ROZWI
ZANIA ĆWICZEC

DOWODZENIE V
Przykład 1. Przykład 2.
1. Zał. 1. Zał.
~W '" ~S ~(W (" S)
2. Zał. (~Wpr) 2. W Zał. (~Wpr)
W (" S
3.
3. ~W W (" S ("Wpr 2
'"Elim 1
4. R 1
4. S MTP 2, 3 ~(W (" S)
5. ~S 5. ~W ~Wpr 2 3, 2 4
'"Elim 1
6. ~Wpr 2 4, 2 5
~(W (" S)
6. S Zał. (~Wpr)
7.
W (" S ("Wpr 6
8. R 1
~(W (" S)
9. ~S ~Wpr 6 7, 6 8
10.
~W '" ~S '"Wpr 5, 9
Przykład 3 Przykład 4
1. Zał. 1. Zał.
~F (" ~J ~(F '" J)
2. Zał. (~Wpr) 2. Zał. (~Elim)
F '" J ~(~F (" ~J)
3. ~F Zał. (~Wpr) 3. ~F Zał. (~Elim)
4. F 4.
'"Elim 2 ~F (" ~J ("Wpr 3
5. ~F R 3 5. R 2
~(~F (" ~J)
6. ~~F ~Wpr 3 4, 3 5
6. F ~Elim 3 4, 3 5
7. ~J MTP 1, 6
8. J
'"Elim 2 7. ~J Zał. (~Elim)
9. ~Wpr 2 7, 2 8 8.
~(F '" J) ~F (" ~J ("Wpr 7
9. R 2
~(~F (" ~J)
10. J ~Elim 7 8, 7 9
11.
F '" J '"Wpr 6, 10
12. R 1
~(F '" J)
13. ~Elim 2 11, 2 12
~F (" ~J
Przykład 5
1. Zał.
Z (" R
2. ~Z
Zał. (Wpr)
3. R MTP 1, 2
4.
~Z R Wpr 2 3
© Katarzyna Paprzycka R11-1
Samouczek logiki zdań. Rozwiązania ćwiczeń (wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
[e-mail]
Przykład 6. Dowód (b) z użyciem reguły Przykład 6. Dowód (b) bez użycia reguły
DeM DeM
1. Zał. 1. Zał.
~Z R ~Z R
2. Zał. (~Elim) 2. Zał. (~Elim)
~(Z (" R) ~(Z (" R)
3. DeM 2
~Z '" ~R
3. ~Z Zał. (~Elim)
4. ~Z
'"Elim 3
4. R
5. R Elim 1, 3
Elim 1, 4
5.
6. ~R Z (" R ("Wpr 4
'"Elim 3
6. R2
7.0 ~Elim 2 5, 2 6 ~(Z (" R)
Z (" R
7. Z ~Elim 3 5, 3 6
8.
Z (" R ("Wpr 7
9. R 2
~(Z (" R)
10. ~Elim 2 8, 2 9
Z (" R
Przykład 7. Dowód (a) Przykład 8. Dowód (b)
1. Zał. 1. Zał.
W B ~B ~W
2. ~B 2. W
Zał. (Wpr) Zał. (Wpr)
3. W Zał. (~Wpr) 3. ~B Zał. (~Elim)
4. B 4. ~W
Elim 1, 3 Elim 1, 3
5. ~B R 2 5. W R 2
6. ~W ~Wpr 3 4, 3 5 6. B ~Elim 3 4, 3 5
7. 7.
~B ~W Wpr 2 6 W B Wpr 2 6
(a) Zdanie A jest logicznie równoważne zdaniu ~~A
1. A Zał. 1. ~~A Zał.
2. ~A Zał. (~Wpr) 2. ~A Zał. (~Elim)
3. A R 1 3. ~~A R 1
4. ~A R 2 4. ~A R 2
5. ~~A ~Wpr 2 3, 2 4 5. A ~Elim 2 3, 2 4
(b) Zdanie A '" A jest logicznie równoważne zdaniu A
1. Zał. 1. A Zał.
A '" A
2.
2. A A '" A '"Wpr 1, 1
'"Elim 1
(c) Zdanie A (" A jest logicznie równoważne zdaniu A
1. Zał. 1. A Zał.
A (" A
2.
A (" A ("Wpr 1
2. A
Zał. (("Elim)
3. A R2
4. A
("Elim 1, 2 3, 2 3
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 11. Dowodzenie V R11-2
(d) Zdanie A (B C) jest logicznie równoważne zdaniu (A '" B) C
1. Zał. 1. Zał.
A (B C) (A '" B) C
2. 2. A
A '" B Zał. (Wpr) Zał. (Wpr)
3. A
'"Elim 2
3. B
4. Zał. (Wpr)
B C Elim 1, 3
5. B 4.
'"Elim 2 A '" B '"Wpr 2, 3
6. C 5. C
Elim 4, 5 Elim 1, 4
7. 6.
(A '" B) C Wpr 2 6 B C Wpr 3 5
7.
A (B C) Wpr 2 6
(e) Zdanie A B jest logicznie równoważne zdaniu ~A (" B
1. Zał. 1. Zał.
A B ~A (" B
2. Zał. (~Elim) 2. A
~(~A (" B) Zał. (Wpr)
3. A Zał. (~Wpr) 3. ~B Zał. (~Elim)
4. B 4. ~A MTP 1, 3
Elim 1, 3
5. A R 2
5.
~A (" B ("Wpr 4
6. B ~Elim 3 4, 3 5
6. R 2
~(~A (" B)
7.
A B Wpr 2 6
7. ~A ~Wpr 3 5, 3 6
8.
~A (" B ("Wpr 7
9. R 2
~(~A (" B)
10. ~Elim 2 8, 2 9
~A (" B
(f) Zdanie ~(A B) jest logicznie równoważne zdaniu A '" ~B
1. Zał. 1. Zał.
~(A B) A '" ~B
2. Zał. (~Elim) 2. Zał. (~Wpr)
~(A '" ~B) A B
3. A
'"Elim 1
3. A
Zał. (Wpr) 4. B
Elim 2, 3
5. ~B
'"Elim 1
4. ~B Zał. (~Elim)
6. ~Wpr 2 5
~(A B)
5.
A '" ~B '"Wpr 3,4
6. R 2
~(A '" ~B)
7. B ~Elim 4 5, 4 6
8.
A B Wpr 3 7
9. R 1
~(A B)
10. ~Elim 2 8, 2 9
A '" ~B
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 11. Dowodzenie V R11-3
(g) Zdanie ~(~A (" B) jest logicznie równoważne zdaniu A '" ~B
1. Zał. 1. Zał.
~(~A (" B) A '" ~B
2. ~A Zał. (~Elim) 2. Zał. (~Wpr)
~A (" B
3.
~A (" B ("Wpr 2
4. R 1 3. ~A Zał. (~Wpr)
~(~A (" B)
5. A ~Elim 2 3, 2 4 4. A
'"Elim 1
5. ~A R 3
6. B Zał. (~Wpr) 6. ~~A ~Wpr 3 4, 3 5
7. 7. B MTP 2, 6
~A (" B ("Wpr 6
8. ~B
8. R 1 '"Elim 1
~(~A (" B)
9. ~Wpr 2 7, 2 8
9. ~B ~Wpr 6 7, 6 8 ~(~A (" B)
10.
A '" ~B '"Wpr 5, 9
(h) Zdanie ~(~A '" B) jest logicznie równoważne zdaniu A (" ~B
1. Zał. 1. Zał.
~(~A '" B) A (" ~B
2. Zał. (~Elim) 2. Zał. (~Wpr)
~(A (" ~B) ~A '" B
3. ~A
'"Elim 2
3. A Zał. (~Elim)
4. ~B MTP 1, 3
4. 5. B
A (" ~B ("Wpr 3 '"Elim 2
5. R 2 6. ~Wpr 2 4, 2 5
~(A (" ~B) ~(~A '" B)
6. ~A ~Elim 3 4, 3 5
7. ~B Zał. (~Elim)
8.
A (" ~B ("Wpr 7
9. R 2
~(A (" ~B)
10. B ~Elim 7 8, 7 9
11.
~A '" B '"Wpr 6, 10
12. R 1
~(~A '" B)
13. ~Elim 2 11, 2 12
A (" ~B
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 11. Dowodzenie V R11-4