jest dowolną liczbą całkowitą.


[Edytuj]Liczby zespolone
Definicja 1.21.


W iloczynie kartezjańskim definiujemy sumę
oraz iloczyn par oraz następująco



Definicja 1.22.


Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy
zbiorem liczb zespolonych
i oznaczamy literą




Rysunek do definicji 1.24. i 1.25.

Uwaga 1.23.

a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.



dla dowolnych liczb zespolonych
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.



dla dowolnych liczb zespolonych oraz


Definicja 1.24.


Jeśli jest liczbą zespoloną, to pierwszy element pary nazywamy
częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy symbolem (lub ), a
drugi element tej pary - częścią urojoną liczby i oznaczamy
(lub ).


Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej odpowiada dokładnie
jeden punkt w prostokątnym układzie
współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej
Oś odciętych na płaszczyźnie nazywamy
osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią urojoną.

Definicja 1.25.


Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną .


Uwaga 1.26.

a) Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci sumy
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi , gdyż
c) Jeśli oraz , to sumę i iloczyn liczb możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną
jak parametr i pamiętać, że . Mamy więc


oraz



Uwaga 1.27.

Dowolną liczbę zespoloną możemy
przedstawić w postaci trygonometrycznej , gdzie
, a jest dowolnym kątem takim, że

.
Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.




Liczba zespolona oraz jej sprzeżenie

Definicja 1.28.


Jeśli , to
liczbę nazywamy modułem liczby zespolonej
i oznaczamy , a każdy z kątów takich, że zachodzą
równości , nazywamy argumentem
liczby i oznaczamy . Najmniejszy nieujemny
argument liczby zespolonej nazywamy argumentem głównym
tej liczby i oznaczamy .


Wyrażenie będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej lub pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.
Odtąd liczbę zespoloną o module i argumencie
będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej
lub wykładniczej
Definicja 1.29.


Sprzężeniem liczby zespolonej nazywamy liczbę .




Uwaga 1.30.

a) Liczba jest obrazem liczby w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby zachodzi równość:
c) Jeśli to
d) Jeśli oraz
to to znaczy
moduł iloczynu liczb jest iloczynem modułów
i tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.


Dowód 1.30.


Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb
zespolonych. Zauważmy, że



Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.


Twierdzenie 1.31. [wzór de Moivre'a]


Dla dowolnej liczby zespolonej i dowolnej liczby naturalnej
zachodzi równość:


którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:




Zanotujmy jeszcze nastepujący
Wniosek 1.32.


Jeśli jest
dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś
-- dowolną liczbą naturalną, to równanie spełnia dokładnie
liczb zespolonych



gdzie .


Dowód 1.32.


[Szkic]
Korzystając ze wzoru de Moivre'a, stwierdzamy, że a więc każda z liczb spełnia
dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli
zakresu parametru do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od
do , to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków
danego równania, gdyż ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.






Pierwiastki równania



Pierwiastki równania


Uwaga 1.33

Każdy z pierwiastków równania leży na okręgu
o środku w punkcie i promieniu Argument
pierwiastka jest
-tą częścią argumentu liczby , a każdy
kolejny pierwiastek ma argument o większy od
poprzedniego, tzn.




Definicja 1.34.


Każdy z pierwiastków równania nazywamy
pierwiastkiem algebraicznym stopnia z liczby


Przykład 1.35.


Każda z liczb



jest pierwiastkiem równania


Przykład 1.36.


Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum


Niech


Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy

oraz dla dowolnej liczby
Stąd


Dla mamy


Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy


oraz



Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi nierówność:
, , więc


Wykazaliśmy w ten sposób
Wniosek 1.37.


Dla dowolnej liczby naturalnej i
dowolnych liczb rzeczywistych mamy następujące ograniczenie sum



Zauważmy, że wartość ułamka
nie zależy od liczby składników wchodzących w skład powyższych
sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania.
Wykorzystamy tę informację, badając zbieżność szeregów w ramach
kolejnych modułów.

[Edytuj]Dwumian Newtona
Blaise Pascal (1623-1662)Zobacz biografię
Definicja 1.38.


Niech będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Symbolem Newtona po nazywamy wyrażenie



gdzie symbolem
oznaczamy silnię liczby określoną rekurencyjnie:
oraz dla .


Przypomnijmy, że

Uwaga 1.39.

a) Dla zachodzą równości:
oraz .
b) Dla zachodzi równość
.


Równość ta pozwala na wyznaczać wartość zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:









. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Trojkat Pascala

Mianowicie - zgodnie z równością
wartość
symbolu Newtona
jest sumą dwóch symboli oraz
, które znajdują się bezpośrednio nad
symbolem
w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się
bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole
odpowiadającymi im liczbami naturalnymi. Tak jak to jest przedstawione na animacji obok.
Przypomnijmy, że symbole Newtona stanowią współczynniki
rozwinięcia wyrażenia zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona.


Twierdzenie 1.40.


Dla dowolnej liczby naturalnej
i dowolnych liczb i zachodzi równość






Zauważmy, że dla wzór Newtona ma postać


Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.
Przykład 1.41.


Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy





[Edytuj]Funkcje różnowartościowe. Równoliczność
Niech będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze
o wartościach w zbiorze Przypomnijmy kilka pojęć z
teorii mnogości.
Definicja 1.42.


Funkcję nazywamy iniekcją zbioru w zbiór , jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów z równości
wynika, że


Definicja 1.43.


Funkcję nazywamy
suriekcją zbioru na zbiór , jeśli każdy element zbioru
jest wartością funkcji to znaczy, że dla dowolnego
elementu istnieje element taki, że


Definicja 1.44.


Funkcję nazywamy bijekcją zbioru na zbiór ,
jeśli jest iniekcją i suriekcją.


Definicja 1.45.


Mówimy, że zbiory są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru na zbiór
. Mówimy też wtedy, że zbiory , są tej samej mocy, co zapisujemy krótko lub .
Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze
zbiorem ), to mówimy, że jest
zbiorem mocy , co zapisujemy lub .


Przykład 1.46.


a) Można wykazać, że zbiór liczb
naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych i ze zbiorem liczb wymiernych.
b) Również każdy nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (na przykład zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych,
zbiór liczb pierwszych) jest równoliczny z całym zbiorem liczb naturalnych.


Definicja 1.47.


Zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym.
Mówimy też, że moc zbioru przeliczalnego jest równa alef zero, co
zapisujemy lub .


Definicja 1.48.


Zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.



Twierdzenie 1.49.


Zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.



Przykład 1.50.


a) Jeśli są dowolnymi elementami zbioru , to każdy z przedziałów jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
b) Co więcej, można również wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny
jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.


Definicja 1.51.


Zbiór równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem mocy continuum,
co zapisujemy lub


Przykład 1.52.


Niech


gdzie , będzie ciągiem cyfr rozwinięcia w
systemie trójkowym (tj. pozycyjnym systemie o podstawie 3) liczby
z przedziału . Rozważmy kolejno zbiory


i tak dalej. Zauważmy, że


to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym
nie mają cyfry 1 na pierwszym miejscu po przecinku, zaś


to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym
nie mają cyfry 1 ani na pierwszym, ani na drugim miejscu po
przecinku, a ogólnie


to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym
nie mają cyfry 1 po przecinku na żadnym z miejsc od pierwszego aż
do -tego włącznie.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) Zobacz biografię
Zauważmy, że liczbę można zapisać w systemie
trójkowym jako bądź też bez użycia cyfry
za pomocą trójkowego ułamka okresowego: .
Podobnie .
Stąd liczby , ,... ., należą
do zbiorów , pomimo że ich ich zapis trójkowy
zawiera cyfrę 1. Można je bowiem zapisać również nie używając
jedynki.
Z definicji zbiorów wynika, że



Dowodzi się (zob. twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów
domkniętych w przestrzeni zupełnej), że część wspólna
nieskończenie wielu zbiorów
jest zbiorem niepustym. Zbiór ten zawiera tylko te liczby z
przedziału , które można zapisać w systemie trójkowym bez
użycia cyfry 1.


Definicja 1.53.


Zbiór



tych liczb z przedziału , które w systemie
trójkowym da się zapisać bez użycia cyfry 1, nazywamy trójkowym zbiorem Cantora.


Uwaga 1.54.

Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem
wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze
dwuwartościowym: . Jest więc nieprzeliczalny.





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_1:_Zbiory_liczbowe"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 13:05, 11 gru 2006; Tę stronę obejrzano 32560 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();