1. Pojęcia podstawowe : sterowanie w układzie otwartym, zamkniętym, obiekt stacjonarny
i niestacjonarny, statyczny i dynamiczny, liniowy i nieliniowy, optymalny, nieoptymalny,
jedno- i wielowymiarowy
W sterowaniu w układzie zamkniętym występuje sprzężenie zwrotne. Pojęciem tym
określone jest działanie wsteczne wielkości regulowanej na wielkość regulującą. Czyli
inaczej mówiąc działanie na wielkości regulującej jest spowodowane zmianą wielkości
regulowanej.
Sterowanie w układzie otwartym różni się tym, że człowiek lub regulator nie posiada
informacji poprzez sprzężenie zwrotne o stanie wielkości regulowanej (wyjściowej)
Obiekt stacjonarny obiekt niezmieniający swoich własności w czasie tj. współczynniki nie
zależą od czasu
Obiekt niestacjonarny  własności obiektu zmieniają się w czasie a = a (t), b = b (t).
i i i i
Obiekt dynamiczny- zmienne w równaniu obiektu zależą od czasu
. .. .
F(a1y,a2 y,a3 y,...,b1u,b2 u,...) =� 0
Obiekt statyczny - zmienne w równaniu obiektu NIE zależą od czasu
F(a1y,0,0,...,b1u,0,...) =� 0
F(a1y,b1u) =� 0
Układ liniowy  funkcja, która spełnia dwie zasady
�� Superpozycji (składania) funkcji
F(u1 +� u2) =� F(u1) +� F(u2)
�� Homogeniczności:
F(ku) =� kF(u)
Powyższe własności można ująć w jeden warunek liniowości: Jeśli dane są dwa sygnały
wejściowe
i odpowiadające im sygnały wyjściowe
wówczas dla dowolnych wartości skalarnych
układ liniowy musi spełniać następującą zależność:
Funkcja nieliniowa  taka, która nie jest liniowa. Nie spełnia ona zasady superpozycji lub
homogeniczność
Optymalny model obiektu  minimalizuje lub maksymalizuje zadane kryterium jakości.
Metoda najmniejszych kwadratów minimalizuje kryterium Q   odległość pomiędzy znanymi n
punktami f(x ) a przyjętą funkcją
i
Obiekt
Obiekt
Obiekt o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obiekt o wielu wejściach i wielu wyjściach (MIMO)
.
Jedno wejście u(t) i jedno wyjście y(t)
T y(t) +� y(t) =� ku(t)
Dwa wejścia u (t), u (t) i jedno wyjście y(t)
1 2
.
T, k, k , k  stałe liczby
1 2
T y(t) +� y(t) =� k1u1(t) +� k2u2(t)
O układzie wielowymiarowym mówi się w przypadkach, gdy układ ma wiele zmiennych (często,
jest to też układ o wielu wejściach i/lub wielu wyjściach jednak niekoniecznie, gdyż część
zmiennych mogą stanowić zmienne stanu)
2. Układ automatycznej regulacji
Przypatrzmy się dokładniej jednoobwodowemu układowi stabilizacji automatycznej
(rys. 1.4). W schemacie tym można wyodrębnić podstawowe części składowe
występujące w każdym układzie regulacji automatycznej.
Urządzenie, albo zespół urządzeń, w których przebiega interesujący nas proces
technologiczny, nazywamy obiektem regulacji. Pojęcie obiektu regulacji jest
bardzo ogólne: może to być reaktor chemiczny, piec, silnik elektryczny, zbiornik
itd. Ponieważ w układzie regulacji interesuje nas przebieg procesu technologicznego,
często na schematach blokowych jako przedmiot oddziaływania układu
regulacji przedstawiany jest właśnie proces.
O tym, jak ma przebiegać proces technologiczny, mówią nam wielkości fizyczne
charakterystyczne dla danego procesu. Może to być ciśnienie, temperatura,
strumień (natężenie przepływu) itp. Ta wielkość fizyczna, która najlepiej odzwierciedla
przebieg procesu i której wartość
należy utrzymać na określonym
poziomie (stałym lub zmieniającym i
się), aby proces przebiegał prawidłowo,
nazywa się wielkością regulowaną.
W naszym przykładzie wielkością
regulowaną jest temperatura. Często
zdarza się, że w jednym obiekcie jest
kilka wielkości regulowanych. W
skomplikowanych przypadkach,
szczególnie przy regulacji procesów
chemicznych, buduje się układy regulacji
z wieloma wzajemnie zależnymi
wielkościami regulowanymi.
Wartość wielkości regulowanej mierzona jest przez urządzenie pomiarowe. Sygnał
wyjściowy z tego urządzenia stanowi dla układu regulacji informację, jaka
jest wartość rzeczywista, czyli wartość wielkości regulowanej w danej chwili.
Centralnym urządzeniem układu regulacji jest regulator. Jak wiemy, zadaniem f
układu regulacji jest utrzymywanie wartości wielkości regulowanej możliwie i
zbliżonej do wartości żądanej, gwarantującej najkorzystniejszy przebieg procesu
technologicznego. Wartość pożądana wielkości regulowanej, nazywana wartoś- |
cią zadaną, wytwarzana jest przez nadajnik wartości zadanej (zadajnik) stanowiący
często część regulatora. W regulatorze następuje porównanie wartości rzeczy- |
wistej z wartością zadaną i wytworzenie sygnału oddziałującego na obiekt w taki .
sposób, aby różnicę między wartością rzeczywistą a wartością zadaną sprowa- ł
dzić do zera. I
Oddziaływanie regulatora na przebieg procesu technologicznego odbywa się za |
pośrednictwem urządzenia wykonawczego, w którym można wyodrębnić element |
nastawczy i siłownik. Element nastawczy steruje wartością wielkości fizycznej |
nazywanej wielkością sterującą (nastawiającą). Wielkością sterującą może być [
czynnik mający decydujący wpływ na przebieg sterowanego procesu technologi- |
cznego. Najczęściej czynnikiem tym jest strumień materiału lub energii i dlatego I
najczęściej spotykanym elementem nastawczym jest zawór. Siłownik (element ?
napędowy) zapewnia uzyskanie siły niezbędnej do przestawiania elementu nasta- |
wczego. W układach, w których zmian wielkości sterującej dokonuje się inaczej |
niż przez zmiany położenia elementu mechanicznego, miejsce siłownika zajmuje wzmacniacz
mocy. Tak jest np. w serwomechanizmach.
3. Transformata Laplace a, transmitancja
4. Linearyzacja równań nieliniowych
Linearyzacja - polega na przybliżeniu modelu układu nieliniowego za pomocą modelu układu
liniowego.
Nie każdy układ nieliniowy można poddać linearyzacji. Może się także okazać, że nie istnieje stan
równowagi, wokół którego można by dokonać rozsądnej linearyzacji. Żądania: odpowiedniej
dokładności przybliżenia i odpowiednio szerokiego zakresu, dla którego ono ma obowiązywać, często
bywają przeciwstawne.
Szczególnie podatne dla idei linearyzacji są układy z nieliniowością części statycznej.
Do podstawowych metod linearyzacji należą:
�� metoda rozwinięcia w szereg - badając układ nieliniowy przy założeniu małych odchyleń od
pewnego punktu pracy układu (np. jego stanu równowagi) można rozwinąć funkcje nieliniowe
wszereg Taylora, pominąć człony nieliniowe (czyli wyrazy wyższych rzędów) i otrzymać w ten
sposób równania przybliżone liniowe;
�� metoda linearyzacji optymalnej - polega na takim doborze elementów macierzy (czyli
współczynników nieliniowych równań stanu) który minimalizuje błąd średniokwadratowy pomiędzy
układem nieliniowym a dobranym w ten sposób modelem liniowym;
�� metoda nieliniowego sprzężenia zwrotnego - w metodzie tej odpowiednio zamienia się zmienne i
dobiera się nieliniowe sprzężenie zwrotne.
6) Charakterystyki częstotliwościowe
Co to jest? Odpowiedz
obiektu w stanie ustalonym na sinusoidalny sygnał wejściowy. Po co?
Dokładnie identyfikują obiekt (określają jego własności dynamiczne)
Potrzebne do doboru nastaw regulatorów  układ regulacji musi posiadać odpowiednią jakość
np. w samochodzie nie mogą być odczuwalne drgania od drogi (aktywne zawieszenie w
samochodzie. Wpływ drgań typowej drogi z dziurami na komfort jazdy kierowcy)
W samojezdnych robotach  wpływ drgań drogi na zmianę kierunku jazdy
Pokazują jak zachowuje się obiekt, jeżeli wzrasta częstotliwość sygnałów wejściowych.
Przykład cieplny  budynek i zmiana temperatury powietrza zewnętrznego.
W ten sposób można określić zakres częstotliwości sygnałów, dla których regulacja ma pożądaną
jakość.
Pozwalają na określenie częstotliwości rezonansowej.
Można za ich pomocą badać stabilność układu regulacji.
Typy wykresów:
Wykres Bodego, 1927, przedstawia na dwóch różnych rysunkach zależność kąta przesunięcia
fazowego j� od pulsacji w� oraz modułu M od pulsacji j�= j� (w�), M=M (w�)
Wykres Nyquista  potraktujmy pulsację w� jako parametr i narysujmy zależność (( M(w�), j� (w�) )
we współrzędnych biegunowych
Wykres Nicholsa jest zależnością pomiędzy modułem M wyrażonym w dB i kątem przesunięcia
fazowego w stopniach. Karta Nicholsa pozwala na ocenę zapasu amplitudy i fazy, odległość
modułu układu zamkniętego od 1 oraz wartość modułu rezonansowego (patrz: wykres Bodego)
na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego.
Są trzy zmienne w�, M , j�. W zależności od tego, która zmienna jest parametrem tego jest wykres.
Wykres Nyquista ( |G (w�) |, j� (w�) ) = (( M(w�), j� (w�) )
(wykres we współrzędnych biegunowych)
Wykres Bodego j�= j� (w�) oraz M=M (w�)
Wykres Nicholsa M (j�(w�)), dB
Wykres Blacka M(j� (w�))
(wykres we współrzędnych kartezjańskich)
Charakterystyki członów podstawowych
Człon proporcjonalny
Człon całkujący
Człon proporcjonalno-całkujący
Obiekty nieminimalnofazowe
Def. Obiekt minimalnofazowy to taki, którego zera i bieguny znajdują się po lewej stronie
półpłaszczyzny Gaussa
Są to obiekty łatwe w regulacji.
Def. Obiekt nieminimalnofazowy to taki, który ma co najmniej jedno zero lub biegun znajdują się
po
prawej stronie półpłaszczyzny Gaussa
8. Stabilność układu regulacji
Stabilność układu automatycznej regulacji  niezbędny warunek pracy układu automatycznej
regulacji mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do tego
stanu. Ponieważ stan równowagi może być różnie interpretowany stosuje się także definicję
stabilności Laplace'a, która mówi, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli jego odpowiedz
na wymuszenie
(zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona. Stabilność to jedna z najważniejszych
właściwości systemów dynamicznych. Istnieje wiele interpretacji pojęcia stabilności, które w zasadzie
są równoważne dobrze znanym pojęciom matematycznym, takim jak ograniczoność lub ciągłość.
Układ dynamiczny nazywamy stabilnym, gdy trajektorie stanów są ograniczone albo gdy zależą one w
sposób ciągły od stanów początkowych lub sterowań. Pojęcie stabilności układu można również
definiować poprzez stawianie odpowiednich wymagań trajektoriom wyjścia układu.
Większość definicji stabilności odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi. Najczęściej
spotykane definicje stabilności odnoszą się do układów opisywanych równaniem różniczkowym - mówi
się wówczas o stabilności poszczególnych rozwiązań równania różniczkowego otrzymanych przy
ustalonym sterowaniu , przy czym przez stabilność rozwiązania rozumie się ciągłą zależność tego
rozwiązania od warunku początkowego .
W układzie liniowym, stacjonarnym istnieje jednoznaczny związek między stabilnością a wartościami
własnymi tego układu. O stabilności układu liniowego najprościej można orzec, znając
jegotransmitancję lub znając położenie pierwiastków równania charakterystycznego (czyli biegunów
transmitancji, wartości własnych układu).
Krótko mówiąc aby układ był stabilny wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu
zamkniętego powinny mieć ujemne części rzeczywiste, czyli znajdować się w lewej
półpłaszczyz
nie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Ponieważ w rozwiązaniu równania stanu pojawiają się składniki zawierające
wyrazy (zob. macierz przejścia) dlatego:
Jeśli wszystkie wartości własne układu mają ujemne części
rzeczywiste dla to układ jest stabilny. Ponadto układ liniowy jest stabilny
asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny transmitancji leżą w lewej półpłaszczyz
nie
zmiennej zespolonej s (tzn. mają ujemną część rzeczywistą). W tym przypadku składowa przejściowa
odpowiedzi zanika do zera przy .
Jeśli występują wartości własne o zerowych częściach rzeczywistych (a więc rzeczywiste zerowe lub
czysto urojone) to układ pozostaje stabilny jeśli te wartości są pojedyncze. Wynika to z ograniczoności
wyrażeń lub . Nie zachodzi tu jednak warunek stabilności asymptotycznej.
Innymi słowy układ liniowy jest na granicy stabilności, jeżeli jeden jego biegun leży na osi urojonej, a
reszta biegunów - w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej.
Jeśli choć jedna wartość własna układu ma dodatnią część rzeczywistą to układ jest
niestabilny. Układ liniowy jest niestabilny, jeżeli co najmniej jeden jego biegun leży w prawej
półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s lub więcej niż jeden biegun znajduje się na osi urojonej. Jeśli
wartość własna przy jest wielokrotna, to w rozwiązaniu pojawiają się człony
typu , itd., w zależności od krotności wartości własnej, co sprawia że rozwiązania
stają się nieograniczone. W tym przypadku składowa przejściowa odpowiedzi rośnie do
nieskończoności przy .
Kryterium stabilności Hurwitza jest metodą pozwalającą określić stabilność układu regulacji na
podstawie równania charakterystycznego układu
o współczynnikach rzeczywistych.
Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej , co pociąga za
sobą stabilność układu
Kryterium logarytmiczne Nyquista
Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu
otwartego posiada wartość ujemną dla pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu .
2) kryteria graficzne - stosowane w przypadku znajomości analitycznej postaci transmitancji układu
otwartego to metoda linii pierwiastkowych.
Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do
opisu i analizy układów dyskretnych.
Powiązanie z transformatą Fouriera
Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata
Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z
dla
lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę
częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co
oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym
przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.
Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu jest nazywana funkcja
określona wzorem
,
gdzie:  transformata oryginału;  oryginał dyskretny; .
Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja
wykładnicza, np. dla funkcji lub nie istnieją
transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.
Historia transformaty Z:
Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon
de Laplace'a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę
rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John
Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagdanieniami układów dyskretnych w zespole naColumbia
University nadali jej nazwę transformaty Z.
Nazwa transformata Z może pochodzić od litery "z" jako dyskretnej wersji litery "s" często używanej
jako zmienna niezależna w transformacie Laplace'a co wydaje się zasadne jako, że transfomata Z jest
w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace'a. Inne możliwe pochodzenie to litery "z" w
nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh) którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym
niemniej nazwa odbiega od powszechie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki by do
metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata
Fouriera, transformata Laplace'a, transformata Hartley'a, itp).Nieco póz
niej E.I. Jury wprowadził i
spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.Idea zawarta w transformacie Z w literaturze
matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, która to datuje się na rok 1730 kiedy to
została wprowadzona przez Abrahama de Moivrew powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa.
Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg
Laurenta gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.