Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymałość
Materiałów
                                       
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Część II  Wytrzymałość Materiałów
Wykład 2.
1. Liczba Poissona
2. Uogólnione prawo Hooke a
3. Zagadnienia statycznie niewyznaczalne
4. NaprÄ™\
enia własne
2
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Liczba Poissona
(współczynnik odkształcalności poprzecznej)
"b
a) y
½ = -
"l
" b
b Ãx Ãx
.
x
W pręcie rozciąganym:
l "l
à Ã
µ = , µ = -½
wzd poprz Ogólnie:
E E
µ
poprz
½ = -
µwzd
PrzedziaÅ‚ zmiennoÅ›ci liczby Poissona: 0 d" ½ d" 0.5.
3
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Uogólnione prawo Hooke a
z
z Stosujemy zasadÄ™ superpozycji:
Ãz
Ãy
Ã
Ãx y
x Ãx
µx''= -½
Ã
y E
z
µ '''= -½
x
x
Ã
E
y
Ãy
µ ''=
y
Ã
Ãz
x Ã
E
z
y
µx '=
µ ''= -½
y
E
à E
y
µz ''= -½
Ã
E z
à µ ''=
x
z
µ '= -½ Å"
y E
E
z
z Ã
à z
x
µ '= -½ Å"
z
E
z
Ãy
+
Ã
x
x
Ã
x
x
+
Ãy
x
Ã
z
y
y
y
4
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Uogólnione prawo Hooke a
Po uporządkowaniu wzorów pokazanych wy\
ej dla trzech prostych stanów obcią\
enia
otrzymujemy prawo Hooke a rozszerzone na trójkierunkowy stan naprę\
eÅ„, gdzie Ãx , Ãy,
à Ã
à Ã
à Ã
Ãz sÄ… naprÄ™\
eniami normalnymi odpowiednio w kierunkach x,y, z.
Ã
Ã
Ã
1
µ = [Ã -½ (Ã y +Ã )]
x x z
E
1
µ = [Ã -½ (Ã +Ãx)]
y y z
E
1
µ = [Ã -½ (Ã +Ã )]
z z x y
E
5
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Uogólnione prawo Hooke,a  płaski stan naprę\
enia  Ãz = 0
1
µ = [à -½Ã ]
x x y
E
1
µ = [à -½Ã ]
y y x
E
Odkształcenie w kierunku osi z:
½
µ = - [Ã +Ã ]
z x y
E
6
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne
S1 = S3
Równania równowagi:
Równanie ciągłości odkształceń:
S2 + 2S1 cos Ä… = P
Trzy niewiadome - dwa równania 
"l1 = "l2 cosÄ…
zagadnienie statycznie niewyznaczalne
7
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne
S1l S2l
= cos(Ä… ) Ò! S1 = S2 cos2(Ä… )
cos(Ä… ) EA EA
P cos2(Ä…)
P
S1 = S2 =
[1+ cos3(Ä…)] 1+ cos3(Ä…)
8
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
NaprÄ™\
enia własne
NaprÄ™\
enia własne
naprÄ™\
enia
naprÄ™\
enia cieplne
monta\
owe
9
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
NaprÄ™\
enia cieplne - Obliczyć siłę wewnętrzną w
pręcie i naprę\
enia po podgrzaniu.
Wydłu\
enie cieplne (o tyle wydłu\
yłby się pręt,, gdyby był swobodny):
"lt = Ä… Å" l Å" "t
"t
Dane: E, Ä…, "t, l, D, d
Pręt nie mo\
e zmienić długości:
ĆD
Ćd
"lca = "lt - "lm = 0 Ò! "lt = "lm
l
l
"lm = "l1 + "l2
NL Nl
"l1 = "l2 =
Nl Å" 4 Nl Å" 4 Ä„EÄ…"t
2EF1 2EF2
Ä…l"t = + Ò! N =
2
1 1
2EÄ„D2 2EÄ„d öÅ‚
2ëÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
2
D2 d
íÅ‚ Å‚Å‚
N N
Ã1 = Ã =
F1 2 F2
10
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Wykład 3.
1. Analiza naprÄ™\
eń w dwukierunkowym stanie napięcia
2. Koło Mohra
3. Czyste ścinanie
4. ZwiÄ…zek miÄ™dzy E, G i ½
4. ½
4. ½
4. ½
5. Åšcinanie technologiczne
11
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Analiza naprÄ™\
eń
- rozciąganie /ściskanie w jednym kierunku
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
Ã1
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
P
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
pÄ… P
ÄÄ…
ÃÄ… = Ã1 Å" cos2 Ä…
pÄ… = Ã1 Å" cosÄ…
Ã1
ÄÄ… = Å" sin 2Ä…
2
12
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Analiza naprÄ™\
eń
- rozciąganie /ściskanie w dwu kierunkach
à ą
Ã
Ã
Ã
Ä…
Ä…
Ä…
Ã1
Stosujemy zasadÄ™ superpozycji:
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ã2 -(90o-Ä…) ÃÄ… pÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…+90
ÄÄ…
ÄÄ…
ÄÄ…+90
Ä…
=
+
Ã1 Ã1
ÃÄ… 
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
Ã2
ÃÄ… Ã2 ÃÄ…+90
Ä… 
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…'= Ä…; Ä…''= a + 90°
ÄÄ… 
13
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Dwukierunkowy stan naprÄ™\
enia
2
Ã2 -(90o-Ä…) ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ… = Ã1 Å" cos2 Ä… + Ã Å" sin Ä…
ÃÄ…+90 2
ÄÄ…
Ã1 -Ã
2
ÄÄ…+90
ÄÄ… = Å"sin 2Ä…
Ä…
2
Ã1 Ã1
ÃÄ…+90
ÃÄ… Ã2
ÃÄ… +90 = Ã1 Å"sin2 Ä… + Ã Å" cos2 Ä…
2
14
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Koło Mohra Otto Mohr (1882)
2R=(Ã1 - Ã2)
à Ã
à Ã
à Ã
Ä
Ä
Ä
Ä
Ã1 +Ã2
2
M (ÃÄ…
ÃÄ… , ÄÄ…)
ÄÄ…
ÃÄ… ÄÄ…
ÃÄ… ÄÄ…
R
ÄÄ…
ÄÄ… Ã2
Ã
ÄÄ… Ã
ÄÄ… Ã
ÃÄ…+Ä„/2 2Ä… Ã Ä…
à Ã
à à ą Ã
à Ã
Ä… Ã
Ã
Ä… Ã
O A
-Ä Ä…
Ä Ä…
Ä Ä…
Ä Ä…
Ã1 +Ã Ã1 -Ã
2 2
ÃÄ… = + cos2Ä…
2 2
Ã1 -Ã
Ã1
Ã
Ã
Ã
2
ÄÄ… = Å" sin 2Ä…
2
1
Ämax = (Ã1 -Ã ) = R
2
2
15
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Koło Mohra
2R=(Ã1 - Ã2)
à Ã
à Ã
à Ã
Ä
Ä
Ä
Ä
Ã1 +Ã2
2
M (Ãx , Äxy)
à Ä
à Ä
à Ä
2
à +à à -Ã
ëÅ‚ öÅ‚
x y x y
2
ìÅ‚ ÷Å‚
Ã1 = + +Ä
R
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
Äxy Ã2
Ä Ã
Ä Ã
Ä Ã
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ãy 2Ä… Ãx
à Ã
à Ã
à Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
O A
2
-Äxy
Ä
Ä
Ä
à + à à - Ã
ëÅ‚ öÅ‚
x y x y
2
à = - ìÅ‚ ÷Å‚
+Ä
2 xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ãx - Ãy
à Ã
à Ã
à Ã
2Ä
Ã1
Ã
Ã
Ã
xy
tg2Ä… =
à - Ã
x y
16
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Czyste ścinanie
a)
Ä
Ä
Ä
Ä
Ã2 = -Ã
à Ã
à Ã
à Ã
ÄÄ…=Ã
ÄÄ… = Ã
ÄÄ… Ã
ÄÄ… Ã
ÄÄ… Ã
à 1 = Ã
à Ã
à Ã
à Ã
Ä…=45o ,
2Ä…
Ã2= - Ã
à Ã
à Ã
à Ã
ÄÄ…
O
Ã
Ã
Ã
Ã
ÄÄ…
-ÄÄ…
ÄÄ…
ÄÄ…
- Ã Ã
à Ã
à Ã
à Ã
Ã1 Ã1= Ã
à Ã
à Ã
à Ã
ÄÄ…=Ã
Ã2= - Ã
1
µ1 = (Ã +½ Å"Ã )
Ã
E
µ1 = µ2 = (1 +½ ) = µ
, zatem
E
1
µ2 = (-Ã -½ Å"Ã )
E
17
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Prawo Hooke a dla ścinania
b)
ÄÄ…=Ã
ÄÄ…=Ã
45o - Å‚/2
1-µ
ÄÄ…
1-µ
1+µ 1+µ
Ä
Ä„/2 - Å‚
Ä„ Å‚
Ä„ Å‚
Ä„ Å‚
Å‚
µ = Å‚ /2
µ Å‚
µ Å‚
µ Å‚
Ä
ł  kąt odkształcenia postaciowego
Å‚ =
G  moduł sprę\
ystości
G
postaciowej
18
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Związek między modułami E , G i
liczbÄ… Poissona ½
b)
Ã
ÄÄ…=Ã
ÄÄ…=Ã
µ1=µ2 = (1+½)=µ
E
45o - Å‚/2
1-µ
Å‚ 1- µ
öÅ‚
ÄÄ…
=
1-µ tgëÅ‚45 - ÷Å‚
ìÅ‚
2 1+ µ
íÅ‚ Å‚Å‚
1+µ 1+µ
Ä Å‚ Å‚
Å‚ tg45
öÅ‚ - tg 1-
2 2
tgëÅ‚45 - ÷Å‚
= E"
ìÅ‚
Å‚ Å‚
Ä„/2 - Å‚
Ä„ Å‚
Ä„ Å‚
Ä„ Å‚
2 1+ tg45Å"tg 1+
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
Å‚
Å‚ Å‚
µ = Å‚ /2 1- 1- µ
µ Å‚
µ Å‚
µ Å‚
2
µ =
=
Å‚
2
1+ 1+ µ
2
E
Ä
à Ã
G =
Å‚ = = 2 Å" (1+½ )
G E
2(1+½ ) G
19
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Åšcinanie technologiczne
Połączenie nitowe
P P
g
g/2
d
b
P
a P
P 2P
2P
Ä = = d" kt
d =
2
2Fscin Ä„d
Ä„ Å" kt
20
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów