Zbiory i działania na zbiorach
Zbiory liczbowe
Tytułem wstępu:
Dla ułatwienia orientacji w zapisie matematycznym, przyjęto ustalenie, iż zbiory oznaczamy
dużymi literami alfabetu: A, B, C, X, Y, & , a elementy zbiorów  małymi literami alfabetu: a, b,
c, x, y, & Należy jednak mieć na uwadze, ze nie jest to ustalenie obowiązkowe (choć  by nie
komplikować zapisu  jest najczęściej przestrzegane). Jeżeli ktoś napisze, że A jest elemen-
tem zbioru B, to taki ekscentryczny zapis jest poprawny.
1. Równość zbiorów
1. Równość zbiorów
1. Równość zbiorów
1. Równość zbiorów
Znak równości, który używamy w obliczeniach rachunkowych, może być stosowany także w
przypadku zbiorów. Jeżeli zapiszemy = , to tym samym stwierdzamy, że zbiory i są
równe, czyli mają takie same elementy:
= Å›' " Å›' "
W powyższym zapisie symbolicznym pojawił się znak " . Jest to znak przynależności do zbio-
ru: " oznacza, że należy do zbioru .
Rzadko spotykany zapis: " oznacza dokładnie to samo (to mniej więcej tak, jakby ktoś
zastąpił nierówność < nierównością > ).
2. Zbiór pusty
2. Zbiór pusty
2. Zbiór pusty
2. Zbiór pusty
Zbiór pusty (oznaczamy go ") jest to zbiór, do którego nie należy żaden element.
Czy coś takiego jest do czegokolwiek potrzebne? A zero jest do czegoś potrzebne, jeżeli
obietnica:  dam Ci zero prezentów nikogo nie cieszy? Niby zero to nic, a jednak się go uży-
wa. Tak samo jest ze zbiorem pustym.
3. Zbiory i podzbiory
3. Zbiory i podzbiory
3. Zbiory i podzbiory
3. Zbiory i podzbiory
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, lub że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeżeli
każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.
Zapisujemy to symbolicznie: ‚" (symbol ‚" jest symbolem zawierania siÄ™ zbiorów).
Każdy zbiór jest swoim wÅ‚asnym podzbiorem: ‚" , gdyż każdy element zbioru należy
do zbioru A.
Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru , gdyż nie ma w zbiorze pustym takich ele-
mentów, które nie należałyby do zbioru (dlatego nie da się skutecznie zaprzeczyć stwier-
dzeniu: każdy element zbioru pustego należy do zbioru  nie każdy?  więc podaj jaki?).
Przykład
Przykład
Przykład
Przykład
Niech = , , ,
Przy tym założeniu mamy:
, , , ‚"
, ‚"
" ‚"
4. Sposoby zapisywania zbiorów
4. Sposoby zapisywania zbiorów
4. Sposoby zapisywania zbiorów
4. Sposoby zapisywania zbiorów
Zbiory zazwyczaj oznaczamy dużymi literami alfabetu, ale nie jest to jedyny sposób ich zapi-
sywania. W powyższym przykładzie pojawiła się równość: = , , , .
Po prawej stronie równania mamy zbiór, którego cztery elementy wypisano w nawiasie
klamrowym. Właśnie nawias klamrowy jest używany do zapisywania zbiorów.
Wymienimy teraz sposoby zapisywania różnych zbiorów:
Znaki specjalne, np.:
" - zbiór pusty
- zbiór liczb całkowitych
- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
Wypisanie elementów zbioru w nawiasie klamrowym, np.:
, , ,
, , , , , &
Jak widać można to zrobić nawet wtedy, gdy zbiór ma nieskończenie wiele elemen-
tów.
 Określenie zbioru poprzez własność, którą spełniają wszystkie elementy tego zbio-
ru, np. zapisy:
" : + <
lub
: " '" + <
określają zbiór takich liczb rzeczywistych, które spełniają podaną nierówność.
Ogólnie: ten sposób zapisu zbiorów wygląda następująco:
" :
: "
5. Działania na zbiorach
5. Działania na zbiorach
5. Działania na zbiorach
5. Działania na zbiorach
Suma zbiorów (inaczej: unia zbiorów)
Suma zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A lub do
zbioru B (czyli należy co najmniej do jednego z tych zbiorów).
Sumę zbiorów A i B oznaczamy symbolem *" .
*" = : " (" "
Przykład: , , *" , = , , ,
Iloczyn zbiorów (inaczej: przecięcie zbiorów lub część wspólna zbiorów)
Iloczyn zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A i do
zbioru B.
Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy symbolem: )" .
)" = : " '" "
Przykład: , , )" , =
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym ( )" = "), czyli takie, które nie mają
wspólnych elementów, nazywamy zbiorami rozłącznymi.
Różnica zbiorów
Różnica zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A i nie na-
leży do zbioru B.
Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem: \ lub - .
\ = : " '" "
Przykład: , , \ , = ,
6. Zbiory liczbowe
6. Zbiory liczbowe
6. Zbiory liczbowe
6. Zbiory liczbowe
- zbiór liczb naturalnych
Z tym zbiorem mamy niezły galimatias. Kiedyś, dawno temu, sprawa była prosta: de-
finicję zbioru liczb naturalnych przyjmowano w Polsce następującą:
= , , , , &
Potem, w ramach nieustających reform oświaty, nie obyło się bez kombinowania przy
nauczanych treściach matematycznych i zaczęto wprowadzać definicję:
= , , , , & , czyli do zbioru liczb naturalnych dołączono liczbę zero.
Takie ustalenie nie jest zbyt wygodne - staje siÄ™ wygodne wtedy, gdy konsekwentnie
będziemy wszelkiego rodzaju numerację elementów zaczynać od zera (np. numerację
wyrazów ciągu). Wobec tego zaczęto się z tej  nowatorskiej definicji powoli wycofy-
wać, ale ten proces tak jakby zatrzymał się, więc mamy teraz taką sytuację, iż zbiór
liczb naturalnych jest taki, jaki sobie ktoÅ›-tam w danym momencie zdefiniuje: z ze-
rem, albo bez zera.
W końcowym efekcie  dla pewności (np. w tematach zadań maturalnych) zaznacza
się:  zbiór liczb naturalnych dodatnich , by ktoś nie brał pod uwagę zera, gdy układa-
jÄ…cy temat zadania tego nie chce.
Podsumowując: najczęściej przyjmowaną definicją zbioru liczb naturalnych jest defi-
nicja następująca: = , , , , & , wsparta dodatkowym symbolem :
= , , , , & - zbiór liczb naturalnych dodatnich
- zbiór liczb całkowitych
= & , - , - , - , , , , , &
- zbiór liczb wymiernych
Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które dadzą się zapisać w
postaci ułamka zwykłego: , gdzie " " `"
Zwracamy tu uwagę na często popełniany błąd: o tym, czy liczba jest wymierna decy-
duje możliwość zapisania jej w postaci ułamka zwykłego, a nie jej wygląd. Często
wymierne są liczby, które wcale na to nie wyglądają, np.:
liczby całkowite: , - , = , - = , =
niektóre pierwiastki: , , = =
inne: = =
Bardzo ważną cechą liczb wymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę wymierną w
postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to albo ułamek dziesiętny skończony (od
pewnego miejsca po przecinku będą same zera  np. , ), albo ułamek dziesiętny
nieskończony i okresowy (np. , & = , ).
 - zbiór liczb niewymiernych
Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które nie dadzą się zapi-
sać w postaci ułamka zwykłego.
Przykłady liczb niewymiernych:
" , ,
Bardzo ważną cechą liczb niewymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę niewy-
mierną w postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to ułamek dziesiętny nieskończony
i nieokresowy, np.:
= . &
Związki między zbiorami liczbowymi
Mamy: ‚" ‚" , czyli:
- każda liczba naturalna jest całkowita i wymierna,
- każda liczba całkowita jest wymierna, ale nie każda liczba całkowita jest natural-
na (np. - ),
- nie każda liczba wymierna jest całkowita (np. ) i nie każda liczba wymierna jest
naturalna (np. , - ).
Mamy: )" = "
Nie istnieje taka liczba, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna.
Mamy: *" =
Na osi liczbowej każdemu punktowi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywi-
sta i jest to liczba wymierna albo niewymierna.
7. Przedziały liczbowe
7. Przedziały liczbowe
7. Przedziały liczbowe
7. Przedziały liczbowe
W podanych niżej definicjach: , " < .
Przedziały liczbowe ograniczone
Przedział otwarty:
, = : " < <
Przedział domknięty:
, = : " d" d"
 Przedział lewostronnie domknięty (inaczej: prawostronnie otwarty):
, = : " d" <
Przedział lewostronnie otwarty (inaczej: prawostronnie domknięty):
, = : " < d"
Przedziały liczbowe nieograniczone
Przedział otwarty:
-", = : " <
Przedział otwarty:
, " = : " >
Przedział domknięty:
-" , = : " d"
Przedział domknięty:
, " = : " e"
-", " = - cała oś liczbowa
8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
1. Wymień wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru , , , , . Czy wśród nich znaj-
dują się takie dwa zbiory A, B, że )" = " ? Uzasadnij.
2. Wyjaśnij, co oznacza zapis: , , .
3. Zapisz symbolicznie zbiór rozwiązań równania - - = .
4. Zapisz zbiór *" jako sumę:
a) dwóch rozłącznych zbiorów,
b) trzech zbiorów parami rozłącznych.
5. Dla jakich wartości x wyrażenie jest liczbą całkowitą?
6.  Zgodnie z podaną definicją przedziału otwartego, prawdziwe jest równanie:
, - = " .
Oceń, czy podane zdanie jest prawdziwe. Uzasadnij.
7. Czy zbiory = " : = , " oraz = " : = , " są rozłączne?
Odpowiedz
uzasadnij.
8. Zapisz symbolicznie:  zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest większy od ich dwu-
krotności .
9. Wyznacz wyniki działań na zbiorach:
a) - , )" ,
b)  , *" ,
c) - , \ ,
10. Dany jest zbiór : < = 2 , " . Zapisz ten zbiór w inny, dowolny sposób.
Rozwiązania znajdziesz na następnej stronie.......
Rozwiązania znajdziesz na następnej stronie
Rozwiązania znajdziesz na następnej stronie
Rozwiązania znajdziesz na następnej stronie
1. Wymień wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru , , , , . Czy wśród nich znaj-
dują się takie dwa zbiory A, B, że )" = " ? Uzasadnij.
RozwiÄ…zanie
Dwuelementowe podzbiory podanego zbioru:
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
Jeżeli przyjmiemy, że = , i = , , to )" = , )" , = ".
Ten przykład dowodzi, iż takie zbiory, że )" = " istnieją.
2. Wyjaśnij, co oznacza zapis: , , .
RozwiÄ…zanie
Użycie zapisu & , & , & oznacza, że mamy na myśli trzyelementowy zbiór. Jakie są elementy
tego zbioru? Oto one: , , .
Elementami tego zbioru sÄ… trzy jednoelementowe zbiory.
Tak więc podany zapis oznacza:  zbiór, którego elementami są trzy jednoelementowe zbiory .
Jak widać może się zdarzyć, że elementami zbioru są inne zbiory.
3. Zapisz symbolicznie zbiór rozwiązań równania - - = .
RozwiÄ…zanie
: " '" - - =
4. Zapisz zbiór *" jako sumę:
a) dwóch rozłącznych zbiorów,
b) trzech zbiorów parami rozłącznych.
RozwiÄ…zanie
Popatrz na ilustracjÄ™:
a) *" = \ *"
Zbiory \ oraz są rozłączne.
b) *" = \ *" )" *" \
Zbiory \ , )" , \ są parami rozłączne, tzn. \ )" )" = ", oraz
\ )" \ = " i )" )" \ = ".
5. Dla jakich wartości x wyrażenie jest liczbą całkowitą?
RozwiÄ…zanie
Aby wyrażenie było liczbą całkowitą, musi być:
+ = + = + = - + = - ,
co daje rozwiÄ…zanie zadania:
= - = - = - = -
6.  Zgodnie z podaną definicją przedziału otwartego, prawdziwe jest równanie:
, - = " . Oceń, czy podane zdanie jest prawdziwe. Uzasadnij.
RozwiÄ…zanie
Definicja przedziału otwartego a, b: , = : " < < .
Zapis , - nie jest przedziałem liczbowym, jeżeli w definicji zaznaczono, że < (w tym
przypadku traktujemy ten zapis jako bezsensowny, gdyż nie podlega żadnej definicji). My
przyjęliśmy taką właśnie definicję.
Jeżeli jednak w definicji przedziału liczbowego a, b nie byłoby zaznaczone, że < , to mie-
libyśmy: , - = : " < < -
Liczb spełniających nierówność < < - nie ma, wobec tego w tym przypadku podane
zdanie byłoby prawdziwe.
7. Czy zbiory = " : = , " oraz = " : = , " są rozłączne?
Odpowiedz
uzasadnij.
RozwiÄ…zanie
Zbiór jest zbiorem takich liczb całkowitych, które dadzą się zapisać w postaci = , czyli
są podzielne przez 7. Podobnie zbiór jest zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez 6.
Zbiory te nie są rozłączne, gdyż istnieją liczby całkowite, które są jednocześnie podzielne
przez 7 i przez 6, np. = .
Tak więc " " , czyli )" `" "
8. Zapisz symbolicznie:  zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest większy od ich dwu-
krotności .
RozwiÄ…zanie
: " > 2
lub
" : > 2
9. Wyznacz wyniki działań na zbiorach:
a) - , )" ,
b)  , *" ,
c) - , \ ,
RozwiÄ…zanie
a) - , )" , = ,
b)  , *" , =  ,
c) - , \ , = - ,
10. Dany jest zbiór : < = 2 , " . Zapisz ten zbiór w inny, dowolny sposób.
RozwiÄ…zanie
Podany zbiór można określić słownie:
 zbiór liczb całkowitych parzystych i ujemnych
lub
- , - , - , &