Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymałość
Materiałów
                                       
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Część II  Wytrzymałość Materiałów
Wykład 4.
1. Wprowadzenie
2. Definicje sił przekrojowych
3. Związek między Mg, T i q
4. Wykresy sił tnących i momentów gnących
5. Stan odkształcenia i naprę\
enia w belce zginanej
6. Linia ugięcia belki
2
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Wprowadzenie
Jednym z najczęściej stosowanych elementów konstrukcyjnych jest belka,
wymiary przekroju porzecznego której są wielokrotnie mniejsze od wymiaru
trzeciego  długości i która jest obcią\
ona siłami prostopadłymi do jej osi:
RB
A
a RA l
3
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przykłady konstrukcji belkowych
4
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Suwnica bramowa
c
Dz
wigar
podsuwnicowy
a
t
d
5
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Ä…
b
Definicje &
N
P1 P2
Stan obciÄ…\
eń w przekroju poprzecznym
takiej belki po odrzuceniu jednej jej części, tj,.
R1
R2
po uwolnieniu tej części od w ięzów, pokazano
x dx
poni\
ej. Jak w iadomo ze statyki układ sił
działających na część belki uwolnioną od
x
M +dM
g gx
M
gx
więzów mo\
na sprowadzić do siły i pary sił. W
przekroju tym działa zatem siła T i siła N
(składowe siły wypadkowej - obie zredukowane
Tx+dTx
R1 Tx Tx
do środka cię\
kości przekroju poprzecznego)
dx
oraz para sił o momencie Mg. Jest to
przypadek tzw. prostego lub płaskiego zginania
, kiedy płaszczyzną działania momentu Mg jest
płaszczyzna Oxy.
6
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
 N
P1 P2
R1
R2
x dx
Siłą normalną N* w danym przekroju
x
Mg+dMgx poprzecznym belki nazywamy wypadkowÄ…
Mgx
rzutów na kierunek normalnej do
płaszczyzny przekroju (zwykle osi belki)
wszystkich sił zewnętrznych i reakcji
więzów działających na część belki
Tx+dTx
R1 Tx Tx
odciętą tym przekrojem.
(*) Siła normalna nie jest pokazana na rys. obok
dx
Siłą tnącą T w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy wypadkową rzutów
na kierunek prostopadły do normalnej do płaszczyzny przekroju (zwykle prostopadły do
osi belki) wszystkich sił zewnętrznych i reakcji więzów działających na część belki odciętą
tym przekrojem.
Momentem gnÄ…cym Mg w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy sumÄ™
momentów (względem środka cię\
kości przekroju) wszystkich sił zewnętrznych i reakcji
więzów działających na część belki odciętą tym przekrojem
7
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Znaki &
b) dodatnia siła tnąca
Tx > 0 (+)
Tx
dx Tx
dodatni moment gnÄ…cy
Mg + Mg -
Mgx
Mgx
dx
M > 0 (+)
gx
8
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
y
Związek między Mg, T i q
x
d x /2
q Å"d x
q
T T + d T
x x x
M
g x
M + d M
g x g x
R M
1 g x
T
x
x d x
C
Z równania równowagi
względem osi pionowej (y)
"P = T - qxdx - (T + dT ) = 0
y
otrzymujemy zale\
ność
między siłą tnącą a
dT
obciÄ…\
eniem ciągłym:
qx = -
dx
Z równania momentów względem środ ka cię\
ko ści C prze kroju poprzecznego belki mamy:
1
MC = -M - qxdx Å" dx + (M + dM ) - (T + dT )dx = 0
" g g g
2
dM
g
T =
dx
9
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Wykresy sił tnących i momentów gnących
q [kN/m ]
x/2
q x
Mg(x)
x
RA
Tx q [kN/m ]
x
ql
RA = RB =
2
RA
l
RB
RA
Tx
TX = RA - q Å" x
RB
l /2
Mg max=(1/8)ql 2
Mgx
x2
M = RA Å" x - q Å"
gx
2
l
10
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Wykresy sił tnących i momentów gnących
RA
P
RB
T
RA
-RB
Mgmax
Mg
11
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Aby określić stan naprę\
enia w belce zginanej, musimy sformułować pewne zało\
enia
dotyczące jej odkształcenia. Zakładamy, \
e belka poddana jest czystemu zginaniu, tj.
w jej przekrojach poprzecznych występuje tylko moment gnący, a siła tnąca wynosi
zero.
Á+y
Á
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
a) Hipoteza płaskich przekrojów
Mg dx=ds=Ä…Á Mg
Ä…Á
Ä…Á
Ä…Á
Przekroje poprzeczne płaskiego pręta pryzmatycznego pozostają
płaskie po odkształceniu.
x
b) Względne odkształcenia poprzeczne pręta są w ka\
dym
punkcie ½ razy mniejsze od odksztaÅ‚ceÅ„ wzdÅ‚u\
nych, zatem zw iÄ…zek
y
ds =Ä… (Á+y)
między odkształceniami jest taki sam, jak przy zwykłym rozciąganiu
(ściskaniu). Zakładamy zatem, \
e w pręcie poddanym czystemu
zginaniu poszczególne warstwy równoległe do osi pręta są w stanie
prostego rozciągania (ściskania) i nie wywierają wzajemnie na siebie
dx = ds = Ä…Á
\
adnych nacisków).
Mg Mg
c) Płaski przekrój po odkształceniu obraca się wokół pewnej
osi (p. C na rys.). Miejscem geometrycznym tych osi wzdłu\
całej C
długości pręta (belki) jest warstwa obojętna, która nie ulega
y x
dy
odkształceniu (ani wydłu\
eniu, ani skróceniu). Oś powstałą z
przecięcia się warstwy obojętnej z płaszczyzną przekroju
poprzecznego pręta nazywamy osią obojętną.
ds = Ä… (Á+y)
12
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Stan odkształcenia i naprę\
enia w belce
zginanej
ds'= (Á + y)Ä…
dx = ds = Ä…Á
Mg Mg
ds'-ds (Á + y)Ä… - ÁÄ… y
µ = = =
ds ÁÄ… Á
y x
dy
à = µ Å" E
x
y
à = E
x
ds = Ä… (Á+y) Á
Stan naprÄ™\
enia w belce zginanej jest liniowo
zmienny!
13
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Stan naprÄ™\
enia w belce zginanej
y
à = E
x
Á
y
dP = ÃydF= - EdF
M
g
Á
n
z
Á
Pix = 0
"
x
i=1
n
M = 0
" iz
y y E
,
i=1
EdF = - ydF = 0
+"dP = -+" +"
Á Á
F F F
y
y E
M = = - EdFy = - y2dF
g
+"dPy +" +"
Á Á
ydF = 0
F F F
+"
F
Jz = y2dF
+"
Oś obojętna przechodzi przez
F
środek cię\
kości przekroju
Moment bezwładności przekroju belki
14
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Momenty bezwładności figur płaskich
y2
dF
JZc = y2dF
+"
y
F
c
zc
y1
z
z1
z2
y2 z2
z
Iz = Jz = y2dF
+" +"
z1
y1
15
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
16
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Momenty bezwładności - Prostokąt
dF
dy
h
zc
b
h / 2
y2 z2 y2
h / 2
îÅ‚ Å‚Å‚
y3 bh3
Iz = y2dF = y2dF = y2bdy = b Å" =
ïÅ‚ śł
+" +" +" +"
3
ðÅ‚ ûÅ‚-h / 2 12
z1 y1
y1 -h / 2
17
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Momenty bezwładności - koło o promieniu r
yc dF=b(y)Å"dy
dy
y
Õ
d = 2 r
zc
r
b(y)=2rÅ"cosÕ
y= rÅ"sinÕ dy=rÅ"cosÕÅ"dÕ
dF=2Å"r2 cos 2ÕÅ"dÕ
Ä„
2 4
Ä„ Å" r4 Ä„ Å" d
JZC = y2dF = 2 Å"sinÕ)2 Å" r2 cos2 Õ Å" dÕ = =
+" +"(r
4 64
Ä„
F
-
2
18
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Twierdzenie Steinera
y
F
C
zc
a
z
Iz = IzC + a2F
19
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Stan naprÄ™\
enia w belce zginanej
Mg
z
Á
y E x
M = = - EdFy = - y2dF
g
+"dPy +" +"
Á Á
F F F
y
Jz = y2dF
+"
M
1
g
F y
= -
Á EJz
ymax
à = M
g max g
y
J
à = E
z
x
Á
Jz
y W =
à = M
g y g
ymax
Jz
M
g
à =
g max
W
20
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Stan naprÄ™\
enia w belce zginanej
mapy naprÄ™\
eń
Belka swobodnie podparta (czyste
zginanie)  model elastooptyczny
Belka wspornikowa 
Wyniki obliczeń metodą elementów skończonych
21
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Warunek wytrzymałościowy
M
g
à = d" k
g
g max
W
Rm
kg =
n
22
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Linia ugięcia belki
M
E
g
y=y(x)
=
Á J
z
Równanie ró\
niczkowe linii ugięcia belki
2
d y
2
1
dx2 E" - d y
2
= -
3 / 2
M
2 d y
Á dx2
g
îÅ‚ Å‚Å‚
dy
ëÅ‚ öÅ‚
= -
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1+ śł
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
dx2 EJz
23
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów